Міністерство Палива та Енергетики Україні
СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЇ ЕНЕРГІЇ ТА ПРОМИСЛОВОСТІ
Практичне заняття № 1
з дисципліни
«Використання ЕОМ в інженерних розрахунках електротехнічних систем»
Тема: ЕОМ з використанням математичних пакетів MathCad У СЕРЕДОВИЩІ WINDOWS 98 ДЛЯ ВИКОРИСТАННЯ матричної алгебри У РОЗРАХУНКАХ електротехнічних систем.
Варіант № 8
Виконав: студент групи ЕСЕ 22-В
Левицький П.В.
Перевірив :_______________________
Севастополь 2008
ПЛАН
1. Дані варіанта завдання
2. АЛГЕБРА МАТРИЦЬ
2.1 Установка шаблонів вектора і матриці
2.2 Завдання чисельних та символьних елементів вектора і матриці без застосування шаблонів
2.3 Використання векторних і матричних операторів і функцій
2.3.1 Операції множення і ділення
а) множення матриці на скалярний число
б) множення вектора на скалярний число
в) скалярний добуток двох векторів
г) множення матриці на вектор і матрицю
д) розподіл матриці на скалярний число
2.3.2 Операції складання
а) в символьному вигляді
б) у числовому вигляді
2.3.3 Транспонування матриць та векторів
2.3.4 Обчислення норми
2.3.5 Векторизація
2.3.6 Обчислення вбудованих функцій вектора. Визначення кількості рядків, стовпців, числа елементів вектора, індекс останнього елемента вектора, мінімального і максимального елемента
2.3.7 Звернення
2.3.8 Визначення сліду
2.3.9 Визначник матриці
2.3.10 Зміна знаків у елементів матриці і вектора
2.3.11 Завдання комплексної матриці та визначення комплексно-спряженої матриці. Виділення речових і уявних складових елементів матриці і відновлення комплексної матриці за заданим матрицями з речових і уявних елементів
2.3.12 Операції з рядками і стовпцями матриці
2.3.13 Об'єднання матриці з вектором і матриці з матрицею
2.3.14 Сортування елементів вектора і матриці
2.3.15 Розкладання матриці на трикутну, ортогональну
2.4 Використання матричних функцій
2.4.1 Власні значення та вектори власних значень матриці
2.4.2 Знаходження матриці векторів власних значень матриці
2.4.3 Приведення заданої матриці до діагонального вигляду
3. Висновки по роботі
1. Дані варіанта завдання
Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b
Таблиця1. Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b.
2. АЛГЕБРА МАТРИЦЬ
2.1 Установка шаблонів вектора і матриці
Вводимо піктограму з зображенням шаблону матриці. Вибираємо кількість рядків і стовпців. Вводимо елементи матриці згідно з табл. 1.
-Матриця 
-Вектор-стовпець 
-Вектор-рядок
2.2 Завдання чисельних та символьних елементів вектора і матриці
без застосування шаблонів
Індекс вводиться за допомогою знака [або за допомогою панелі векторів і матриць - значок Xn.
- Вектор-стовпець
- Вектор-рядок
Завдання нульової матриці: Завдання одиничної матриці:
Таблиця 2. Завдання елементів матриці.
Зіставимо елементи матриці з варіантом завдання.
2.3 Використання векторних і матричних операторів і функцій
2.3.1 Операції множення і ділення
а) множення матриці на скалярний число
Твір матриці А на число
З = А
б) множення вектора на скалярний число
в) скалярний добуток двох векторів.
Скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.
г) множення матриці на вектор і матрицю.
4 шпальти
твір визначено у разі
4 рядки
При множенні одиничної матриці на матрицю А ліворуч або праворуч вийде матриця А:
д) розподіл матриці на скалярний число
2.3.2 Операції складання.
а) в символьному вигляді
б) у числовому вигляді.
2.3.3 Транспонування матриць та векторів
Користуємося панеллю векторів і матриць. Значок М
Вектор-стовпець транспонував в рядок
Рядки матриць транспонувати в стовпці.
2.3.4 Обчислення норми
У лінійній алгебрі використовуються різні матричні норми (norm), які ставлять у відповідність матриці деяку скалярну числову характеристику. Норма матриці відображає порядок величини матричних елементів. У різних специфічних завданнях лінійної алгебри застосовуються різні види норм. Mathcad має чотири вбудовані функції для розрахунку різних норм квадратних матриць:
· Norm1 (A) - норма в просторі L1;
· Norm2 (A) - норма в просторі L2;
· Norme (A) - евклідова норма (euclidean norm);
· Normi (A) - max-норма, чи норма (infinity norm);
o А - квадратна матриця.
