У підсумку можна сказати, що ідея нескінченності виникла і застосовувалася в давньогрецької математики головним чином у зв'язку з розвитком арифметики і теорії чисел (натуральний ряд, нескінченна безліч простих чисел та ін), з відкриттям несумірності і з питаннями вимірювання та дослідження властивостей геометричних фігур, розглядаються як безперервні.
Поняття нескінченності розвивалося в математиці в тісному зв'язку з вирішенням конкретних математичних завдань і відповідної розробкою математичних методів (загальна теорія відносин, квадратура кола, метод вичерпання та ін.)
Широко використовував нескінченність у своїх дослідженнях і Архімед.

§ 1.2. Історія розвитку поняття функції.
Функція - одне з основних математичних і загальнонаукових понять. Воно відіграло і понині грає велику роль у пізнанні реального світу.
Пропедевтичний період (з найдавніших часів до 17 століття).
Ідея функціональної залежності сходить до старовини. Її зміст можна знайти вже в перших, математично виражених співвідношеннях між величинами, у перших правилах дій над числами. У перших формулах для знаходження площі і обсягу тих або інших фігур. Так, вавілонські вчені (4-5 тис. років тому) нехай несвідомо, встановили, що площа кола є функцією від його радіуса допомогою знаходження грубо наближеної формули: S = 3 r ^2. Прикладами табличного задання функції можуть служити астрономічні таблиці вавилонян, стародавніх греків та індійців, а прикладами словесного завдання функції - теорема про сталість відносини площ круга і квадрата на його діаметрі або античні визначення конічних перерізів, причому самі ці криві виступали в якості геометричних образів відповідної залежності.
Введення поняття функції через механічне та геометричне уявлення (17 століття.)
Починаючи лише з 17 століття, у зв'язку з проникненням в математику ідеї змінних, поняття функції застосовується явно і цілком свідомо.
Шлях до появи поняття функції заклали в 17 столітті французькі вчені Франсуа Вієт (1540-1603) і Рене Декарт (1596-1650); вони розробили єдину буквену математичну символіку, яка незабаром отримала загальне визнання. Введено було єдине позначення: невідомих - останніми літерами латинського алфавіту - x, y, z, відомих - початковими буквами того ж алфавіту - a, b, c, ... і т.д. Під кожною буквою стало можливим розуміти не тільки конкретні дані, але і багато інших; в математику прийшла ідея зміни. Тим самим з'явилася можливість записувати загальні формули.
Крім того, у Декарта і Ферма (1601-1665) в геометричних роботах з'являється чітке уявлення змінної величини і прямокутної системи координат. У своїй "Геометрії» в 1637 році Декарт дає поняття функції, як зміна ординати точки в залежності від зміни її абсциси; він систематично розглядав лише ті криві, які можна точно представити за допомогою рівнянь, притому переважно алгебраїчних. Поступово поняття функції стало ототожнюватися, таким чином, з поняттям аналітичного виразу - формули. У 1671 році Ньютон (1643-1727) під функцією став розуміти змінну величину, що змінюється з часом (називав у «флюент»).
У «Геометрії» Декарта і роботах Ферма, Ньютона і
Лейбніца (1646-1716) поняття функції носило по суті інтуїтивний характер і було пов'язане або з геометричними, або з механічними уявленнями: ординати точок кривих - функція від абсцис (x); шлях і швидкість - функція від часу (t) і т.п .
Аналітичне визначення функції (17 - початок 19 століття).
Саме слово «функція» (від латинського functio - здійснення, виконання) вперше було вжито німецьким математиком Лейбніцем в 1673г. в листі до Гюйгенса (1629-1695) (під функцією він розумів відрізок, довжина якого змінюється з якого-небудь певним законом), у пресі ввів з 1694 року. Починаючи з 1698 року, Лейбніц ввів також терміни «змінна» і «константа». У 18 столітті з'являється новий погляд на функцію як на формулу, що зв'язує одну змінну з іншого. Це так звана аналітична точка зору на поняття функції. Підхід до такого визначення вперше зробив швейцарський математик Йоганн Бернуллі (1667-1748), який в 1718 році визначив функцію наступним чином: «функцією змінної величини називають кількість, утворене яким завгодно спосіб з цієї змінної величини і постійних». Для позначення довільній функції від x Бернуллі застосував знак j (x), називаючи характеристикою функції, а також букви x або e; Лейбніц вживав x ^1, x ² замість сучасних f ₁ (x), f ₂ (x). Ейлер позначив через f: x, f: (x + y) те, що ми нині позначаємо через f (x), f (x + y).
Поряд з e Ейлер пропонує використовувати літери F, Y та інші. Даламбер зробив крок вперед на шляху до сучасних позначенням, відкидаючи двокрапка Ейлера, він пише, наприклад, j t, j (t + s).
Остаточну формулювання визначення функції з аналітичної точки зору зробив в 1748 році учень Бернуллі Ейлер (у «Запровадження в аналіз нескінченного»): «Функція змінної кількості є аналітичний вираз, складений будь-яким чином з цієї кількості і чисел або постійних кількостей". Так розуміли функцію протягом майже всього 18 століття Даламбер, Лагранж (1736-1813), Фур'є (1768-1830) та інші видатні математики. Що стосується Ейлера, то він не завжди дотримувався вище зазначеного визначення, в його роботах поняття функції зазнавало подальшому розвитку відповідно до запитів математичного аналізу.
У «диференційному численні», що вийшов у світ в 1755 році, Ейлер дає загальне визначення функції: «Коли деякі кількості залежать один від одного таким чином, що при зміні останніх і самі вони піддаються зміні, то перші називають функцією друге». «Це найменування, - продовжує далі Ейлер - має надзвичайно широкий характер; воно охоплює всі способи, якими одна кількість визначається за допомогою інших».
Як видно з певних визначень, саме поняття функції фактично ототожнювалося з аналітичним виразом. Нові кроки у розвитку природознавства і математики викликали і подальше узагальнення поняття функції.
Одним з невирішених питань, пов'язаних з поняттям функції, з приводу якого велася запекла боротьба думок, був наступний: чи можна одну функцію задати декількома аналітичними виразами?
Великий внесок у вирішення спору Ейлера, Даламбера, Бернуллі та інших вчених 18 століття з приводу того, що варто розуміти під функцією, вніс французький математик Жан Батист Жозеф Фур'є, що займався в основному математичною фізикою. У поданих ним у Паризьку АН в 1807-1811 рр.. Мемуарах з теорії розповсюдження тепла в твердому тілі, Фур'є привів і перші приклади функцій, які задані на різних ділянках різними аналітичними виразами.
З праць Фур'є випливало, що будь-яка крива незалежно від того, зі скількох і яких різнорідних частин вона складається, може бути представлена ​​у вигляді єдиного аналітичного вираження і що є також перериваним криві, зображувані аналітичним виразом. У своєму «Курсі алгебраїчного аналізу», опублікованому в 1721р., Французький математик О. Коші (1789-1857) обгрунтував висновки Фур'є. Таким чином, на певному етапі розвитку фізики і математики стало ясно, що доводиться користуватися і такими функціями, для визначення яких дуже складно або навіть неможливо обмежитися одним лише аналітичним апаратом. Останній став гальмувати необхідну математикою і природознавством розширення поняття функції.
Ідея відповідності (19 століття).
У 1855 році Н.І. Лобачевський (1792-1856), розвиваючи вищезазначене ейлеровское визначення функції в 1755р., Писав: «Загальне поняття вимагає, щоб функцією від x називати число, яке дається для кожного x і разом з x поступово змінюється. Значення функції може бути дано і аналітичним виразом, або умовою, яка подає засіб відчувати всі числа і обирати одне з них, або, нарешті, залежність може існувати, або залишатися невідомою ... Великий погляд теорії припускає існування залежності тільки в тому сенсі, щоб числа, одні з іншими в зв'язку, приймати як би даними разом ».
Ще до Лобачевського аналогічна точка зору на поняття функції була висловлена ​​чеським математиком Б. Больцано (1781-1848).
Таким чином, сучасне визначення функції, вільний від згадці про аналітичному завданні, звичайно приписуване німецькому математику П.Л. Діріхле (1805-1859), неодноразово пропонувалося і до нього. У 1837 році Діріхле так сформулював загальне визначення поняття функції: «y є функція змінної x (на відрізку a £ x £ b), якщо кожному значенню x на цьому відрізку відповідає цілком певне значення y, причому байдуже яким чином встановлено це відповідність - аналітичної формулою , графіком, таблицею або навіть просто словами ».
Прикладом, що відповідає цьому загальним визначенням, може служити так звана «функція Діріхле» j (x):

Ця функція задана двома формулами і словесно. Вона відіграє певну роль в аналізі. Аналітично її можна визначити лише за допомогою досить складної формули, не сприяє успішному вивченню її властивостей. Таким чином, приблизно в середині 19 століття після тривалої боротьби думок поняття функції звільнилося від рамок аналітичного виразу, від єдиновладдя аналітичної формули. Головний упор в основному загальному визначенні поняття функції робиться на ідею відповідності.
У другій половині 19 століття після створення теорії множин в поняття функції, крім ідеї відповідності була включена і ідея безлічі.
Таким чином, в повному своєму обсязі загальне визначення поняття функції формулюється наступним чином: якщо кожному елементу x множини А поставлений у відповідність певний певний елемент y з безлічі В, то говорять, що на багатьох А задана функція y = f (x), або що безліч А відображує на безліч В. У першому випадку елементи x множини А називають значеннями аргументу, а елементи їх безлічі У - значеннями функції, у другому випадку x - прообрази, y - образи. У сучасному розумінні розглядають функції, визначені для безлічі значень x, які можливо, і не заповнюють відрізка a £ x £ b, про який йдеться у визначенні Діріхле.
Досить вказати, наприклад, на функцію-факторіал y = n!, Задану на множині натуральних чисел. Загальне поняття функції застосовано, звичайно, не тільки до величин і числах, а й до інших математичних об'єктів. Наприклад, до геометричних фігур.
При будь-якому геометричному перетворенні ми маємо справу з функцією. Іншими синонімами терміна «функція» у різних відділах математики є: відповідність, відображення, оператор, функціонал і др.Дальнейшее розвиток математичної науки в 19 столітті грунтувалося на загальному визначенні функції Діріхле, який став класичним.

Подальший розвиток поняття функції (20 століття - ...).
Вже з самого початку 20 століття визначення Діріхле стало викликати деякі сумніви серед частини математиків. Ще важливішою була критика фізиків, натрапивши на явища, які зажадали більш широкого погляду на фізику. Необхідність подальшого розширення поняття функції стала особливо гострою після виходу у світ в 1930 році книги «Основи квантової механіки» Поля Дірака (1902-1984), найбільшого англійського фізика, одного із засновників квантової механіки. Дірак увів так звану дельта-функцію, яка виходила далеко за рамки класичного визначення функції. У зв'язку з цим радянський математик Н.М. Гюнтер (1871-1941) та інші вчені опублікували в 30-40 роках нашого століття роботи, в яких невідомими є не функції точки, а «функції області», що краще відповідає фізичної суті явищ. Так, наприклад, температуру тіла в точці практично визначити не можна, у той час як температура в деякій області тіла має конкретний фізичний зміст. У загальному вигляді поняття узагальненої функції було введено французом Лораном Шварцем. У 1936 році, 28-річний радянський математик і механік С.Л. Соболєв (нар. 1908р.) Першим розглянув окремий випадок узагальненої функції, що включає і дельта-функцію, і застосував створену теорію до розв'язання ряду задач математичної фізики. Важливий внесок у розвиток теорії узагальненої функції внести учні та послідовники Шварца - І.М. Гельфант, Г.Є. Шилов та ін

