1. Деяка фірма випускає два набори добрив для газонів: звичайний і поліпшений. У звичайний набір входить 3 кг азотних, 4 кг фосфорних і 1 кг калійних добрив, а в покращений - 2 кг азотних, 6 кг фосфорних і 3 кг калійних добрив. Відомо, що для деякого газону потрібно щонайменше 10 кг азотних, 20 кг фосфорних і 7 кг калійних добрив. Звичайний набір коштує 3 ден. Од., А поліпшений - 4 ден. Од. які і скільки наборів добрив потрібно купити, щоб забезпечити ефективне живлення грунту і мінімізувати вартість?
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на максимум, і чому?
Рішення:
Умова задачі:
1 складемо математичну модель:
Позначимо через x j кількість кг добрива
x 1 - кількість кг звичайного добрива;
x 2 - кількість кг поліпшеного добрива.
Мета - найменша вартість добрива,
F = 3x 1 +4 x 2 → min
Обмеження:
За азотним добривам 3х 1 +2 х 2 ≥ 10
За фосфорним добривам 4х 1 +6 х 2 ≥ 20
За калійним добривам 1х 1 +3 х 2 ≥ 7
За змістом х 1 ≥ 0 х 2 ≥ 0
Вирішимо графічним способом.
Перше обмеження (по азоту) має вигляд 3х 1 +2 х 2 ≥ 10 знайдемо перетин з осями координат, тобто 3х 1 +2 х 2 = 10 - l 1
0 <10, вірно, вибираємо полуплоскость у напрямку до (.) Про
Друге обмеження 4х 1 +6 х 2 = 20 - l 2
0 <20, вірно, вибираємо полуплоскость у напрямку до (.) Про
Третє обмеження х 1 +3 х 2 = 7 - l 3
0 <7 вірно, вибираємо полуплоскость у напрямку до (.) Про
Для визначення напрямку руху до Оптиму побудуємо вектор - градієнта ЇС (з 1; с 2), координати якого є приватними похідними цільової функції, тобто з (3, 4).
Побудуємо лінію рівня l 0, прирівняємо цільову функцію до 0
3х 1 +4 х 2 = 0
Пересуваючи лінію рівня l0 в напрямку зворотному напрямку вектора - градієнта, т. до завдання на мінімум, досягнемо мінімальну точку цільової функції. Знайдемо координати цієї точки, вирішуючи систему з двох рівнянь прямих, що дають в перетині точку мінімуму:
(.) А = l 1 ∩ l 3
3х 1 +2 х 2 = 10, * 3 «-»
4х 1 +6 х 2 = 20
5х 1 = 10
х 1 = 2
Підставимо в перше рівняння 3 * 2 +2 х 2 = 10,
2х 2 = 10-6,
2х 2 = 4,
х 2 = 2.
Fmin = 3 * 2 +4 * 2 = 6 +8 = 14 ден. од.
Графік:
\ S
Відповідь: щоб забезпечити ефективне живлення грунту при мінімізованої вартості, яка склала 14 ден од, необхідно купити 2 набору звичайного добрива і 2 набору поліпшеного. Якщо це завдання вирішувати на максимум, то завдання не має рішення, оскільки цільова функція не обмежена зверху, тобто Fmax = + ∞
2. Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці.
Потрібно:
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорії двоїстості.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
§ Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
§ Визначити, як змінюється виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини 1 і2 виду на 8 і 10 одиниць відповідно і зменшення на 5 одиниць запасів сировини 3 види;
§ Оцінити доцільність включення в план виробу Д ціною 10 одиниць, на виготовлення якої витрачається по дві одиниці кожного виду сировини.
Рішення:
Сформулюємо економіко - математичну модель задачі.
Змінні:
х 1 - кількість одиниць продукції А,
х 2 - кількість одиниць продукції Б,
х 3 - кількість одиниць продукції В,
х 4 - кількість одиниць продукції Г.
Цільова функція: F = 5х 1 +7 х 2 +3 х 3 +6 х 4 → max,
Мета максимізувати виручку від реалізації готової продукції
Обмеження:
По 1 типу ресурсу: 2х 1 + х 2 +3 х 3 +2 х 4 ≤ 200,
По 2 типу ресурсу: х 1 +2 х 2 +4 х 3 +8 х 4 ≤ 160,
По 3 типу ресурсу: 2х 1 +4 х 2 + х 3 + х 4 ≤ 170,
За змістом х 1; х 2; х 3; х 4 ≥ 0.