2.3.5 Векторизація
Векторна алгебра Mathcad включає кілька незвичайний оператор, який називається оператором векторизації (vectorize operator). Цей оператор призначений, як правило, для роботи з масивами. Він дозволяє провести однотипну операцію над всіма елементами масиву (тобто матриці або вектора), спрощуючи тим самим програмування циклів. Наприклад, іноді потрібно помножити кожен елемент одного вектора на відповідний елемент іншого вектора. Безпосередньо такої операції в Mathcad немає, але її легко здійснити за допомогою векторизації. Для цього: 1.Вводім векторне вираз (символ множення позначає оператор скалярного добутку векторів). 2.Переместім курсор так, щоб лінії введення виділяли весь вираз, яке потрібно піддати векторізаціі.3.Введем оператор векторизації, натиснувши кнопку Vectorize (Векторизація) на панелі Matrix (Матриця), або сполученням клавіш <Ctrl> +<->, і < =>, щоб отримати результат.
або
Оператор векторизации можна використовувати тільки з векторами і матрицями однакового розміру.
Більшість неспецифічних функцій Mathcad не вимагають векторизации для проведення однієї і тієї ж операції над усіма елементами вектора. Наприклад, аргументом тригонометричних функцій з визначення є скаляр. Якщо спробувати вирахувати синус векторної величини, Mathcad здійснить векторизацію за замовчуванням, обчисливши синус кожного елемента і видавши в якості результату відповідний вектор.
2.3.6 Обчислення вбудованих функцій вектора
Визначення кількості рядків, стовпців, числа елементів вектора, індекс останнього елемента вектора, мінімального і максимального елемента вектора.
2.3.7 Звернення
Пошук оберненої матриці можливий, якщо матриця квадратна і її визначник не дорівнює нулю. Твір вихідної матриці на зворотну за визначенням є одиничною матрицею. Для введення оператора пошуку оберненої матриці натиснемо кнопку Inverse (Зворотній матриця) на панелі інструментів Matrix (Матриця).
2.3.8 Визначення сліду
підсумовування діагональних елементів квадратної матриці. Цю суму називають слідом (trace) матриці. Дана операція організована у вигляді вбудованої функції tr:
· Tr (A) - слід квадратної матриці А.
2.3.9 Визначник матриці
Визначник (Determinant) матриці позначається стандартним математичним символом. Щоб ввести оператор знаходження визначника матриці можна натиснути кнопку Determinant (Визначник) на панелі інструментів Matrix (Матриця) або набрати на клавіатурі <|> (натиснувши клавіші <Shift> + <\>). У результаті будь-якого з цих дій з'являється местозаполнітель, в який слід помістити матрицю.
2.3.10 Зміна знаків у елементів матриці і вектора
2.3.11 Завдання комплексної матриці та визначення комплексно-спряженої матриці (ввести значок «" »)
Виділення речових (Re) і уявних (Im) складових елементів матриці і відновлення комплексної матриці за заданим матрицями з речових і уявних елементів.
Комплексно-сполучена матриця
2.3.12 Операції з рядками і стовпцями матриці
Завдання матриці за допомогою стовпців:
Віднімання стовпців і рядків:
2.3.13 Об'єднання матриці А з вектором В і матриці А з матрицею А
Використовуємо функцію augment для об'єднання масивів, що мають розміри mxn і mxp (тобто однакове число рядків), розташованих пліч-о-пліч, утворюючи масив розмірів mx (n + p).
Щоб об'єднати два масиви, розташовуючи їх один над одним, іпользуются функція stack для об'єднання масивів, що мають розміри mxn і pxn (тобто однакове число стовпців), утворюючи масив розмірів (m + p) xn.
2.3.14 Сортування елементів вектора і матриці
Часто буває потрібно переставити елементи матриці або вектора, розташувавши їх у певному рядку або стовпці в порядку зростання чи зменшення. Для цього є кілька вбудованих функцій, які дозволяють гнучко управляти сортуванням матриць:
· Sort (v) - сортування елементів вектора в порядку зростання;
· Csort (A, i) - сортування рядків матриці вибудовуванням елементів i-го стовпця в порядку зростання;
· Rsort (A, i) - сортування стовпців матриці вибудовуванням елементів i-го рядка в порядку зростання;
· Reverse (v) - перестановка елементів вектора в зворотному порядку;
o v - вектор;
o А - матриця;
oi - індекс рядка або стовпця.
