1. Радгосп для годівлі тварин використовує два види корму. У денному раціоні тварини повинно міститися не менше 6 одиниць поживної речовини А і не менше 12 одиниць живильного речовини В. Яка кількість корму треба витрачати щодня на одну тварину, щоб витрати були мінімальними? Використовувати дані таблиці:
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на максимум, і чому?
Рішення:
Введемо позначення:
Х1 - кількість корму 1 виду;
Х2 - кількість корму 2 види.
Цільова функція - F = 0,2 х1 + 0,3 х2
Обмеження: 2х1 +1 х2 ≥ 6
2х1 +4 х2 ≥ 12
х1, х2 ≥ 0
Вирішимо задачу графічним способом
Перше обмеження має вигляд 2х1 +1 х2 ≥ 6, знайдемо перетин з осями координат
Друге обмеження 2х1 +4 х2 ≥ 12, знайдемо перетину з осями координат
Для визначення напрямку руху до Оптиму побудуємо вектор - градієнта ЇС (з 1; с 2), координати якого є приватними похідними цільової функції, тобто з (0,2; 0,3).
Цей вектор показує напрям якнайшвидше зміна функції.
Пряма f (х) = 0,2 х1 + 0,3 х2 = а1, перпендикулярна вектору - градієнту, є лінією рівня цільової функції.
Для знаходження координат точки максимуму вирішуємо систему
2х1 + х2 = 6
2х1 + 4х2 = 12
-3х2 = -6
х2 = 2
2х1 +2 = 6
2х1 = 4
х1 = 2
Відповідь: (2, 2)
Fmin = 0,2 * 2 +0,3 * 2 = 0,4 +0,6 = 1
Графік:
Відповідь: щоб витрати були мінімальними необхідно витрачати 2ед. перший корми та 2 од. другий корму.
Якщо це завдання вирішувати на максимум, то завдання не має рішення, оскільки цільова функція не обмежена зверху, тобто Fmax = + ∞
2. Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці.
Потрібно:
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорії двоїстості.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
§ Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
§ Визначити, як змінюється виручка і план випуску продукції при збільшенні запасів сировини 2 і 3 видів на 120 і 160 одиниць відповідно і зменшення на 60 одиниць запасів сировини 1 виду;
§ Оцінити доцільність включення в план виробу Д ціною 12 одиниць, на виготовлення якої витрачається по дві одиниці кожного виду сировини.
Рішення:
1. Сформулюємо економіко - математичну модель задачі.
Змінні:
х 1 - кількість одиниць продукції А,
х 2 - кількість одиниць продукції Б,
х 3 - кількість одиниць продукції В,
х 4 - кількість одиниць продукції Г.
Цільова функція: F = 9х 1 +6 х 2 +4 х 3 +7 х 4 → max,
Мета максимізувати виручку від реалізації готової продукції
Обмеження:
По 1 типу ресурсу: 1х 1 +0 х 2 +2 х 3 +1 х 4 ≤ 180,
По 2 типу ресурсу: 0х 1 +1 х 2 +3 х 3 +2 х 4 ≤ 210,
По 3 типу ресурсу: 4х 1 +2 х 2 +0 х 3 +4 х 4 ≤ 800,
За змістом х 1; х 2; х 3; х 4 ≥ 0.
Рішення завдання виконаємо за допомогою надбудови Excel Пошук Рішення. Вибираємо результат пошуку рішення у формі звіту Стійкості.
Отримане рішення означає, що максимальну виручку 2115 ден. од., можемо отримає при випуски 95 од. продукції А та 210 од. продукції Б. При цьому ресурси 2 і 3 типи будуть використовуватися повністю, а з 180 од. сировини 1 типу буде використовуватися 95 од. сировини.
Сформулюємо економіко-математичну модель двоїстої задачі
Змінні:
у1-двоїста оцінка ресурсу 1 типу, або ціна 1 ресурсу,
у2-двоїста оцінка ресурсу 2 типу, або ціна 2 ресурсу,
у3-двоїста оцінка ресурсу 3 типи, або ціна 3 ресурсу.
