Завдання:
1. За одним із заданих у додатку тимчасових рядів обчислити члени рядів ковзних середніх з періодом 3.
Рішення:
Одним з найважливіших завдань економічного аналізу є вивчення взаємозв'язку між різними економічними явищами. Серед багатьох способів вивчення взаємозв'язку, які розглядаються економетрії, є метод згладжування ряду динаміки з використанням ковзної середньої. Суть його полягає в розрахунку нових значень ряду динаміки, обчислених як середні величини з його вихідних значень. Метою даного методу є визначення виду функціональної залежності між ознакою і чинником, використання отриманих розрахунків для визначення прогнозного результату. У таблиці 1 наведено розрахунок ковзних середніх з періодом 3.
Таблиця 1 - Розрахунок ковзних середніх з різними інтервалами згладжування
Для визначення того, яка з ковзних середніх найбільш точно відображає тенденцію, знайдемо варіацію ряду з урахуванням отриманих середніх. Мінімум середньоквадратичного відхилення усереднених даних і фактичних рівнів дозволяє це зробити по приводиться нижче формулами:
З розрахунків видно, що мінімальне відхилення фактичних даних від середньої забезпечується при використанні 2-х денний ковзної середньої. Це можна побачити і при порівнянні фактичних і середніх значень ряду динаміки в таблиці 1.
Завдання:
Згладити тенденцію ряду (тренд) по одній з аналітичних кривих (пряма, статечна, експонента, гіпербола, логарифмічна) за методом найменших квадратів.
Рішення:
Тим чинником і ознакою, які знаходяться в стохастичної залежності існує залежність, яка називається регресійної залежністю. Розрахунок параметрів рівняння регресії полягає в пошуку параметрів математичного рівняння, найбільш точно описує емпіричні значення.
Залежність результативного показника від визначальних його факторів можна виразити рівнянням парної регресії. При прямолінійній формі вона має такий вигляд: Y х = а + bх
Якщо зв'язок між результативним і факторингу показником носить криволінійний характер, то може бути використана статечна, логарифмічна, параболічна, гіперболічна і інші функції.
Найбільш поширеною формою криволінійної залежності є парабола другого порядку, що описується рівнянням: Y х = а + bх + сх 2
Метод найменших квадратів зводиться до того, щоб визначити параметри рівняння регресії, шляхом розв'язання системи рівнянь:
Для визначення значень, необхідних для розрахунку параметрів рівняння регресії за методом МНК розрахуємо вихідні значення в таблиці 2. Отримані розрахункові параметри підставляємо в систему рівнянь, вирішуємо її і отримуємо значення а, b, с для рівняння регресії.
Таким чином, отримане рівняння регресії має вигляд: y = 7.9367x2 - 98.544x + 6333.5
Таким чином, використовуючи той чи інший тип математичного рівняння, можна визначити ступінь залежності між досліджуваними явищами, дізнатися, на скільки одиниць в абсолютному зміні змінюється величина результативного показника із зміною факторного на одиницю.
Коефіцієнт а в рівнянні регресії - постійна величина результативного показника, яка не пов'язана зі зміною даного чинника. В отриманому рівнянні регресії вона дорівнює 6333,5 тис. грн. Параметри b і c показують середня зміна результативного показника з підвищенням або пониженням величини факторного показника на одиницю.
Таблиця 2 - Розрахункові значення для визначення параметрів рівняння регресії
Завдання 3: Розрахуємо теоретичні значення рівняння регресії та відобразимо на графіку емпіричну, теоретичну і згладжену за методом середніх лінії трендів.
Рішення:
\ S
Малюнок 1 - Емпірична, теоретична і згладжена за методом середніх (період 3) лінії регресій
Завдання 4:
Обчислити кореляційний момент і коефіцієнт кореляції і оцінити тісноту зв'язку елементів ряду.
Рішення:
Регресійний аналіз не дає відповіді на питання: тісний зв'язок чи ні, вирішальне чи другорядне вплив робить даний фактор на величину результативного показника. Для вимірювання тісноти зв'язку між факторною та результативною показниками обчислюється коефіцієнт кореляції по наведеній нижче формулі:
У чисельнику даній формулі знаходиться кореляційний момент (коваріація або змішана дисперсія). Для лінійної залежності критерієм тісноти зв'язку є коефіцієнт кореляції, для криволінійної залежності доцільно використовувати кореляційний момент.
