Задано таку економічну ситуацію. Завод випускає вироби двох типів А і В. При цьому використовується сировина чотирьох видів. Витрата сировини кожного виду на виготовлення одиниці продукції і запаси сировини задані в таблиці
Вироби Сировина
1234
А2102
В3011
Запаси сировини 214610
Випуск виробу А приносить 3 грошові одиниці, У - 2 грошові одиниці.
Скласти план виробництва, що забезпечує максимальний прибуток
а) складіть матіматіческую модель задачі;
б) поясніть зміст цільової функції і обмеження
Рішення:
а) Математична модель
2x1 +3 x2 <= 21
x1 <= 4
x2 + <= 6
2x1 + x2 <= 10
x1> = 0
x2> = 0
б) Сумарна витрата кожного виду сировини на весь випуск не повинний перевищувати заданого обмеження.
Валова реалізація (сума обсягів реалізації по кожному виду продукції в грошовому вираженні) повинна прагнути при заданих умовах до максиму
в) Вирішувати будемо симплекс методом перетворимо нерівності в рівності, для цього введемо чотири додаткові перемінні
2x1 +3 x2 + x3 = 21
x1 + x4 = 4
x2 + x5 = 6
2x1 + x2 + x6 = 10
f = 3x1 +2 x2 +0 * x3 +0 * x4 +0 * x5 +0 * x6 -> max
перепишемо у вигляді систем 0 рівнянь
0 = 21 - (2x1 +3 x2 + x3)
0 = 4 - (x1 + x4)
0 = 6 - (x2 + х5)
0 = 10 - (2х1 + х2 + х6)
f = 0 - (-3x1-2x2-0 * x3-0 * x4-0 * x5-0 * x6)
Система рівнянь може бути записана у виді векторної рівності
0 = У - (А1х1 + А2х2 + А3х3 + А4х4 + А5х5 + А6х6)
В - вільні члени
А1 ... А6 коефіцієнти при змінних х1 ... х6
Лінійна форма має вигляд: f = c1x1 + c2x2 + c3x3 + c4x4 + c5x5 + c6x6
Вектори А3, А4, А5, А6 складають базис
Складаємо першу симплекс таблицю
Базисний векторКоеф.лін. форми свектор св. член bb/a3 A12 A20 A30 A40 A50 A6
А302110, 5231000
A4044 1 00100
A5060010010
A60105210001
індексний рядок fj-сj0-3-2
Рішення: х1 = 0, х2 = 0, х3 = 21, х4 = 4, х5 = 6, х6 = 10
f = 0
Тому що в індексному рядку є негативні елементи-рішення не є оптимальним.
A1 вводимо в базис замість вектора А4
Базисний векторКоеф.лін. форми свектор св. член bb/a3 A12 A20 A30 A40 A50 A6
A30134 1 / 3 0 3 1 -2 0 0
A1340 1 0 0 1 0 0
А5066 0 1 0 0 1 0
A6022 0 1 0 -2 0 1
індексний рядок fj-сj0 -2 0 3 0 0
Рішення: х1 = 4, х2 = 0, х3 = 13, х4 = 0, х5 = 6, х6 = 2
f = 12
Тому що в індексному рядку є негативні елементи-рішення не є оптимальним.
A2 вводимо в базис замість вектора А6
Базисний векторКоеф.лін. форми свектор св. член bb/a8 A17 A26 A30 A40 A50 A6
A3071 3 / 4 0 0 1 4 0 -3
A1344 1 0 0 1 0 0
А5042 0 0 0 2 1 -1
A222-1 0 1 0 -2 0 1
індексний рядок fj-сj0 0 0 -1 0 2
Рішення: x1 = 4, x2 = 2; x3 = 7; x4 = 0; x5 = 4; x6 = 0
f = 12
Тому що в індексному рядку є негативні елементи-рішення не є оптимальним.