Цільова функція двоїстої задачі: необхідно знайти такі «ціни» у на ресурси, щоб загальна вартість використовуваних ресурсів була мінімальною. G = b 1 * y 1 + b 2 * y 2 + ... → min
G = 180у один +210 у 2 +800 у 3 → min
У вихідній задачі чотири змінних, отже в двоїстої задачі чотири обмежувальних.
по виду продукції А: 1у 1 +0 у 2 +4 у 3 ≥ 9,
по виду продукції Б: 0у 1 +1 у 2 +2 у 3 ≥ 6,
за видом продукції В: 2у 1 +3 у 2 +0 у 3 ≥ 4,
за видом продукції Г: 1у 1 +2 у 2 +4 у 3 ≥ 7
за змістом у 1; у 2; у 3 ≥ 0
2. Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності:
По 2 теоремі-y i * (Σa ij * x j-b i) = 0
у 1 * (1х1 +0 х2 +2 х3 +1 х4-180) = 0
у2 * (0х1 +1 х2 +3 х3 +2 х4-210) = 0
у3 (4х1 +2 х2 +0 х3 +4 х4-800) = 0
Якщо х = (95; 210; 0; 0), то
у1 (95-180) = 0, тому 95 <180 => у1 = 0
у2 (210-210) = 0
у3 (4 * 95 +2 * 210-800) = 0
х j (Σa ij * у i-c j) = 0, якщо х j> 0, то Σa ij у i = c j
х1 = 95> 0 => у1 +4 у3 = 9 у3 = 9 / 4 = 2,25
х2 = 210 => у2 +2 у3 = 6 у2 = 6-2 * 9 / 4 = 1,5
у1 = 0 у1 = 0
Результат: Оптимальний план у = (0; 1,5; 2,25)
F (х) = 2115
G (y) = 180 * 0 +210 * 1,5 +800 * 2,25 = 315 +1800 = 2115 => перша теорема про подвійність f (х) = g (у) виконується.
3. Пояснимо нульові значення змінних х i в оптимальному плані.
Якщо Σ a ij у i> з j, то x j = 0
У нас х3 = 0, х4 = 0 => витрати на вироби В і Г перевищують ціну (Див. звіт по стійкості в стовпці нормована вартість).
4. а) Аналіз використання ресурсів в оптимальному плані
Якщо у i> 0, то Σ a ij x j = B i, i = 1, ...., M,
Якщо Σ a ij x j <B , То у i = 0, i = 1, ...., M.
У2 = 1,5; у3 = 2,25 => сировину 2 і 3 повністю використовуються в оптимальному плані і є дефіцитними, тобто стримують зростання цільової функції.
Сировина 1 використовується не повністю 95 з 180 це сировина не впливає на план випуску продукції, тобто не обмежує зростання цільової функції, загальна вартість використовуваних ресурсів g (0; 1,5; 2,25) = 2115.
б) Якщо запаси сировини змінити 1-120, 2-330, 3-920, то виручка складе 2565 при оптимальному плані (65; 330; 0; 0), залишок сировини 1 типу складе 120-65 = 55.
в) Якщо включити в план виріб Д ціною 12 одиниць, на виготовлення якого витрачається по 2 одиниці кожного сировини, то виручка складе 2268 при оптимальному плані (112; 142; 0; 0; 34), при цьому сировина буде повністю витрачено.
3. Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожна з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду, друге підприємство - продукції другого виду, третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання) решта постачається за його межі (зовнішнім споживачами, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) та елементів уi вектора кінцевої продукції У.
