Міністерство освіти і науки України
Дніпропетровський Національний Університет
Факультет електроніки, телекомунікацій та комп'ютерних систем
Кафедра АСОІ
Розрахункова завдання № 1
"Дослідження операцій математичної моделі"
Виконав:
Ст. групи РС-05
Куликов Євген
Перевірив:
Доцент кафедри АСОІ
Саликов В.А.
м. Дніпропетровськ
2007р.
Завдання
Отримання графічного рішення оптимального рішення математичної моделі заданої задачі та дослідження моделі на чутливість.
Підприємство електронної промисловості випускає 2 моделі радіоприймачів, причому кожна модель виробляється на окремій технологічній лінії.
Добовий обсяг виробництва першої лінії - 60 виробів; другої лінії - 75 виробів.
На радіоприймач першої моделі витрачається 10 однотипних елементів електронних схем, на радіоприймач другої моделі - 8 таких же елементів.
Максимальний добовий запас використовуваних елементів дорівнює 800 одиницям. Прибутки від реалізації одного радіоприймача першої та другої моделей рівні 30 і 20 у. е. відповідно.
Визначити оптимальні добові обсяги виробництва першої та другої моделей. Досліджувати модель на чутливість.
Рішення
ЛІНІЙНА МОДЕЛЬ
Статистичне визначення: Змінна величина у вважається лінійної (або лінійною функцією) залежно від змінних.
Думка про те, чи вважається функція лінійної чи ні, може змінюватися в залежності від того контексту, в якому вона застосовується.
МОДЕЛЬ
1) сукупність логічних, математичних чи інших співвідношень, що відображають з необхідним або можливим наближенням до дійсності певні характеристики і параметри досліджуваної системи;
2) логічне або математичний опис усіх суттєвих властивостей модельованого об'єкта. Вивчають економічні процеси (ціноутворення, механізми управління і ін), експеримент. Використовують для моделювання взаємозв'язків між різними процесами, які важко, неможливо або дорого відтворити ін засобами і методами.
ПАРАМЕТРИ
Величини, що описують систему змінні в процесі її функціонування; в конкретних випадках (ситуаціях) приймаються постійними
Лінійне програмування - кількісний аналіз для оптимізації цільової функції, при цьому ряді обмежень. Назва означає, що функції повинні бути лінійними.
Проблеми, які необхідно вирішити формулюються в завданні. Нижче наведено контрольний список питань для мінімізації ризику помилок у формулюванні завдання.
1. Будь-яке число в завданні повинно бути або використано, або ігноровано.
2. Не забувайте початкових умов.
3. Кожна змінна в цільової функції повинна бути перерахована де-небудь в обмеженнях.
4. Необхідно перерахувати будь-які обмеження.
При моделюванні проблем функціями, необхідно пам'ятати, що в реальному світі є зміна. Чутливий аналіз проводиться для того, щоб визначити чутливість рішення до змін в параметрах.
Прикладом може бути дохід від діяльності підприємства, а планом дій в даному випадку може бути виробнича програма підприємства.
З точки зору математики виробничу програму підприємства у першому наближенні можна записати як набір чисел х1, х2, ..., хn якому хi позначає запланований випуск виробів i-го типу, n - кількість типів виробів.
Якщо Ci - дохід від виробленого вироби i-го типу і кожне вироблене виріб купується за однією і тією ж ціною, то сумарний дохід підприємства є простою сумою]
х1 - запланований випуск радіоприймачів першої моделі
х2 - запланований випуск радіоприймачів другої моделі
Іншим невід'ємною елементом економічної ситуації є обмеження, що накладаються на можливі варіанти планів виробництва.
Найчастіше це так звані ресурсні обмеження, що описують той факт, що для виробництва товарів доводиться витрачати ресурси;
кількість ресурсів, яку можна витратити на виробництво
товарів, обмежена.
Якщо вважати, що в нашому виробництві використовуються ресурси i = 1,2, ..., n, то в моделі лінійного програмування ці два факти описуються за допомогою коефіцієнтів aij, які задають витрати i-го ресурсу на виробництво одиниці j-го продукту.
Якщо витрати ресурсів лінійно зростають у залежності від зростання обсягів виробництва, то для випуску продукту j в кількості xj одиниць aijxj i-го ресурсу. Випуск всього плану x = (Х1, Х2, ..., хn) вимагатиме при цьому
одиниць i-го ресурсу.