§ 1.3. Різні сучасні підходи до визначення поняття "функція".
Поняття функції часто зустрічається в шкільному курсі математики і добре знайоме учням. Тим не менше на вступних екзаменах у вузах надходять допускають багато помилок при використанні цього поняття. Пояснюється це різними причинами, але в першу чергу тим, що слово «функція» використовується в математиці в кількох сенсах, а в шкільних підручниках ця обставина не роз'яснено. Тому ми перш за все звернемося до визначення функції та іншим належать сюди поняттям і докладно зупинимося на тих різних розуміннях слова «функція», які зустрічаються в шкільному курсі математики.
Найбільш загальним (і, безумовно, основним) є в математиці таке визначення поняття функції. Кажуть, що визначена деяка функція, якщо, по-перше, задано деякий безліч, зване областю визначення функції, по-друге, задано деякий безліч, зване областю значень функції, і, по-третє, зазначено певну правило, за допомогою якого кожному елементу, взятому з області визначення, ставиться у відповідність певний елемент з області значень.
Наведемо кілька прикладів, що ілюструють це загальне визначення.
Приклад 1. Позначимо через А безліч всіх трикутників на площині, а через В - множина всіх кіл, взятих на цій же площині. Безліч А будемо вважати областю визначення, а множина В - областю значень (тієї функції, яку ми визначаємо). Нарешті, кожному трикутнику поставимо у відповідність окружність, вписану в цей трикутник. Це є цілком певне правило, яке кожному елементу взятому з області визначення (тобто трикутнику), ставить у відповідність певний елемент з області значень (тобто коло).
Приклад 2. Збережемо ті ж самі множини А і В, що і в
прикладі 1, тобто як і раніше будемо вважати областю визначення безліч всіх трикутників на площині, а областю значень-множина всіх кіл. Далі, кожному трикутнику поставимо у відповідність його описану коло. Ми отримуємо функцію з тією ж областю визначення А і тієї ж областю значень В. Але це вже інша функція, так як окружність зіставляється трикутнику за допомогою іншого правила.
Приклад 3. Позначимо через До безліч всіх кіл на площині, а через О - безліч всіх дійсних чисел. Далі, виберемо одиницю вимірювання площ і кожному елементу множини К, (тобто колі) поставимо у відповідність число, рівне площі цього кола. Ми отримуємо функцію з областю визначення К і областю значень D.
Приклад 4. Позначимо через N безліч всіх натуральних чисел, а через О-множина всіх дійсних чисел. Далі, виберемо два дійсних числа a ₁ і r і кожному натуральному числу п поставимо у відповідність дійсне число, рівне п-му члену арифметичній прогресії з першим членом а, і різницею r (Тобто натуральному числу п поставимо у відповідність дійсне число a ₁ + (n -1) r ). Ми отримуємо функцію з областю визначення N і областю значень D.
Приклад 5. Тепер ми приймемо і в якості області визначення, і в якості області значень множина D всіх дійсних чисел. Далі, виберемо два дійсних числа a ₁ і r і кожному дійсному числу х поставимо у відповідність число а ₁ + (х - 1) r. Ми отримуємо функцію з областю визначення D і областю значень D.
Зауважимо, що в прикладах 4 і 5 однакова область значень D і однаково правило відповідності: формули a ₁ + (n - 1) r і а ₁ + (х -1) r показують, що в обох випадках треба над обраним числом (n або х) проробити одні й ті ж дії, щоб дізнатися, яке число поставлено йому у відповідність. Однак області визначення цих двох функцій різні, і тому ми маємо на прикладах 4 і 5 різні функції. Таким чином, для завдання функції мало вказати правило відповідності, а треба ще обов'язково вказати область визначення і область значень.
Для позначення функцій зазвичай користуються літерами. Одна буква (найчастіше х) використовується для позначення довільного елемента, взятого з області визначення функції. Ця буква називається аргументом. Таким чином, якщо сказано, що х - аргумент деякої функції, то замість х ми можемо підставити будь-який елемент, що належить області визначення цієї функції. Далі, інша буква (найчастіше у) використовується для позначення довільного елемента, взятого з області значень. Ця буква називається функцією (і це друге значення слова «функція»). Нарешті, третя буква (найчастіше f) використовується для позначення правила відповідності. Це означає, що якщо а - довільне значення аргументу (тобто довільний елемент, взятий із області визначення функції), то елемент, поставлений йому у відповідність, позначається через f (а). Елемент y = f (а) називається значенням аналізованої функції при х = а.
Всі три літери х, у, f об'єднуються одним записом:
y = f (x) (1)
(«Ігрек дорівнює еф від ікс»), яка і означає, що х - аргумент,
у - функція, а f - Правило відповідності. Іноді букву f або вираз f (х) також називають функцією (і це - вже третє значення слова «функція»).
Приклад 6. Звернімося знову до функції, розглянутої у прикладі 4. Аргумент позначимо через п, функцію - через у, а правило відповідності - через f. Таким чином, ми запишемо цю функцію у вигляді у = f (n). Ось кілька значень цієї функції:
f (1) = a _1, f (2) = a ₂ = a ₁ + r, f (3) = a ₃ = a ₁ +2 r і т. д.
Зрозуміло, замість літер х, у, f можна використовувати і інші літери. Наприклад, запис s = j (t) означає, що s є функція аргументу t (або коротше: s є функція від t), причому правило відповідності позначається літерою j.
Слід підкреслити, що область значень функції є безліч елементів (або чисел), серед яких обов'язково містяться всі значення аналізованої функції. Однак в області значень можуть міститися і "зайві" елементи, які не є значеннями функції. Іншими словами, безліч значень функції обов'язково міститься в області значень, але не обов'язково збігається з нею. Так, в прикладі 3 значеннями функції є лише позитивні числа, тоді як область значень є безліч всіх дійсних чисел. Розбіжність безлічі значень функції і області значень можна бачити також в прикладі 4.
На закінчення розглянемо ще одне (четвертое!) розуміння слово «функція», що є для шкільного курсу математики найбільш важливим. Саме, функцією називають довільне вираз, що містить аргумент х, а також знаки дій і числа. Наприклад, функціями (у цьому сенсі) є
y = x ² +1, (2)
y = , (3)
y = | x-1 |, (4)
y = , (5)
y = , (6)
y = (7)
Чому ж такі формули називають «функціями» і чи не суперечить це розуміння функції сказаного вище? Зв'язок зі сказаним вище встановлюється таким угодою, якого ми усюди надалі будемо дотримуватися:
Якщо функція задана у вигляді рівності, у лівій частині якого стоїть у (або інша буква, що позначає функцію), а в правій частині стоїть деякий вираз, що містить аргумент х, а також знаки дії і числа (причому область визначення не вказана), то прийнято вважати, що
1) за область значень приймається все безліч D дійсних чисел;
2) за область визначення приймається безліч всіх тих дійсних чисел, при підстановці яких замість х здійсненні (у множині дійсних чисел) всі дії, зазначені в правій частині;
3) якщо число а належить області визначення, то значення функції при х = а дорівнює числу, виходить, якщо в праву частину підставити х = а і здійснити зазначені дії.
Отже, завдання функції формулою містить в собі і вказівку області визначення, і завдання правила відповідності.
Приклад 7. Знайти область визначення функцій (2) і (3); визначити, чи співпадають ці функції.
Рішення. Дії, зазначені в правій частині рівності (2), здійсненні при будь-якому дійсному значенні х, т. е. областю визначення функції (2) є все безліч D дійсних чисел (або, інакше, нескінченний інтервал - ¥ <х <¥). Функція (3) визначена для всіх дійсних чисел х, крім х = 0, т. тобто область визначення цієї функції виходить викиданням (або, як ще кажуть, «виколюванням») із багатьох D точки х = 0. Можна описати область визначення функції (3) і інакше: вона являє собою об'єднання двох нескінченних інтервалів (- ¥, 0) і (0, ¥).
Зауважимо, що при будь-якому х ¹ 0 значення функцій (2) та (3) збігаються. Тим не менше (2) і (3)-різні функції, так як їх області визначення не збігаються.
Приклад 8. Знайти області визначення функцій (5),
Рішення. Функція (5) визначена для всіх значень аргументу, крім х =- 2. Таким чином, область визначення цієї функції виходить виколюванням з числової осі точки х =- 2; інакше кажучи, ця область визначення є об'єднанням двох нескінченних інтервалів (- ¥, -2) і (-2, ¥).
Область визначення функції (6) складається з усіх точок, для яких подкоренное вираз невід'ємний, тобто ця область визначення задається нерівністю 1 + х ³ 0, або х ³ -1. Інакше кажучи, область визначення функції (6) являє собою нескінченний полуінтервал [-1, ¥). Кінцева точка х =- 1 цього полуінтервала належить області визначення.
Нарешті, область визначення функції (7) складається з усіх значень х, для яких подкоренное вираз в правій частині рівності (7) неотрицательно. Але якщо це подкоренное вираз відмінно від нуля, то воно неодмінно негативно. Значить, область визначення функції (7) складається лише з тих точок х, для яких подкоренное вираз звертається в нуль. Це буде при х =- 5, х =- 1 і х = 2. Таким чином, область визначення функції (7) складається лише з трьох точок: -5, -1 і 2.
Приклад 9. Знайти область визначення функції де f (х) = і g (x) = .
Рішення. Перший доданок f (х) визначено при виконанні двох умов: 1) подкоренное вираз
Область визначення функції f (x)
0 1 2
Область визначення функції g (x),
0
Область визначення функції f (x) + g (x).
0 1 2
Рис. 1.
невід'ємний, 2) знаменник не звертається в нуль. Перша умова означає, що x ³ 1 друга умова означає, що х ¹ 2. Таким чином, область визначення функції f (х) являє собою об'єднання полуінтервала [1,2) і нескінченного інтервалу (2, ¥). Далі, другий доданок g (x) визначено при 5 - x ² ³ 0, тобто при - £ х £ . Інакше кажучи, областю визначення функції g (x) є відрізок [- , + ].
Але для того, щоб деяка точка х = а належала області визначення функції у = f (х) + g (х), необхідно і достатньо, щоб при х = а була визначена і функція f (х), і функція g (х) . Іншими словами, область визначення функції у = f (х) + g (х) являє собою перетин областей визначення функцій f (х) і g (х). Отже (рис. 1), область визначення функції у = f (х) + g (х) являє собою об'єднання полуінтервалов [1, 2) і (2, ].
§ 3.4. Графік функції.
Виберемо на площині прямокутну систему координат і будемо відкладати на осі абсцис значення аргументу х, а на осі ординат - значення функції у = f (х). Графіком функції у = f (х) називається множина всіх точок, в яких абсциси належать області визначення функції , а ординати рівні відповідним значенням функції y = f (x).
Іншими словами, графік функції у = f (х) - це множина всіх точок площини, координати х, у яких задовольняють співвідношенню y = f (x).

Рис. 2.
На рис. 2 і 3 наведені графіки функцій у = 2 x + 1 і у = х ² -2 х.
Строго кажучи, слід розрізняти графік функції (точне математичне визначення якого було дано вище) і накреслену криву, яка завжди дає лише більш-менш точний ескіз графіка (та й то, як правило, не всього графіка, а лише його шматка, розташованого в кінцевій частини площині). Надалі, проте, ми звичайно будемо говорити «графік», а не «ескіз графіка».
За допомогою графіка можна знаходити значення функції в точці. Саме, якщо точка х = а належить області визначення функції y = f (x), то для знаходження числа f (а) (Тобто значення функції в точці х = а) слід вчинити так. Треба через точку з абсцисою x = а провести пряму, паралельну осі ординат; ця пряма перетне графік функції у = f (x) в одній точці; ордината цієї точки і буде, в силу визначення графіка, дорівнює f (а) (рис. 4 ). Наприклад, для функції f (х) = х ² -2 х

Рис. 4.
за допомогою графіка (рис. 3) знаходимо f (-1) = 3, f (0) = 0, f (1) =- 1, f (2) = 0 і т.д.
Графік функції наочно ілюструє поведінку і властивості функції. Наприклад, з розгляду рис. 3 ясно, що функція y = х ² -2 г приймає позитивні значення при х <0 і при x> 2, негативні - при 0 <х <2; найменше значення функція у = х ² -2 х приймає при х = 1.
Для побудови графіка функції f (х) потрібно знайти всі точки площини, координати х, у яких задовольняють рівняння у = f (х). У більшості випадків це зробити неможливо, тому що таких точок нескінченно багато. Тому графік функції зображають приблизно - з більшою або меншою точністю. Найпростішим є метод побудови графіка по декількох точках. Він полягає в тому, що аргументу х надають кінцеве число значень - скажімо, x _1, х _2, ..., х _k - і складають таблицю, в яку входять вибрані значення функції. Таблиця виглядає наступним чином:
Склавши таку таблицю, ми можемо намітити декілька точок графіка функції у = f (х). Потім, поєднуючи ці точки плавною лінією, ми і отримуємо приблизний вигляд графіка функції y = f (x).
Слід, однак, зауважити, що метод побудови графіка по декількох точках дуже ненадійний. Справді, поведінка графіка між наміченими точками і поведінку його поза відрізку між крайніми з узятих точок залишається невідомим.
Приклад 10. Для побудови графіка функції y = f (х) хтось склав таблицю значень аргументу і функції:

Відповідні п'ять точок показані на рис. 5. На підставі розташування цих крапок він зробив висновок,
Рис. 5.
що графік функції являє собою пряму (показану на рис. 5 пунктиром). Чи можна вважати цей висновок надійним? Якщо немає додаткових міркувань, що підтверджують цей висновок, його навряд чи можна вважати надійним. Простий приклад ілюструє сказане. Розглянемо функцію
.
Обчислення показують, що значення цієї функції в точках -2, -1, 0, 1, 2 якраз описуються наведеною вище таблицею. Проте графік цієї функції зовсім не є прямою лінією (він показаний на рис. 6). Іншим прикладом може служити функція y = x + 1 + sin p x; її значення теж описуються наведеною вище таблицею.
Цей приклад показує, що в «чистому» вигляді метод побудови графіка по декількох точках ненадійний.