Рішення завдання виконаємо за допомогою надбудови Excel Пошук Рішення. Вибираємо результат пошуку рішення у формі звіту Стійкості.
Отримане рішення означає, що максимальну виручку 460 ден од, можемо отримає при випуски 80 од продукції А та 10 од продукції Г. При це ресурси 2 і 3 типи будуть використовуватися повністю, а з 200 од сировини 1 типу буде використовуватися 180 од сировини.
Сформулюємо економіко-математичну модель двоїстої задачі
Змінні:
у1-двоїста оцінка ресурсу 1 типу, або ціна 1 ресурсу,
у2-двоїста оцінка ресурсу 2 типу, або ціна 2 ресурсу,
у3-двоїста оцінка ресурсу 3 типи, або ціна 3 ресурсу.
Цільова функція двоїстої задачі: необхідно знайти такі «ціни» у на ресурси, щоб загальна вартість використовуваних ресурсів була мінімальною. G = b 1 * y 1 + b 2 * y 2 + ... → min
G = 200У один +160 у 2 +170 у 3 → min
Обмеження:
Ви вихідної задачі чотири змінних, отже в двоїстої задачі чотири обмежувальних.
a 11 * y 1 + a 12 * y 2 + ... ≥ c 1
a 12 * y 1 + a 22 * y 2 + ... ≥ c 2
по виду продукції А: 2у 1 + у 2 +2 у 3 ≥ 5,
по виду продукції Б: у 1 +2 у 2 +4 у 3 ≥ 7,
за видом продукції В: 3у 1 +4 у 2 + у 3 ≥ 3,
за видом продукції Г: 2у 1 +8 у 2 + у 3 ≥ 6
за змістом у 1; у 2; у 3 ≥ 0
Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності:
По 2 теоремі-y i * (Σa ij * x j-b i) = 0 і x j (Σa ij * y i-c j) = 0,
у 1 * (2х 1 + х 2 +3 х 3 +2 х 4 -200) = 0 → у 1 (2 * 80 +0 +3 * 0 +2 * 10-200) = 0 180 <200, то у 1 = 0
у 2 * (х 1 +2 х 2 +4 х 3 +8 х 4 -160) = 0 → у 2 (80 +2 * 0 +4 * 0 +8 * 10-160) = 0,
у 3 * (2х 1 +4 х 2 + х 3 + х 4 -170) = 0 → у 3 * (2 * 80 +4 * 0 +0 +10-170) = 0.
У нашій задачі х1 = 80> 0 і х4 = 10> 0, тому перше і четверте обмеження двоїстої задачі звертаються в рівність:
2у 1 + у 2 +2 у 3 = 5,
2у1 +8 у 2 + у 3 = 6,
у 1 = 0,
у 2 +2 у 3 = 5,
8у 2 + у 3 = 6,
Висловимо через у 2 = 5-2у 3,
8 * (5-2у 3) + у 3 = 6,
40-16У 3 + у 3 = 6
-15у 3 =- 34,
у 3 = 34/15,
у 2 = 5-2 * 34/15 = 7 / 15,
у 1 = 0; у 2 = 7 / 15; у 3 = 34/15
G = 200 * 0 +160 * 7 / 15 +170 * 34/15 = 460
Перевіримо виконуваність перший теореми подвійності:
Fmax = Gmin = 460
У нашій задачі в план випуску не увійшла продукція Б і В, тому що витрати по них перевищують ціну на 3 ден од (10-7 = 3) і 1,133 ден од (4,1333-3 = 1,133) відповідно.
Підставимо в обмеження двоїстої задачі оптимальні значення в:
2 * 0 +7 / 15 +2 * 34/15 = 5 = 5,
0 +2 * 7 / 15 +4 * 34/15 = 10 ≥ 7,
3 * 0 +4 * 7 / 15 +34 / 15 = 4,133 ≥ 3,
2 * 0 +8 * 7 / 15 +34 / 15 = 6 = 6.
Так як запас ресурсів 1, 2 типу сировини змінюватися на 8 і 10 одиниці (збільшитися) і 3 типу зменшуватися на 5 одиниць. З теореми про оцінки відомо, що коливання величини b i призводить до збільшення або зменшення F.
F = Δb i * y i
F = 8 * 0 +10 * 7 / 15 + (-5) * 34/15 =- 6,667, отже, збільшення запасів ресурсів 1 і 2 типу на 8 та 10 од. і зменшення 3 типи на 5 од призведе до зменшення значення цільової функції на -6,667 ден од.