Якщо елементи матриць або векторів комплексні, то сортування ведеться за дійсною частини, а уявна частина ігнорується.
2.3.15 Розкладання матриці на трикутну, ортогональну
L U-розкладанням матриці А, або трикутним розкладанням, називається матричне розкладання виду PA = LU і, де L і U - нижня і верхня трикутні матриці (нулі вище діагоналі і нижче), відповідно. P, A, L, U - квадратні матриці одного порядку.
· Lu (A) - LU-розкладання матриці;
o А - квадратна матриця.
Фактично, трикутне розкладання матриці системи лінійних рівнянь проводиться при її вирішенні чисельним методом Гаусса.
Функція LU-розкладання видає складову матрицю. Виділити матриці P, L, U нескладно за допомогою вбудованої функції submatrix.
QR-розкладанням матриці А називається розкладання виду A = QR, де Q - ортогональна матриця, а R - верхня трикутна матриця.
· Qr (A)-QR-розкладання;
o А - вектор або матриця будь-якого розміру.
Результатом дії функції qr (A) є матриця L, складена з матриць Q і R, відповідно. Щоб виділити самі матриці QR-розкладання, необхідно застосувати функцію виділення підматриці submatrix.
2.4 Використання матричних функцій
2.4.1 Власні значення та вектори власних значень матриці
а) Визначення власних значень за допомогою характеристичного рівняння
Нехай X і Y - вектори. А-квадратна матриця, оператор перетворення Х в Y. Часто бувають випадки, коли необхідно знайти вектор ҳ і значення скаляра λ такі, що А · ҳ = λ · ҳ. Таке рівняння має рішення у вигляді власних значень λ1, λ2, ... та відповідних їм власних векторів x1, х2, ... Значення скаляра λ носить назву власних значень квадратної матриці А. Його можна отримати з характеристичного рівняння матриці А.
Характеристичне рівняння матриці має вигляд:
Його коріння:
Їх сума дорівнює сумі діагональних елементів матриці А (або сліду матриці А)
Вихідна
матриця:
Функція identity (4) створює одиничну матрицю розміром 4 * 4
Знаходимо корені характеристичного рівняння:
слід сума власних чисел і матриці
б) Визначення вектора, елементами якого є власні значення матриці за допомогою функцій Mathcad.
Для вирішення задач на власні вектори і власні значення в Mathcad є декілька функцій, що реалізують досить складні обчислювальні алгоритми:
eigenvals (A) - обчислює вектор, елементами якого є власні значення матриці А; За замовчуванням Mathcad відобразить три знаки після коми. Якщо необхідно збільшити точність власних чисел матриці, то необхідно скористатися командами: Format-Number головного меню і вказати у віконечку Displayed Precision (3) бажане число знаків після коми (від 0 до 15).
2.4.2 Знаходження матриці векторів власних значень матриці
а) Обчислення матриці, яка містить нормовані власні вектори, що відповідають власним значенням матриці А
· Eigenvecs (A) - обчислює матрицю, що містить нормовані власні вектори, що відповідають власним значенням матриці А;
o n-й стовпець обчислюється матриці відповідає власному вектору n-го власного значення, обчислюваного eigenvals;
для усунення помилки округлення збільшили точність до 8 знаків після коми.
б) Обчислення власного вектора для матриці А і заданого власного значення λ
Цю функцію можна застосувати до дійсних власним значенням.
Перевірка правильності знаходження власних векторів і власних значень наведена для значення λ0. Причому перевірка правильності висловлювання Ах = λх проведено двічі - спочатку на числових значеннях х і λ, а потім шляхом перемноження відповідних матричних компонентів.
Обчислення власного вектора для матриці А і λ3.
Як ми бачимо, в цьому випадку власні вектора і матриця власних векторів матриці А, мають чисельні значення, що відрізняються знаками. Але це не змінює спільності поставленого завдання, тому що мова йде про простір, в якому знаходяться власні вектора матриці А.
2.4.3 Приведення заданої матриці до діагонального вигляду
У Mathcad легко створити матриці певного виду з допомогою однієї із вбудованих функцій, наприклад:
· Diag (v) - створить діагональну матрицю, на діагоналі якої знаходяться елементи вектора v;
Розглянемо вектор, елементами якого є власні значення матриці А.
