Доказ Великої теореми Ферма методами елементарної алгебри

Доказ теореми Ферма методами елементарної алгебри
Бобров О.В.
м. Москва
Контактний телефон - 8 (495) 193-42-34
bobrov-baltika@mail.ru
У теоремі Ферма стверджується, що рівність для натуральних і може мати місце тільки для цілих .
Розглянемо рівність
, (1)
де і - Натуральні взаємно прості числа, тобто числа, які мають загальних цілих множників, крім 1. У цьому випадку два числа завжди непарні. Нехай - Непарне число, і - Натуральні числа. Для будь-якого дійсного позитивного числа здійсненна операція знаходження арифметичного значення кореня, тобто рівність (1) можна записати у вигляді:
, (2)
де і - Дійсні позитивні множники числа Згідно з властивостями показовою функції, для будь-якого
з дійсних позитивних чисел і існують єдині значення чисел , Що задовольняють равенствам
, (3)
З рівностей (2) і (3) випливає:
, . (4)
Оскільки p> q, завжди має місце p - q = k, або а ^p = а ^{k ∙} × а ^q, тобто числа і містять спільний множник , Що суперечить умові їх взаємної простоти. Це умова здійснима тільки при , Тобто при . Тоді рівності (4) приймають вигляд:
, (5)
звідки випливає
, (6)
тобто для взаємно простих і числа і завжди є двома послідовними цілими числами. Ще Евклід доведено, що всяке непарне число виражається, як різниця квадратів двох послідовних цілих чисел, тобто рівність (1) для натуральних взаємно простих і може бути виражено тільки у вигляді рівності
. (7)
Справедливість наведеного докази можна проілюструвати таким прикладом.
Нехай у рівності Ферма числа і - Цілі взаємно прості, - Парне. Тоді числа , , Їх сума і різниця - Також цілі, показник ступеня p> q .
Цілі числа і
є взаємно простими, якщо не містять загальних цілих множників, крім 1. Це умова здійснима тільки тоді, коли загальний цілий множник , Тобто , .
Тоді різниця , Що для одночасно цілих і може мати місце тільки при , Тобто при або , Що і дозволило П'єру де Ферма зробити майже 370 років тому свій запис на полях арифметики Діофанта.