За умовами задачі для виготовлення виробів Д використовується:
Сировина 1 типу а * 1 = 2,
Сировина 2 типу а * 2 = 2,
Сировина 3 типи а * 3 = 2
Очікуваний прибуток від даного вироби Д з *= 10 ден од.
Для оцінки доцільності продукту Д, розрахуємо чистий дохід
е = з *- Σа * i * y i
е = 10 - (2 * 0 +2 * 7 / 15 +2 * 34/15) = 4,533
отже, доцільно включати в план виріб Д, тому що е = 4,533> 0.
3. Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожна з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду, друге підприємство - продукції другого виду, третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання) решта постачається за його межі (зовнішнім споживачами, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) та елементів уi вектора кінцевої продукції У.
Потрібно:
1. Перевірити продуктивність технологічної матриці А = (а ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
2. Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
Рішення:
Знайдемо продуктивність А за допомогою достатньої умови | | A | | max (0,3; 0,2; 0,5) = 0,5 <1
Отже матриця А продуктивна
Підготуємо таблицю матричного балансу
Використовуємо співвідношення Х = (Е-А) '* У, отримане у відповідність моделі Леонтьєва для визначення валового випуску для цього знайдемо: (Е-А)' - матрицю повних витрат (Е - одинична матриця),
Знайдемо обернену матрицю (Е-А) 'використовуючи функцію в Excel (fx / математична / МОБР),
Знайдемо величини валової продукції, використовуючи в Excel (fx / математична / МУМНОЖ)
Розрахуємо величини виробничих витрат за формулою
X ij = a ij * x j
aij-технологічна матриця
xj-рядок валового випуску,
Перевіримо баланс кінцевої і умовно чистої продукції
ΣY I = ΣZ J , ΣX i = ΣX j,
Z = 175.7803 +184.7134 +69.50637 = 430 = Y = 150 +180 +100 = 430
Xi = 251.1146 +230.8917 +139.0127 = 621.0191 = Xj = 251.1146 +230.8917 +139.0127 = 621.0191
Заповнюємо таблицю, підготовлену вище, матричного балансу отриманими даними.
4. Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит У (t) (млн. крб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.
Потрібно:
1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a 0 + a 1 t параметри якої оцінити МНК (Y (t) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R \ S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
5. По двох побудованим моделям здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розраховувати при довірчій імовірності р = 70%)
6. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.
Рішення:
Побудуємо графік:
\ S
Перевіримо на анормальность - 9 тиждень, у 9 = 23
Решта спостереження
Для решти розрахуємо: у сер - середнє значення; S y - середньо квадратичне відхилення, використовуючи функції Excel;
Обчислимо статистику Стьюдента - t наб = | y *- y ср | / S y
у сер = 13,625 (fx / статистичні / СРЗНАЧ)
Sy = 6,836254457 (fx / статистична / СТАНДОТКЛОН)
При L = 5%, K = n-2 = 9-2 = 7,
t кр = 2,36462256 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР)
t наб = | 23-13,625 | / 6,84 = 1,371364986
t наб = 1,37 <t кр = 2,36
Отже, бачимо у 9 не є аномальною і не вимагає заміни.
За допомогою програми РЕГРЕСІЇ (в Excel сервіс / аналіз даних / регресу) розрахуємо і отримаємо:
Побудувати економіко-математичну модель задачі, дати необхідні коментарі до її елементів і отримати рішення графічним методом. Що станеться, якщо вирішувати задачу на максимум, і чому?
Рішення:
Умова задачі:
| вартість | 3 | 4 | |
| Склад добрива | Кількість добрив | Необхідний мінімум | |
| звичайне | покращене | ||
| Азотне | 3 | 2 | 10 |
| Фосфорна | 4 | 6 | 20 |
| Калійне | 1 | 3 | 7 |
Позначимо через x j кількість кг добрива
x 1 - кількість кг звичайного добрива;
x 2 - кількість кг поліпшеного добрива.
Мета - найменша вартість добрива,
F = 3x 1 +4 x 2 → min
За азотним добривам 3х 1 +2 х 2 ≥ 10
За фосфорним добривам 4х 1 +6 х 2 ≥ 20
За калійним добривам 1х 1 +3 х 2 ≥ 7
За змістом х 1 ≥ 0 х 2 ≥ 0
Вирішимо графічним способом.