Рис 6 Рис. 6.

Тому для побудови графіка заданої функції, як правило, надходять у такий спосіб. Спочатку вивчають властивості даної функції, за допомогою яких можна побудувати ескіз графіка. Потім, обчислюючи значення функції в декількох місцях (вибір яких залежить від встановлених властивостей функції), знаходять відповідні точки графіка. І, нарешті, через побудовані точки проводять криву, використовуючи властивості даної функції.
Деякі (найбільш прості і часто використовувані) властивості функцій, які застосовуються для знаходження ескізу графіка, ми розглянемо в § 4, а зараз розберемо деякі часто вживані способи побудови графіків.
§ 1.5. Основні властивості функції п.1.5.1. обмеженість
Тепер ми повинні ознайомитися з властивістю функцій, яке є інтегральним, т. е. може бути визначено відразу для будь-якої безлічі значень незалежної змінної, не потребуючи попередньому визначенні для окремих її значень (в окремих точках). Функція у = f (х) називається обмеженою на множині M, якщо всі значення, що приймаються нею на цій множині, належать деякому відрізку; очевидно, замість цього ми можемо пред'явити і зовсім равносильное вимога: існує таке додатне число с, що f (х) <с для всіх х Î М. Більш детально, ми називаємо функцію у обмеженої зверху (знизу) на М, якщо існує таке число с, що f (х) <с (f (х)> с) для всіх х Î М. Функція просто обмежена повинна бути для цього, очевидно, обмежена як зверху, так і знизу.
Число з, про який йдеться у визначенні обмеженості, вибирається відразу для всього безлічі М. У кожній окремій точці цієї множини, якщо функція в ній визначена, таке число з існує тривіальним чином: для точки х досить покласти, наприклад, з = | f ( x) | +1. Але функція, визначена, наприклад, в кожній точці деякого відрізка, може бути і необмеженої в цьому відрізку; щоб у цьому переконатися, згадаємо, що tg х зростає безмежно при х ® - 0, так що функція

не обмежена на відрізку [0, ].
Як для багатьох інтегральних властивостей, можна, проте, і для обмеженості функції цьому відрізку вказати таке локальне властивість, виконання якого в кожній точці даного відрізка рівносильно виконання розглянутого інтегрального властивості. Домовимося називати функцію у обмеженою в точці х, якщо вона обмежена в деякому околі U числа х. Ми можемо тепер стверджувати, що для обмеженості функції у = f (х) на відрізку [а, b] (Закритому) необхідно і достатньо, щоб вона була обмежена в кожній точці цього відрізка. Необхідність цієї умови випливає з самих визначень і не потребує доказу; щоб, показати його достатність, припустимо, що кожне число х відрізка [а, b] може бути оточене околицею U _x, в якій функція у обмежена: застосовуючи лему Гейне-Бореля, ми знаходимо, що відрізок [а, b] покривається кінцевим числом відрізків = D _1, D _2, ..., D _n) у кожному з яких у обмежена. Якщо | у | <З _i у відрізку D _i (i = 1, 2, ..., п) і якщо з є найбільше з чисел з _1, с _2, ..., с _n, то | у | <с для всіх х Î [а, b], ніж наше твердження і доведено.
Домовимося називати безліч чисел N обмеженим, якщо всі вхідні в нього числа можуть бути укладені в деякий відрізок. Очевидно, що обмеженість функції у = f (х) на множині М рівносильна обмеженості безлічі N значень, прийнятих цією функцією, коли величина х «пробігає» безліч М, т. тобто приймає всілякі значення, що належать цій безлічі. Само собою зрозуміло, що означають терміни «безліч N обмежена зверху (або праворуч)» та «безліч N обмежена знизу (або зліва)».
Домовимося називати число b верхньою межею безлічі N, якщо: 1) безліч N не містить чисел, більших, ніж b, і 2) в будь-який околиці числа b знайдеться число, яке належить цій безлічі. Подібним же чином нижньою межею безлічі N ми назвемо таке число a, що: 1) у множині N немає чисел, менших, ніж a, і 2) в будь-який околиці числа a знайдеться число, яке належить безлічі N. Очевидно, що безліч, що має верхню (нижню) грань, обмежена зверху (знизу).
Приклад 14. Довести, що функція f (х) = не є обмеженою зверху.
Рішення. Потрібно довести, що для будь-якого числа b існує (хоча б одне) значення х з області визначення функції, для якого f (x) b, тобто ³ b.
Область визначення функції являє собою об'єднання двох нескінченних інтервалів (- ¥, 1) і (1, ¥). Очевидно, що якщо b £ 0, то нерівність ³ b виконується, наприклад, при х = 0. Якщо ж b> 0, то нерівність ³ b в області визначення функції рівносильно нерівності | x -1 | £ , Яке виконується, наприклад, при х = 1 + , Що й потрібно було довести.

п.1.4.2. парність, непарність
Функція у = f (х) називається парною, якщо вона володіє наступними двома властивостями: 1) область визначення цієї функції симетрична відносно точки 0 (тобто якщо точка а належить області визначення, то точка - а також належить області визначення), 2 ) для будь-якого значення х, що належить області визначення цієї функції, виконується рівність f (x) = f (- x).
Функція у = f (х) називається непарною, якщо:
1) область визначення цієї функції симетрична відносно точки 0;
2) 2) для будь-якого значення х, що належить області визначення цієї функції, виконується рівність f (x) =- f (- x).
Без праці перевіряється, що функція y = | х | є парною. Точно так само функція у = х ^{2 n} парна, а функція у = x ^{2 n +1} непарна (при будь-якому цілому п). Без праці перевіряється також, що сума, різниця, твір і приватне двох парних функцій знову є парними функціями. Далі, сума і різниця двох непарних функцій є непарними функціями. Нарешті, твір і приватне двох непарних функцій є парними функціями, а твір і приватне парній і непарній функцій є непарними функціями
Зі сказаного випливає, наприклад, що многочлен, у якого всі показники парних, є парною функцією, а многочлен, у якого всі показники непарних, є непарною функцією. Так, функція y = х ⁴ +2 х ² -1 парна, а функція х ³ - х ⁵ непарних.
Не слід думати, що всяка функція неодмінно є або парному або непарному: існують функції, які не є ні парними, ні непарними.
Приклад 15. Довести, що функція f (х) = 2 х +1 не є ні парною, ні непарною.
Рішення. Областю визначення цієї функції є вся числова вісь, тобто умова 1) у визначенні парній і непарній функцій виконано. Щоб довести, що функція f (х), не є парною, ми повинні тому довести, що умова 2) у визначенні парному функції не виконано, тобто що існує (хоча б одне) значення х, для якого f (x) f (- x). Візьмемо x = 1. Тоді f (1) = 3, f (-1) =- 1, тобто f (1) ¹ f (-1). Таким чином, функція f (х) не є парною. Аналогічно, так як f (1) ¹ - f (-1), то функція f (x) = 2 x +1 не є непарною.
Парність або непарність функції вельми істотно позначається на формі графіка цієї функції. Саме, мають місце наступні дві теореми:
Теорема. Графік парної функції симетричний відносно осі у.
Доказ. Нехай точка (x _0; y ₀₎ належить графіку парної функції у = f (х), тобто у ₀ = f (х _0). Точка, симетрична з точкою у = f (х) відносно осі у, має координати (- х _0; у _0). Треба довести, що точка (- x _0; y ₀₎ належить графіку функції у = f (х), тобто довести, що y ₀ = f (- х _0). Але це випливає з визначення парному функції: f (-х ₀₎ = f (х ₀₎ = y _0.

Рис. 10

Теорема. Графік непарної функції симетричний відносно початку координат (0; 0).
Зауваження. З цих теорем випливає, що для побудови графіка парної функції досить побудувати частину графіка цієї функції для х ³ 0, а потім збудовану частину графіка симетрично відобразити щодо осі у, т. Е. для кожної точки графіка з абсцисою х> 0 побудувати точку, симетричну їй щодо осі у. Зокрема, у такий спосіб можна побудувати графік функції y = f (| x |), так як функція f (| x |) є парною. Для побудови графіка непарної функції досить побудувати частину графіка цієї функції для х ³ 0, а потім збудовану частину графіка симетрично відобразити відносно точки (0; 0), тобто для кожної точки графіка з абсцисою х> 0 побудувати точку, симетричну їй щодо початку координат. (Зауважимо, що для здійснення симетрії деякої кривої відносно початку координат можна поступити наступним чином: спочатку дану криву До симетрично відобразити щодо осі ординат, а потім отриману криву К 'симетрично відобразити щодо осі абсцис, рис. 10)
п.1.4.3. монотонність
Функція у = f (х) називається неубутною на відрізку [а, b], якщо при а £ х ₁ £ х ₂ £ b завжди f (x ₁₎ £ f (x _2); якщо при тому ж умови завжди f (x ₁₎ ³ f (x ₂ ), функція f (х) називається незростаючими на відрізку [а, b]. неспадними і незростаючими функції разом утворюють клас монотонних функцій. Монотонні функції мають цілу низку спеціальних властивостей, які роблять їх у багатьох випадках дуже зручним знаряддям дослідження.
Перш за все всяка функція f (х), монотонна на даному, відрізку [а, b], обмежена на цьому відрізку [як зазвичай, відрізок передбачається закритим; для відкритих відрізків твердження не так: функція у = монотонна, але не обмежена у відкритому відрізку (0,1)]; справді, при а £ x £ b f (х) укладено між f (a) і f (b); очевидно, далі, що гранями монотонної функції служать її значення f (а) і f (b) в кінцях даного відрізка; ці ж числа служать найбільшим і найменшим значеннями монотонної функції f (х) в відрізку [а, b].
п.1.4.4. точки екстремуму
Розглянемо графік неперервної функції y = f (x), зображеної на малюнку. Значення функції в точці x ₁ буде більше значень функції у всіх сусідніх точках як зліва, так і праворуч від x _1. У цьому випадку говорять, що функція має в точці x ₁ максимум. У точці x ₃ функція, очевидно, також має максимум. Якщо розглянути точку x _2, то в ній значення функції менше всіх сусідніх значень. У цьому випадку говорять, що функція має в точці x ₂ мінімум. Аналогічно для точки x _4.
Функція y = f (x) в точці x ₀ має максимум, якщо значення функції в цій точці більше, ніж її значення в усіх точках деякого інтервалу, що містить точку x _0, тобто якщо існує така околицю точки x _0, що для всіх x ≠ x _0, що належать цій околиці, має місце нерівність f (x) <f (x _0).
Функція y = f (x) має мінімум в точці x _0, якщо існує така околицю точки x _0, що для всіх x ≠ x _0, що належать цій околиці, має місце нерівність f (x)> f (x _0).
Точки, в яких функція досягає максимуму і мінімуму, називаються точками екстремуму, а значення функції в цих точках екстремумами функції.
Звернемо увагу на те, що функція, визначена на відрізку, може досягати максимуму і мінімуму тільки в точках, укладених усередині розглянутого відрізка.
Відзначимо, що якщо функція має в точці максимум, то це не означає, що в цій точці функція має найбільше значення у всій області визначення. На малюнку, розглянутому вище, функція в точці x ₁ має максимум, хоча є точки, в яких значення функції більше, ніж у точці x _1. Зокрема, f (x ₁₎ <f (x ₄₎ тобто мінімум функції більше максимуму. З визначення максимуму слід тільки, що це найбільше значення функції в точках, достатньо близьких до точки максимуму.
Теорема. (Необхідна умова існування екстремуму.) Якщо диференційована функція y = f (x) має в точці x = x ₀ екстремум, то її похідна в цій точці звертається в нуль.
Доказ. Нехай для визначеності в точці x ₀ функція має максимум. Тоді при достатньо малих збільшеннях Δ x маємо f (x ₀ + Δx) <f (x _0), тобто f (x ₀ + D x) - f (x ₀₎ <0. Але тоді при D x <0, при D x> 0.
Переходячи в цих нерівностях до границі при Δ x → 0 і враховуючи, що похідна f '(x ₀₎ існує, а отже межа, що стоїть ліворуч, не залежить від того як Δ x → 0, отримуємо: при Δx → 0-0 f '(x ₀₎ ≥ 0 а при Δx → 0 +0
f '(x ₀₎ ≤ 0. Так як f '(x ₀₎ визначає число, то ці два нерівності спільно тільки в тому випадку, коли f' (x ₀₎ = _0.

Доведена теорема стверджує, що точки максимуму і мінімуму можуть знаходитися тільки серед тих значень аргументу, при яких похідна звертається в нуль. Ми розглянули випадок, коли функція у всіх точках деякого відрізка має похідну Функція може мати екстремум лише у двох випадках: 1) у точках, де похідна існує і дорівнює нулю, 2) в точці, де похідна не існує. Однак, якщо в деякій точці x 0 ми знаємо, що f '(x 0) = 0, то звідси не можна робити висновок, що в точці x 0 функція має екстремум. Значення аргументу з області визначення функції, при яких похідна функції звертається в нуль або не існує, називаються критичними точками.