Для квадратної матриці А часто буває необхідно знайти, якщо це можливо, таку квадратну матрицю, щоб виконувалася умова:
Р -1 · А · Р = L
Тут L являє собою квадратну матрицю diag (λ 1, λ 2 ... .... Λ n), де λ 1, λ 2 ... ... λ n є власними значеннями матриці А.
Знайдена вище матриця Р містить нормовані власні вектори, що відповідають власним значенням матриці А; n-й стовпець обчислюється матриці відповідає власному вектору n-го власного значення.
Матриця векторів власних значень матриці А приводить її до трикутного вигляду:
3. Висновки по роботі
У результаті виконання практичної роботи № 1 були вивчені можливості математичного пакету MathCad в середовищі Windows з метою подальшого використання матричної алгебри в інженерних розрахунках електротехнічних систем. Були вивчені і повторені основні моменти теорії матриць. Вивчено способи завдання векторів і матриць в середовищі MathCad. Я навчився працювати з масивами, векторами і матрицями, застосовував векторні та матричні оператори і функції. Друга за частотою застосування завдання обчислювальної лінійної алгебри - це завдання пошуку власних векторів і власних значень матриці. Для вирішення таких завдань в Mathcad є декілька функцій, що реалізують досить складні обчислювальні алгоритми. Застосування матричних функцій набагато полегшує розрахунки з теоретичних основ електротехніки, теорії автоматичного управління та інших дисциплін. Як виявилося, особливо просто в MathCad працювати з комплексними числами і поліномами вищих порядків. Рішення характеристичних рівнянь видається у вигляді векторів, які можна далі перетворювати за допомогою матричної алгебри, представленої в MathCad.
СЕВАСТОПОЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ЯДЕРНОЇ ЕНЕРГІЇ ТА ПРОМИСЛОВОСТІ
Практичне заняття № 1
з дисципліни
«Використання ЕОМ в інженерних розрахунках електротехнічних систем»
Тема: ЕОМ з використанням математичних пакетів MathCad У СЕРЕДОВИЩІ WINDOWS 98 ДЛЯ ВИКОРИСТАННЯ матричної алгебри У РОЗРАХУНКАХ електротехнічних систем.
Варіант № 8
Виконав: студент групи ЕСЕ 22-В
Левицький П.В.
Перевірив :_______________________
Севастополь 2008
ПЛАН
1. Дані варіанта завдання
2. АЛГЕБРА МАТРИЦЬ
2.1 Установка шаблонів вектора і матриці
2.2 Завдання чисельних та символьних елементів вектора і матриці без застосування шаблонів
2.3 Використання векторних і матричних операторів і функцій
2.3.1 Операції множення і ділення
а) множення матриці на скалярний число
б) множення вектора на скалярний число
в) скалярний добуток двох векторів
г) множення матриці на вектор і матрицю
д) розподіл матриці на скалярний число
2.3.2 Операції складання
а) в символьному вигляді
б) у числовому вигляді
2.3.3 Транспонування матриць та векторів
2.3.4 Обчислення норми
2.3.5 Векторизація
2.3.6 Обчислення вбудованих функцій вектора. Визначення кількості рядків, стовпців, числа елементів вектора, індекс останнього елемента вектора, мінімального і максимального елемента
2.3.7 Звернення
2.3.8 Визначення сліду
2.3.9 Визначник матриці
2.3.10 Зміна знаків у елементів матриці і вектора
2.3.11 Завдання комплексної матриці та визначення комплексно-спряженої матриці. Виділення речових і уявних складових елементів матриці і відновлення комплексної матриці за заданим матрицями з речових і уявних елементів
2.3.12 Операції з рядками і стовпцями матриці
2.3.13 Об'єднання матриці з вектором і матриці з матрицею
2.3.14 Сортування елементів вектора і матриці
2.3.15 Розкладання матриці на трикутну, ортогональну
2.4 Використання матричних функцій
2.4.1 Власні значення та вектори власних значень матриці
2.4.2 Знаходження матриці векторів власних значень матриці
2.4.3 Приведення заданої матриці до діагонального вигляду
3. Висновки по роботі
1. Дані варіанта завдання
Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b
Таблиця1. Коефіцієнти квадратної матриці А і вектора b.