Перше обмеження (по азоту) має вигляд 3х 1 +2 х 2 ≥ 10 знайдемо перетин з осями координат, тобто 3х 1 +2 х 2 = 10 - l 1
| Х1 | 0 | 10 / 3 |
| Х2 | 5 | 0 |
Друге обмеження 4х 1 +6 х 2 = 20 - l 2
| Х1 | 0 | 5 |
| Х2 | 10 / 3 | 0 |
Третє обмеження х 1 +3 х 2 = 7 - l 3
| Х1 | 0 | 7 |
| Х2 | 7 / 3 | 0 |
Для визначення напрямку руху до Оптиму побудуємо вектор - градієнта ЇС (з 1; с 2), координати якого є приватними похідними цільової функції, тобто з (3, 4).
Побудуємо лінію рівня l 0, прирівняємо цільову функцію до 0
3х 1 +4 х 2 = 0
| Х1 | 0 | -4 |
| Х2 | 0 | 0 |
(.) А = l 1 ∩ l 3
5х 1 = 10
х 1 = 2
Підставимо в перше рівняння 3 * 2 +2 х 2 = 10,
2х 2 = 10-6,
2х 2 = 4,
х 2 = 2.
Fmin = 3 * 2 +4 * 2 = 6 +8 = 14 ден. од.
Графік:
Відповідь: щоб забезпечити ефективне живлення грунту при мінімізованої вартості, яка склала 14 ден од, необхідно купити 2 набору звичайного добрива і 2 набору поліпшеного. Якщо це завдання вирішувати на максимум, то завдання не має рішення, оскільки цільова функція не обмежена зверху, тобто Fmax = + ∞
2. Для виготовлення чотирьох видів продукції використовують три види сировини. Запаси сировини, норми його витрати і ціни реалізації одиниці кожного виду продукції наведені в таблиці.
| тип сировини | норма витрат сировини на один виріб | запаси сировини | |||
| А | Б | У | Г | ||
| 1 | 2 | 1 | 3 | 2 | 200 |
| 2 | 1 | 2 | 4 | 8 | 160 |
| 3 | 2 | 4 | 1 | | 170 |
| ціна виробу | 5 | 7 | 3 | | |
1. Сформулювати пряму оптимізаційну задачу на максимум виручки від реалізації готової продукції, отримати оптимальний план випуску продукції.
2. Сформулювати двоїсту задачу і знайти її оптимальний план за допомогою теорії двоїстості.
3. Пояснити нульові значення змінних в оптимальному плані.
4. На основі властивостей двоїстих оцінок і теорем подвійності:
§ Проаналізувати використання ресурсів в оптимальному плані вихідного завдання;
§ Визначити, як змінюється виручка від реалізації продукції і план її випуску при збільшенні запасів сировини 1 і2 виду на 8 і 10 одиниць відповідно і зменшення на 5 одиниць запасів сировини 3 види;
§ Оцінити доцільність включення в план виробу Д ціною 10 одиниць, на виготовлення якої витрачається по дві одиниці кожного виду сировини.
Рішення:
Сформулюємо економіко - математичну модель задачі.
Змінні:
х 1 - кількість одиниць продукції А,
х 2 - кількість одиниць продукції Б,
х 3 - кількість одиниць продукції В,
х 4 - кількість одиниць продукції Г.
Цільова функція: F = 5х 1 +7 х 2 +3 х 3 +6 х 4 → max,
Мета максимізувати виручку від реалізації готової продукції
Обмеження:
По 2 типу ресурсу: х 1 +2 х 2 +4 х 3 +8 х 4 ≤ 160,
По 3 типу ресурсу: 2х 1 +4 х 2 + х 3 + х 4 ≤ 170,
За змістом х 1; х 2; х 3; х 4 ≥ 0.
Рішення завдання виконаємо за допомогою надбудови Excel Пошук Рішення. Вибираємо результат пошуку рішення у формі звіту Стійкості.
Отримане рішення означає, що максимальну виручку 460 ден од, можемо отримає при випуски 80 од продукції А та 10 од продукції Г. При це ресурси 2 і 3 типи будуть використовуватися повністю, а з 200 од сировини 1 типу буде використовуватися 180 од сировини.
Сформулюємо економіко-математичну модель двоїстої задачі
Змінні:
у1-двоїста оцінка ресурсу 1 типу, або ціна 1 ресурсу,
у2-двоїста оцінка ресурсу 2 типу, або ціна 2 ресурсу,
у3-двоїста оцінка ресурсу 3 типи, або ціна 3 ресурсу.
