Автор інженер-механік
Козій Микола Михайлович
Доказ Великої теореми Ферма
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння:
А n + В n = С n, (1)
де n-ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння (1) запишемо наступним чином:
А n = С n - У n (2)
Для доказу великої теореми Ферма попередньо доведемо допоміжну теорему (лему).
ЛЕММА Будь-яке натуральне число N> 2 в будь-якого ступеня дорівнює різниці квадратів двох натуральних чисел:
N n = U 2 - V 2 (3)
Рівняння (3) розглядаємо як параметричне з параметром N n і невідомими змінними U і V. Рівняння (3) запишемо наступним чином:
N n = U 2 - V 2 = (UV) ∙ (U + V) (4)
Нехай: U - V = M (5)
Тоді: U = V + M (6)
З рівнянь (4), (5) і (6) маємо:
N n = M ∙ (V + M + V) = M ∙ (2V + M) = 2V ∙ M + M 2 (7)
З рівняння (7) маємо:
N n - M 2 = 2V ∙ M (8)
Звідси: V =
З рівнянь (6) і (9) маємо:
U =
З рівнянь (9) і (10) випливає, що необхідною умовою для того щоб числа U і V були цілими, є однакова парність чисел N n і M: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь (9) і (10) також випливає, що необхідною умовою для того щоб числа U і V були цілими, є подільність числа N n на число M, тобто число M має бути одним із співмножників, що входять до складу співмножників числа N n. Отже, має бути:
N n = D · M (11)
де D - натуральне просте чи складене число.
За допомогою рівнянь (9) і (10) визначаються числа U і V, що задовольняють умовам рівняння (3).
Звідси випливає:
Слідство 1-е: Будь-яке натуральне число N> 2 в будь-якого ступеня дорівнює різниці квадратів двох натуральних чисел.
Слідство 2-е: Число N = 2 в ступені n ≥ 3 дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар натуральних чисел:
Слідство 3-е: Будь-яке складене натуральне число в будь-якого ступеня дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар натуральних чисел:
Доказ теореми Ферма
З огляду на доведену леми можна записати:
N n = А n = U 2 - V 2 (12)
Припустимо, що велика теорема Ферма має рішення в натуральних числах. Тоді з урахуванням рівнянь (2) та (11) повинні виконуватися рівності:
N n = D · M = А n = С n - У n = U 2 - V 2 (13)
У n = V 2
C n = U 2 =
У
C
Відповідно до формулами (13) і (14) число В n одно:
У n =
З рівняння (15) з урахуванням рівняння (13) випливає:
C n =
З рівнянь (18) і (19) маємо:
У
C
Якщо допустити, що відповідно до рівняння (20) В - ціле число, то з рівняння (21) з очевидністю випливає, що C - дробове число.
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних (натуральних) числах.
Козій Микола Михайлович
Доказ Великої теореми Ферма
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння:
А n + В n = С n, (1)
де n-ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах.
Суть великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння (1) запишемо наступним чином:
А n = С n - У n (2)
Для доказу великої теореми Ферма попередньо доведемо допоміжну теорему (лему).
ЛЕММА Будь-яке натуральне число N> 2 в будь-якого ступеня дорівнює різниці квадратів двох натуральних чисел:
N n = U 2 - V 2 (3)
Рівняння (3) розглядаємо як параметричне з параметром N n і невідомими змінними U і V. Рівняння (3) запишемо наступним чином:
N n = U 2 - V 2 = (UV) ∙ (U + V) (4)
Нехай: U - V = M (5)
Тоді: U = V + M (6)
З рівнянь (4), (5) і (6) маємо:
N n = M ∙ (V + M + V) = M ∙ (2V + M) = 2V ∙ M + M 2 (7)
З рівняння (7) маємо:
N n - M 2 = 2V ∙ M (8)
Звідси: V =
З рівнянь (6) і (9) маємо:
U =
З рівнянь (9) і (10) випливає, що необхідною умовою для того щоб числа U і V були цілими, є однакова парність чисел N n і M: обидва числа повинні бути парними або обидва непарними.
З рівнянь (9) і (10) також випливає, що необхідною умовою для того щоб числа U і V були цілими, є подільність числа N n на число M, тобто число M має бути одним із співмножників, що входять до складу співмножників числа N n. Отже, має бути:
N n = D · M (11)
де D - натуральне просте чи складене число.
За допомогою рівнянь (9) і (10) визначаються числа U і V, що задовольняють умовам рівняння (3).
Звідси випливає:
Слідство 1-е: Будь-яке натуральне число N> 2 в будь-якого ступеня дорівнює різниці квадратів двох натуральних чисел.
Слідство 2-е: Число N = 2 в ступені n ≥ 3 дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар натуральних чисел:
Слідство 3-е: Будь-яке складене натуральне число в будь-якого ступеня дорівнює різниці квадратів однієї пари або декількох пар натуральних чисел:
Доказ теореми Ферма
З огляду на доведену леми можна записати:
N n = А n = U 2 - V 2 (12)
Припустимо, що велика теорема Ферма має рішення в натуральних числах. Тоді з урахуванням рівнянь (2) та (11) повинні виконуватися рівності:
N n = D · M = А n = С n - У n = U 2 - V 2 (13)
У n = V 2
C n = U 2 =
У
C
Відповідно до формулами (13) і (14) число В n одно:
У n =
З рівняння (15) з урахуванням рівняння (13) випливає:
C n =
З рівнянь (18) і (19) маємо:
У
C
Якщо допустити, що відповідно до рівняння (20) В - ціле число, то з рівняння (21) з очевидністю випливає, що C - дробове число.
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних (натуральних) числах.