A4 вводимо в базис замість вектора А3
Базисний векторКоеф.лін. форми свектор св. член bb/a8 A17 A26 A30 A40 A50 A6
A401 3 / 40 0 1 / 41 0 - 3 / 4
A132 1 / 41 0 - 1 / 40 0 3 / 4
А50 1 / 20 0 - 1 / 20 1 1 / 4
A225 1 / 20 1 1 / 20 0 -1 1 / 2
індексний рядок fj-сj0 0 1 / 40 0 1 1 / 4
Рішення: x1 = 2,25, x2 = 5,5; x3 = 0; x4 = 1 3 / 4; x5 = 1 / 2; x6 = 0
f = 17,75
У індексному рядку немає негативних елементів, отже подальше збільшення значення лінійної форми неможливо ми одержали оптимальну програму
Максимальний прибуток досягається при виготовленні першого виду продукції 2,25 у.о., а другого 5,5 у.о.
Тому що нам не була задана умова цілочисельності, такі значення припустимі, наприклад, у якості умовних одиниць - тисячі тонн.
ЗАВДАННЯ 2Наити максимум функції F при заданих обмеженнях
F = x1 +2 x2 -> max
3x1 + x2> = 3 (1)
3x1-x2 <= 0 (2)
x1-x2> = 3 (3)
x1> = 0 (4)
x2> = 0 (5)
Вирішити графічним методом
Рішення
1.Из умови знакододатнього - першої допустимої областю рішення є перша чверть декартової системи координат
2. Побудуємо області допустимих значень, для цього побудуємо лінії для кожного з рівнянь
3x1 + x2 = 3
3x1-x2 = 0
x1-x2 = 3
і лінію для функції f
x1 +2 x2 = 0
3. Наїду область допустимих значень
4. Як видно на графіку області допустимих значень для обмеження (1), (2) і (3) не перетинаються, значить система не має допустимих рішень. Обмеження суперечливі.
5.Для того щоб система була вирішувана, вона повинна бути наприклад
такойF = x1 +2 x2 -> max
3x1 + x2 <= 3
3x1-x2 <= 0
x1-x2 <= 3
x1> = 0
x2> = 0
Тоді область допустимих рішень - трикутник АВС
І функція F досягає максимуму в точці С (0; 3) і F = 6
ЗАДАЧА 3Є такі дані про врожайність зернових культур Y (в ц / га) кількості опадів Х1 (у см) випали в вегетаційний період
i12345678910
Yi23242727323133353432
Xi25273035363839414245
Потрібно:
а) Визначити параметри рівняння регресії;
б) визначити коефіцієнт парної кореляції і перевірити його статичну надійність
1. Кількісні оцінки зв'язку між величинами випадкового процесу встановлює регресійний аналіз. Зв'язки між перемінними можуть лінійні і нелінійні. У найпростішому випадку значення Y виражаються у вигляді лінійної залежності:
Y = a + bX,
де a і b - коефіцієнти регресії.
Найбільш часто для розрахунків коефіцієнтів застосовують метод найменших квадратів.
2. За методом найменших квадратів зробимо розрахунок коефіцієнтів рівняння регресії з системи рівнянні
sum (Yi) = n * A + B sum (Xi)
sum (XiYi) = A * sum (Xi) + B * sum (Xi2))
маємо
А = sum (Yi) * sum (Xi2) - sum (XiYi) * sum (Xi)
n * sum (Xi2) - (sum (Xi) 2)
B = n * sum (XiYi) - sum (Xi) * sum (Yi)
n * sum (Xi2) - (sum (Xi)) 2
A = S2 * S3-S4 * S1 B = n * S4-S1 * S2,
n * S3-S1 * S1 n * S3-S1 * S1
де S1 = SUM (Xi) S2 = SUM (Yi) S3 = SUM (Xi2)
S4 = SUM (XiYi)
n - загальне число вимірів, в нашому випадку це 10
2.В результаті розрахунку отримано рівняння регресії:
Y = 8,917 +0,583 * Х
3.Подставів значення X в рівняння знайдемо Y розрахункове.
4.По значенням експериментальним та теоретичним будуємо графіки.