Цільова функція двоїстої задачі: необхідно знайти такі «ціни» у на ресурси, щоб загальна вартість використовуваних ресурсів була мінімальною. G = b 1 * y 1 + b 2 * y 2 + ... → min
G = 200У один +160 у 2 +170 у 3 → min
Обмеження:
Ви вихідної задачі чотири змінних, отже в двоїстої задачі чотири обмежувальних.
a 12 * y 1 + a 22 * y 2 + ... ≥ c 2
по виду продукції Б: у 1 +2 у 2 +4 у 3 ≥ 7,
за видом продукції В: 3у 1 +4 у 2 + у 3 ≥ 3,
за видом продукції Г: 2у 1 +8 у 2 + у 3 ≥ 6
за змістом у 1; у 2; у 3 ≥ 0
Знайдемо оптимальний план двоїстої задачі, використовуючи теореми подвійності:
По 2 теоремі-y i * (Σa ij * x j-b i) = 0 і x j (Σa ij * y i-c j) = 0,
у 1 * (2х 1 + х 2 +3 х 3 +2 х 4 -200) = 0 → у 1 (2 * 80 +0 +3 * 0 +2 * 10-200) = 0 180 <200, то у 1 = 0
у 2 * (х 1 +2 х 2 +4 х 3 +8 х 4 -160) = 0 → у 2 (80 +2 * 0 +4 * 0 +8 * 10-160) = 0,
у 3 * (2х 1 +4 х 2 + х 3 + х 4 -170) = 0 → у 3 * (2 * 80 +4 * 0 +0 +10-170) = 0.
У нашій задачі х1 = 80> 0 і х4 = 10> 0, тому перше і четверте обмеження двоїстої задачі звертаються в рівність:
2у1 +8 у 2 + у 3 = 6,
у 1 = 0,
8у 2 + у 3 = 6,
Висловимо через у 2 = 5-2у 3,
8 * (5-2у 3) + у 3 = 6,
40-16У 3 + у 3 = 6
-15у 3 =- 34,
у 3 = 34/15,
у 2 = 5-2 * 34/15 = 7 / 15,
у 1 = 0; у 2 = 7 / 15; у 3 = 34/15
G = 200 * 0 +160 * 7 / 15 +170 * 34/15 = 460
Перевіримо виконуваність перший теореми подвійності:
Fmax = Gmin = 460
У нашій задачі в план випуску не увійшла продукція Б і В, тому що витрати по них перевищують ціну на 3 ден од (10-7 = 3) і 1,133 ден од (4,1333-3 = 1,133) відповідно.
Підставимо в обмеження двоїстої задачі оптимальні значення в:
2 * 0 +7 / 15 +2 * 34/15 = 5 = 5,
0 +2 * 7 / 15 +4 * 34/15 = 10 ≥ 7,
3 * 0 +4 * 7 / 15 +34 / 15 = 4,133 ≥ 3,
2 * 0 +8 * 7 / 15 +34 / 15 = 6 = 6.
Так як запас ресурсів 1, 2 типу сировини змінюватися на 8 і 10 одиниці (збільшитися) і 3 типу зменшуватися на 5 одиниць. З теореми про оцінки відомо, що коливання величини b i призводить до збільшення або зменшення F.
F = Δb i * y i
F = 8 * 0 +10 * 7 / 15 + (-5) * 34/15 =- 6,667, отже, збільшення запасів ресурсів 1 і 2 типу на 8 та 10 од. і зменшення 3 типи на 5 од призведе до зменшення значення цільової функції на -6,667 ден од.
За умовами задачі для виготовлення виробів Д використовується:
Сировина 1 типу а * 1 = 2,
Сировина 2 типу а * 2 = 2,
Сировина 3 типи а * 3 = 2
Очікуваний прибуток від даного вироби Д з *= 10 ден од.
Для оцінки доцільності продукту Д, розрахуємо чистий дохід
е = з *- Σа * i * y i
е = 10 - (2 * 0 +2 * 7 / 15 +2 * 34/15) = 4,533
отже, доцільно включати в план виріб Д, тому що е = 4,533> 0.
3. Промислова група підприємств (холдинг) випускає продукцію трьох видів, при цьому кожна з трьох підприємств групи спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції одного виду: перше підприємство спеціалізується на випуску продукції першого виду, друге підприємство - продукції другого виду, третє підприємство - продукції третього виду. Частина продукції, що випускається споживається підприємствами холдингу (йде на внутрішнє споживання) решта постачається за його межі (зовнішнім споживачами, є кінцевим продуктом). Фахівцями керуючої компанії отримані економічні оцінки a ij (i = 1,2,3; j = 1,2,3) елементів технологічної матриці А (норм витрати, коефіцієнтів прямих матеріальних витрат) та елементів уi вектора кінцевої продукції У.
