Питання 1. Назвіть деякі основні проблеми економетричного моделювання
Розглянемо деякі основні проблеми економетричного моделювання:
Один з можливих способів обліку структурних зрушень полягає у використанні різного роду сконструйованих змінних, таких як, фіктивні змінні та тренди. Включення в економетричну модель трендів дозволяє враховувати зміни в усіх коефіцієнти регресійного рівняння: вільному члені і коефіцієнти при «економічних» змінних. Фіктивні змінні (що приймають тільки два значення - 0 і 1) дозволяють врахувати різкі структурні скачки.
Крім того, використання фіктивних змінних і гармонійних трендів (синусів і косинусів) дозволяє врахувати в моделі сезонні коливання. Якщо припустити, що сезонність має детермінований характер, то її можна змоделювати, додавши в рівняння регресії компоненту такого вигляду:
1 M 1 + ... + 12 M 12.
Тут M 1, ..., M 12 - сезонні місячні змінні.
Все ж таки ці методи не дозволяють адекватно врахувати зміни, якщо невідомий їх характер або момент зміни (у разі стрибка). Особливо великі проблеми створюють структурні зрушення для прогнозування. Якщо різка зміна в параметрах економічного процесу сталося протягом досліджуваного періоду, то це зміна можна помітити і врахувати в моделі. Якщо ж несподіване зміна відбудеться після досліджуваного періоду, то зроблені прогнози виявляться неправильними.
Як правило, функціональна форма моделі заздалегідь невідома. У цьому випадку хорошим виходом з положення було б використання непараметричних методів оцінювання. Проте для застосування таких методів необхідний досить значний набір даних. Тому на практиці, як правило, припускають, що залежність між двома змінними лінійна. Часто лінійна залежність дає хорошу апроксимацію гладкою залежності в деякій невеликій околиці, але взагалі кажучи, немає ніякої гарантії, що «справжня» залежність не виявиться сильно нелінійної саме в тому інтервалі, до якого відносяться дані.
При застосуванні статистичних методів слід пам'ятати, що постуліруемое властивості як правило носять асимптотичний характер, тобто виявляються в межі, при прагненні кількості спостережень до нескінченності. Зокрема, якщо в лінійної регресії як регресорів використовуються лаги залежною змінною, то, навіть якщо виконані стандартні припущення регресійного аналізу, отримані оцінки будуть заможними, але зміщеними.
З іншого боку, коефіцієнт детермінації, як правило, буває низьким у регресії одного процесу типу «білий шум» по іншому такому ж процесу.
Двома основними причинами наявності «тренду» у тимчасових лавах є
· Детермінована складова (тоді говорять про детермінованому тренді),
· Нестаціонарність (тоді говорять про стохастичному тренді).
Наявність детермінованого тренда може призводити до появи помилкової регресії. Нехай, наприклад Y t і X t породжуються процесами
Y t = a + b t + t, X t = c + d t + t,
де t, t - незалежні, однаково розподілені помилки. Регресія Y t по константі і X t може мати високий коефіцієнт детермінації і цей ефект тільки посилюється із зростанням розміру вибірки. На щастя, з «детермінованим» варіантом помилкової регресії досить легко боротися. У даному випадку досить додати в рівняння тренд в якості регресорів, і ефект помилкової регресії зникає.
Якщо існує стаціонарна лінійна комбінація нестаціонарних випадкових процесів, то ці процеси називають коінтегрірованнимі. Коінтегрірованность гарантує (принаймні, асимптотично, тобто для великих вибірок), що не виникне помилкова регресія. Теорія коінтеграціі - швидко розвивається розділ сучасної економетрики.
Для оцінювання моделей з нестаціонарними, але коінтегрірованнимі змінними, взагалі кажучи, слід використовувати спеціальні методи. На жаль, методи оцінювання коінтеграціонних регресій складні з точки зору реалізації, і способи перевірки їх специфікації погано розроблені. Тому, незважаючи на зазначені недоліки, звичайний метод найменших квадратів залишається найбільш потужним інструментом економетрики.
Питання 2. Як називається метод, який найбільш часто використовується при оцінці параметрів лінійної моделі в економетрики?
Метод, який найбільш часто використовується при оцінці параметрів лінійної моделі в економетрики називається методом найменших квадратів.
Питання 3. Як називаються показники, які характеризують ступінь розкиду випадкової величини навколо її середнього значення?
Показники, які характеризують ступінь розкиду випадкової величини навколо її середнього значення називаються вибіркової дисперсією і вибіркової ковариаций.
