Свідоцтво України № 27312 про реєстрацію авторського права
КОРОТКИЙ Доказ Великої теореми Ферма
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння:
А n + В n = С n * / 1 /
де n-ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах A, B, С.
ДОКАЗ
З формулювання Великої теореми Ферма випливає: якщо n - ціле позитивне число, більше двох, то за умови, що два з трьох чисел А, В або С - цілі позитивні числа, одне з цих чисел не є цілим позитивним числом.
Доказ будуємо, виходячи з основної теореми арифметики, яка називається «теоремою про одиничність факторизації» або «теоремою про єдиності розкладу на прості множники цілих складених чисел». Можливі непарні і парні показники ступеня n. Розглянемо обидва випадки.
1. Випадок перший: показник ступеня n - непарне число.
У цьому випадку вираз / 1 / перетвориться по відомим формулам наступним чином:
А n + В n = С n = (A + B) [A n-1-A n-2 · B + A n-3 · B 2 - ...-A · B n-2 + B n-1] / 2 /
Вважаємо, що A і B - цілі позитивні числа.
* Числа А, В і С повинні бути взаємно простими числами.
З рівняння / 2 / випливає, що при заданих значеннях чисел A і B множник (A + B) має одне й теж значення за будь-яких значеннях показника ступеня n, отже, він є дільником числа С.
Припустимо, що число С - ціле позитивне число. З урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики повинна виконуватися умова:
З n = A n + B n = (A + B) n ∙ D n, / 3 /
де множник D n повинен бути цілим числом і, отже, число D також має бути цілим числом.
З рівняння / 3 / слід:
З рівняння / 3 / також випливає, що кількість [C n = A n + B n] за умови, що число С - ціле число, має ділитися на число (A + B) n . Однак відомо, що:
A n + B n <(A + B) n / 5 /
Отже:
Звідси випливає, що при непарному значенні показника ступеня n рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
При непарних показниках ступеня n> 2 число:
З аналізу рівняння / 2 / випливає, що при непарному показнику степеня n число:
З n = А n + В n = (A + B) [A n-1-A n-2 · B + A n-3 · B 2 - ...-A · B n-2 + B n-1]
складається з двох певних алгебраїчних множників, при цьому при будь-якому значенні показника ступеня n незмінним залишається алгебраїчний множник (A + B).
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при непарному показнику степеня n> 2.
2. Випадок другий: показник ступеня n - парне число.
Суть великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / перепишемо наступним чином:
A n = C n - B n / 7 /
У цьому випадку рівняння / 7 / перетвориться наступним чином:
A n = C n - B n = (С + B) ∙ (C n -1 + C n -2 · B + C n -3 ∙ B 2 + ... + C ∙ B n -2 + B n -1). / 8 /
Приймаємо, що С і В - цілі числа.
З рівняння / 8 / випливає, що при заданих значеннях чисел B і C множник (С + B) має одне й теж значення за будь-яких значеннях показника ступеня n, отже, він є дільником числа A.
Припустимо, що число А - ціле число. З урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики повинна виконуватися умова:
А n = С n - B n = (С + B) n ∙ D n, / 9 /
де множник D n повинен бути цілим числом і, отже, число D також має бути цілим числом.
З рівняння / 9 / слід:
З рівняння / 9 / також випливає, що кількість [А n = С n - B n] за умови, що число А - ціле число, має ділитися на число (С + B) n . Однак відомо, що:
З n - B n <(С + B) n / 11 /
Отже:
Звідси випливає, що при непарному значенні показника ступеня n рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
При парних показниках ступеня n> 2 число:
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах і при парному показнику степеня n> 2.
З викладеного випливає загальний висновок: рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах А, В і С за умови, що показник ступеня n> 2.
ДОДАТКОВІ ОБГРУНТУВАННЯ
У тому разі коли показник ступеня n - парне число, алгебраїчний вираз (C n - B n) розкладається на алгебраїчні множники:
C 2 - B 2 = (CB) ∙ (C + B); / 13 /
C 4 - B 4 = (CB) ∙ (C + B) (C 2 + B 2); / 14 /
C 6 - B 6 = (CB) ∙ (C + B) · (C 2-CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2); / 15 /
C 8 - B 8 = (CB) ∙ (C + B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4). / 16 /
Наведемо приклади в числах.
ПРИКЛАД 1: В = 11; С = 35.