Середнє значення показника Y визначаємо, як
Коефіцієнт кореляції може приймати значення від -1 до 1. Чим ближче його величина до 1, тим більш тісний зв'язок між досліджуваними явищами, і навпаки. Вважається, що якщо коефіцієнт кореляції знаходиться в діапазоні від 0 до 0,3 - то зв'язок слабка, від 0,3 до 0,6 - зв'язок середня, від 0,6 до 1 - зв'язок сильна. За результатами підрахунків отримуємо, що між ознакою і фактором зв'язок середня по силі, близька до слабкої.
Коефіцієнт детермінації, отриманий за даними формулами, становить 0,2384. Він показує, що показник Y на 23,84% залежить від періоду часу, а на частку інших факторів припадати 76,16% зміни рівня Y.
Завдання 5:
Оцінити якість апроксимації ряду динаміки за даними.
Рішення:
Щоб переконатися в надійності показників зв'язку та правомірності їх використання для практичної мети, необхідно дати їм статистичну оцінку. Для цього використовуються, критерій Стьюдента (t), критерій Фішера (F-відношення), середня помилка апроксимації (ε).
Надійність коефіцієнта кореляції, яка залежить від обсягу досліджуваної вибірки даних, перевіряється за критерієм Стьюдента:
де
Якщо розрахункове значення t вище табличного, то можна зробити висновок про те, що величина коефіцієнта кореляції є значущою. Табличні значення t знаходять за таблицею значень критеріїв Стьюдента. При цьому враховується кількість ступенів свободи (V = 14) і рівень довірчої ймовірності (приймаємо 0,05). Табличне значення - 2,145 при числі ступенів свободи 14 і рівні значущості 0,05. Отримуємо, що t табл. <T розр., Величина коефіцієнта кореляції є значущою.
Надійність рівняння зв'язку (регресійної залежності) оцінюється за допомогою критерію Фішера (F-критерію), розрахункова величина якого порівнюється з табличним значенням. Якщо F розр.> F табл., То гіпотеза про відсутність зв'язку між досліджуваними показниками відкидається.
Критерій Фішера розраховується за формулою:
Таким чином, отримане значення 4,0696 більше табличного 3,57. Значимість гіпотези Н 0 про відсутність зв'язку між досліджуваними показниками відкидається і рівняння регресії вважається значимим.
Для оцінки точності рівняння регресії розраховується середня помилка апроксимації. Чим менше теоретична лінія регресії (розрахована за рівнянням) відхиляється від фактичної, тим менше її величина. А це свідчить про правильність підбору форми рівняння зв'язку.
Список літератури:
1. Єлейко В. Основи економетрії: в 2х частинах. - Львів: ТОВ «МАРКА Лтд», 1995. - 192с.
2. Замків О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи в економіці: Підручник. - М.: МГУ ім. М.В. Ломоносова, Вид-во «ДІС», 1997 .- 368с.
3. Савицька Г.В. Економічний аналіз: Підручник / Г. В. Савицька. - 9е вид., Испр. -М.: Нове знання, 2004 .- 640с.
1. За одним із заданих у додатку тимчасових рядів обчислити члени рядів ковзних середніх з періодом 3.
Рішення:
Одним з найважливіших завдань економічного аналізу є вивчення взаємозв'язку між різними економічними явищами. Серед багатьох способів вивчення взаємозв'язку, які розглядаються економетрії, є метод згладжування ряду динаміки з використанням ковзної середньої. Суть його полягає в розрахунку нових значень ряду динаміки, обчислених як середні величини з його вихідних значень. Метою даного методу є визначення виду функціональної залежності між ознакою і чинником, використання отриманих розрахунків для визначення прогнозного результату. У таблиці 1 наведено розрахунок ковзних середніх з періодом 3.