Потрібно:
1. Перевірити продуктивність технологічної матриці А = (а ij) (матриці коефіцієнтів прямих матеріальних витрат).
2. Побудувати баланс (заповнити таблицю) виробництва та розподілу продукції підприємств холдингу.
| підприємства | коефіцієнти прямих витрат | кінцевий продукт | ||
| 1 | 2 | 3 | ||
| 1 | 0,2 | 0,1 | 0,2 | 150 |
| 2 | 0 | 0,1 | 0,2 | 180 |
| 3 | 0,1 | 0 | 0,1 | 100 |
Знайдемо продуктивність А за допомогою достатньої умови | | A | | max (0,3; 0,2; 0,5) = 0,5 <1
Отже матриця А продуктивна
Підготуємо таблицю матричного балансу
| підприємства | кінцевий | валів. пр | |||
| 1 | 2 | 3 | |||
| 1 | 50,22293 | 23,08917 | 27,80255 | 150 | 251,1146 |
| 2 | 0 | 23,08917 | 27,80255 | 180 | 230,8917 |
| 3 | 25,11146 | 0 | 13,90127 | 100 | 139,0127 |
| ум. ч. пр. | 175,7803 | 184,7134 | 69,50637 | 430 = 430 | |
| вал. вип | 251,1146 | 230,8917 | 139,0127 | 621,0191 = 621,0191 |
| 0 | |||||||||||
| Е = 0 | 1 | 0 | |||||||||
| 0 | 0 | 1 | |||||||||
| 1 | 0 | 0,1 | 0,8 | -0,1 | |||||||
| Е-А = | 0 | 1 | 0 | - | 0 | 0,1 | 0,2 | = | 0 | 0,9 | -0,2 |
| 0 | 0 | 1 | 0,1 | 0 | 0,1 | -0,1 | 0 | 0,9 | |||
Знайдемо обернену матрицю (Е-А) 'використовуючи функцію в Excel (fx / математична / МОБР),
| 0,143312 | |||
| (Е-А) '= | 0,031847 | 1,11465 | 0,254777 |
| 0,143312 | 0,015924 | 1,146497 |
| 1,289809 | 0,143312 | ||||||
| (EA) '* Y = | 0,031847 | 1,11465 | 0,254777 | * | 180 | = | 230,8917 |
| 0,143312 | 0,015924 | 1,146497 | 100 | 139,0127 |
X ij = a ij * x j
aij-технологічна матриця
xj-рядок валового випуску,
| Х11 = 0,2 * 251,1146 = 50,22293 | Х12 = 0,1 * 230,8917 = 23,08917 | Х13 = 0,2 * 139,0127 = 27,80255 |
| Х21 = 0 * 251,1146 = 0 | Х22 = 0,1 * 230,8917 = 23,08917 | Х23 = 0,2 * 139,0127 = 27,80255 |
| Х31 = 0,1 * 251,1146 = 25,11146 | Х32 = 0 * 230,8917 = 0 | Х33 = 0,1 * 139,0127 = 13,90127 |
| Для розрахунку величин умовно чистої продукції використовуємо співвідношення балансу для виробництва: Z = xj-Σxij |
| xij - за стовпцем Z1 = 251.1146-(50.22293 +0 +25.11146) = 175.7803 Z2 = 230.8917-(23.08917 +23.08917 +0) = 184.7134 Z3 = 139.0127-(27.80255 +27.80255 +13.90127) = 69.50637 |
ΣY I = ΣZ J , ΣX i = ΣX j,
Z = 175.7803 +184.7134 +69.50637 = 430 = Y = 150 +180 +100 = 430
Xi = 251.1146 +230.8917 +139.0127 = 621.0191 = Xj = 251.1146 +230.8917 +139.0127 = 621.0191
Заповнюємо таблицю, підготовлену вище, матричного балансу отриманими даними.
4. Протягом дев'яти послідовних тижнів фіксувався попит У (t) (млн. крб.) На кредитні ресурси фінансової компанії. Часовий ряд Y (t) цього показника наведено в таблиці.
| Тижня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Попит на кредитні ресурси | 3 | 7 | 10 | 11 | 15 | 17 | 21 | 25 | 23 |
1. Перевірити наявність аномальних спостережень.