C 2 - B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 2 4 · 3 · 23;
C 4 - B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 2 4 · 3 · 23 · 673;
C 6 - B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) = 2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 лютого ∙ 577;
C 8 - B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 5 лютого ∙ 3 ∙ 23 ∙ 673 ∙ 75633.
ПРИКЛАД 2: У = 16; С = 25.
C 2 - B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
C 4 - B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) = 3 2 ∙ 41 · 881;
C 6 - B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 3 3 · 7 ∙ 13 · 37 ∙ 41 ∙ 61;
C 8 - B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 · 26 833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 · 26833.
З аналізу рівнянь / 13 /, / 14 /, / 15 / і / 16 / і відповідних їм числових прикладів слід:
- При заданому показнику степеня n, якщо він парне число, число А n = С n - B n розкладається на цілком певну кількість цілком певних алгебраїчних множників;
- При будь-якому показнику степеня n, якщо він парне число, в алгебраїчному вираженні (C n - B n) завжди є множники (CB) і (C + B);
- Кожному алгебраическому множнику відповідає цілком певний числовий множник;
- При заданих значеннях чисел В і С числові множники можуть бути простими числами або складовими числовими множниками;
- Кожен складовою числовий множник є твором простих чисел, які частково або повністю відсутні у складі інших складових числових множників;
- Величина простих чисел у складі складових числових множників збільшується зі збільшенням цих множників;
- До складу найбільшого складеного числового множника, відповідного найбільшому алгебраическому множнику, входить найбільше просте число в ступені, меншою показника ступеня n (найчастіше в першого ступеня).
ВИСНОВКИ:
додаткові обгрунтування підтверджують висновок про те, що велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
КОРОТКИЙ Доказ Великої теореми Ферма
Велика теорема Ферма формулюється наступним чином: діофантових рівняння:
А n + В n = С n * / 1 /
де n-ціле позитивне число, більше двох, не має рішення в цілих позитивних числах A, B, С.
ДОКАЗ
З формулювання Великої теореми Ферма випливає: якщо n - ціле позитивне число, більше двох, то за умови, що два з трьох чисел А, В або С - цілі позитивні числа, одне з цих чисел не є цілим позитивним числом.
Доказ будуємо, виходячи з основної теореми арифметики, яка називається «теоремою про одиничність факторизації» або «теоремою про єдиності розкладу на прості множники цілих складених чисел». Можливі непарні і парні показники ступеня n. Розглянемо обидва випадки.
1. Випадок перший: показник ступеня n - непарне число.
У цьому випадку вираз / 1 / перетвориться по відомим формулам наступним чином:
А n + В n = С n = (A + B) [A n-1-A n-2 · B + A n-3 · B 2 - ...-A · B n-2 + B n-1] / 2 /
Вважаємо, що A і B - цілі позитивні числа.
* Числа А, В і С повинні бути взаємно простими числами.
З рівняння / 2 / випливає, що при заданих значеннях чисел A і B множник (A + B) має одне й теж значення за будь-яких значеннях показника ступеня n, отже, він є дільником числа С.
Припустимо, що число С - ціле позитивне число. З урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики повинна виконуватися умова:
З n = A n + B n = (A + B) n ∙ D n, / 3 /
де множник D n повинен бути цілим числом і, отже, число D також має бути цілим числом.
З рівняння / 3 / слід:
З рівняння / 3 / також випливає, що кількість [C n = A n + B n] за умови, що число С - ціле число, має ділитися на число (A + B) n . Однак відомо, що:
A n + B n <(A + B) n / 5 /
Отже:
Звідси випливає, що при непарному значенні показника ступеня n рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
При непарних показниках ступеня n> 2 число:
З аналізу рівняння / 2 / випливає, що при непарному показнику степеня n число:
З n = А n + В n = (A + B) [A n-1-A n-2 · B + A n-3 · B 2 - ...-A · B n-2 + B n-1]
складається з двох певних алгебраїчних множників, при цьому при будь-якому значенні показника ступеня n незмінним залишається алгебраїчний множник (A + B).
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах при непарному показнику степеня n> 2.
2. Випадок другий: показник ступеня n - парне число.
Суть великої теореми Ферма не зміниться, якщо рівняння / 1 / перепишемо наступним чином:
A n = C n - B n / 7 /
У цьому випадку рівняння / 7 / перетвориться наступним чином:
A n = C n - B n = (С + B) ∙ (C n -1 + C n -2 · B + C n -3 ∙ B 2 + ... + C ∙ B n -2 + B n -1). / 8 /
Приймаємо, що С і В - цілі числа.