| № вар | До е. ф ф і ц і е н т и к в а д р а т н і й м а т р і ц и А і в е к т о р а b с і с т е м ил і н е і н и х а л г е б р а і ч е з до і х у р а н е н і ї | |||||||||||||||||||
| а 11 | а 12 | а 13 | а 14 | а 21 | а 22 | а 23 | а 24 | а 31 | а 32 | а 33 | а 34 | а 41 | а 42 | а 43 | а 44 | b 1 | b 2 | b 3 | b 4 | |
| 8 | 2,4 | 1,4 | 1,6 | 1,8 | 2,6 | 12 | 0,6 | 4,0 | -0,8 | 0,85 | 0,1 | 0,2 | 0,4 | 1,2 | 1,0 | 1,5 | 0,1 | 0,2 | -0,4 | 0,6 |
2. АЛГЕБРА МАТРИЦЬ
2.1 Установка шаблонів вектора і матриці
Вводимо піктограму з зображенням шаблону матриці. Вибираємо кількість рядків і стовпців. Вводимо елементи матриці згідно з табл. 1.
2.2 Завдання чисельних та символьних елементів вектора і матриці
без застосування шаблонів
Індекс вводиться за допомогою знака [або за допомогою панелі векторів і матриць - значок Xn.
Завдання нульової матриці: Завдання одиничної матриці:
Таблиця 2. Завдання елементів матриці.
Зіставимо елементи матриці з варіантом завдання.
2.3 Використання векторних і матричних операторів і функцій
2.3.1 Операції множення і ділення
а) множення матриці на скалярний число
Твір матриці А на число
З = А
б) множення вектора на скалярний число
в) скалярний добуток двох векторів.
Скалярним добутком двох векторів називається число, що дорівнює добутку їх довжин на косинус кута між ними.
г) множення матриці на вектор і матрицю.
4 шпальти
твір визначено у разі
4 рядки
При множенні одиничної матриці на матрицю А ліворуч або праворуч вийде матриця А:
д) розподіл матриці на скалярний число
2.3.2 Операції складання.
а) в символьному вигляді
б) у числовому вигляді.
Користуємося панеллю векторів і матриць. Значок М
Вектор-стовпець транспонував в рядок
Рядки матриць транспонувати в стовпці.
2.3.4 Обчислення норми
У лінійній алгебрі використовуються різні матричні норми (norm), які ставлять у відповідність матриці деяку скалярну числову характеристику. Норма матриці відображає порядок величини матричних елементів. У різних специфічних завданнях лінійної алгебри застосовуються різні види норм. Mathcad має чотири вбудовані функції для розрахунку різних норм квадратних матриць:
· Norm1 (A) - норма в просторі L1;
· Norm2 (A) - норма в просторі L2;
· Norme (A) - евклідова норма (euclidean norm);
· Normi (A) - max-норма, чи норма (infinity norm);
o А - квадратна матриця.
2.3.5 Векторизація
Векторна алгебра Mathcad включає кілька незвичайний оператор, який називається оператором векторизації (vectorize operator). Цей оператор призначений, як правило, для роботи з масивами. Він дозволяє провести однотипну операцію над всіма елементами масиву (тобто матриці або вектора), спрощуючи тим самим програмування циклів. Наприклад, іноді потрібно помножити кожен елемент одного вектора на відповідний елемент іншого вектора. Безпосередньо такої операції в Mathcad немає, але її легко здійснити за допомогою векторизації. Для цього: 1.Вводім векторне вираз (символ множення позначає оператор скалярного добутку векторів). 2.Переместім курсор так, щоб лінії введення виділяли весь вираз, яке потрібно піддати векторізаціі.3.Введем оператор векторизації, натиснувши кнопку Vectorize (Векторизація) на панелі Matrix (Матриця), або сполученням клавіш <Ctrl> +<->, і < =>, щоб отримати результат.
або
Оператор векторизации можна використовувати тільки з векторами і матрицями однакового розміру.
Більшість неспецифічних функцій Mathcad не вимагають векторизации для проведення однієї і тієї ж операції над усіма елементами вектора. Наприклад, аргументом тригонометричних функцій з визначення є скаляр. Якщо спробувати вирахувати синус векторної величини, Mathcad здійснить векторизацію за замовчуванням, обчисливши синус кожного елемента і видавши в якості результату відповідний вектор.