Коли в наявності є не більш bi одиниць цього ресурсу, то ясно, що будь-який реалізовується план виробництва x повинен задовольняти обмеженню
Обмеження по умові завдання:
1) 10х1 + 8х2 ≤ 800
2) х1 ≤ 60
3) х2 ≤ 75
4) х1> = 0
5) х2> = 0
Цільова функція:
z = 30х1 + 20х2
У наведеному вище прикладі природним економічним вимогою є максимізація доходу підприємства, що буде записуватися як
Максимум доходу досягається за рахунок оптимального вибору виробничої програми.
З цих умов будуємо графічно область допустимих рішень (ОДР).
По виду цільової функції визначаємо вектор нормалі, щодо якого шукаємо оптимальний обсяг виробництва радіоприймачів.
Х1 = 60 виробів.
Х2 = (800 - 10 * 60) / 8 = 25 виробів.
Загальний прибуток становить
Р = 60 * 30 + 25 * 20 = 2300 у.о.
Дослідження моделі на чутливість
Мета аналізу чутливості - оцінити граничне зростання дефіцитного ресурсу, що веде до зростання прибутку.
Якщо завдання можна вирішити, то, крім даного випадку єдиного рішення, завдання може мати безліч рішень - альтернативний оптимум. В цьому випадку пряма, відповідна цільової функції, паралельна прямій, відповідної одному з зв'язують обмежень. Обмеження називають зв'язує, якщо пряма, його представляє, проходить через оптимальну точку.
Оскільки рішення пов'язане з точкою Q, то зробимо дослідження на чутливість за прямими, що перетинаються в точці Q.
Зрушуючи в сторону точки W, другої моделі радіоприймачів буде зменшуватися, а кількість радіоприймачів першої моделі залишиться на тому ж рівні.
Р w = 60 * 30 + 0 * 20 = 1800 у.о.
Що на 500 у.о. менше оптимального.
При подальшому дослідженні моделі на чутливість почнемо її переміщення по відрізку QR в бік збільшення числа радіоприймачів другого типу і зменшення числа першого.
Р e = 56 * 30 + 30 * 20 = 2280 у.о.
Що менше оптимуму на 20 у.о..
При подальшому просуванні по відрізку ми прийдемо в точку R. В точку з максимально великою кількістю радіоприймачів 1-ї моделі.
Р r = 20 * 30 +75 * 20 = 2100 у.о.
Що на 100 у.о. менше оптимального.
При усуненні обмеження Х2 = 75, ми прийдемо до точки E 2 на прямий 0Х2, в якій прибуток буде дорівнює Р = 100 * 20 = 2000, що на 300 у.о. менше знайденого оптимального в т. Q
При усуненні обмеження Х1 = 60, ми прийдемо до точки W 2 на прямий 0х1, в якій випуск радіоприймачів другої моделі дорівнює нулю, а прибуток від виробництва буде:
Р = 80 * 30 = 2400, що на 100 у.о. більше оптимального в т. Q
Найбільше обмеження накладається на максимальному запасі деталей:
Х1 = 60 і Х2 = 75.
Р = 60 * 30 +75 * 20 = 3300 у.о.
Тобто при усуненні ми набуваємо додатковий прибуток - 1000 у.о.
На вирішення завдання мають впливу ресурси, а точніше їх значення. Ресурси можна розділити на дефіцитні, які при будь-якому, навіть незначному зменшенні, впливають на вирішення завдання, і недефіцитних, які при зменшенні не впливають на вирішення завдання, поки вони не переходять у категорію дефіцитних (ОДР)
У цьому завданню є 2 ресурсу, охаратерізованние в рівняннях (1) і (2), обидва вони є дефіцитними, тобто їх зміна призводить до переміщення точки оптимального рішення.
1) Розглянемо 2 обмеження:
Збільшимо його кількість до 65
Цінність
Отже, при зміні кількості ресурсу 2 на одиниць y прибуток зростає на 5 y. E.
2) Розглянемо 1 обмеження:
Збільшимо його кількість до 850
Цінність
Отже, при зміні кількості ресурсу 1 на одиниць y прибуток зростає на 2.5 y. E.
З цього робимо висновок, що цінність ресурсу (2) в двоє перевищує цінність ресурсу (1), отже максимізувати його буде значно вигідніше для отримання кращих результатів.
3) Розглянемо 3 обмеження:
Зменшимо його кількість до 25 (недіфіцітний)-точка оптимуму
Цінність
3) Розглянемо 3 обмеження:
Зменшимо його кількість до 15 (недіфіцітний)-став дефіцитним
Цінність
Завдяки дослідженню чутливості моделі, ми отримали інформацію про цінність ресурсу і оптимальному його використанні.