2. Побудувати лінійну модель Y (t) = a 0 + a 1 t параметри якої оцінити МНК (Y (t) - розрахункові, змодельовані значення часового ряду).
3. Оцінити адекватність побудованих моделей, використовуючи властивості незалежності залишкової компоненти, випадковості та відповідності нормальному закону розподілу (при використанні R \ S-критерію взяти табульований кордону 2,7-3,7).
4. Оцінити точність моделей на основі використання середньої відносної помилки апроксимації.
5. По двох побудованим моделям здійснити прогноз попиту на наступні два тижні (довірчий інтервал прогнозу розраховувати при довірчій імовірності р = 70%)
6. Фактичні значення показника, результати моделювання і прогнозування представити графічно.
Рішення:
| Тижня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| Попит на кредитні ресурси | 3 | 7 | 10 | 11 | 15 | 17 | 21 | 25 | 23 |
Перевіримо на анормальность - 9 тиждень, у 9 = 23
Решта спостереження
| Тижня | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Попит на кредитні ресурси | 3 | 7 | 10 | 11 | 15 | 17 | 21 | 25 |
Обчислимо статистику Стьюдента - t наб = | y *- y ср | / S y
у сер = 13,625 (fx / статистичні / СРЗНАЧ)
Sy = 6,836254457 (fx / статистична / СТАНДОТКЛОН)
При L = 5%, K = n-2 = 9-2 = 7,
t кр = 2,36462256 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР)
t наб = | 23-13,625 | / 6,84 = 1,371364986
t наб = 1,37 <t кр = 2,36
Отже, бачимо у 9 не є аномальною і не вимагає заміни.
За допомогою програми РЕГРЕСІЇ (в Excel сервіс / аналіз даних / регресу) розрахуємо і отримаємо:
| Регресійна статистика | |
| Множинний R | 0,983716989 |
| R-квадрат | 0,967699115 |
| Нормований R-квадрат | 0,963084703 |
| Стандартна помилка | 1,444200224 |
| Спостереження | 9 |
| Дисперсійний аналіз | |||||
| df | SS | MS | F | Значимість F | |
| Регресія | 1 | 437,4 | 437,4 | 209,7123 | 1,78531 E-06 |
| Залишок | 7 | 14,6 | 2,085714286 | ||
| Разом | 8 | 452 | |||
| Коефіцієнти | Стандартна помилка | t-статистика | P-Значення | Нижні 95% | Верхні 95% | Нижні 95,0% | Верхні 95,0% | |
| Y-перетин | 1,166667 | 1,049187 | 1,111971949 | 0,302876 | -1,31426491 | 3,648 | -1,3143 | 3,6475982 |
| Змінна X 1 | 2,7 | 0,186445 | 14,48144774 | 1,79 E-06 | 2,259126889 | 3,141 | 2,25913 | 3,1408731 |
| ВИСНОВОК ЗАЛИШКУ | ||
| Спостереження | Передбачене Y | Залишки |
| 1 | 3,866667 | -0,866666667 |
| 2 | 6,566667 | 0,433333333 |
| 3 | 9,266667 | 0,733333333 |
| 4 | 11,96667 | -0,966666667 |
| 5 | 14,66667 | 0,333333333 |
| 6 | 17,36667 | -0,366666667 |
| 7 | 20,06667 | 0,933333333 |
| 8 | 22,76667 | 2,233333333 |
| 9 | 25,46667 | -2,466666667 |
Модель побудована, її рівняння у t = a + b * t, t-момент часу, у t - теоретичне моделювання значення У, а, b-коефіцієнти моделі
a = 1.166666667, b = 2.7, отже у t = 1,166666667 +2,7 t
коефіцієнт регресії b = 2,7, тобто з кожним роком попит на кредитні ресурси фінансової компанії в середньому зростають на 2,7 млн. руб.
Розглянемо стовпець Залишки і побудуємо з допомогою «майстер діаграм» в Excel графік залишків:
1 підрахуємо кількість поворотних точок р для рядів залишків - р = 5
2 критичну кількість визначимо формулою - р кр = [2 * (n-2) / 3-1,96 * √ 16 * n-29/90]
[] - Ціла частина; n-кількість вихідних даних
р кр = [2 * (9-2) / 3-1,96 * √ 16 * 9-29/90] = 2,451106 = 2
3 порівняємо фактичне р з р кр
р = 5> р кр = 2 отже, властивість випадковості виконується.