2.3.6 Обчислення вбудованих функцій вектора
Визначення кількості рядків, стовпців, числа елементів вектора, індекс останнього елемента вектора, мінімального і максимального елемента вектора.
2.3.7 Звернення
Пошук оберненої матриці можливий, якщо матриця квадратна і її визначник не дорівнює нулю. Твір вихідної матриці на зворотну за визначенням є одиничною матрицею. Для введення оператора пошуку оберненої матриці натиснемо кнопку Inverse (Зворотній матриця) на панелі інструментів Matrix (Матриця).
2.3.8 Визначення сліду
підсумовування діагональних елементів квадратної матриці. Цю суму називають слідом (trace) матриці. Дана операція організована у вигляді вбудованої функції tr:
· Tr (A) - слід квадратної матриці А.
2.3.9 Визначник матриці
Визначник (Determinant) матриці позначається стандартним математичним символом. Щоб ввести оператор знаходження визначника матриці можна натиснути кнопку Determinant (Визначник) на панелі інструментів Matrix (Матриця) або набрати на клавіатурі <|> (натиснувши клавіші <Shift> + <\>). У результаті будь-якого з цих дій з'являється местозаполнітель, в який слід помістити матрицю.
2.3.10 Зміна знаків у елементів матриці і вектора
2.3.11 Завдання комплексної матриці та визначення комплексно-спряженої матриці (ввести значок «" »)
Виділення речових (Re) і уявних (Im) складових елементів матриці і відновлення комплексної матриці за заданим матрицями з речових і уявних елементів.
Комплексно-сполучена матриця
2.3.12 Операції з рядками і стовпцями матриці
Завдання матриці за допомогою стовпців:
Віднімання стовпців і рядків:
2.3.13 Об'єднання матриці А з вектором В і матриці А з матрицею А
Використовуємо функцію augment для об'єднання масивів, що мають розміри mxn і mxp (тобто однакове число рядків), розташованих пліч-о-пліч, утворюючи масив розмірів mx (n + p).
Щоб об'єднати два масиви, розташовуючи їх один над одним, іпользуются функція stack для об'єднання масивів, що мають розміри mxn і pxn (тобто однакове число стовпців), утворюючи масив розмірів (m + p) xn.
2.3.14 Сортування елементів вектора і матриці
Часто буває потрібно переставити елементи матриці або вектора, розташувавши їх у певному рядку або стовпці в порядку зростання чи зменшення. Для цього є кілька вбудованих функцій, які дозволяють гнучко управляти сортуванням матриць:
· Sort (v) - сортування елементів вектора в порядку зростання;
· Csort (A, i) - сортування рядків матриці вибудовуванням елементів i-го стовпця в порядку зростання;
· Rsort (A, i) - сортування стовпців матриці вибудовуванням елементів i-го рядка в порядку зростання;
· Reverse (v) - перестановка елементів вектора в зворотному порядку;
o v - вектор;
o А - матриця;
oi - індекс рядка або стовпця.
Якщо елементи матриць або векторів комплексні, то сортування ведеться за дійсною частини, а уявна частина ігнорується.
2.3.15 Розкладання матриці на трикутну, ортогональну
L U-розкладанням матриці А, або трикутним розкладанням, називається матричне розкладання виду PA = LU і, де L і U - нижня і верхня трикутні матриці (нулі вище діагоналі і нижче), відповідно. P, A, L, U - квадратні матриці одного порядку.
· Lu (A) - LU-розкладання матриці;
o А - квадратна матриця.
Фактично, трикутне розкладання матриці системи лінійних рівнянь проводиться при її вирішенні чисельним методом Гаусса.
Функція LU-розкладання видає складову матрицю. Виділити матриці P, L, U нескладно за допомогою вбудованої функції submatrix.
QR-розкладанням матриці А називається розкладання виду A = QR, де Q - ортогональна матриця, а R - верхня трикутна матриця.
· Qr (A)-QR-розкладання;
o А - вектор або матриця будь-якого розміру.
Результатом дії функції qr (A) є матриця L, складена з матриць Q і R, відповідно. Щоб виділити самі матриці QR-розкладання, необхідно застосувати функцію виділення підматриці submatrix.