З усього вищесказаного випливає, що точки екстремуму функції знаходяться серед критичних точок, і, проте, не всяка критична точка є точкою екстремуму. Тому, щоб знайти екстремум функції, потрібно знайти всі критичні точки функції, а потім кожну з цих точок дослідити окремо на максимум і мінімум. Для цього служить наступна теорема.
Теорема. (Достатня умова існування екстремуму.) Нехай функція неперервна на деякому інтервалі, який містить критичну точку x _0, і диференційована у всіх точках цього інтервалу (крім самої точки x _0). Якщо при переході зліва направо через цю точку похідна змінює знак з плюса на мінус, то в точці x = x ₀ функція має максимум. Якщо ж при переході через x ₀ зліва направо похідна змінює знак з мінуса на плюс, то функція має в цій точці мінімум.
Таким чином, якщо
a. f '(x)> 0 при x <x ₀ і f '(x) <0 при x> x _0, то x ₀ - точка максимуму;
b. f '(x) <0 при x <x ₀ і f' (x)> 0 при x> x _0, то x ₀ - точка мінімуму.
Доказ. Припустимо спочатку, що при переході через x ₀ похідна змінює знак з плюса на мінус, тобто при всіх x, близьких до точки x ₀ f '(x)> 0 для x <x _0, f' (x) <0 для x> x _0. Застосуємо теорему Лагранжа до різниці f (x)-f (x ₀₎ = f '(c) (xx _0), де c лежить між x і x _0.
1. Нехай x <x _0. Тоді c <x ₀ і f'( c)> 0. Тому f '(c) (xx ₀₎ <0 і, отже,
f (x) - f (x ₀₎ <0, тобто f (x) <f (x _0).
2. Нехай x> x _0. Тоді c> x ₀ і f '(c) <0. Значить f' (c) (x-x ₀₎ <0. Тому f (x) - f (x ₀₎ <0, тобто. f (x) <f (x _0).
Таким чином, для всіх значень x досить близьких до x ₀ f (x) <f (x _0). А це означає, що в точці x ₀ функція має максимум.
Аналогічно доводиться друга частина теореми про мінімум.
Проілюструємо зміст цієї теореми на малюнку. Нехай
f '(x ₁₎ = 0 і для будь-яких x, досить близьких до x _1, виконуються нерівності
f '(x) <0 при x <x _1, f' (x)> 0 при x> x _1.
Тоді зліва від точки x ₁ функція зростає, а праворуч убуває, отже, при x = x ₁ функція переходить від зростання до спаданням, тобто має максимум.
Аналогічно можна розглядати точки x ₂ і x _3.
Правило дослідження функції y = f (x) на екстремум
1. Знайти область визначення функції f (x).
2. Знайти першу похідну функції f '(x).
3. Визначити критичні точки, для цього:
a. знайти дійсні корені рівняння f '(x) = 0;
b. знайти всі значення x при яких похідна f '(x) не існує.
4. Визначити знак похідної ліворуч і праворуч від критичної точки. Так як знак похідної залишається постійним між двома критичними точками, то достатньо визначити знак похідної в будь-якій одній точці зліва і в одній точці праворуч від критичної точки.
5. Обчислити значення функції в точках екстремуму.
Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
Найбільшим значенням функції на відрізку називається найбільше з усіх її значень на цьому відрізку, а найменшим - найменшу з усіх її значень.
Розглянемо функцію y = f (x) безперервну на відрізку [a, b]. Як відомо, така функція досягає свого найбільшого і найменшого значень, або на кордоні відрізка, або всередині нього. Якщо найбільше або найменше значення функції досягається у внутрішній точці відрізка, то це значення є максимумом або мінімумом функції, тобто досягається в критичних точках.
Таким чином, отримуємо наступне правило знаходження найбільшого і найменшого значень функції на відрізку [a, b]:
1. Знайти всі критичні точки функції в інтервалі (a, b) і обчислити значення функції в цих точках.
2. Обчислити значення функції на кінцях відрізка при x = a, x = b.
3. З усіх отриманих значень вибрати найбільшу і найменшу.
п.1.4.5. безперервність
Приступаючи до вивчення функціональних залежностей, ми повинні, звичайно, перш за все за допомогою доцільною класифікації внести хоча б деякий порядок у майбутній нам різноманітний світ. Першим таким класифікаційною і організуючим принципом служить зазвичай (і з повною підставою) поділ всіх функцій на безперервні і розривні, причому математичний аналіз фактично має справу майже виключно з безперервними функціями, лише в порівняно рідкісних випадках залучаючи до розгляду та найпростіші з розривних. Безперервні функції мають цілу низку особливих властивостей, яких позбавлені, взагалі кажучи, функції розривні; завдяки цим властивостям дослідження і застосування безперервних функцій досить значно полегшуються, так що вивчення цих властивостей стає для аналізу надзвичайно важливою справою.
Ми говоримо, що функція у = f (х) неперервна при х = а (або, коротше, в точці а), якщо f (х) = f (а), або, що в силу визначення поняття межі рівнозначно тому ж, якщо для будь-якої околиці V числа f (а) знайдеться така околиця U числа а, що для будь-якого х Î U ми маємо f (х ) Î V. Таким чином, для безперервності функції в точці а потрібно, по-перше, існування межі f (х) і, по-друге, збіг цієї межі з тим значенням, яке функція приймає при х = а. Само собою зрозуміло, що друге з першого ще не випливає, як показує приклад функції
(3)
З приводу цього визначення треба насамперед помітити, що так розуміється безперервність є локальне (місцеве) властивість функції, тобто така властивість, яким функція може мати в одній точці і не мати в другий, бо, функція (3) розривна (т . тобто не безупинна) при х = 0 і неперервна при будь-якому іншому значенні х; це - дуже важлива обставина, яка ніколи не треба випускати з виду.
Далі, ми називаємо, функцію безперервної в даному відрізку [а, b], якщо вона у вищенаведеному розумінні неперервна в кожній точці цього відрізка; при цьому в точці а залишається лише безперервність праворуч, т, тобто співвідношення f (х) = f (а), а в точці b - безперервність ліворуч, обумовлена ​​аналогічним співвідношенням, яке Ви напишете самі (якщо мається на увазі відкритий відрізок (а, b), то, зрозуміло, в точках а і b від функції нічого не потрібно). Зауважимо до речі, що математики давно вже користуються дуже зручним позначенням
f (a) = f (a + 0), ,
за допомогою якого визначення безперервності функції f (x) в точці а можна записати за допомогою досить простого співвідношення
f (a + 0) = f (a-0) = f (a);
це позначення не може привести ні до яких змішання, якщо тільки пам'ятати, що f (а + 0) і f (а-0) представляють собою не значення функції f (х) у будь-яких точках, а межі таких значень при деяких певних змінах величини х.
п.1.4.6. періодичність
Функція у = f (х) називається періодичною, якщо існує таке число Т> 0, що для, кожного значення х з області визначення цієї функції значення х + Т і х-Т також належать області визначення і виконується рівність f (x + Т) = f (x). При цьому число Т називається періодом функції y = f (x). З цього визначення випливає, що
f (x + 2 T) = f [(x + T) + T] = f (x + T) = f (x),
f (х + 3 T) = f [(x + 2 T) + T] = f (x + 2 T) = f (x),
f (x) = f [(x - T) + T] = f (x - T)
і т. д. Звідси, використовуючи метод математичної індукції,

Рис. 12
отримуємо, що для будь-якого п = 0, ± 1, ± 2, ..., виконується рівність f (x + ПТ) = f (х), Таким чином, кожне з чисел nТ (п = 1,2,3, ...) також є періодом функції f (х).
Ми припускаємо, що читач добре знайомий з періодичними функціями sinx, соsx і tg х.
Приклад 16. Довести, що функція є періодичною з періодом 2p.
Рішення. Область визначення розглянутої Функції виходить викиданням з числової осі тих точок, в яких знаменник перетворюється в нуль, тобто точок - +2 K p (k-ціле). Звідси видно, що якщо точка х належить області визначення аналізованої функції f (x), то точки x +2 p і x -2 p також належать цій області визначення. Залишається перевірити, що виконано рівність f (x +2 p) = f (x). Ми маємо
f (x + 2 p) =
Приклад 17. Довести, що функція f (х) = | sinх | є періодичною з періодом p.
Рішення. Область визначення функції f (х) = | sinх | вся числова вісь. Тому для будь-якого k точки х + p і х-p належать області визначення. Залишається перевірити, що виконано рівність f (x + p) = f (х). Ми маємо f (x + p) = | sin (x + p) | = | - sinx | = | sinx | = f (x).

Глава II. Вивчення основних елементарних функцій у шкільному курсі математики.
У результаті вивчення курсу математики учні повинні:
§ розуміти, що функція - це математична модель, що дозволяє описувати й вивчати різноманітні залежності між реальними величинами, що конкретні типи функцій (пряма і зворотна пропорційності, лінійна, квадратична функції) описують велику різноманітність реальних залежностей;
§ правильно вживати функціональну термінологію (значення функції, аргумент, графік функції, область визначення, зростання та ін), розуміти її в тексті, у мові вчителя, у формулюванні завдань;
§ знаходити значення функції, заданих формулою, таблицею, графіком; вирішувати зворотну задачу;
§ знаходити за графіком функції проміжки зростання та спадання функції, проміжки знакопостоянства, найбільше і найменше значення;
§ будувати графіки лінійної функції, прямої і зворотної пропорційності, квадратичної функції;
§ інтерпретувати в нескладних випадках графіки реальних залежностей між величинами, відповідаючи на поставлені питання.
Шкільний курс вивчення функції будується за аналогією з розвитком в історії поняття функції.
§ 2.1. Лінійна функція.
Лінійної функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y = kx + b, де х - незалежна змінна, k і b - деякі числа. Таке визначення дає Ю.М. Макаричєв та ін в своєму підручнику з алгебри у 7 класі, в параграфі 13.
І тільки після цього в наступному параграфі дається визначення прямої пропорційності. Перед тим як ввести визначення пропонується завдання про обсяг залізного бруска. Залежність маси залізного бруска від його обсягу є прикладом функції, яка задається формулою виду у = k х. І тільки потім дається визначення. Звертається увага на те, що пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції, так як формула у = k х виходить з формули y = kx + b при b = 0 і для того, щоб побудувати графік прямої пропорційності досить відзначити будь-яку точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через цю точку і початок координат пряму.
Цілий параграф в даному підручнику відводиться на вивчення взаємного розташування графіків лінійних функцій. Графіки двох лінійних функцій, заданих формулами виду y = kx + b, перетинаються, якщо коефіцієнти при х різні, і паралельні, якщо коефіцієнти при х однакові.
На відміну від підручника Ю.М. Макаричева та ін, в підручнику Ш. О. Алімова і ін поняття прямої пропорційності вводиться раніше лінійної функції. Школярам пропонується знайти площу трикутника, основа якого дорівнює 3, а висота х. нехай шукана площа буде у. Тоді відповідь можна записати у = 3 х. якщо ж підстава трикутника одно k, тоді залежність між висотою х і площею у виражається формулою у = k х. Всі початкові інформацію про лінійної функції вводяться на прикладі його окремого випадку у = k х. На відміну від Ю.М. Макаричева та ін, школярів вже в 7 класі знайомлять з поняттям зворотної пропорційності. Як приклад наводиться залежність швидкості від часу. Говориться про те, що густина речовини при постійній масі обернено пропорційна його об'єму.
І тільки в наступному параграфі дається визначення лінійної функції в загальному вигляді. Школярам пояснюється, що графік функції y = kx + b виходить зрушенням графіка функції y = kx на b одиниць вздовж осі ординат. Графіки даних функцій паралельні.
У підручнику А.Г. Мордкович поняття «Лінійна функція» вводиться зовсім інакше. Оскільки визначення функції буде говорити лише у 9 класі, змінюється традиційна методика викладу теми «Лінійна функція» - першої теми, пов'язаної з поняттям функції. Першою (в § 28) вивчається тема «Лінійні рівняння з двома змінними». Розглядаються завдання наступного типу:
- Знайти будь-яке рішення рівняння 2 х +3 у = 5;
- Знайти рішення рівняння 2 х +3 у = 5, знаючи, що х = 2, знаючи що в = 0, і т.п.;
- Побудувати графік рівняння х + у = 3 і з допомогою графіка дізнатися декілька рішень цього рівняння.
Далі увагу учнів звертається на те, що графік лінійного рівняння з двома змінними з двома змінними простіше будувати, якщо рівняння перетворено до виду y = kx + b, для якого вживається термін «лінійна функція». Пізніше їм повідомляється, що існують і інші функції, наприклад у = х ² (її вивченню присвячена глава 7).
У підручнику вводяться теореми без доказу, наприклад:
Теорема 2. Графіком лінійної функції y = kx + b є пряма.
Теорема 4. Пряма, що служить графіком лінійної функції y = kx + b, паралельна прямій, яка є графіком прямої пропорційності y = kx.