Таблиця 1 - Розрахунок ковзних середніх з різними інтервалами згладжування
| № п / п | Місяць | Значення показника (маса прибутку), тис. грн. | Змінна середня з періодом 3 |
| 1 | Січень | 6377 | |
| 2 | ферваль | 6505 | 6135.33 |
| 3 | Березень | 5524 | 6060.33 |
| 4 | Квітень | 6152 | 6062.67 |
| 5 | Травень | 6512 | 6015.33 |
| 6 | Червень | 5382 | 5840.67 |
| 7 | Липень | 5628 | 5716.33 |
| 8 | Серпень | 6139 | 6010.67 |
| 9 | Вересень | 6265 | 6262.67 |
| 10 | Жовтень | 6384 | 6349.00 |
| 11 | Листопад | 6398 | 6442.33 |
| 12 | Грудень | 6545 | 6450.00 |
| 13 | Січень | 6407 | 6404.00 |
| 14 | Лютий | 6260 | 6402.67 |
| 15 | Березень | 6541 | |
| Разом | 93019 | 80152.00 |
Для визначення того, яка з ковзних середніх найбільш точно відображає тенденцію, знайдемо варіацію ряду з урахуванням отриманих середніх. Мінімум середньоквадратичного відхилення усереднених даних і фактичних рівнів дозволяє це зробити по приводиться нижче формулами:
З розрахунків видно, що мінімальне відхилення фактичних даних від середньої забезпечується при використанні 2-х денний ковзної середньої. Це можна побачити і при порівнянні фактичних і середніх значень ряду динаміки в таблиці 1.
Завдання:
Згладити тенденцію ряду (тренд) по одній з аналітичних кривих (пряма, статечна, експонента, гіпербола, логарифмічна) за методом найменших квадратів.
Рішення:
Тим чинником і ознакою, які знаходяться в стохастичної залежності існує залежність, яка називається регресійної залежністю. Розрахунок параметрів рівняння регресії полягає в пошуку параметрів математичного рівняння, найбільш точно описує емпіричні значення.
Залежність результативного показника від визначальних його факторів можна виразити рівнянням парної регресії. При прямолінійній формі вона має такий вигляд: Y х = а + bх
Якщо зв'язок між результативним і факторингу показником носить криволінійний характер, то може бути використана статечна, логарифмічна, параболічна, гіперболічна і інші функції.
Найбільш поширеною формою криволінійної залежності є парабола другого порядку, що описується рівнянням: Y х = а + bх + сх 2
Метод найменших квадратів зводиться до того, щоб визначити параметри рівняння регресії, шляхом розв'язання системи рівнянь:
Для визначення значень, необхідних для розрахунку параметрів рівняння регресії за методом МНК розрахуємо вихідні значення в таблиці 2. Отримані розрахункові параметри підставляємо в систему рівнянь, вирішуємо її і отримуємо значення а, b, с для рівняння регресії.
Таким чином, отримане рівняння регресії має вигляд: y = 7.9367x2 - 98.544x + 6333.5
Таким чином, використовуючи той чи інший тип математичного рівняння, можна визначити ступінь залежності між досліджуваними явищами, дізнатися, на скільки одиниць в абсолютному зміні змінюється величина результативного показника із зміною факторного на одиницю.
Коефіцієнт а в рівнянні регресії - постійна величина результативного показника, яка не пов'язана зі зміною даного чинника. В отриманому рівнянні регресії вона дорівнює 6333,5 тис. грн. Параметри b і c показують середня зміна результативного показника з підвищенням або пониженням величини факторного показника на одиницю.
Таблиця 2 - Розрахункові значення для визначення параметрів рівняння регресії
| X i | Y i | X i 2 | X i 3 | X i 4 | X i * Y i | X i 2 * Y i |
| 1 | 6377 | 1 | 1 | 1 | 6377 | 6377 |
| 2 | 6505 | 4 | 8 | 16 | 13010 | 26020 |
| 3 | 5524 | 9 | 27 | 81 | 16572 | 49716 |
| 4 | 6152 | 16 | 64 | 256 | 24608 | 98432 |
| 5 | 6512 | 25 | 125 | 625 | 32560 | 162800 |
| 6 | 5382 | 36 | 216 | 1296 | 32292 | 193752 |
| 7 | 5628 | 49 | 343 | 2401 | 39396 | 275772 |
| 8 | 6139 | 64 | 512 | 4096 | 49112 | 392896 |
| 9 | 6265 | 81 | 729 | 6561 | 56385 | 507465 |
| 10 | 6384 | 100 | 1000 | 10000 | 63840 | 638400 |
| 11 | 6398 | 121 | 1331 | 14641 | 70378 | 774158 |
| 12 | 6545 | 144 | 1728 | 20736 | 78540 | 942480 |
| 13 | 6407 | 169 | 2197 | 28561 | 83291 | 1082783 |
| 14 | 6260 | 196 | 2744 | 38416 | 87640 | 1226960 |
| 15 | 6541 | 225 | 3375 | 50625 | 98115 | 1471725 |
| 120 | 93019 | 1240 | 14400 | 178312 | 752116 | 7849736 |
Рішення:
Емпірична лінія регресії |
Теоретична лінія регресії |
Лінія тренда, згладжена за методом середніх |
Малюнок 1 - Емпірична, теоретична і згладжена за методом середніх (період 3) лінії регресій
Завдання 4:
Обчислити кореляційний момент і коефіцієнт кореляції і оцінити тісноту зв'язку елементів ряду.