5. Зв'язок між двома випадковими величинами, яка визначається з певною ймовірністю, називається кореляційною. Для кількісної оцінки лінійної кореляції використовується коефіцієнт парної кореляції
r = 10 * S4-S1 * S2
(10 * S3-S12) * (10 * S5-S22)
S5 = SUM (Yi2)
r = 0,9104
По таблиці Чеддока знайдемо тісноту зв'язку між двома явищами, зв'язок дуже тісний "
6.Качество рівнянь регресії оцінюють за його прогнозуючої здатності. Рівняння добре прогнозують (тобто адекватно описують) експериментальні дані, якщо розбіжності між експериментальними і розрахунковими даними знаходяться в допустимих межах.
Для перевірки адекватності рівняння знайдемо середню відносну помилку прогнозування E:
E = 100 * SUM | Yеi - Ypi |
10 Yеi
де Yеi-експериментальне, Ypi - розрахункове значення
Е = 4,434%
Це порівняно велике значення помилки прогнозування при отриманому вище значенні r.
Уважно подивимося на значення відхилень між фактичними і розрахунковими значеннями Y. Майже безперервне зростання уражайності після 8 року змінюється спадом. 1910 дає найбільший приріст помилки прогнозування.
По всій видимості, для опису залежності, краще підійшло б не рівняння прямої, а рівняння параболли, так як після достіженіяопределенного рівня опадів врожайність починає падати (багато води-це теж погано для врожаю) див. останні значення Х і Y
В 4 рік також порівняно велика розбіжність, це може битьвизванно тим, що врожайність зернових залежить не тільки від кількості опадів, а й від багатьох інших факторів, наприклад від кількості теплих днів. Просто було холодно.
i | X | Y | X2 | XY | Yрасч | Y2 | (Y-Yрасч) Y |
1 | 25 | 23 | 625 | 575 | 23,5 | 529 | 0,0217 |
2 | 27 | 24 | 729 | 648 | 24,67 | 576 | 0,0279 |
3 | 30 | 27 | 900 | 810 | 26,42 | 729 | 0,0215 |
4 | 35 | 27 | 1225 | 945 | 29,33 | 729 | 0,0863 |
5 | 36 | 32 | 1296 | 1152 | 29,92 | 1024 | 0,0650 |
6 | 38 | 31 | 1444 | 1178 | 31,08 | 961 | 0,0026 |
7 | 39 | 33 | 1521 | 1287 | 31,67 | 1089 | 0,0403 |
8 | 41 | 35 | 1681 | 1435 | 32,83 | 1225 | 0,0620 |
9 | 42 | 34 | 1764 | 1428 | 33,42 | 1156 | 0,0171 |
10 | 45 | 32 | 2025 | 1440 | 35,17 | 1024 | 0,0991 |
е | 358 | 298 | 13210 | 10898 | 298 | 9042 | 0,4434 |
середнє | 35,8 | 29,8 |
Коефіцієнти регресії:
B = 0,583
A = 8,917
Рівняння регресії: Y = 8,917 +0,583 * Х
Коефіцієнт парної кореляції:
R = 0,91
Середня відносна помилка прогнозування:
E = 4,43439
ЗАДАЧА № 4Побудувати мережеву модель ремонту Вашої квартири
а) визначити критичний шлях
б) розрахувати пізні терміни закінчення і початку подій
в) розрахувати ранні терміни закінчення і початку подій
г) розрахувати резерви подій
Рішення:
Робимо ремонт двокімнатної квартири поліпшеного планування: житлова кімната, дитяча, кухня, ванна, туалет та коридор.2. Необхідно зробити:
змінити шпалери у всіх приміщеннях; пофарбувати вікна; в залі і коридорі зробити підвісні стелі з розсіяний світлом у оттальних приміщеннях стеля покривається фарбою КЧ пофарбувати вхідні двері; постелити по всій квартирі ліноліум3. Будуємо таблицю ремонту і мережевий графік
4. "Четирехсекторним" методом розраховуємо параметри мережного графіка й визначаємо "критичний шлях".
5. Розраховуємо параметри мережного графіка й резерви часу