§ 2.2. Квадратична функція.
З квадратичною функцією учні в підручниках Ш.А. Алімова вперше стикаються у 8 класі.
У § 35 учні знайомляться з визначенням квадратичної функції. Даються приклади з життя, де має місце бути квадратична функція. Наприклад, залежність площі квадрата від його боку є прикладом функції y = x ^2.
У § 36 пропонується розглянути функцію y = x ^2, тобто квадратичну функцію y = ax ² + bx + c прі, а = 1, b = 0, с = 0.
Для побудови функції складається таблиця, а потім точки відзначаються на координатній площині і з'єднуються. Графік функції y = x ² називається параболою.
Після чого з'ясовуються деякі властивості функції y = x ^2.
У § 37 учням пропонується побудувати графік функції y = ax ^2. Порівнюється графіки функцій y = ax ² і y = x ^2. Кажуть, що графік функції y = а x ² виходить розтяганням графіка функції y = x ² від осі Ох уздовж осі Оу в а разів.
Розглядаються властивості функції y = ax ^2, де а ¹ 0
1) якщо а> 0, то функція y = ax ² приймає позитивні значення при х ¹ 0;
якщо а <0, то функція y = ax ² приймає негативні значення при х ¹ 0;
2) Парабола y = ax ² симетрична відносно осі ординат;
3) Якщо а> 0, то функція y = ax ² зростає при х ³ 0 убуває і при х £ 0;
Якщо а <0, то функція y = ax ² убуває при х ³ 0 і зростає при х £ 0.
У § 38 автор пропонує побудувати графік квадратичної функції. Для цього пропонується використовувати метод виділення повного квадрата (отримали у = (х + т) ² + п), а потім порівняти отриманий графік з графіком функції у = х ^2. Робиться висновок що ми отримуємо параболу зрушену на т одиниць по осі Ох і на п одиниць по осі Оу.
У § 39 наводиться алгоритм побудови графіка квадратичної функції будь-y = ax ² + bx + c:
1. Побудувати вершину параболи (х _0, у _0), обчисливши х _0, у ₀ за формулами .
2. Провести через вершину параболи пряму паралельну осі ординат, - вісь симетрії параболи.
3. Знайти нулі функції, якщо вони є, і побудувати на осі абсцис відповідні точки параболи.
4. Побудувати дві якісь точки параболи, симетричні відносно її осі. Для цього треба взяти дві точки на осі, симетричні відносно точки х ₀ (Х ₀ ¹ 0), і обчислити відповідні значення функції (ці значення однакові). Наприклад, можна побудувати точки параболи з абсцисами х = 0 і х = 2 х ₀ (ординати цих точок рівні с)
5. Провести через побудовані точки параболу.
При вивченні теми формуються вміння визначати за графіком проміжки зростання функції, проміжки знакопостоянства, нулі функції. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції і вирішення завдань з їх застосуванням не входить до числа обов'язкових.
У висновку, учням надається можливість ще раз повторити рішення систем двох рівнянь, одне з яких першою, а інше другого ступеня.
У підручниках Ю.М. Макаричева та ін з функцією y = x ² учні вперше стикаються в 7 класі. Всі відомості розглядаються в цьому параграфі аналогічно підручника Ш.А. Алімова за 8 клас.
Подальше ж знайомство з квадратичною функцією відбувається тільки в 9 класі.
Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y = ax ² + bx + c, де х - незалежна змінна, а, b і с - деякі числа, причому, а ¹ 0 - так починається § 3 в даному підручнику.
Вивчення квадратичної функції починають з окремого випадку - функції y = ax ^2.
При а = 1 формула y = ax ² приймає вигляд y = x ^2. З цією формулою учні вже зустрічалися у 7 класі. На відміну від підручника Ш. А. Алимова формулюється 5 властивостей. Додається властивість, що графік функції проходить через початок координат, і властивість про найбільший і найменшому значенні.
У наступному пункті розглядаються графіки функції у = ах ² + п і у = а (х-т) ^2. Учням пропонується з'ясувати, що представляють собою графіки даних функцій.
І нарешті в останньому пункті даної теми рассматрівется побудова графіка квадратичної функції. Тут пропонується алгоритм побудови квадратичної функції, що складається з трьох пунктів:
1) Знайти координати вершини параболи і відзначити її в координатній площині;
2) Побудувати ще кілька точок, що належать параболі;
3) З'єднати відмічені точки плавною лінією.
У підручнику Мордкович функція y = x ² вводиться в сьомому класі:
по-перше, для того щоб школяр, цілий рік вивчав курс алгебри, не закінчив рік з переконанням, що в природі існують тільки лінійні функції; треба відкрити двері в подальші розділи математики;
по-друге, ця функція допомагає більш глибокого вивчення лінійної функції.
У результаті в 7 класі учні знайомляться з графіком і властивостями функції y = x ^2, навчаються графічно вирішувати рівняння.
Подальше знайомство з цією функцією відбувається у 8 класі. Так, у § 12 наведено два алгоритму побудови графіка функції у = f (x + l) + m, якщо відомий графік функції y = f (x).
У § 13, де йдеться про побудову графіка квадратичної функції, робиться акцент не на відшуканні координат вершини параболи, яка є графіком функції y = ax ² + bx + c, а на відшуканні рівняння осі симетрії параболи . По - перше, побудова осі параболи саме по собі значимо з геометричної точки зору: наявність осі параболи дає учням можливість знайти одну-дві пари симетричних щодо осі точок параболи, які використовуються як контрольні точки для більш точного ескізу графіка. По - друге, знаючи рівняння осі х = х _0, учень зможе знайти ординату вершини параболи за формулою у ₀ = f (х _0), більш важливою, не мій погляд, для розуміння суті справи, ніж вимагає спеціального запам'ятовування формула .
§ 2.3. Зворотній пропорційність.
У підручниках Алімова функція у = вводиться тільки в 9 класі. § 15 починається з завдання: побудувати графік функції у = . Побудова здійснюється за допомогою властивостей функції. Після даної задачі, говориться що у = - Гіпербола.
У другій завдання пропонується побудувати графік функції у = , При k = 2 і k =- 2. Дана задача дозволяє порівняти графіки функцій зворотної пропорційності з різними знаками. У результаті дається визначення гіперболи у загальному випадку і даються її властивості.
У кінці пункту наводиться приклад з життя, де зустрічається дана функція. Говориться, що функція у = при k> 0 висловлює зворотну пропорційну залежність між х та у. Така залежність між величинами часто зустрічається у фізиці, техніці і т.д.
Наприклад, при рівномірному русі по колу з постійною швидкістю v тіло рухається з доцентровим прискоренням а, рівним , Де r - радіус кола, тобто в цьому випадку прискорення назад пропорційно радіусу кола.
Учням доведеться опанувати такими властивостями, як область визначення, парність і непарність функції, зростання і спадання функції на проміжку.
У підручнику Макаричева дана функція вводиться в 8 класі. На вивчення даної функції відводиться тільки § 8 з третього розділу. Параграф починається з прикладу про площу прямокутника, завдяки чому учнів підводять до визначення зворотної пропорційності. Далі наводиться приклад побудови графіка функції при k> 0. Звертається увага на те, що при х = 0 вираз сенсу не має. Потім для порівняння будується другий графік при k негативному. І в кінці параграфа дається визначення графіка оберненої функції.
У підручниках Мордкович зворотна функція вивчається у 8 класі разом з функцією y = x ^2. І вводиться точно так само як у підручнику Макаричева.

§ 2.4. Степенева функція.
У підручниках Алімова зі ступеневою функцією учні зустрічаються в 9 класі.
З функціями у = х і у = х ² учні познайомилися, і їм пояснюється що ці функції - окреме питання статечної функції у = х ^r, де r-задане число (причому як ціле, так і дробове). Після чого формулюються властивості даної функції залежно r, яке може бути як позитивним, так і негативним.
У підручниках Макаричева з функцією у = х ^r учні стикаються теж тільки в 9 класі, У § 22 розглядається тільки натуральний показник. При формулюванні властивостей, береться два випадки, коли показник ступеня парний і коли непарний.
З дробовим показником розглядається єдина функція у 8 класі у = . Вводиться вона на прикладі площі, що для кожного значення площі квадрата S можна вказати відповідне йому єдине значення сторони. Залежність сторони квадрата від його площі виражається формулою а = . Далі будується графік даної функції, за допомогою таблиці. І в кінці параграфа формулюються деякі властивості функції.
У підручниках Мордкович функція у = вводиться в 8 класі, на основі функції потім даються властивості квадратних коренів. Тобто, те, що у 8 класі учнів знайомлять з даною функцією обгрунтовано методично.
Знайомство ж зі ступеневою функцією відбувається лише в 11 класі. Першою функцією, з якою ознайомлюються учні, стає . Їй присвячено § 40. Справа в тому, що в попередньому параграфі введено п-ий корінь з дійсного числа, отже, необхідно подумати про графік і властивості функції . Параграф починається з розгляду вже відомої функції коли п = 2. На основі порівняння графіка даної функції з графіком функції у = х ² вводиться поняття симетричної функції. Формулюється теорема:
Точки М (а; ь) і Р (ь; а) симетричні відносно прямої у = х.
Після чого йде доказ теореми ..
Формулюються властивості функції . У підручниках Мордкович крім тих властивостей, які вивчаються у Алімова і Макаричева, розглядається опуклість і увігнутість графіка функції.
І нарешті, § 44 присвячений вже статечної функції виду у = х ^r, де r - будь-яке дійсне число. Основна мета цього параграфа - домогтися того, щоб учні чітко уявляли собі ескіз графіка статечної функції у = х ^r для будь-якого раціонального показника r і знали властивості статечної функції.
При формулюванні властивостей розглядається три випадки: ступінь більше одиниці, ступінь більше нуля, але менше одиниці і негативна ступінь.
У цьому ж параграфі йдеться про диференціюванні та інтегрування статечної функції. Повторюється матеріал 10 класу: складання рівняння дотичної, дослідження функцій на монотонність та екстремуми, побудова графіків функцій, відшукання найбільшого і найменшого значень функції на проміжку з допомогою похідної, обчислення площі плоских фігур.
§ 2.5. Показова функція.
У 10 класі в підручнику Алімова розглядається показова функція. Основна мета-знайомство з різноманіттям властивостей і графіків показовою функції залежно від значень підстав і показників ступеня.
Перше з чим знайомляться учні на уроках математики - це властивості показовою функції та її графіком. На її вивчення відводиться один параграф, який починається з повторення властивостей ступенів. Після чого вводиться визначення показовою функції. Далі розглядаються основні властивості показовою функції. Властивості монотонності обгрунтовуються аналітично і ілюструються на графіку. Надалі основну увагу приділяється ілюстрації властивостей функції за графіком (читання графіка). Наводяться приклади застосування показовою функції для опису різних фізичних процесів. У підручнику приводиться в приклад формула радіоактивного розпаду , Де m (t) і m _o - маса радіоактивної речовини відповідно в момент часу t і в початковий момент часу t = 0, T - період напіврозпаду (проміжок часу, за який початкове кількість речовини зменшиться вдвічі). Так само розповідається, що за допомогою показовою функції виявляється тиск повітря в залежності від висоти підйому, струм самоіндукції в котушці після включення постійної напруги.
У підручниках Колмогорова показова функція вивчається в 11 класі. Перш ніж запровадити поняття показовою функції f (x) = a ^x, де х приймає будь-які значення з безлічі дійсних чисел, проводиться підготовча робота. Починається зі знайомства учнів з функцією f (x) = a ^x, область визначення якої - безліч раціональних чисел. Для кожного позитивного числа а можна знайти значення виразу ( - Будь-яке раціональне число). Таким чином, будь-якому числу х з безлічі Q відповідає дійсне число a ^x. На сторінці 179-180 підручника після визначення показовою функції вміщено матеріал, адресований учням, котрі виявляють підвищений інтерес до занять математикою. У ньому описана схема докази існування значення показовою функції для будь-якого ірраціонального х (отже, і самої функції).
У підручнику Мордкович учні вперше стикаються з поняттям показовою функції вже в 9 класі, на прикладі формули п-го члена геометричної прогресії. Наступна зустріч з даною функцією в учнів відбувається тільки в 11 класі. У § 45 спочатку розглядається функція у = 2 ^х, х ÎQ. При розгляді властивостей у = 2 ^х наголошується, що це зростаюча функція, необмежена зверху і обмежена знизу, не має ні найменшого, ні найбільшого значення.
Крім того, розглядається функція у = 2 ^х при х = . Доводиться, що при обчисленні виходить конкретне число. Тобто в підручнику Мордкович розглядаються функції не тільки з раціональним показником, але і дійсним.
При формулюванні загальних властивостей графіка функції, розглядаються два випадки, коли підстава ціле число і дробове число більше за нуль, але менше одиниці. І тільки після цього вводиться визначення показовою функції.
Крім того, в підручнику Мордкович вивчається горизонтальна асимптота графіка функції, і спосіб її відшукання.
У підручнику звертається увага на те, що учні іноді плутають поняття показовою функції і стінний. Пропонується порівняти дані функції. Далі автор не забуває згадати функцію . Говориться, що дана функція не рахується ні показовою, ні степеневої, але її іноді називають показово-ступеневій.
У другому зауваженні автор говорить, що не розглядається показова функція з основою а = 1.