Питання 4. Який фізичний зміст несе коефіцієнт детермінації в економетричної лінійної моделі зв'язку двох змінних, таких як витрати і доходи, ціна і попит, число зайнятих і рівень безробіття і т.д
Коефіцієнт детермінації змінюється в межах від 0 до 1. Чим вище коефіцієнт детермінації в економетричної лінійної моделі зв'язку двох змінних, тим більше лінійна зв'язок (залежність) між змінними. Тобто якщо розглядати економетричні лінійні моделі зв'язку двох змінних, таких як витрати і доходи, ціна і попит, число зайнятих і рівень безробіття і т.д., то наближення коефіцієнта детермінації до 1 говорить про найбільшу залежності доходів від витрат, попиту від ціни, рівень безробіття від числа зайнятих і т.д. І навпаки, чим нижче коефіцієнт детермінації, тим менше зв'язок між зазначеними змінними.
Питання 5. Що означає і як розраховується функція еластичності η (Х) у лінійної економетричної моделі Y = ά + β X?
Функція еластичності розраховується наступним чином:
- Знайти процентне зміна У;
- Знайти процентне зміна Х;
- Знайти відношення процентної зміни У до процентної зміни Х;
- Знайти межу відносини процентної зміни У до процентної зміни Х, коли останнє прагне до нуля.
Значення функції еластичності одно кутовому коефіцієнту дотичної до графіка залежності lnY від lnX.
Питання 6. Що ми маємо на увазі під властивостями лінійної моделі Y i = λ + β i + ε i, i = 1, ..., n., Якщо вважаємо, що помилки ε 1, ..., ε n?
- Існує (теоретична, об'єктивна або у вигляді тенденції) лінійна залежність значень змінної у від значень змінної х з цілком певними, хоча зазвичай і не відомими досліднику, значеннями параметрів λ і β;
- Ця лінійна зв'язок для реальних статистичних даних не є суворою: спостережувані значення Y i змінної У відхиляються від значень
- При заданих (відомих) значеннях х i конкретні значення відхилень ε i = у i -
- Для кожного z, -
- Імовірність того, що спостережуване значення відхилення ε i в i-му спостереженні не перевершить z, не залежить від того, які саме значення беруть відхилення в решті n-1 спостереженнях.
Питання 7. У яких межах буде укладена випадкова помилка з імовірністю 0,95, якщо вона має Гаусове розподіл з параметром σ?
Якщо випадкова помилка має гауссовское розподіл з параметром σ, то з імовірністю 0,95 її значення буде укладено в межах від -1,96 σ до +1,96 σ.
Питання 8. При яких значеннях статистики Фішера нульова гіпотеза відкидається, і яка вірогідність того, що ми відкинемо вірну гіпотезу?
Нульова гіпотеза відкидається, якщо виконується нерівність
При цьому ймовірність помилкового відкидання гіпотези H o дорівнює
Питання 9. Яка з трьох нульових гіпотез H o: θ 2 =- 1, H A: θ 2> -1, H o: θ 2 ≠ -1 є простий, а яка складною?
H o є складною гіпотезою, якщо гіпотеза допускає більше одного значення параметра, тобто H o: θ 2 =- 1 є простий, а H A: θ 2> -1 і H o: θ 2 ≠ -1 - складні гіпотези.
Питання 10. Що таке гетероскедастичності та автокоррелірованность помилок?
Гетероскедастичності помилок - це неоднорідність дисперсій помилок. Цей вид порушень стандартних припущень характерний для статистичних даних, що відносяться до одного моменту часу, але зібраних по різних регіонах, різним підприємствам, різним соціальним групам. Автокоррелірованность помилок - це вид порушень стандартних припущень, характерний для статистичних даних, розгорнутих у часі.
Розглянемо деякі основні проблеми економетричного моделювання:
1. Сталість механізмів
Одна з умов, на яке спирається економетричне моделювання, полягає в тому, що функціональне співвідношення не змінюється протягом аналізованого періоду. Однак ця умова часто нереалістично, особливо у випадку, коли доводиться мати справу з перехідною економікою. Це звичайна проблема, з якою економіст стикається при дослідженні економічних процесів з мінливою структурою. Як би там не було, доводиться робити припущення про незмінність форми моделі, інакше моделювання не було б можливо.Один з можливих способів обліку структурних зрушень полягає у використанні різного роду сконструйованих змінних, таких як, фіктивні змінні та тренди. Включення в економетричну модель трендів дозволяє враховувати зміни в усіх коефіцієнти регресійного рівняння: вільному члені і коефіцієнти при «економічних» змінних. Фіктивні змінні (що приймають тільки два значення - 0 і 1) дозволяють врахувати різкі структурні скачки.