Потрібно:
1.Перевіряючи продуктивність технологічної матриці А = (а ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
2.Построіть баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
Таблиця матричного балансу
Використовуємо співвідношення Х = (Е-А) '* У, отримане у відповідність моделі Леонтьєва для визначення валового випуску для цього знайдемо: (Е-А)' - матрицю повних витрат (Е - одинична матриця),
Знайдемо обернену матрицю (Е-А) 'використовуючи функцію в Excel (fx / математична / МОБР),
Знайдемо величини валової продукції, використовуючи в Excel (fx / математична / МУМНОЖ
Розрахуємо величини виробничих витрат за формулою
X ij = a ij * x j
aij-технологічна матриця
xj-рядок валового випуску,
Перевіримо баланс кінцевої і умовно чистої продукції
ΣY I = ΣZ J , ΣX i = ΣX j,
Z = 199,965871 +198,634812 + 181,399315 = 580 = Y = 180 +200 +200 = 580
Xi = 285,66553 +331,05802 +362,79863 = 979,52218 = Xj = 285,66553 +331,05802 +
+ 362,79863 = 979,52218
Заповнюємо таблицю, підготовлену вище, матричного балансу отриманими даними.
4. Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит У (t) (млн. крб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.
Потрібно:
1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a 0 + a 1 t параметри якої оцінити МНК (Y (t) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R \ S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
5. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.
Рішення:
Побудуємо графік:
Перевіримо на анормальность - 9 тиждень, у 9 = 65
Решта спостереження
Для решти розрахуємо: у сер - середнє значення; S y - середньо квадратичне відхилення, використовуючи функції Excel;
Обчислимо статистику Стьюдента - t наб = | y *- y ср | / S y
(Fx / статистичні / СРЗНАЧ)
Sy = 6,3681686 (fx / статистична / СТАНДОТКЛОН)
При L = 5%, K = n-2 = 9-2 = 7,
t кр = 1,8945786 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР)
t наб = | 65-52,375 | / 6,37 = 1,9819466
t наб = 1,98> t кр = 1,89
Отже, бачимо у 9 не є аномальною і не вимагає заміни.
За допомогою програми РЕГРЕСІЇ (в Excel сервіс / аналіз даних / регресу) розрахуємо і отримаємо:
Модель побудована, її рівняння у t = a + b * t, t-момент часу, у t - теоретичне моделювання значення У, а, b-коефіцієнти моделі
a = 40,8611, b = 2,6, отже у t = 40,8611 +2,6 t
коефіцієнт регресії b = 2,6, тобто з кожним роком попит на кредитні ресурси фінансової компанії в середньому зростають на 2,6 млн. руб.
Розглянемо стовпець Залишки і побудуємо з допомогою «майстер діаграм» в Excel графік залишків:
1. Підрахуємо кількість поворотних точок р для рядів залишків - р = 5
2. Критична кількість визначимо формулою - р кр = [2 * (n-2) / 3-1,96 * √ 16 * n-29/90]
[] - Ціла частина; n-кількість вихідних даних
р кр = [2 * (9-2) / 3-1,96 * √ 16 * 9-29/90] = 2,451106 = 2
3 порівняємо фактичне р з р кр
р = 5> р кр = 2 отже, властивість випадковості виконується.
Для перевірки незалежності рівнів ряду залишків:
1 обчислимо d-статистику (критерій Дарбіна - Уотсона)
2 обчислити перший коефіцієнт автокореляції r (1)
для розрахунків підготуємо -
Σe 2 (t) = 25,14 - використовуємо Excel fx / математична / СУММКВ),
Σ (e (t)-e (t-1)) 2 = 69,72 - Використовуємо Excel fx / математична / СУММКВРАЗН) - 1 масив крім 1-го, 2 масив крім останнього.
d = Σ (e (t)-e (t-1)) 2 / Σe 2 (t) = 69,72 / 25,14 = 2,77327
По таблиці Значення d-критерію Дарбіна - Уотсона визначимо, що d 1 = 1,08 і d 2 = 1,36
Тобто наше d = 2,77327 € (1.08; 1,36), отже потрібна додаткова перевірка, знайдемо d '= 4-d = 4-2,77327 = 1,22673, тобто d' € (1,36; 2 )
отже, властивість незалежності рівнів ряду залишків виконуються, залишки незалежні.
Для перевірки нормального розподілу залишків обчислимо R / S - статистику
R / S = e max-e min / S e
е max - максимальний рівень ряду залишків,
е min - мінімальний рівень ряду залишків,
S-середньоквадратичне відхилення.