§ 2.6. Логарифмічна функція.
У підручнику Алімова з логарифмічною функцією учні вперше стикаються в 10 класі.
Основна мета - познайомити учнів з логарифмічною функцією, її властивостями і графіком.
До введення поняття логарифмічної функції формується поняття логарифма числа, вивчаються властивості логарифмів.
§ 6 починається з визначення логарифмічної функції. Після чого формулюються властивості даної функції. Аналітичне обгрунтування властивостей функції від всіх учнів не потрібно.
У кінці параграфа дається теорема:
якщо log _a x ₁ = log _a x _2, де a> 0, a ¹ 1, x _1> 0, x _2> 0 то x ₁ = x _2.
У підручнику Колмогорова логарифмічна функція вводиться 11 класі. Логарифмічна функція, як і показова, не може вперше вводиться за допомогою формули (як це робиться в підручнику Алімова). Причина цього в тому, що в курсі алгебри ще не введено поняття логарифма числа. Тому функція вводить, як зворотний до показової функції f (x) = a ^x, х Î R. Основні властивості логарифмічної функції випливають з властивостей показовою функції і теореми про зворотній функції. (Причому у Алімова поняття зворотної функції вводиться після введення логарифмічної функції.) На відміну від підручника Алімова у Колмогорова не сформульовано властивість про позитивні і негативні значеннях х.
У підручнику Мордкович поняття логарифма в § 48 вводиться за допомогою графічних міркувань. Пропонується одночасно розглянути дві функції і . Робиться спостереження, що дані графіки симетричні відносно прямої у = х. Після чого дається визначення логарифмічної кривої.
При формулюванні властивостей розглядається два випадки, коли основа більше 1 і коли основа більше нуля, але менше одиниці. Крім тих властивостей, які перераховані в підручниках Алімова і Мордкович тут розглядаються властивості опуклості, безперервності, обмеженості, парності, найбільшого або найменшого занчение.
§ 2.7. Тригонометричні функції.
У 11 класі в підручнику Алімова вивчаються властивості і графіки функцій y = cosx, y = sinx, y = tgx. Зворотні тригонометричні функції.
Основна мета - вивчити властивості тригонометричних функцій, навчити учнів будувати їх графіки.
Першою тригонометричної функцією, з якою ознайомлюються учні, стає функція y = cosx, у § 19.
Вивчення даних функцій починається з повторення визначення синуса, косинуса і тангенса довільного кута які були введені в 9 класі.
Так як функція y = cosx періодична з періодом 2p, то досить побудувати її графік на якому-небудь проміжку довжиною 2p. Крім того досить побудувати її графік на відрізку 0 £ х £ p, а потім симетрично відобразити щодо осі Оу. Перш ніж перейти до побудови графіка, доводиться, що функція y = cosx убуває на відрізку 0 £ х £ p. Доведене тут властивість дозволяє зробити висновок про можливість побудови графіка функції на цьому відрізку і поширенні його на всю числову пряму.
Після побудови формулюються основні властивості функції y = cosx.
У § 20 вводиться функція y = sinx. Для побудови функції використовують формулу:
.
Ця формула показує, що графік функції y = sinx можна отримати зрушенням графіка функції y = cosx вздовж осі абсцис вправо на
Потім формулюються властивості функції y = sinx.
У § 21 вивчається функція y = tgx.
Побудова графіка функції тангенс, як і косинус, починається з дослідження. Спочатку графік будується на проміжку , А потім поширюється на всю числову пряму. Для цього доводиться, що функція y = tgx зростає на проміжку . Доведене тут властивість дозволяє зробити висновок про можливість побудови графіка функції на всю числову пряму.
Після чого формулюються властивості функції y = tgx.
У підручнику Колмогорова всі тригонометричні функції вводяться в одному параграфі, який починається з основних тригонометричних визначень. Дані визначення не є новими для учнів - це повторення матеріалу 9 класу. Після цього відбувається побудова графіка функції y = sinx по точках з використанням властивостей періодичності та одиничному колі.
За графіком демонструються властивості даної функції: її область визначення, область значення, найбільше і найменше значення, нулі функції, проміжки постійних знаків функції. Аналогічно розглядаються властивості функції y = cosx і y = tgx і на графіках цих функцій демонструються їх властивості.
У 9 класі в підручнику Мордкович пропонуються елементи теорії тригонометричних функцій. Ця глава розглядається, як додатковий матеріал. Весь цей матеріал повторений і розширений у курсі алгебри і початки аналізу у 10-11 класі.
На початку 10 класу учні детально вивчають даний матеріал. На вивчення даного матеріалу відводиться 15 параграфів, а за часом - 18 годин.
У § 1 і в § 2 учні знайомляться з числовою окружністю і з визначенням тригонометричних функцій. Автор виділяє числову окружність як самостійний об'єкт вивчення. Школярам нагадується матеріал про обчислення довжин дуг кіл.
Числова коло на площині розглядається в § 3.
Для вивчення числової кола автор пропонує ігрові моменти.
Вивчення самих функцій починається тільки з 9 параграфа. Перед цим вводяться визначення синуса, косинуса, тангенса і котангенс. Першою функцією пропонується y = sinx. Параграф починається з формулювання властивостей функції. Після чого пропонується побудувати графік цієї функції на відрізку [0; p]. Потім додають до збудованого графіком симетричну йому відносно початку координат лінію. Отримали графік на відрізку [-p; p]. Далі пропонується побудувати графік функції на відрізку [p; 3p]. У результаті отримали те ж саме, що і на відрізку [-p; p].
У наступному параграфі пропонується до розгляду функцію y = cosx. Її графік виходить з графіка функції y = sinx зрушенням на в ліво. Після чого розглядаються властивості функції.
У § 15 учням пропонується функція y = tgx і y = з tgx. Відзначаються їх властивості. Графіки будуються так само як у підручниках Алімова.

Глава III. Допоміжні прийоми побудови ускладнених графіків.
Відомо, що методи вищої математики дозволяють будувати будь-який графік. Однак знань тих елементів вищої математики, які даються в середній школі, для цієї мети недостатньо. З іншого боку, велика кількість графіків, іноді вельми цікавих може бути побудовано засобами виключно елементарної математики. Найбільш важкі з цих графіків вимагають для своєї побудови хорошого знання багатьох розділів елементарної математики, а часом і дотепного застосування цих знань. Побудова графіків засобами елементарної математики може служити матеріалом для закріплення та удосконалення учнями та абітурієнтами своїх знань з багатьох важливих розділів елементарної математики.
§ 3.1. Паралельний перенос.
п 3.1.1 Зрушення осі х-ов.

Розіб'ємо цей прийом на прикладі побудови графіка функції

Графік цієї функції можна побудувати, користуючись загальними прийомами:
1) область існування: (-¥;¥), тобто вся числова вісь;
2) область зміни функції - напіввідкритий інтервал 1 £ у <¥;
3) функція парна;
4) при х = 0 у = 1, тобто крива перетинає вісь у-ов в точці (0; 1); в цій точці функція має мінімум, так як х ² = 0, звідки у ³ 1;

Рис.13. Рис.14.
5) контрольна точка: при х = 2 у = 4 +1 = 5; точка (2; 5).
За цими даними графік функції побудований на рис. 13.
Той же графік можна побудувати простіше, скориставшись вже відомим нам графіком функції у = х ^2. Для цього наносимо штриховою лінією графік функції у = х ² (рис. 14), назвемо його вихідним графіком.
Порівнюючи графіки функцій у = х ² +1 і в = х ^2, бачимо, що ординати у графіка заданої функції на 1 більше ординат початкового графіка. Отже, вихідний графік треба перенести на 1 нагору, як це і зроблено на малюнку 14.
Графік функції у = х ² + 1 можна побудувати ще простіше, якщо скористатися тим самим вихідним графіком (y = x ^2), але замість перенесення всієї кривої вгору на 1 перенести вісь х-ів на ту ж 1 вниз, як показано на малюнку 15. Тим самим щодо нової осі х-ов всі ординати

Рис. 16.

Рис. 15.

кривої у = х ² збільшуються на 1 і виходить графік заданої функції у = х ² +1.
Отже, графік функції y = f (x) + b, де f (x) - найпростіша функція, графік якої нам відомий, можна побудувати наступним простим прийомом (мал. 15).
Будується відомий нам графік функції у = f (х), причому горизонтальна вісь викреслюється штриховою лінією. Потім вона зсувається на (- b). Це і є істинна вісь х-ів; первісну ж горизонтальну вісь, нанесену штриховою лінією, можна стерти.
Наприклад, для побудови графіка функції у = f (x) +3 горизонтальна штрихова вісь графіка функції у = f (x) зсувається на 3 одиниці вниз, тобто на (-3); для побудови графіка функції y = f (x) - 3 горизонтальна штрихова вісь зсувається на (+3), тобто на 3 одиниці вгору.
п 3.1.2. Зрушення осі у-o в
Розберемо цей прийом на прикладі побудови графіка функції
y = (x +1) ^2.
Загальний метод побудови графіка:
1) область існування - вся числова вісь;
2) область зміни функції - напіввідкритий інтервал 0 £ у <¥;
3) функція не має властивості парності і непарності;
4) при у = 0 (х +1) ² = 0, або х + 1 = 0, звідки х =- 1, т. е. крива перетинає вісь х-ів в точці (-1; 0);
5) при х = 0 у = 1, тобто крива перетинає вісь у-ов в точці (0; 1);
6) контрольні точки:
x = 2; у = (2 +1) ² = 9; точка (2; 9);
x =- 3; у = (-3 +1) ² = 4; точка (-3, 4).

Рис. 18

За цими даними графік функції побудований на малюнку 17.

Рис. 17.

Інший спосіб побудови графіка функції у = (х +1) ² показаний на малюнку 18.
Спочатку будується (штриховий лини ів) графік вихідної функції y = х ^2.
Далі помічаємо, що кожна ордината графіка функції y = (x +1) ² дорівнює тій ординаті початкового графіка, яка відповідає абсциссе х +1, тобто на 1 більшою, ніж дійсна абсциса початкового графіка.
Наприклад, при х = 1 у = (х +1) ² = ^{2 2} = 4, тобто при х = 1 треба відкласти по осі у-ів не 1 ^2, а 2 ² = 4, тобто ( 1 + l) ^2. Ця ордината точки А початкового графіка відповідає абсциссе х = 2, а для графіка заданої функції вона відповідає абсциссе х = 1, отже, крапку А треба зрушити по осі х-ов на (-1), в точку А _1. Таким же чином і в с е точки початкового графіка повинні бути зрушені по осі х-ов на (-1), тобто весь графік вихідної функція має бути зрушене вліво на 1, що зроблено на малюнку 18.
Простіше замість перенесення всієї кривої на 1 вліво зрушити вісь у-ів на 1 вправо, як це показано на малюнку 19.
Таким чином, графік функції y = f (x + a), де f (x) - найпростіша функція, графік якої нам відомий, будується так (рис. 20).
Наноситься графік функції у = f (x), причому вертикальна вісь у-ів викреслюється штриховою лінією. Потім ця вертикальна вісь зсувається на (+ а). Це і буде справжня вісь у-ов, первісну вертикальну вісь можна потім стерти.

Рис 19 Рис 20
Наприклад, для побудови графіка функції y = f (x +3) вертикальна вісь графіка функції f (x) зсувається на 3 одиниці вправо, тобто на (+3); для побудови графіка функції y = f (x - 3) вертикальна вісь зсувається на 3 одиниці вліво, тобто на (-3).
Примітка. 1. Необхідно мати на увазі, що зрушення осі у-ів треба робити на величину «добавка» до позитивному значенню аргументу х, так що якщо задана функція y = f (-х + а), то її треба спочатку перетворити в функцію y = f [- (х-а)] і прийняти за початкову функцію
f (- х), а потім зрушити вісь у-ів на (- а), т. е. на добавок до (+ x).
Приклад. У = (- х +1) ^2.
Перетворимо: у = [- (x - l)] ² = (x -1) ^2.
Прийнявши за вихідну функцію у = х ^2, як і при побудові графіка функції у = (х + 1) ² (Рис. 19), зрушуємо вісь у-ів на (-1), тобто на додаток до (+ х) (Рис. 21), а не на (+1), як на малюнку 19.
Для побудови графіка функції у = (-х +1) ³ випливає, перетворивши її в функцію у = [- (х-1)] ^3, прийняти за вихідний графік заданої функції у = (-х) ³ =- х ³ і зрушити вісь у-ів на (-1).
Примітка 2. Якщо потрібно побудувати графік функції у = f (x + а) + b (рис. 22), то спочатку будується графік функції у = f (х), причому обидві осі наносяться штриховими лініями. Потім горизонтальна вісь зсувається на (- b), тобто у бік, зворотний знаку добавка до функції, вертикальна вісь зсувається на (+ а), тобто у бік знака добавка до аргументу.
Якщо є добавок тільки до функції або тільки до аргументу, то при побудові початкового графіка можна також обидві осі координат завдати штриховими лініями; потім одну з них зрушити, а іншу обвести суцільною лінією.