Для перевірки незалежності рівнів ряду залишків:
1 обчислимо d-статистику (критерій Дарбіна - Уотсона)
2 обчислити перший коефіцієнт автокореляції r (1)
для розрахунків підготуємо -
Σe 2 (t) = 14,6 - використовуємо Excel fx / математична / СУММКВ),
Σ (e (t)-e (t-1)) 2 = 32,32 - Використовуємо Excel fx / математична / СУММКВРАЗН) - 1 масив крім 1-го, 2 масив крім останнього.
d = Σ (e (t)-e (t-1)) 2 / Σe 2 (t) = 32,32 / 14,6 = 2,213699
По таблиці Значення d-критерію Дарбіна - Уотсона визначимо, що d 1 = 1,08 і d 2 = 1,36
Тобто наше d = 2,213699 € (1.08; 1,36), отже потрібна додаткова перевірка, знайдемо d '= 4-d = 4-2,213699 = 1,786301, тобто d' € (1,36; 2 )
0 d 1 d 2 2 4 d
отже, властивість незалежності рівнів ряду залишків виконуються, залишки незалежні.
Для перевірки нормального розподілу залишків обчислимо R / S - статистику
R / S = e max-e min / S e
е max - максимальний рівень ряду залишків,
е min - мінімальний рівень ряду залишків,
S-середньоквадратичне відхилення.
е max = 2,2333333 використовуємо Excel fx / статистична / МАКС),
е min =- 2,466666667 використовуємо Excel fx / статистична / МІН),
Se = 1,444200224 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»
Отже, R / S = 2,2333333 - (-2,466666667) / 1,444200224 = 3,254396
Критичний інтервал (2,7; 3,7), тобто R / S = 3,254396 € (2,7; 3,7), властивість нормального розподілу залишків виконується.
Підводячи підсумки перевірки можна зробити висновок, що модель поводиться адекватно.
Для оцінки точності моделі обчислимо середню відносну похибку апроксимації Е отн = | e (t) / Y (t) | * 100% за отриманими значеннями визначити середнє значення (fx / математична / СРЗНАЧ)
відносить. погр-ти |
| 28,88888889 |
| 6,19047619 |
| 7,333333333 |
| 8,787878788 |
| 2,222222222 |
| 2,156862745 |
| 4,444444444 |
| 8,933333333 |
| 10,72463768 |
Для обчислення точкового прогнозу в побудовану модель підставимо відповідні значення t = 10 і t = 11:
у 10 = 1,166666667 +2,7 * 10 = 28,16666667
у 11 = 1,166666667 +2,7 * 11 = 30,86666667,
Очікуваний попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень повинен скласти близько 28,16666667 млн. руб., А на 11 тиждень близько 30,86666667 млн. руб.
При рівні значущості L = 30%, довірча ймовірність дорівнює 70%, а критерій Стьюдента при к = n-2 = 9-2 = 7, дорівнює
t кр (30%; 7) = 1,119159 (fx / статистична / СТЬЮДРАСПОБР),
S e = 1,444200224 1-а таблиця Підсумків регресії рядок «стандартна помилка»,
t 'ср = 5 (fx / математична / СРЗНАЧ) - Середній рівень з даного моменту часу,
Σ (tt 'ср) = 60 (fx / статистична / КВАДРОТКЛ),
Ширину довірчого інтервалу обчислимо за формулою:
U 1 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159 * 1,444200224 * √ 1 +1 / 9 + (10-5) 2 / 60 = 1,997788
U 2 = t * Se * √ 1 +1 / n + (t *- t ') 2 / Σ (tt' ср) = 1,119159 * 1,444200224 * √ 1 +1 / 9 + (11-5) 2 / 60 = 2,11426
Далі обчислимо верхню і нижню межі прогнозу u ниж = y 10-u 1; u верх = у 10 + u 1; u ниж = y 11-u 1; u верх = у 10 + u 1
u ниж = 28,16666667-1,997788 = 26,16888
u верх = 28,16666667 +1,997788 = 30,16445
u ниж = 30,86666667-2,11426 = 28,75241
u ниж = 30,86666667 +2,11426 = 32,98093
Попит на кредитні ресурси фінансової компанії на 10 тиждень в межах від 26,16888 млн. руб. до 30,16445 млн. руб., а на 11 тиждень від 28,75241 млн. руб. до 32,98093 млн. руб.
Будуємо графік: