Міністерство Палива та Енергетики Україні
СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЇ ЕНЕРГІЇ ТА ПРОМИСЛОВОСТІ
Тема:
ЕОМ з використанням математичного пакета MathCad в середовищі Windows 98 для вирішення системи алгебраїчних рівнянь
Севастополь 2008
План
1. Дані варіанта завдання
2. Операції чисельного рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь
2.1 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса)
2.2 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Холесского)
2.3 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом визначників
2.4 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом зворотної матриці
2.5 Рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Висновки по роботі № 2
1. Дані варіанта завдання
Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b
Таблиця1. Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b.
2. Про Пераціму чисельного рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь
2.1 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса)
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + a14 · x4 = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + a24 · x4 = b2 (1)
a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 + a34 · x4 = b3
a41 · x1 + a42 · x2 + a43 · x3 + a44 · x4 = b4
Складемо розширену матрицю системи (1):
Перетворимо матрицю А, для чого помножимо перший рядок розширеної матриці на а 21 / а 11 і віднімемо з другого рядка розширеної матриці, потім перший рядок помножимо на а 31 / а 11 і віднімемо з третього рядка розширеної матриці, далі перший рядок на а41/а11 і віднімемо з четвертого рядка, що за допомогою Mathcad буде виглядати так:
Отримали нові коефіцієнти матриці А:
Далі аналогічно множимо і віднімаємо від другого рядка:
Отримали нові коефіцієнти матриці А, де кількість нульових членів збільшилася.
Далі аналогічно множимо і віднімаємо від третього рядка.
Перевіримо правильність знаходження коренів:
Відповідь: х1 ≈ 0,1 х2 ≈ -0,67 х3 ≈ -2,1 х4 ≈ 2,31
2.2 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Холесского)
Метод Холесского полягає в поданні матриці у вигляді добутку двох трикутних матриць L і U, що мають такий вигляд: діагональні елементи L матриці дорівнюють одиниці, а елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю; у матриці U дорівнюють нулю елементи, що лежать нижче головної діагоналі. Тоді можна записати:
що еквівалентно двом трикутним системам,
які можна вирішити способом викладеним вище. Елементи l ij, і u ij матриць L і U можна знайти, утворюючи твір матриць LU і прирівнюючи його елементи послідовно елементам а 11, а 11 ... .... а nn матриці А.
Послідовно прирівнюємо елементи отриманої матриці до елементів а 11, а 11 ... .... а nn матриці А і знаходимо елементи l ij, і u ij.
За першому рядку:
У другому рядку:
За третьому рядку:
За четвертому рядку:
Далі обчислюємо значення ξ:
2.3 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом визначників
Система рівнянь з невідомими, визначник якої не дорівнює нулю, завжди має єдине рішення. Це рішення визначається так: значення кожного з невідомих дорівнює дробу, знаменником якої є визначник системи, а чисельник виходить з визначника системи заміною стовпця коефіцієнтів при шуканому невідомому стовпцем вільних членів.
Відповідь: х1 ≈ 0,1 х2 ≈ -0,67 х3 ≈ -2,1 х4 ≈ 2,31
2.4 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом зворотної матриці
Якщо потрібно вирішити систему для фіксованих значень a ij, але для різних значень вектора В, то вигідно побудувати обернену матрицю А -1 і потім скористатися співвідношенням
Відповідь: х1 ≈ 0,1 х2 ≈ -0,67 х3 ≈ -2,1 х4 ≈ 2,31
2.5 Рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Однорідною системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають таку систему, вільні члени якої дорівнюють нулю, тобто:
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + a14 · x4 = 0
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + a24 · x4 = 0
a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 + a34 · x4 = 0
a41 · x1 + a42 · x2 + a43 · x3 + a44 · x4 = 0
Однорідна лінійна система допускає нульове рішення х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 0 і, отже, завжди сумісна. Цікаво з'ясувати випадки, коли однорідна система має ненульові рішення. Це буде, якщо визначник дорівнює нулю.
Знайдемо значення коефіцієнта а, при якому визначник дорівнює нулю:
Рішення системи будемо шукати, виключивши з неї перше рівняння. Переконаємося, що для нової системи рівнянь визначник матриці А не дорівнює нулю:
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 =- a24 · x4
a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 =- a34 · x4
a41 · x1 + a42 · x2 + a43 · x3 =- a44 · x4
Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь виконаємо методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса). Збільшимо для більш точних розрахунків число знаків після коми:
У результаті матимемо систему, вирішення якої визначить невідомі для довільного значення х 4:
Висновки по роботі № 2
2. Працювати з масивами, векторами і матрицями.
3. Вирішувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь різними методами.
Цікаво визнати, що рішення систем рівнянь в курсі вищої математики займало дуже багато часу. Наприклад, рішення системи методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса) досить громіздкий для ручного розрахунку і набагато швидше проводиться за допомогою MathCad, причому з точністю до 18 знаків після коми. Найбільш наочним є метод визначників, а самим простим і швидким - метод оберненої матриці. Результати розрахунків, отримані різними методами, збігаються.
СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЇ ЕНЕРГІЇ ТА ПРОМИСЛОВОСТІ
Тема:
ЕОМ з використанням математичного пакета MathCad в середовищі Windows 98 для вирішення системи алгебраїчних рівнянь
Севастополь 2008
План
1. Дані варіанта завдання
2. Операції чисельного рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь
2.1 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса)
2.2 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Холесского)
2.3 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом визначників
2.4 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом зворотної матриці
2.5 Рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Висновки по роботі № 2
1. Дані варіанта завдання
Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b
Таблиця1. Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b.
| № вар | Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b системи лінійних алгебраїчних рівнянь | |||||||||||||||||||
| а 11 | а 12 | а 13 | а 14 | а 21 | а 22 | а 23 | а 24 | а 31 | а 32 | а 33 | а 34 | а 41 | а 42 | а 43 | а 44 | b 1 | b 2 | b 3 | b 4 | |
| 8 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,6 | 12 | 0,6 | 4,0 | -0,8 | 0,85 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 1,2 | 1,0 | 1,5 | 0,1 | 0,2 | -0,4 | 0,6 |
2. Про Пераціму чисельного рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь
2.1 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса)
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + a14 · x4 = b1
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + a24 · x4 = b2 (1)
a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 + a34 · x4 = b3
a41 · x1 + a42 · x2 + a43 · x3 + a44 · x4 = b4
Складемо розширену матрицю системи (1):
Перетворимо матрицю А, для чого помножимо перший рядок розширеної матриці на а 21 / а 11 і віднімемо з другого рядка розширеної матриці, потім перший рядок помножимо на а 31 / а 11 і віднімемо з третього рядка розширеної матриці, далі перший рядок на а41/а11 і віднімемо з четвертого рядка, що за допомогою Mathcad буде виглядати так:
Отримали нові коефіцієнти матриці А:
Далі аналогічно множимо і віднімаємо від другого рядка:
Отримали нові коефіцієнти матриці А, де кількість нульових членів збільшилася.
Перевіримо правильність знаходження коренів:
Відповідь: х1 ≈ 0,1 х2 ≈ -0,67 х3 ≈ -2,1 х4 ≈ 2,31
2.2 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом послідовного виключення невідомих (метод Холесского)
Метод Холесского полягає в поданні матриці у вигляді добутку двох трикутних матриць L і U, що мають такий вигляд: діагональні елементи L матриці дорівнюють одиниці, а елементи вище за головну діагональ дорівнюють нулю; у матриці U дорівнюють нулю елементи, що лежать нижче головної діагоналі. Тоді можна записати:
що еквівалентно двом трикутним системам,
які можна вирішити способом викладеним вище. Елементи l ij, і u ij матриць L і U можна знайти, утворюючи твір матриць LU і прирівнюючи його елементи послідовно елементам а 11, а 11 ... .... а nn матриці А.
Послідовно прирівнюємо елементи отриманої матриці до елементів а 11, а 11 ... .... а nn матриці А і знаходимо елементи l ij, і u ij.
За першому рядку:
У другому рядку:
За третьому рядку:
За четвертому рядку:
Далі обчислюємо значення ξ:
2.3 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом визначників
Система рівнянь з невідомими, визначник якої не дорівнює нулю, завжди має єдине рішення. Це рішення визначається так: значення кожного з невідомих дорівнює дробу, знаменником якої є визначник системи, а чисельник виходить з визначника системи заміною стовпця коефіцієнтів при шуканому невідомому стовпцем вільних членів.
Відповідь: х1 ≈ 0,1 х2 ≈ -0,67 х3 ≈ -2,1 х4 ≈ 2,31
2.4 Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом зворотної матриці
Якщо потрібно вирішити систему для фіксованих значень a ij, але для різних значень вектора В, то вигідно побудувати обернену матрицю А -1 і потім скористатися співвідношенням
Відповідь: х1 ≈ 0,1 х2 ≈ -0,67 х3 ≈ -2,1 х4 ≈ 2,31
2.5 Рішення однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь
Однорідною системою лінійних алгебраїчних рівнянь називають таку систему, вільні члени якої дорівнюють нулю, тобто:
a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + a14 · x4 = 0
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + a24 · x4 = 0
a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 + a34 · x4 = 0
a41 · x1 + a42 · x2 + a43 · x3 + a44 · x4 = 0
Однорідна лінійна система допускає нульове рішення х1 = 0, х2 = 0, х3 = 0, х4 = 0 і, отже, завжди сумісна. Цікаво з'ясувати випадки, коли однорідна система має ненульові рішення. Це буде, якщо визначник дорівнює нулю.
Знайдемо значення коефіцієнта а, при якому визначник дорівнює нулю:
a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 =- a24 · x4
a31 · x1 + a32 · x2 + a33 · x3 =- a34 · x4
a41 · x1 + a42 · x2 + a43 · x3 =- a44 · x4
Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь виконаємо методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса). Збільшимо для більш точних розрахунків число знаків після коми:
У результаті матимемо систему, вирішення якої визначить невідомі для довільного значення х 4:
Висновки по роботі № 2
В результаті виконання практичного заняття № 2 були вивчені деякі можливості математичного пакету MathCad в середовищі Windows 98 для використання матричної алгебри і рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь, а також вивчено методи розв'язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. У процесі роботи я навчився:
1. Задавати шаблони матриць і векторів.2. Працювати з масивами, векторами і матрицями.
3. Вирішувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь різними методами.
Цікаво визнати, що рішення систем рівнянь в курсі вищої математики займало дуже багато часу. Наприклад, рішення системи методом послідовного виключення невідомих (метод Гаусса) досить громіздкий для ручного розрахунку і набагато швидше проводиться за допомогою MathCad, причому з точністю до 18 знаків після коми. Найбільш наочним є метод визначників, а самим простим і швидким - метод оберненої матриці. Результати розрахунків, отримані різними методами, збігаються.