е max = 2,055555556 використовуємо Excel fx / статистична / МАКС),
е min =- 3,194444444 використовуємо Excel fx / статистична / МІН),
Se = 1,895064601 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»
Отже, R / S = 2,770354107
Критичний інтервал (2,7; 3,7), тобто R / S = 2,770354107 € (2,7; 3,7), властивість нормального розподілу залишків виконується.
Підводячи підсумки перевірки можна зробити висновок, що модель поводиться адекватно.
Для оцінки точності моделі обчислимо середню відносну похибку апроксимації Е отн = | e (t) / Y (t) | * 100% за отриманими значеннями визначити середнє значення (fx / математична / СРЗНАЧ)
Для обчислення точкового прогнозу в побудовану модель підставимо відповідні значення t = 10 і t = 11:
у 10 = 40,8611 +2,6 * 10 = 66,8611
у 11 = 40,8611 +2,7 * 11 = 70,5611,
Очікуваний попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень повинен скласти близько 66,8611 млн. руб., А на 11 тиждень близько 70,5611 млн. руб.
При рівні значущості L = 30%, довірча ймовірність дорівнює 70%, а критерій Стьюдента при к = n-2 = 9-2 = 7, дорівнює
t кр (30%; 7) = 1,119159128 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР),
S e = 1,895064601 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»,
t 'ср = 5 (fx / математична / СРЗНАЧ) - Середній рівень з даного моменту часу,
Σ (tt 'ср) = 60 (fx / статистична / КВАДРОТКЛ),
Ширину довірчого інтервалу обчислимо за формулою:
U 1 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159128 * 1,895064601 * √ 1 +1 / 9 + (10-5) 2 / 60 = = 2,621476416
U 2 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159128 * 1,895064601 * √ 1 +1 / 10 + + (11-5) 2 / 60 = = 2,765287696
Далі обчислимо верхню і нижню межі прогнозу u ниж = y 10-u 1; u верх = у 10 + u 1; u ниж = y 11-u 1; u верх = у 10 + u 1
u ниж = 66,8611-2,621476416 = 64,239623584
u верх = 66,8611 +2,621476416 = 69,482576416
u ниж = 70,5611-2,765287696 = 67,795812304
u ниж = 70,5611 +2,765287696 = 73,326387696
Попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень в межах від 64,239623584 млн. руб. до 69,482576416 млн. руб., а на 11 тиждень від 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696 млн. руб.
Будуємо графік:
| Поживна речовина | Кількість поживних речовин в 1 кг корму | |
| 1 | 2 | |
| А У | 2 2 | 1 4 |
| Ціна 1 кг корму, тис. руб. | 0,2 | 0,3 |
Рішення:
Введемо позначення:
Х1 - кількість корму 1 виду;
Х2 - кількість корму 2 види.
Цільова функція - F = 0,2 х1 + 0,3 х2
Обмеження: 2х1 +1 х2 ≥ 6
2х1 +4 х2 ≥ 12
х1, х2 ≥ 0
Вирішимо задачу графічним способом
Перше обмеження має вигляд 2х1 +1 х2 ≥ 6, знайдемо перетин з осями координат
| Х1 | 0 | 3 |
| Х2 | 6 | 0 |
Друге обмеження 2х1 +4 х2 ≥ 12, знайдемо перетину з осями координат
| Х1 | 0 | 6 |
| Х2 | 3 | 0 |
Цей вектор показує напрям якнайшвидше зміна функції.
Пряма f (х) = 0,2 х1 + 0,3 х2 = а1, перпендикулярна вектору - градієнту, є лінією рівня цільової функції.
Для знаходження координат точки максимуму вирішуємо систему
2х1 + х2 = 6
-3х2 = -6
2х1 +2 = 6
2х1 = 4
Відповідь: (2, 2)
Fmin = 0,2 * 2 +0,3 * 2 = 0,4 +0,6 = 1
Графік:
Відповідь: щоб витрати були мінімальними необхідно витрачати 2ед. перший корми та 2 од. другий корму.