2.4 Використання матричних функцій
2.4.1 Власні значення та вектори власних значень матриці
а) Визначення власних значень за допомогою характеристичного рівняння
Нехай X і Y - вектори. А-квадратна матриця, оператор перетворення Х в Y. Часто бувають випадки, коли необхідно знайти вектор ҳ і значення скаляра λ такі, що А · ҳ = λ · ҳ. Таке рівняння має рішення у вигляді власних значень λ1, λ2, ... та відповідних їм власних векторів x1, х2, ... Значення скаляра λ носить назву власних значень квадратної матриці А. Його можна отримати з характеристичного рівняння матриці А.
Характеристичне рівняння матриці має вигляд:
Його коріння:
Їх сума дорівнює сумі діагональних елементів матриці А (або сліду матриці А)
Вихідна
Функція identity (4) створює одиничну матрицю розміром 4 * 4
Знаходимо корені характеристичного рівняння:
слід сума власних чисел і матриці
б) Визначення вектора, елементами якого є власні значення матриці за допомогою функцій Mathcad.
Для вирішення задач на власні вектори і власні значення в Mathcad є декілька функцій, що реалізують досить складні обчислювальні алгоритми:
eigenvals (A) - обчислює вектор, елементами якого є власні значення матриці А; За замовчуванням Mathcad відобразить три знаки після коми. Якщо необхідно збільшити точність власних чисел матриці, то необхідно скористатися командами: Format-Number головного меню і вказати у віконечку Displayed Precision (3) бажане число знаків після коми (від 0 до 15).
2.4.2 Знаходження матриці векторів власних значень матриці
а) Обчислення матриці, яка містить нормовані власні вектори, що відповідають власним значенням матриці А
· Eigenvecs (A) - обчислює матрицю, що містить нормовані власні вектори, що відповідають власним значенням матриці А;
o n-й стовпець обчислюється матриці відповідає власному вектору n-го власного значення, обчислюваного eigenvals;
для усунення помилки округлення збільшили точність до 8 знаків після коми.
б) Обчислення власного вектора для матриці А і заданого власного значення λ
Цю функцію можна застосувати до дійсних власним значенням.
Перевірка правильності знаходження власних векторів і власних значень наведена для значення λ0. Причому перевірка правильності висловлювання Ах = λх проведено двічі - спочатку на числових значеннях х і λ, а потім шляхом перемноження відповідних матричних компонентів.
Обчислення власного вектора для матриці А і λ3.
Як ми бачимо, в цьому випадку власні вектора і матриця власних векторів матриці А, мають чисельні значення, що відрізняються знаками. Але це не змінює спільності поставленого завдання, тому що мова йде про простір, в якому знаходяться власні вектора матриці А.
2.4.3 Приведення заданої матриці до діагонального вигляду
У Mathcad легко створити матриці певного виду з допомогою однієї із вбудованих функцій, наприклад:
· Diag (v) - створить діагональну матрицю, на діагоналі якої знаходяться елементи вектора v;
Розглянемо вектор, елементами якого є власні значення матриці А.
Для квадратної матриці А часто буває необхідно знайти, якщо це можливо, таку квадратну матрицю, щоб виконувалася умова:
Р -1 · А · Р = L
Тут L являє собою квадратну матрицю diag (λ 1, λ 2 ... .... Λ n), де λ 1, λ 2 ... ... λ n є власними значеннями матриці А.
Знайдена вище матриця Р містить нормовані власні вектори, що відповідають власним значенням матриці А; n-й стовпець обчислюється матриці відповідає власному вектору n-го власного значення.
Матриця векторів власних значень матриці А приводить її до трикутного вигляду:
3. Висновки по роботі
У результаті виконання практичної роботи № 1 були вивчені можливості математичного пакету MathCad в середовищі Windows з метою подальшого використання матричної алгебри в інженерних розрахунках електротехнічних систем. Були вивчені і повторені основні моменти теорії матриць. Вивчено способи завдання векторів і матриць в середовищі MathCad. Я навчився працювати з масивами, векторами і матрицями, застосовував векторні та матричні оператори і функції. Друга за частотою застосування завдання обчислювальної лінійної алгебри - це завдання пошуку власних векторів і власних значень матриці. Для вирішення таких завдань в Mathcad є декілька функцій, що реалізують досить складні обчислювальні алгоритми. Застосування матричних функцій набагато полегшує розрахунки з теоретичних основ електротехніки, теорії автоматичного управління та інших дисциплін. Як виявилося, особливо просто в MathCad працювати з комплексними числами і поліномами вищих порядків. Рішення характеристичних рівнянь видається у вигляді векторів, які можна далі перетворювати за допомогою матричної алгебри, представленої в MathCad.