З рівняння / 8 / випливає, що при заданих значеннях чисел B і C множник (С + B) має одне й теж значення за будь-яких значеннях показника ступеня n, отже, він є дільником числа A.
Припустимо, що число А - ціле число. З урахуванням прийнятих умов і основний теореми арифметики повинна виконуватися умова:
А n = С n - B n = (С + B) n ∙ D n, / 9 /
де множник D n повинен бути цілим числом і, отже, число D також має бути цілим числом.
З рівняння / 9 / слід:
З рівняння / 9 / також випливає, що кількість [А n = С n - B n] за умови, що число А - ціле число, має ділитися на число (С + B) n . Однак відомо, що:
З n - B n <(С + B) n / 11 /
Отже:
Звідси випливає, що при непарному значенні показника ступеня n рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.
При парних показниках ступеня n> 2 число:
Таким чином, велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах і при парному показнику степеня n> 2.
З викладеного випливає загальний висновок: рівняння / 1 / великої теореми Ферма не має рішення в цілих позитивних числах А, В і С за умови, що показник ступеня n> 2.
ДОДАТКОВІ ОБГРУНТУВАННЯ
У тому разі коли показник ступеня n - парне число, алгебраїчний вираз (C n - B n) розкладається на алгебраїчні множники:
C 2 - B 2 = (CB) ∙ (C + B); / 13 /
C 4 - B 4 = (CB) ∙ (C + B) (C 2 + B 2); / 14 /
C 6 - B 6 = (CB) ∙ (C + B) · (C 2-CB + B 2) ∙ (C 2 + CB + B 2); / 15 /
C 8 - B 8 = (CB) ∙ (C + B) ∙ (C 2 + B 2) ∙ (C 4 + B 4). / 16 /
Наведемо приклади в числах.
ПРИКЛАД 1: В = 11; С = 35.
C 2 - B 2 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) = 2 4 · 3 · 23;
C 4 - B 4 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) = 2 4 · 3 · 23 · 673;
C 6 - B 6 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (31 2) · (3 · 577) = 2 ∙ 3 ∙ 23 ∙ 31 лютого ∙ 577;
C 8 - B 8 = (2 2 ∙ 3) ∙ (2 · 23) · (2 · 673) ∙ (2 · 75633) = 5 лютого ∙ 3 ∙ 23 ∙ 673 ∙ 75633.
ПРИКЛАД 2: У = 16; С = 25.
C 2 - B 2 = (3 2) ∙ (41) = 3 2 ∙ 41;
C 4 - B 4 = (3 2) ∙ (41) · (881) = 3 2 ∙ 41 · 881;
C 6 - B 6 = (3 2) ∙ (41) ∙ (2 2 ∙ 3) ∙ (13 · 37) · (3 ∙ 7 · 61) = 3 3 · 7 ∙ 13 · 37 ∙ 41 ∙ 61;
C 8 - B 8 = (3 2) ∙ (41) ∙ (881) ∙ (17 · 26 833) = 3 2 ∙ 41 ∙ 881 ∙ 17 · 26833.
З аналізу рівнянь / 13 /, / 14 /, / 15 / і / 16 / і відповідних їм числових прикладів слід:
- При заданому показнику степеня n, якщо він парне число, число А n = С n - B n розкладається на цілком певну кількість цілком певних алгебраїчних множників;
- При будь-якому показнику степеня n, якщо він парне число, в алгебраїчному вираженні (C n - B n) завжди є множники (CB) і (C + B);
- Кожному алгебраическому множнику відповідає цілком певний числовий множник;
- При заданих значеннях чисел В і С числові множники можуть бути простими числами або складовими числовими множниками;
- Кожен складовою числовий множник є твором простих чисел, які частково або повністю відсутні у складі інших складових числових множників;
- Величина простих чисел у складі складових числових множників збільшується зі збільшенням цих множників;
- До складу найбільшого складеного числового множника, відповідного найбільшому алгебраическому множнику, входить найбільше просте число в ступені, меншою показника ступеня n (найчастіше в першого ступеня).
ВИСНОВКИ:
додаткові обгрунтування підтверджують висновок про те, що велика теорема Ферма не має рішення в цілих позитивних числах.