Рис. 21. Рис. 22.
§ 3.2. Розтягування і стиснення графіка.
п.3.2.1. По осі х-ов.
Цей прийом найчастіше застосовується при побудові графіків тригонометричних функцій. Тому розберемо його на двох прикладах графіків тригонометричних функцій.
1-й приклад (на розтяг).
y = sin х
Загальний метод побудови графіка:
1) область існування - вся числова вісь;
2) область зміни функції: -1 £ у £ 1;
3) функція непарна, періодична; період функції знайдемо з рівності
sin = Sin ( +2 P) = sin ( ); W = 4p.
Отже, досить побудувати частина графіка для половини періоду 0 £ х £ 2p;
4) характерні точки:
а) при у = 0 sin х = 0, звідки х = , Або х = , Тобто крива перетинає вісь х-ів в точках (0; 0) і (2p; 0);
б) максимум функції дорівнює 1 при х = , Тобто при х = p.
За цими даними, на малюнку 23 побудований графік заданої функції; спочатку графік будувався для позитивного напівперіоду (потовщена частина графіка), потім на відрізку, відповідному негативному напівперіоду, побудована косо симетрична крива (тонка лінія) і, нарешті, на іншому протязі крива зображена штриховою лінією .
Графік функції y = sin x можна побудувати простіше, прийнявши за вихідний відомий нам графік функції y = sin x, нанесений штриховий

лінією на малюнку 24. Зауважуємо, що період вихідної функції y = sin x w ₀ = 2p, а період заданої функції y = sin xw = 4p,
Рис. 23
тобто вдвічі більше періоду вихідної функції. Таким чином, графік, який потрібно побудувати, вийде з початкового графіка (штрихового, на малюнку 24) шляхом розтягування його по осі х-ов вдвічі.

Рис. 24
2-й приклад (на стиск).
y = sin3 x.
Загальний метод побудови графіка той же, що й у прикладі першому:
1-й і 2-й пункти дослідження ті ж;
3) період функції знаходиться з рівності
sin3 x = sin (3 x + 2p) = sin3 (x + ),
звідки період w = , Напівперіод ;
4) характерні точки:
а) при у = 0 sin3 x = 0, звідки 3 х = , Х = , Тобто крива перетинає вісь
х-ів в точках (0; 0) і ( ; 0);
б) максимум функції дорівнює 1 при 3 х = , Тобто при х = .
За цими даними графік побудований на малюнку 25 в тій же послідовності, як і попередній графік.

Рис. 25.
Графік функції у = sin3 x простіше побудувати методом стиснення по ocі x-ів початкового графіка y = sin x в 3 рази (рис. 26), так як період ; Заданої функції в 3 рази менше періоду 2p вихідної функції.

Рис. 26.
Таким чином, графік функції y = f (nx), якщо відомий графік функції y = f (x), з будується за допомогою стиснення по осі х-ов цього початкового графіка пропорційно коефіцієнту п при аргументі, а саме:
якщо п> 1, то стиснення в п разів;
якщо 0 <п <1, то розтягнення в разів.
п.3.2.2 По осі у-ів
1-й приклад (на розтяг).
у = 2sin x.
Будувати цей графік методом повного дослідження функції недоцільно. Чітко видно, що ординати графіка в 2 рази більше ординат вихідного трафіку y = sin x. Тому графік заданої функції будується шляхом подвоєння всіх ординат початкового графіка, тобто шляхом розтягу початкового графіка по осі у-ів 2 рази (рис. 27).
2-й приклад (на стиск).
у = sin х.
З тих же міркувань цей графік будується способом зменшення всіх ординат початкового графіка в 3 рази, тобто стисненням початкового графіка по осі у-ів в 3 рази, що зроблено на тому ж малюнку 27.

Рис. 86.
Таким чином, графік функції y = mf (x), якщо відомий графік y = f (x), будується за допомогою розтягування по осі у-ів початкового графіка пропорційно коефіцієнту т при функції, а саме:
якщо т> 1, то розтяг в т разів;
якщо 0 <т <1, то стиснення в разів.
Примітка 1. Якщо потрібно побудувати графік функції y = mf (nx), то спочатку будується штриховий лінією графік вихідної функції у = f (х), а потім цей вихідний графік стискається по осі х-ов в п раз і розтягується по осі у-ов в т разів.
Примітка 2. На графіках, розібраних у цій главі, всі початкові штрихові лінії (початкові осі координат, зсунуті в подальшому, і вихідні графіки) можна стерти або перекреслити після закінчення всіх побудов.
§ 3.3. Відображення.
Графік функції y =- f (x) виходить дзеркальним відображенням графіка функції y = f (x) щодо осі х (рис. 28)

Графік функції y = f (- x) виходить дзеркальним відображенням графіка функції y = f (x) щодо осі у (рис. 29)

Рис. 28. Рис. 29.
1. Побудувати графік функції якщо дано графік функції y = f (x). (мал. 30, а)
Рис. 30
Послідовно будуємо спочатку графіки функцій у = 2 f (x),
у =- 2 f (x), у =- 2 f (- x) (рис 30, а), а потім графіки функції і (Рис. 30, б)

Рис. 30
§ 3.4. Графік суми і різниці двох функцій.
Найбільш загальний метод побудови графіків суми або різниці двох функцій полягає в тому, що попередньо будуються (штриховими лініями) два графіки для обох функцій, що входять в суму або різницю, потім складаються або віднімаються ординати цих кривих у характерних точках (перетин кривих з осями координат, максимуми і мінімуми, точки перегину кривих і т.д.). За отриманими точкам будується шуканий графік і проводиться перевірка кількома контрольними точками.
Якщо графік сумарної функції має екстремум (максимум чи мінімум), то знаходження точки екстремуму засобами елементарної математики можливо тільки при наявності яких-небудь спеціальних засобів заданої функції.
Спрощують прийоми побудови графіків суми і різниці функцій:
а) Якщо дана сума функцій, то будується графік однією з них, більш простий (наприклад, лінійної функції); потім до неї прилаштовується графік другої функції, ординати яких відкладаються від відповідних точок першого графіка.
б) Якщо задана різниця функцій, то будується (штриховою лінією) графік зменшуване функції і від неї відкладаються ординати віднімається функції, взяті зі зворотним знаком. Іноді зручно викреслити (штриховою лінією) графік віднімається функції із зворотним знаком і ординати обох кривих (зменшується функції і віднімається із зворотним знаком) скласти.
в) Сума або різниця двох функцій перетворюється в одну функцію, якщо це можливо і якщо викреслювання графіка такої функції простіше.
г) Побудова графіка алгебраїчної суми функцій спрощується, якщо використовувати властивості парності, непарності, періодичності і т.д.
Нижче наводяться приклади, що ілюструють як загальний прийом, так і згадані спрощують прийоми побудови графіків суми і різниці двох функцій.
1. У = х-sin x (Рис. 31).

Рис. 31.
Маємо дві функції: y ₁ = x і у ₂ =- sin x.
Будуємо графік першої функції, потім від нього (а не від осі х-ів) відкладаємо ординати другої функції. Для полегшення побудови паралельно прямої у ₁ = х проведені дві допоміжні прямі: у = х +1 та у = x-1 На цих прямих знаходяться вершини синусоїди.

Рис. 32.

2. Y = x + tgx (Рис. 32).
Побудова аналогічно побудові попереднього графіка.
3. Y = x + lgx (Рис. 33).
Будується пряма y ₁ = x.
Характерні точки графіка:
1) при х = 1      y ₁ = l; y = l + lg l = l; точка А (1; 1);
2) при х = 10 y ₁ = 10; y = 10 + lg l0 = ll; точка В (10; 11).
З креслення можна бачити, що область існування заданої функції (0; ¥), тобто та ж, що і для другого доданка у ₂ = lgx.
4. У = х-arcsin x (Рис. 34).
Задана функція непарна, так як
(- Х) - arcsin (- х) =- х + arcsin х =- (x - arcsin x).
Тому побудова можна виконати тільки для правої частини графіка (при х ³ 0).
Будуємо два допоміжних графіка:
y ₁ = x і у ₂ = arcsin x.
Ординати шуканого графіка представляють собою різницю: у ₁ - у _2. Характерні точки:
1) х = 0, у ₁ = 0; у ₂ = 0; у = 0; точка (0; 0);

рис. 33
2) х = 1 (Гранична точка), у ₁ = _1, y ₂ = arcsin1 = , У = -1 »-0,57; Точка (1; -0,57);
3) х = 0,5, у ₁ = 0,5, у ₂ = arcsin0, 5 = »0,52;
у =- 0,02; точка (0,5; -0,02).
Ліва частина графіка побудована косо симетрично правою.
З малюнка видно, що область існування заданої функції та ж, що для
Рис. 34 другого доданка, тобто для функції y ₂ = arcsin х - сегмент [-1; 1].
5. Y = arcctg x - x   (Рис. 35).
Будуємо допоміжні графіки:
у ₁ = arcctg х і у ₂ =- х.
Ординати обох графіків складаються. Зауважуємо, що пряма у ₂ =- х є асимптотой заданої кривої. Друга асимптота

Рис. 35
має рівняння: у ₃ = p-х. Характерна точка: при х = 0 y = arcctg0 = ; Точка (0; ). Далі, = P + ∞ = ∞.
6. Y = sin (arcsin x) - х (Рис. 36).

Рис. 36. Рис. 37.
Область існування [-1; 1] заданої функції збігається з областю існування функції y ₁ = sin (arcsin x). У цій області y ₁ = sin (arcsin x) = x, також і у ₂ = х.
Отже, в = в ₁ - у ₂ = 0

Рис. 38.
Графік функції - відрізок осі х-ов в межах [-1; +1].
7. Y = х-ctg (arcctg х) (рис. 37).

Рис. 39.
Область існування заданої функції - вся числова вісь х-ів (- ∞; ∞).
у ₁ = х;
y ₂ = ctg (arcctg х) = х;
у = у ₁ + у ₂ = х + х = 2х.
Графік функції - пряма, що проходить через початок координат під кутом a до осі х-ов, де
a = arctg2.
8. Y = x + arcsin (sin x) (рис. 38).
Задана функція непарна. Тому побудова графіка проводимо тільки для х ≥ 0.
Будуємо полупрямую у ₁ = х і від неї відкладаємо відповідні значення функції у ₂ = arcsin (sin х). Ліва частина графіка будується косо симетрично правою.
9. Y = x + arctg (tg x) (рис. 39).
Побудова цього графіка аналогічно побудові попереднього графіка.

Рис. 40.
10. У = х-arccos (cos х) (рис. 40). Будуємо два допоміжних графіка:
у ₁ = х і у ₂ = аrссоs (соs x).
Праворуч від вертикальної осі ординати графіка заданої функції виходять як різниця відповідних ординат допоміжних графіків:
y = y ₁ - y _2.
Зліва від осі у-ів зроблено додаткове побудова графіка функції - у ₂ = - arccos (cos x). Потім ординати у ₁ і (- у ₂₎ складаються.

рис. 41.
11. У = х - arcctg (ctg x) (рис. 41).
Графік цієї функції будується так само, як і попередній.
12. Y = + Lg x (рис. 42).
Допоміжний графік у ₁ = . Ординати функції y ₂ = lg x відкладаються не від осі х-ов, а від допоміжного графіка у _1. Характерні точки:
1) при x = l y ₁ = = L; y ₂ = lgl = 0; у = 1; точка А (1; 1);
2) при х = 10 у ₁ = ; Y ₂ = lgl0 = l; y = + L; точка В (10; +1);
3) =- ∞.
Область існування заданої функції: (0; ∞), тобто та ж, що й функції y ₂ = lg x.

Рис. 42.
13. У = - Cos x (рис. 43).
Будуємо графіки двох функцій (штриховими лініями): у ₁ = і у ₂ =- соs х. Другий графік побудований тільки для х ≥ 0, тобто в межах області існування функції у ₁ = . Графік заданої функції будується в цих же межах складанням ординат: y ₁ + у _2.