Крім того, використання фіктивних змінних і гармонійних трендів (синусів і косинусів) дозволяє врахувати в моделі сезонні коливання. Якщо припустити, що сезонність має детермінований характер, то її можна змоделювати, додавши в рівняння регресії компоненту такого вигляду:
1 M 1 + ... + 12 M 12.
Тут M 1, ..., M 12 - сезонні місячні змінні.
Все ж таки ці методи не дозволяють адекватно врахувати зміни, якщо невідомий їх характер або момент зміни (у разі стрибка). Особливо великі проблеми створюють структурні зрушення для прогнозування. Якщо різка зміна в параметрах економічного процесу сталося протягом досліджуваного періоду, то це зміна можна помітити і врахувати в моделі. Якщо ж несподіване зміна відбудеться після досліджуваного періоду, то зроблені прогнози виявляться неправильними.
2. Недостатній набір даних
Наявних даних може бути недостатньо для того, щоб визначити функціональний зв'язок між змінними, або вони недостатньо варіюються, щоб можна було відрізнити вплив одного фактора від впливу іншої. Остання проблема отримала в економетричного моделювання назву «мультиколінеарності». На відміну від експериментальних наук, в окремого дослідника, що вивчає економічні процеси, як правило, немає можливості скільки-небудь помітно на них вплинути. Зазвичай за нього це робить уряд. Щоб заповнити брак даних, досліднику доводиться робити деякі апріорні допущення, часто недостатньо обгрунтовані.Як правило, функціональна форма моделі заздалегідь невідома. У цьому випадку хорошим виходом з положення було б використання непараметричних методів оцінювання. Проте для застосування таких методів необхідний досить значний набір даних. Тому на практиці, як правило, припускають, що залежність між двома змінними лінійна. Часто лінійна залежність дає хорошу апроксимацію гладкою залежності в деякій невеликій околиці, але взагалі кажучи, немає ніякої гарантії, що «справжня» залежність не виявиться сильно нелінійної саме в тому інтервалі, до якого відносяться дані.
При застосуванні статистичних методів слід пам'ятати, що постуліруемое властивості як правило носять асимптотичний характер, тобто виявляються в межі, при прагненні кількості спостережень до нескінченності. Зокрема, якщо в лінійної регресії як регресорів використовуються лаги залежною змінною, то, навіть якщо виконані стандартні припущення регресійного аналізу, отримані оцінки будуть заможними, але зміщеними.
3. Проблема помилкової регресії
Для того, щоб отримати високий коефіцієнт детермінації, достатньо, щоб у залежною змінною і в регресорів був тренд і динаміка трендів до деякої міри збіглася. Коефіцієнт детермінації, як правило, буває, високий в регресії одного зростаючого показника по іншому зростаючому показником.З іншого боку, коефіцієнт детермінації, як правило, буває низьким у регресії одного процесу типу «білий шум» по іншому такому ж процесу.
Двома основними причинами наявності «тренду» у тимчасових лавах є
· Детермінована складова (тоді говорять про детермінованому тренді),
· Нестаціонарність (тоді говорять про стохастичному тренді).
Наявність детермінованого тренда може призводити до появи помилкової регресії. Нехай, наприклад Y t і X t породжуються процесами
Y t = a + b t + t, X t = c + d t + t,
де t, t - незалежні, однаково розподілені помилки. Регресія Y t по константі і X t може мати високий коефіцієнт детермінації і цей ефект тільки посилюється із зростанням розміру вибірки. На щастя, з «детермінованим» варіантом помилкової регресії досить легко боротися. У даному випадку досить додати в рівняння тренд в якості регресорів, і ефект помилкової регресії зникає.
Якщо існує стаціонарна лінійна комбінація нестаціонарних випадкових процесів, то ці процеси називають коінтегрірованнимі. Коінтегрірованность гарантує (принаймні, асимптотично, тобто для великих вибірок), що не виникне помилкова регресія. Теорія коінтеграціі - швидко розвивається розділ сучасної економетрики.
Для оцінювання моделей з нестаціонарними, але коінтегрірованнимі змінними, взагалі кажучи, слід використовувати спеціальні методи. На жаль, методи оцінювання коінтеграціонних регресій складні з точки зору реалізації, і способи перевірки їх специфікації погано розроблені. Тому, незважаючи на зазначені недоліки, звичайний метод найменших квадратів залишається найбільш потужним інструментом економетрики.
Питання 2. Як називається метод, який найбільш часто використовується при оцінці параметрів лінійної моделі в економетрики?
Метод, який найбільш часто використовується при оцінці параметрів лінійної моделі в економетрики називається методом найменших квадратів.
Питання 3. Як називаються показники, які характеризують ступінь розкиду випадкової величини навколо її середнього значення?
Показники, які характеризують ступінь розкиду випадкової величини навколо її середнього значення називаються вибіркової дисперсією і вибіркової ковариаций.
Питання 4. Який фізичний зміст несе коефіцієнт детермінації в економетричної лінійної моделі зв'язку двох змінних, таких як витрати і доходи, ціна і попит, число зайнятих і рівень безробіття і т.д
Коефіцієнт детермінації змінюється в межах від 0 до 1. Чим вище коефіцієнт детермінації в економетричної лінійної моделі зв'язку двох змінних, тим більше лінійна зв'язок (залежність) між змінними. Тобто якщо розглядати економетричні лінійні моделі зв'язку двох змінних, таких як витрати і доходи, ціна і попит, число зайнятих і рівень безробіття і т.д., то наближення коефіцієнта детермінації до 1 говорить про найбільшу залежності доходів від витрат, попиту від ціни, рівень безробіття від числа зайнятих і т.д. І навпаки, чим нижче коефіцієнт детермінації, тим менше зв'язок між зазначеними змінними.
Питання 5. Що означає і як розраховується функція еластичності η (Х) у лінійної економетричної моделі Y = ά + β X?
Функція еластичності розраховується наступним чином:
- Знайти процентне зміна У;
- Знайти процентне зміна Х;
- Знайти відношення процентної зміни У до процентної зміни Х;
- Знайти межу відносини процентної зміни У до процентної зміни Х, коли останнє прагне до нуля.
Значення функції еластичності одно кутовому коефіцієнту дотичної до графіка залежності lnY від lnX.
Питання 6. Що ми маємо на увазі під властивостями лінійної моделі Y i = λ + β i + ε i, i = 1, ..., n., Якщо вважаємо, що помилки ε 1, ..., ε n?
- Існує (теоретична, об'єктивна або у вигляді тенденції) лінійна залежність значень змінної у від значень змінної х з цілком певними, хоча зазвичай і не відомими досліднику, значеннями параметрів λ і β;
- Ця лінійна зв'язок для реальних статистичних даних не є суворою: спостережувані значення Y i змінної У відхиляються від значень
- При заданих (відомих) значеннях х i конкретні значення відхилень ε i = у i -
- Для кожного z, -
- Імовірність того, що спостережуване значення відхилення ε i в i-му спостереженні не перевершить z, не залежить від того, які саме значення беруть відхилення в решті n-1 спостереженнях.
Питання 7. У яких межах буде укладена випадкова помилка з імовірністю 0,95, якщо вона має Гаусове розподіл з параметром σ?
Якщо випадкова помилка має гауссовское розподіл з параметром σ, то з імовірністю 0,95 її значення буде укладено в межах від -1,96 σ до +1,96 σ.
Питання 8. При яких значеннях статистики Фішера нульова гіпотеза відкидається, і яка вірогідність того, що ми відкинемо вірну гіпотезу?
Нульова гіпотеза відкидається, якщо виконується нерівність
При цьому ймовірність помилкового відкидання гіпотези H o дорівнює
Питання 9. Яка з трьох нульових гіпотез H o: θ 2 =- 1, H A: θ 2> -1, H o: θ 2 ≠ -1 є простий, а яка складною?
H o є складною гіпотезою, якщо гіпотеза допускає більше одного значення параметра, тобто H o: θ 2 =- 1 є простий, а H A: θ 2> -1 і H o: θ 2 ≠ -1 - складні гіпотези.
Питання 10. Що таке гетероскедастичності та автокоррелірованность помилок?
Гетероскедастичності помилок - це неоднорідність дисперсій помилок. Цей вид порушень стандартних припущень характерний для статистичних даних, що відносяться до одного моменту часу, але зібраних по різних регіонах, різним підприємствам, різним соціальним групам. Автокоррелірованность помилок - це вид порушень стандартних припущень, характерний для статистичних даних, розгорнутих у часі.