Якщо це завдання вирішувати на максимум, то завдання не має рішення, оскільки цільова функція не обмежена зверху, тобто Fmax = + ∞
2. Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці.
| тип сировини | норма витрат сировини на один виріб | запаси сировини | |||
| А | Б | У | Г | ||
| 1 | 1 | 0 | 2 | 1 | 180 |
| 2 | 0 | 1 | 3 | 2 | 210 |
| 3 | 4 | 2 | 0 | 4 | 800 |
| ціна виробу | 9 | 6 | 4 | 7 | |
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорії двоїстості.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
§ Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
§ Визначити, як змінюється виручка і план випуску продукції при збільшенні запасів сировини 2 і 3 видів на 120 і 160 одиниць відповідно і зменшення на 60 одиниць запасів сировини 1 виду;
§ Оцінити доцільність включення в план виробу Д ціною 12 одиниць, на виготовлення якої витрачається по дві одиниці кожного виду сировини.
Рішення:
1. Сформулюємо економіко - математичну модель задачі.
Змінні:
х 1 - кількість одиниць продукції А,
х 2 - кількість одиниць продукції Б,
х 3 - кількість одиниць продукції В,
х 4 - кількість одиниць продукції Г.
Цільова функція: F = 9х 1 +6 х 2 +4 х 3 +7 х 4 → max,
Мета максимізувати виручку від реалізації готової продукції
Обмеження:
По 2 типу ресурсу: 0х 1 +1 х 2 +3 х 3 +2 х 4 ≤ 210,
По 3 типу ресурсу: 4х 1 +2 х 2 +0 х 3 +4 х 4 ≤ 800,
За змістом х 1; х 2; х 3; х 4 ≥ 0.
Рішення завдання виконаємо за допомогою надбудови Excel Пошук Рішення. Вибираємо результат пошуку рішення у формі звіту Стійкості.
Отримане рішення означає, що максимальну виручку 2115 ден. од., можемо отримає при випуски 95 од. продукції А та 210 од. продукції Б. При цьому ресурси 2 і 3 типи будуть використовуватися повністю, а з 180 од. сировини 1 типу буде використовуватися 95 од. сировини.
Сформулюємо економіко-математичну модель двоїстої задачі
Змінні:
у1-двоїста оцінка ресурсу 1 типу, або ціна 1 ресурсу,
у2-двоїста оцінка ресурсу 2 типу, або ціна 2 ресурсу,
у3-двоїста оцінка ресурсу 3 типи, або ціна 3 ресурсу.
Цільова функція двоїстої задачі: необхідно знайти такі «ціни» у на ресурси, щоб загальна вартість використовуваних ресурсів була мінімальною. G = b 1 * y 1 + b 2 * y 2 + ... → min
G = 180у один +210 у 2 +800 у 3 → min
У вихідній задачі чотири змінних, отже в двоїстої задачі чотири обмежувальних.
по виду продукції Б: 0у 1 +1 у 2 +2 у 3 ≥ 6,
за видом продукції В: 2у 1 +3 у 2 +0 у 3 ≥ 4,
за видом продукції Г: 1у 1 +2 у 2 +4 у 3 ≥ 7
за змістом у 1; у 2; у 3 ≥ 0
2. Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності:
По 2 теоремі-y i * (Σa ij * x j-b i) = 0
у 1 * (1х1 +0 х2 +2 х3 +1 х4-180) = 0
у2 * (0х1 +1 х2 +3 х3 +2 х4-210) = 0
у3 (4х1 +2 х2 +0 х3 +4 х4-800) = 0
Якщо х = (95; 210; 0; 0), то
у1 (95-180) = 0, тому 95 <180 => у1 = 0
у2 (210-210) = 0
у3 (4 * 95 +2 * 210-800) = 0
х j (Σa ij * у i-c j) = 0, якщо х j> 0, то Σa ij у i = c j
х2 = 210 => у2 +2 у3 = 6 у2 = 6-2 * 9 / 4 = 1,5
у1 = 0 у1 = 0
Результат: Оптимальний план у = (0; 1,5; 2,25)
F (х) = 2115
G (y) = 180 * 0 +210 * 1,5 +800 * 2,25 = 315 +1800 = 2115 => перша теорема про подвійність f (х) = g (у) виконується.