рис. 43.
14. Y = arcsin (sin x) - (Рис. 44).
Крім двох допоміжних графіків функцій у ₁ = arcsin (sin x) і у ₂ = , Побудований додатково ще один допоміжний графік: у ₃ =- . Від точок цього додаткового графіка (у ₃₎ відкладені ординати у _1.
Крім того, відзначені точки A і В, у яких графіки функцій у ₁ і у ₂ перетинаються, тобто в = в ₁ - y ₂ = 0; ці точки знесені на вісь абсцис.
15. Y = - A ^x при а> 1 (рис. 45).
Допоміжні графіки: y ₁ = і у ₂ =- а ^х. Від точок кривої у ₂ =- а ^х відкладені ординати у ₁ = .

Рис. 44.
16. У = а ^х + ^а-х при а> 1 (рис. 194). Допоміжні графіки: у ₁ = а ^х і у ₂ = ^а-х.

Графік заданої функції будується складанням ординат допоміжних графіків: у = у ₁ + у _2.

Рис. 45. Рис. 46.
При x = 0 задана функція має мінімум: y _min = a ⁰ + a ^-0 = 1 +1 = 2.
Знайдемо мінімум даної функції.
Позначимо a ^x + a ^{- x} = k. (A)
Зауважимо, що:
1) область існування заданої функції: (- ; ), Тобто функція існує на всій числовій осі х-ов;
2) а ^х> 0 і а ^{- x>} 0 і, отже, k> 0.
Перетворимо рівність (а):
a ^x + = K,
(Б)
Так як а ^х ≠ 0, то рівність (б) рівносильно рівності: a ^{2 x} + 1 = a ^x k, звідки отримуємо:
а ^{2 x} - ka ^x +1 = 0. (В)
Вирішуємо рівняння (в) щодо а ^х:
(Г)
Бачимо, що а ^х має дійсне значення при ≥ 1, або k ² ≥ 4, тобто | k | ≥ 2.
А так як k> 0, то | k | = k і, отже, k ≥ 2. Таким чином, k _min = 2, тобто
(A ^x + a ^{- x)} _min = 2.
Підставляючи в рівність (г) значення k _min, знаходимо, що

Рис. 47

тобто х = 0.
17. Y = log _a cos х + cos x (Мал. 47), де а> 1.
Так як задана функція періодична, з періодом 2p, то побудова проведено для одного періоду: - .
Допоміжні функції: y ₁ = cos x і y ₂ = log _a cos x.
Функція y ₁ = cos x є внутрішньою для функції y ₂ = log _a cos x, що враховується при побудові другого графіка.
Граничні значення:
при х ® (- ) І х
y ₁ = cos x ® 0 і y ₂ = log _a cos х ® - ∞; отже, у ® - ∞.
Характерна точка:
при х = 0 у ₁ = соs x = 1; y ₂ = log _a l = 0; у = 1, точка (0; 1).
При функція не визначена, так як cos х ≤ 0, та допоміжна функція y ₂ = logcos x не існує.

Рис. 48.
18. Y = tg x + log _a tg х (рис. 48), де а> 1.
Будується аналогічно попередньому графіку.
Побудова проведено, для одного періоду (p): 0 <х <p.
При функція не існує.
19. У = х + (Рис. 49).
Функція непарна, так як
.
Побудова графіка проведено для х> 0.
Допоміжні графіки: у ₁ = х і у ₂ = .
Пряма у ₁ = х є асимптотой шуканого графіка.
Крім того, при х> 0 функція має мінімум, який для функцій даного виду може бути визначений таким чином.

Рис. 49.
Візьмемо функцію в загальному вигляді: у = х + при x> 0.
Так як середнє арифметичне двох позитивних чисел більше середнього геометричного цих чисел або йому одно, то



Мінімальне значення суми має місце за умови, що = 2 ; Звідки отримуємо:
; ;

x = і
Для заданої функції, отже, маємо:
при х = = .
Ліва гілка графіка косо симетрична правою.
20. У = х - (Рис. 50).

Рис. 50.
Функція непарна. Побудова проведено для х> 0.
Допоміжні функції: у ₁ = х і у ₂ =- .
Ординати шуканого графіка виходять алгебраїчним складанням ординат у ₁ і у _2. Так як ординати графіка у ₂ негативні, то вони відкладаються вниз від графіка у _1.
Пряма у ₁ = х є асимптотой для шуканого графіка, причому права гілка графіка наближається до цієї асимптота знизу Крім того, маємо:
1) при х ® 0 у = х - ® - ∞;
2) при х = 1 у ₁ = _1; - в ₂ =- 1; в = в ₁ - у ₂ = 0.
21. Y = sin x + cos x (рис. 51).

Рис. 51.
Перетворимо задану функцію:
.
Будуємо графік перетвореної функції:
.
22. Y = cos x - sin x     (Рис. 52)

Рис. 52.

Аналогічно до попереднього перетворимо цю функцію:

і будуємо графік функції:
.
§ 3.5. Графіки добутку і частки функцій
Твір та приватне двох функцій піддаються загальним дослідження, на підставі якого і може бути побудований графік.
Часто побудова графіка спрощується, якщо попередньо побудувати допоміжні графіки функцій, що входять у твір або приватне.
Іноді твір або приватне можливо перетворити так, що побудова графіка перетвореної функції виявляється простіше.
Ці та деякі інші прийоми побудови графіків добутку і частки функцій ілюструються такими прикладами.
1. Y = x sin x (Мал. 53).

Рис. 53.
Будуються (штриховими лініями) допоміжні графіки функцій, що входять в заданий твір: у ₁ = х; y ₂ = sin x.
Перемноження цих графіків спрощується завдяки тому, що функція y ₂ = sin x періодично приймає значення 0 і 1. У першому випадку шуканий графік y = x sin x перетинає вісь абсцис, у другому - стосується допоміжної прямої у ₁ = х.
Так як функція y ₂ = sin x періодично приймає ще значення
(-1), То побудова полегшується, якщо побудувати ще одну допоміжну пряму: у ₃ =- х (на малюнку ця пряма побудована штрих-пунктирною лінією).

Для всіх х = 2 заданий графік стосується цієї допоміжної прямої, так як для цих значень х
sin x =- 1.
Так як задана функція y = x sin x парна [(- x) sin (- х) =
= (- Х) (-sin x) = x sin x], то вказане побудова проводиться тільки для правої частини графіка; ліва частина графіка будується потім симетрично правою.

Рис. 54.
2. У = - х cos x (Мал. 54).
Так само, як і в попередньому випадку, крім графіків двох допоміжних функцій: у ₁ =- х і y ₂ = cos x, що входять в заданий твір, побудований ще третій допоміжний графік функції: у ₃ = х.
Далі побудова аналогічно попередньому.
3. Y = (Мал. 55).
Зауважуємо, що задана функція непарна, так як = =
=- . Тому побудова проводиться тільки для правої частини графіка, ліва частина графіка будується потім косо симетрично правою.
На кресленні побудовані два графіки допоміжних функцій, що входять в. заданий приватне: і y ₂ = sin x, і третій допоміжний графік: у ₃ =- .
Решта побудови аналогічні попереднім.

Рис. 55.
Слід особливо пояснити вигляд графіка при х ® 0, так як в цьому випадку виходить невизначеність виду , Яку слід розкрити.
Відомо, що , Тобто що при x ® 0sin x ~ х. Отже, можна записати:
4. (Мал. 56).
Функція парна, так як .
Допоміжні функції: y ₁ = sin x; у ₂ = і y ₃ =
Заданий графік будується як графік твори: у ₁ y ₂ = sin x .

Рис. 56.
5. Y = a ^x log _b ^x, де а> 0; а ≠ 1 і b> 1 (Мал. 57).
Допоміжні функції: у ₁ = а ^х; y ₂ = log _b x.
Так як область існування функції у ₂ = log _b x є інтервал (0, ¥), що визначає область існування заданої функції, то і графік допоміжної функції y ₁ = а ^{х будується} тільки для х> 0.

Рис. 57

Зауважимо, що при x = b y ₂ = log _{b b} = l і в = у ₁ у ₂ = а ^b, отримуємо точку А (b; а ^b).
6. У = | х | (Рис. 58).
Функція парна. Побудова проводиться для правої частини графіка; ліва частина графіка симетрична правою.
Допоміжні графіки: у ₁ = | х |; у ₂ = .
При x = ± у ₂ = = 1, тому графік заданої функції перетинає пряму y ₁ = | х | у точці A ( , ).
При х = ± 1 у ₂ = 0 і у = 0.

Рис. 58.
7. (Мал. 59).
Функція непарна, так як

Допоміжні графіки функцій y ₁ = arctg х і у ₂ = | х | пoстроени тільки для х> 0.

Рис. 59.
Характерні точки (для правої частини графіка):
1)
тому що при х ® 0 tg x »x;
2) ;
3) при х = y = ; Точка (1,7; 0,6).
8. у = (Мал. 60).
Допоміжні графіки: у ₁ = соs х; y ₂ = log ₄ x. Знаходимо область існування заданої функції.
Чисельник у ₁ = соs х не дає жодних обмежень для хім.

Рис. 60.
Знаменник y ₂ = log ₄ x зумовлює:
а) х> 0,
б) log ₄ x ≠ 0, тобто х ≠ 1.
Отже, область існування заданої функції складається з двох інтервалів: (0; 1) і (1; ∞).
Так як х> 0, то й допоміжний графік у ₁ будується тільки для правої півплощини.
Характерні точки:
1)
2) . Пряма x = 1 є асимптотой графіка;
3) при x = 4 y ₂ = log _{4 квітня} = l, тому шуканий графік перетинає графік допоміжної функції у ₁ при x = 4;
4) при х = у ₁ = соs x = 0, у = 0 - в цих точках заданий графік перетинає вісь абсцис.
Графік коливається біля осі абсцис, наближаючись до неї.

Список використаних джерел та літератури
1. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., ХОМЕНКО К.І., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 7 кл. середовищ шк. - 3-е вид. - М.: Просвещение, 1993 ..
2. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., ХОМЕНКО К.І., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 8 кл. середовищ шк. - 3-е вид. - М.: Просвещение, 1994.
3. Макаричєв Ю.М., Міндюк Н.Г., ХОМЕНКО К.І., Суворова С.Б. Алгебра: Учеб. для 9 кл. середовищ шк. - 3-е вид. - М.: Просвещение, 1995.
4. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Вейц Б.Є., Івашев - Мусатов О.С., Івлєв Б.М., Шварцбурд С.І. Алгебра і початки аналізу: Учеб. для 10-11 кл. середовищ шк. - 5-е вид. - М.: Просвещение, 1997.
5. Деніщева Л.О., Дудніцин Ю.П., Івлєв Б.М., та ін Алгебра і початки аналізу в 9-10 класах: Посібник для вчителя - М.: Просвещение, 1988.
6. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 7 кл. середовищ шк. - 3-е вид. - М.: Просвещение, 1995.
7. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 8 кл. середовищ шк. - 3-е вид. - М.: Просвещение, 1996.
8. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 9 кл. середовищ шк. - 4-е вид. - М.: Просвещение, 1998.
9. Алімов Ш.А., Колягін Ю.М. Сидоров Ю.В. Алгебра: Учеб. для 10-11 кл. середовищ шк. - 6-е вид. - М.: Просвещение, 1998.
10. Мордкович А.Г. Алгебра - 7. Підручник. - 4-е вид. - М.: Мнемозина, 2003.
11. Мордкович А.Г. Алгебра - 8. Підручник. - 4-е вид. - М.: Мнемозина, 2003.
12. Мордкович А.Г. Алгебра - 9. Підручник. - 4-е вид. - М.: Мнемозина, 2003.
13. Мордкович А.Г. Алгебра і початки аналізу-10-11. Підручник. - 4-е вид. - М.: Мнемозина, 2003.
14. Мордкович А.Г. Алгебра - 7-9. Навчальний посібник для вчителя. - 2-е вид. - М.: Мнемозина, 2001.
15. Мордкович А.Г. Алгебра - 10-11. Навчальний посібник для вчителя. - 2-е вид. - М.: Мнемозина, 2001.
16. Г. І. Глейзер, Історія математики в школі, IX-X класи, Москва, Просвещение, 1983.
17. Л. С. Понтрягіна, Математичний аналіз для школярів, Москва, Наука, 1983.
18. В. С. Крамор, Повторюємо і систематизуємо шкільний курс алгебри та початків аналізу, Москва, Просвещение, 1990.
19. Гурський І.П. Функції та побудова графіків. Посібник для вчителів. - М.: Просвещение, 1968.
20. Вілейтнер Г. Історія математики від Декарта до середини XIX століття. - Москва. 1969.
21. К. А. Рибников, Виникнення і розвиток математичної науки, Москва, Просвещение, 1987.
22. Н. І. Борисов, Як навчати математики, Москва, Просвещение, 1979.
23. С.Г. Крейн, В. М. Ушаков, Математичний аналіз елементарних функцій, Москва, Наука, 1966.
24. Кузнєцова Г.М., Міндюк Н.Г. Програми для загаль. шкіл, гімназій, ліцеїв. - М.: Дрофа, 2002.