Рішення:
Регресійний аналіз не дає відповіді на питання: тісний зв'язок чи ні, вирішальне чи другорядне вплив робить даний фактор на величину результативного показника. Для вимірювання тісноти зв'язку між факторною та результативною показниками обчислюється коефіцієнт кореляції по наведеній нижче формулі:
У чисельнику даній формулі знаходиться кореляційний момент (коваріація або змішана дисперсія). Для лінійної залежності критерієм тісноти зв'язку є коефіцієнт кореляції, для криволінійної залежності доцільно використовувати кореляційний момент.
Середнє значення показника Y визначаємо, як
Коефіцієнт кореляції може приймати значення від -1 до 1. Чим ближче його величина до 1, тим більш тісний зв'язок між досліджуваними явищами, і навпаки. Вважається, що якщо коефіцієнт кореляції знаходиться в діапазоні від 0 до 0,3 - то зв'язок слабка, від 0,3 до 0,6 - зв'язок середня, від 0,6 до 1 - зв'язок сильна. За результатами підрахунків отримуємо, що між ознакою і фактором зв'язок середня по силі, близька до слабкої.
Коефіцієнт детермінації, отриманий за даними формулами, становить 0,2384. Він показує, що показник Y на 23,84% залежить від періоду часу, а на частку інших факторів припадати 76,16% зміни рівня Y.
Завдання 5:
Оцінити якість апроксимації ряду динаміки за даними.
Рішення:
Щоб переконатися в надійності показників зв'язку та правомірності їх використання для практичної мети, необхідно дати їм статистичну оцінку. Для цього використовуються, критерій Стьюдента (t), критерій Фішера (F-відношення), середня помилка апроксимації (ε).
Надійність коефіцієнта кореляції, яка залежить від обсягу досліджуваної вибірки даних, перевіряється за критерієм Стьюдента:
де
Якщо розрахункове значення t вище табличного, то можна зробити висновок про те, що величина коефіцієнта кореляції є значущою. Табличні значення t знаходять за таблицею значень критеріїв Стьюдента. При цьому враховується кількість ступенів свободи (V = 14) і рівень довірчої ймовірності (приймаємо 0,05). Табличне значення - 2,145 при числі ступенів свободи 14 і рівні значущості 0,05. Отримуємо, що t табл. <T розр., Величина коефіцієнта кореляції є значущою.
Надійність рівняння зв'язку (регресійної залежності) оцінюється за допомогою критерію Фішера (F-критерію), розрахункова величина якого порівнюється з табличним значенням. Якщо F розр.> F табл., То гіпотеза про відсутність зв'язку між досліджуваними показниками відкидається.
Критерій Фішера розраховується за формулою:
Таким чином, отримане значення 4,0696 більше табличного 3,57. Значимість гіпотези Н 0 про відсутність зв'язку між досліджуваними показниками відкидається і рівняння регресії вважається значимим.
Для оцінки точності рівняння регресії розраховується середня помилка апроксимації. Чим менше теоретична лінія регресії (розрахована за рівнянням) відхиляється від фактичної, тим менше її величина. А це свідчить про правильність підбору форми рівняння зв'язку.
Список літератури:
1. Єлейко В. Основи економетрії: в 2х частинах. - Львів: ТОВ «МАРКА Лтд», 1995. - 192с.
2. Замків О.О., Толстопятенко А.В., Черемних Ю.Н. Математичні методи в економіці: Підручник. - М.: МГУ ім. М.В. Ломоносова, Вид-во «ДІС», 1997 .- 368с.
3. Савицька Г.В. Економічний аналіз: Підручник / Г. В. Савицька. - 9е вид., Испр. -М.: Нове знання, 2004 .- 640с.