3. Пояснимо нульові значення змінних х i в оптимальному плані.
Якщо Σ a ij у i> з j, то x j = 0
У нас х3 = 0, х4 = 0 => витрати на вироби В і Г перевищують ціну (Див. звіт по стійкості в стовпці нормована вартість).
4. а) Аналіз використання ресурсів в оптимальному плані
Якщо у i> 0, то Σ a ij x j = B i, i = 1, ...., M,
Якщо Σ a ij x j <B , То у i = 0, i = 1, ...., M.
У2 = 1,5; у3 = 2,25 => сировину 2 і 3 повністю використовуються в оптимальному плані і є дефіцитними, тобто стримують зростання цільової функції.
Сировина 1 використовується не повністю 95 з 180 це сировина не впливає на план випуску продукції, тобто не обмежує зростання цільової функції, загальна вартість використовуваних ресурсів g (0; 1,5; 2,25) = 2115.
б) Якщо запаси сировини змінити 1-120, 2-330, 3-920, то виручка складе 2565 при оптимальному плані (65; 330; 0; 0), залишок сировини 1 типу складе 120-65 = 55.
в) Якщо включити в план виріб Д ціною 12 одиниць, на виготовлення якого витрачається по 2 одиниці кожного сировини, то виручка складе 2268 при оптимальному плані (112; 142; 0; 0; 34), при цьому сировина буде повністю витрачено.
3. Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожна з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду, друге підприємство - продукції другого виду, третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання) решта постачається за його межі (зовнішнім споживачами, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) та елементів уi вектора кінцевої продукції У.
Потрібно:
1.Перевіряючи продуктивність технологічної матриці А = (а ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
2.Построіть баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
| підприємства | коефіцієнти прямих витрат | кінцевий продукт | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 0,0 | 0,1 | 0,2 | 180 |
| 2 | 0,1 | 0,2 | 0,1 | 200 |
| 3 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 200 |
| кінцевий | валовий | ||||
| підприємство | споживають | продукт | продукт | ||
| виробляють | 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 0 | 33,1 | 72,6 | 180 | 285,7 |
| 2 | 28,5 | 66,2 | 36,3 | 200 | 331 |
| 3 | 57,1 | 33,1 | 72,6 | 200 | 362,8 |
| ум чистий продукція | 200 | 198,7 | 181,3 | 580 | |
| валовий продукт | 285,6 | 331,1 | 362,8 | 979,5 |
Знайдемо обернену матрицю (Е-А) 'використовуючи функцію в Excel (fx / математична / МОБР),
| 0,1706485 | |||
| В = (Е-А) -1 | 0,1706485 | 1,2969283 | 0,2047782 |
| 0,2901024 | 0,2047782 | 1,3481229 |
| 1,0750853 | 0,1706485 | 0,2901024 | * | 180 | 285, 66553 | |||
| В = (Е-А) -1 * У | 0,1706485 | 1,2969283 | 0,2047782 | 200 | = 331,05802 | |||
| 0,2901024 | 0,2047782 | 1,3481229 | 200 | 362,79863 |
X ij = a ij * x j
aij-технологічна матриця
xj-рядок валового випуску,
| |||||||||
| Для розрахунку величин умовно чистої продукції використовуємо співвідношення балансу для виробництва: Z = xj-Σxij | |||||||||
| xij - за стовпцем Z1 = 285,66553 - (0 +28,566553 +57,133106) = 199,965871 Z2 = 331,05802 - (33,105802 +66,211604 +33,105802) = 198,634812 Z3 = 362,79863 - (72,559726 +36,279863 +72,559726) = 181,399315 |
Перевіримо баланс кінцевої і умовно чистої продукції
ΣY I = ΣZ J , ΣX i = ΣX j,
Z = 199,965871 +198,634812 + 181,399315 = 580 = Y = 180 +200 +200 = 580
Xi = 285,66553 +331,05802 +362,79863 = 979,52218 = Xj = 285,66553 +331,05802 +
+ 362,79863 = 979,52218
Заповнюємо таблицю, підготовлену вище, матричного балансу отриманими даними.
4. Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит У (t) (млн. крб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.
| Тижня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Попит на кредитні ресурси | 43 | 47 | 50 | 48 | 54 | 57 | 61 | 59 | 65 |
1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a 0 + a 1 t параметри якої оцінити МНК (Y (t) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R \ S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
5. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.
Рішення:
| Тижня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Попит на кредитні ресурси | 43 | 47 | 50 | 48 | 54 | 57 | 61 | 59 | 65 |
Перевіримо на анормальность - 9 тиждень, у 9 = 65
Решта спостереження
| Тижня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Попит на кредитні ресурси | 43 | 47 | 50 | 48 | 54 | 57 | 61 | 59 |
Обчислимо статистику Стьюдента - t наб = | y *- y ср | / S y
| у сер = 52,375 |
Sy = 6,3681686 (fx / статистична / СТАНДОТКЛОН)
При L = 5%, K = n-2 = 9-2 = 7,
t кр = 1,8945786 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР)
t наб = | 65-52,375 | / 6,37 = 1,9819466
t наб = 1,98> t кр = 1,89
Отже, бачимо у 9 не є аномальною і не вимагає заміни.
За допомогою програми РЕГРЕСІЇ (в Excel сервіс / аналіз даних / регресу) розрахуємо і отримаємо:
| Регресійна статистика | |
| Множинний R | 0,970013862 |
| R-квадрат | 0,940926893 |
| Нормований R-квадрат | 0,932487878 |
| Стандартна помилка | 1,895064601 |
| Спостереження | 9 |
| Дисперсійний аналіз | |||||
| df | SS | MS | F | Значимість F | |
| Регресія | 1 | 400,4166667 | 400,4166667 | 111,497238 | 1,4929 E-05 |
| Залишок | 7 | 25,13888889 | 3,591269841 | ||
| Разом | 8 | 425,5555556 |
| Коефіцієнти | Стандартна помилка | t-статистика | P-Значення | Нижні 95% | Верхні 95% | Нижні 95,0% | Верхні 95,0% | |
| Y-перетин | 40,8611 | 1,3767325 | 29,6798 | 1,27 E-08 | 37,60566 | 44,1166 | 37,6057 | 44,11657 |
| Тиждень t | 2,58333 | 0,2446518 | 10,5592 | 1,493 E-05 | 2,004824 | 3,16184 | 2,00482 | 3,161843 |
| ВИСНОВОК ЗАЛИШКУ | ||
| Спостереження | Передбачення Попит Y (t) | Залишки |
| 1 | 43,4444 | -0,4444444 |
| 2 | 46,0278 | 0,9722222 |
| 3 | 48,6111 | 1,3888889 |
| 4 | 51,1944 | -3,1944444 |
| 5 | 53,7778 | 0,2222222 |
| 6 | 56,3611 | 0,6388889 |
| 7 | 58,9444 | 2,0555556 |
| 8 | 61,5278 | -2,5277778 |
| 9 | 64,1111 | 0,8888889 |
a = 40,8611, b = 2,6, отже у t = 40,8611 +2,6 t
коефіцієнт регресії b = 2,6, тобто з кожним роком попит на кредитні ресурси фінансової компанії в середньому зростають на 2,6 млн. руб.
Розглянемо стовпець Залишки і побудуємо з допомогою «майстер діаграм» в Excel графік залишків:
1. Підрахуємо кількість поворотних точок р для рядів залишків - р = 5
2. Критична кількість визначимо формулою - р кр = [2 * (n-2) / 3-1,96 * √ 16 * n-29/90]
[] - Ціла частина; n-кількість вихідних даних
р кр = [2 * (9-2) / 3-1,96 * √ 16 * 9-29/90] = 2,451106 = 2
3 порівняємо фактичне р з р кр
р = 5> р кр = 2 отже, властивість випадковості виконується.
Для перевірки незалежності рівнів ряду залишків:
1 обчислимо d-статистику (критерій Дарбіна - Уотсона)
2 обчислити перший коефіцієнт автокореляції r (1)
для розрахунків підготуємо -
Σe 2 (t) = 25,14 - використовуємо Excel fx / математична / СУММКВ),
Σ (e (t)-e (t-1)) 2 = 69,72 - Використовуємо Excel fx / математична / СУММКВРАЗН) - 1 масив крім 1-го, 2 масив крім останнього.
d = Σ (e (t)-e (t-1)) 2 / Σe 2 (t) = 69,72 / 25,14 = 2,77327
По таблиці Значення d-критерію Дарбіна - Уотсона визначимо, що d 1 = 1,08 і d 2 = 1,36
Тобто наше d = 2,77327 € (1.08; 1,36), отже потрібна додаткова перевірка, знайдемо d '= 4-d = 4-2,77327 = 1,22673, тобто d' € (1,36; 2 )
отже, властивість незалежності рівнів ряду залишків виконуються, залишки незалежні.
Для перевірки нормального розподілу залишків обчислимо R / S - статистику
R / S = e max-e min / S e
е max - максимальний рівень ряду залишків,
е min - мінімальний рівень ряду залишків,
S-середньоквадратичне відхилення.
е max = 2,055555556 використовуємо Excel fx / статистична / МАКС),
е min =- 3,194444444 використовуємо Excel fx / статистична / МІН),
Se = 1,895064601 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»
Отже, R / S = 2,770354107
Критичний інтервал (2,7; 3,7), тобто R / S = 2,770354107 € (2,7; 3,7), властивість нормального розподілу залишків виконується.
Підводячи підсумки перевірки можна зробити висновок, що модель поводиться адекватно.
Для оцінки точності моделі обчислимо середню відносну похибку апроксимації Е отн = | e (t) / Y (t) | * 100% за отриманими значеннями визначити середнє значення (fx / математична / СРЗНАЧ)
| відносить. погр-ти | |
| -1,033591731 | |
| 2,06855792 | |
| 2,777777778 | |
| -6,655092593 | |
| 0,411522634 | |
| 1,1208577 | |
| 3,369763206 | |
| -4,284369115 | |
| 1,367521368 | |
Е ср.отн = | -0,095228093 |
у 10 = 40,8611 +2,6 * 10 = 66,8611
у 11 = 40,8611 +2,7 * 11 = 70,5611,
Очікуваний попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень повинен скласти близько 66,8611 млн. руб., А на 11 тиждень близько 70,5611 млн. руб.
При рівні значущості L = 30%, довірча ймовірність дорівнює 70%, а критерій Стьюдента при к = n-2 = 9-2 = 7, дорівнює
t кр (30%; 7) = 1,119159128 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР),
S e = 1,895064601 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»,
t 'ср = 5 (fx / математична / СРЗНАЧ) - Середній рівень з даного моменту часу,
Σ (tt 'ср) = 60 (fx / статистична / КВАДРОТКЛ),
Ширину довірчого інтервалу обчислимо за формулою:
U 1 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159128 * 1,895064601 * √ 1 +1 / 9 + (10-5) 2 / 60 = = 2,621476416
U 2 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159128 * 1,895064601 * √ 1 +1 / 10 + + (11-5) 2 / 60 = = 2,765287696
Далі обчислимо верхню і нижню межі прогнозу u ниж = y 10-u 1; u верх = у 10 + u 1; u ниж = y 11-u 1; u верх = у 10 + u 1
u ниж = 66,8611-2,621476416 = 64,239623584
u верх = 66,8611 +2,621476416 = 69,482576416
u ниж = 70,5611-2,765287696 = 67,795812304
u ниж = 70,5611 +2,765287696 = 73,326387696
Попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень в межах від 64,239623584 млн. руб. до 69,482576416 млн. руб., а на 11 тиждень від 67,795812304 млн. руб. до 73,326387696 млн. руб.
Будуємо графік: