Ідея пропонованого увазі читача елементарного докази Великої теореми Ферма виключно проста: після розкладання чисел a, b, c на пари доданків, потім угруповання з них двох сум U 'і U''і множення рівності a ^ n + b ^ n - c ^ n = 0 на 11 ^ n (тобто на 11 в ступені n, а чисел a, b, c на 11) (k +3)-я цифра в числі a ^ n + b ^ n - c ^ n (де k - число нулів на кінці числа a + b - c) не дорівнює 0 (числа U 'і U''множаться по-різному!). Для осягнення докази потрібно знати лише формулу бінома Ньютона, найпростішу формулювання малої теореми Ферма (наводиться), визначення простого числа, складання двох-трьох чисел і множення двозначного числа на 11. Ось, мабуть, і ВСЕ! Найголовніше (і важкий) - не заплутатися в десятці цифр, позначених буквами. Формальний опис історії теореми і бібліографія в російській тексті опущені.
Доказ приводиться в редакції від 1 червня 2005 року (з урахуванням дискусії на мехматовском сайті).
В.С.
ВІКТОР СОРОКІН
ІНСТРУМЕНТАРІЙ: [У квадратних дужках наводиться пояснює, не обов'язкова інформація.]
Використані позначення:
Всі числа записані в системі числення з простим підставою n> 10.
[Всі випадки зі складеним n, крім n = 2 k (який зводиться до випадку n = 4), зводяться до випадку
простого n за допомогою простої підстановки. Випадки n = 3, 5 і 7 тут не розглядаються.]
a k - K-а цифра від кінця в числі a (a 1 - остання цифра).
[Приклад для a = 1043: 1043 = 1 x5 3 + 0 x5 2 + 4 x5 1 + 3 x5 0; a 1 = 3, a 2 = 4, a 3 = 0, a 4 = 1.]
a (k) - закінчення (число) з k цифр числа a (a (1) = a 1; 1043 (3) = 043). Скрізь у тексті a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0.
[Якщо всі три числа a, b і c закінчуються на нуль, слід розділити рівність 1 ° на n n.]
(A i n) 1 = a i і (a i n - 1) 1 = 1 (див. Малу теорему Ферма для a i SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0). (0.1 °)
(N + 1) n = (10 + 1) n = 11 n = ... 101 (див. Біном Ньютона для простого n).
Простий наслідок з бінома Ньютона і малої теореми Ферма для s SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 1 [a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0]:
якщо цифра a s збільшується / зменшується на 0 <d <n,
то цифра a n s +1 збільшується / зменшується на d (або d + n, або d - n). (0.2 °)
[У негативних числах цифри вважаються негативними.]
***
(1 °) Припустимо, що a n + b n - c n = 0.
Випадок 1: (bc) 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0.
(2 °) Нехай u = a + b - c, де u (k) = 0, u k +1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0, k> 0 [відомо, що в 1 ° u> 0 і k> 0].
(3 °) Помножимо рівність 1 ° на число d 1 n (див. § § 2 і 2a в Додатку) з метою перетворити
цифру u k +1 в 5. Після цієї операції позначення чисел не змінюються
і рівність продовжує йти під тим же номером (1 °).
Очевидно, що і в новому рівність (1 °) u = a + b - c, u (k) = 0, u k +1 = 5.
(1 * °) І нехай a * n + b * n - c * n = 0, де знаком "*" позначені записані в канонічному вигляді числа в рівності (1 °) після множення рівності (1 °) на 11 n.
(4 °) Введемо у вказаній тут черговості наступні числа: u, u '= a (k) + b (k) - c (k),
u''= u - u '= (a - a (k)) + (b - b (k)) - (c - c (k)), v = (a k +2 + b k +2 - c k +2) 1, u * '= a * (k) + b * (k) - c * (k),
u *''= u * - u * '= (a * - a * (k)) + (b * - b * (k)) - (c * - c * (k)), 11u', 11u ' ', v * = (a * k +2 + b * k +2 - c * k +2) 1,
і обчислимо дві останні значущі цифри в цих числах:
(3a °) u k +1 = (u 'k +1 + u''k +1) 1 = 5;
(5 °) u 'k +1 = (-1, 0 або 1) - так як - n k <a' (k) <n k, - N k <b '(k) <n k, - N k <c '(k) <n k
і числа a, b, c мають різні знаки;
(6 °) u''k +1 = (4, 5 або 6) (Див. 3a ° і 5 °) [важливо: 1 <u''k +1 <N - 1];
(7 °) u 'k +2 = 0 [завжди!] - Так як \ u '\ <2 n k ;
(8 °) u''k +2 = u k +2 [Завжди!];
(9 °) u''k +2 = [V + (a k +1 + b k +1 - c k +1) 2] 1, де (a k +1 + b k +1 - c k +1) 2 = (-1, 0 або 1 );
(10 °) v = [u k +2 - (a (k +1) + b (k +1) - c (k +1)) k +2] 1 [де (a (k +1) + b (k +1) - c (k +1)) k +2 = (-1, 0 або 1)] =
= [U k +2 - (-1, 0 або 1)] 1;
(11 °) u * k +1 = U k +1 = 5 - тому що u * k +1 і u k +1 - Останні значущі цифри в числах u * і u;
(12 °) u * 'k +1 = U 'k +1 - тому що u *' k +1 і u 'k +1 - Останні значущі цифри в числах u * 'і u';
(13 °) u *''k +1 = (u * k +1 - u * 'k +1) 1 = (3 - u *' k +1) 1 = (4, 5 або 6) [Важливо: 1 <u *''k +1 <n - 1];
(14 °) (11 u ') k +2 = (U 'k +2 + u' k +1) 1 (потім - в результаті приведення чисел до канонічного виду -
величина u 'k +1 «йде» в u *''k +2, оскільки u *' k +2 = 0);
(14a °) важливо: числа (11 u ') (k +2) і u * '(k +2) відрізняються тільки k +2-ми цифрами, а саме:
u * 'k +2 = 0, але (11 u') k +2 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0 у загальному випадку;
(15 °) (11 u'') k +2 = (u''k +2 + U''k +1) 1;
(16 °) u * k +2 = (u k +2 + u k +1) 1 = (u''k +2 + u k +1) 1 = (u''k +2 + 5) 1;
(16а °) до відома: u * 'k +2 = 0 (див. 7 °);
(17 °) u *''k +2 = (u * k +2 + 1, u * k +2 або u * k +2 - 1) 1 = (см. 9 °) = (u''k + 2 + 4, u''k +2 + 5 або u''k +2 + 6) 1;
(18 °) v * = [u * k +2 - (a * (k +1) + b * (k +1) - c * (k +1)) k +2] 1
[Де u * k +2 = (u k +2 + u k +1) 1 (див. 16 °), а (a * (k +1) + b * (k +1) - c * (k + 1)) k +2 = (-1, 0 або 1) - див 10 °] =
= [(U k +2 + u k +1) 1 - (-1, 0 або 1)] 1.
(19 °) Введемо числа U '= (a k +1) n + (b k +1) n - (c k +1) n, U''= (a n + b n - c n) - U' , U = U '+ U'',
U * '= (a * k +1) n + (b * k +1) n - (c * k +1) n, U *''= (a * n + b * n - c * n) - U * ', U * = U *' + U *'';
(19а °) до відома: U '(k +1) = U *' (k +1) = 0.
(20 °) Лема: U (k +2) = U '(k +2) = U''(k +2) = U * (k +2) = U *' (k +2) = U * ' '(k +2) = 0 [завжди!].
= (A (k +1) + n k +1 a k +2 + n k +2 P a) n + (b (k +1) + n k +1 b k +2 + n k +2 P b ) n - (c (k +1) + n k +1 c k +2 + n k +2 P c) n =
= (A (k +1) n + b (k +1) n - c (k +1) n) + n k +2 (a k +2 a (k +1) n - 1 + b k +2 b (k +1) n - 1 - c k +2 c (k +1) n - 1) + n k +3 P =
= U '+ U''= 0, де
U '= a (k +1) n + b (k +1) n - c (k +1) n,
(20a °) U''= n k +2 (a k +2 a (k +1) n -1 + b k +2 b (k +1) n -1 - c k +2 c (k +1) n -1) + n k +3 P,
де (a k +2 a (k +1) n -1 + b k +2 b (k +1) n -1 - c k +2 c (k +1) n -1) 1 = (див. 0.1 °) =
(20b °) = (a k +2 + b k +2 - c k +2) 1 = U''k +3 = v (див. 4 °).
(21 °) Слідство: (U 'k +3 + U''k +3) 1 = (U *' k +3 + U *''k +3) 1 = 0.
(22 °) Обчислимо цифру (11 n U ') k +3:
[Так як числа (11 u ') (k +2) і u * '(k +2) відрізняються тільки k +2- ми цифрами на величину
(11 u ') k +2), то на цю величину будуть відрізнятися і цифри (11 n U') k +3 і U * 'k +3, це означає,
що цифра (11 n U ') k +3 буде на (11 u ') k +2 перевищувати цифру U *' k +3 (див. 0.2 °)]
(11 n U ') k +3 = U' k +3 = (U * 'k +3 + (11u') k +2) 1 = (U * 'k +3 + u' k +1) 1.
(23 °) Звідки U * 'k +3 = U' k +3 - u 'k +1.
(24 °) Обчислимо цифру U *'' k +3 :
U *''k +3 = v * = (u k +2 + u k +1) 1 - (-1, 0 або 1) - див (18 °);
(25 °) Нарешті, обчислимо цифру (U * 'k +3 + U *''k +3) 1:
(U * 'k +3 + U *''k +3) 1 = (U *' k +3 + U *''k +3 - U 'k +3 - U''k +3) 1 = ( U * 'k +3 - U' k +3 + U *''k +3 - U''k +3) 1 =
(См. 23 ° і 24 °) = (- u 'k +1 + v * - v) = (див. 18 ° і 10 °) =
= (- U 'k +1 + [u k +2 + u k +1 - (-1, 0 або 1)] - [u k +2 - (-1, 0 або 1)]) 1 =
= (- U 'k +1 + u k +1 + (-2, -1, 0, 1, або 2)) 1 = (див. 3a °) =
(U''k +1 + (-2, -1, 0, 1, або 2)) 1 = (див. 6 °) = (2, 3, 4, 5, 6, 7 або 8) SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0,
що суперечить 21 ° і, отже, вираз 1 ° є нерівність.
Випадок 2 [доводиться аналогічно, але набагато простіше]: b (Або c) = n t b ', де b 1 = 0 і b t +1 = b' 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0.
(26 °) Введемо число u = c - a> 0, де u (nt - 1) = 0, а u nt SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0 (див. § 1 у Додатку).
(27 °) Після множення рівності 1 ° на число d 1 n (з метою перетворити цифру u nt у 5)
(Див. § § 2 і 2a в Додатку) позначення чисел зберігаються.
(28 °) Нехай: u '= a (nt - 1) - c (nt - 1), u''= (a - a (nt - 1)) - (c - c (nt - 1)) (де, очевидно, u''nt = (a nt - c nt) 1);
U '= a (nt) n + b n - c (nt) n (де U '(nt + 1) = 0 - див 1 ° і 26 °), U''= (a n - a (nt) n) - (c n - c (nt) n),
U * '= a * (nt) n + b * n - c * (nt) n (де U * '(nt + 1) = 0), U *''= (a * n - a * (nt) n) - (c * n - c * (nt) n),
v = a nt +1 - c nt +1.
Обчислення, повністю аналогічні розрахункам в разі 1, показують, що nt +2- я цифра в рівності Ферма не дорівнює нулю. Число b в усіх розрахунках (крім самої останньої операції і в п. 27 °) можна проігнорувати, оскільки цифри b n nt +1 і b n nt +2 при множенні рівності 1 ° на 11 n не змінюються (тому що 11 n (3) = 101).
Таким чином, для простих n> 7 теорема доведена.
==================
§ 1. Якщо числа a, b, c не мають спільних співмножників і b 1 = (c - a) 1 = 0,
тоді з числа R = (c n - A n) / (c - a) =
= C n -1 + c n -2 a + c n -3 a 2 + ... c 2 a n - 3 + ca n - 2 + a n - 1 =
= (C n -1 + a n -1) + ca (c n -3 + a n -3) + ... + c (n -1) / 2 a (n -1) / 2 =
= (C n -1 - 2c (n -1) / 2 a (n -1) / 2 + a n -1 + 2c (n -1) / 2 a (n -1) / 2) + ca (c n -3 - 2c (n -3) / 2 a (n -3) / 2 + a n -3 + 2c (n -3) / 2 a (n -3) / 2) +
+ ... + C (n -1) / 2 a (n -1) / 2 = (c - a) 2 P + nc (n -1) / 2 a (n -1) / 2 випливає, що:
c - a ділиться на n 2, отже R ділиться на n і не ділиться на n 2;
так як R> n, то число R має простий співмножник r не рівний n;
c - a не ділиться на r;
якщо b = N t b ', де b' 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0, то число c - a ділиться на n tn - 1 і не ділиться n tn.
§ 2. Лема. Всі n цифр (a 1 d i) 1, де d i = 0, 1, ... n - 1, різні.
Дійсно, припустивши, що (a 1 d 1 *) 1 = (a 1 d 1 **) 1, ми знаходимо: ((d 1 * - d 1 **) a 1) 1 = 0.
Звідки d 1 * = d 1 **. Отже, безлічі цифр a 1 (тут разом з a 1 = 0) і d 1 збігаються.
[Приклад для a 1 = 2: 0: 2 x0 = 0; 1: 2 x3 = 1 1, 2: 2 x1 = 2, 3: 2 x4 = 1 3; 4: 2 x2 = 4.
При складеному n Лемма несправедлива: у базі 10 і (2х2) 1 = 4, і (2х7) 1 = 4.]
§ 2a. Слідство. Для будь-якої цифри a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0 Існує така цифра d i, що (a 1 d i) 1 = 1.
[Приклад для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x 1 = 1; 2x 3 = 1 1; 3x 2 = 1 1; 4x 4 = 3 1.]
ВІКТОР СОРОКІН
e - mail: victor.sorokine @ wanadoo.fr
4 листопада 2004, Франція
PS Доказ для випадків n = 3, 5 , 7 аналогічно, але в (3 °) цифра u k
Доказ приводиться в редакції від 1 червня 2005 року (з урахуванням дискусії на мехматовском сайті).
В.С.
Елементарне доказ Великої теореми Ферма
ВІКТОР СОРОКІН
ІНСТРУМЕНТАРІЙ: [У квадратних дужках наводиться пояснює, не обов'язкова інформація.]
Використані позначення:
Всі числа записані в системі числення з простим підставою n> 10.
[Всі випадки зі складеним n, крім n = 2 k (який зводиться до випадку n = 4), зводяться до випадку
простого n за допомогою простої підстановки. Випадки n = 3, 5 і 7 тут не розглядаються.]
a k - K-а цифра від кінця в числі a (a 1 - остання цифра).
[Приклад для a = 1043: 1043 = 1 x5 3 + 0 x5 2 + 4 x5 1 + 3 x5 0; a 1 = 3, a 2 = 4, a 3 = 0, a 4 = 1.]
a (k) - закінчення (число) з k цифр числа a (a (1) = a 1; 1043 (3) = 043). Скрізь у тексті a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0.
[Якщо всі три числа a, b і c закінчуються на нуль, слід розділити рівність 1 ° на n n.]
(A i n) 1 = a i і (a i n - 1) 1 = 1 (див. Малу теорему Ферма для a i SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0). (0.1 °)
(N + 1) n = (10 + 1) n = 11 n = ... 101 (див. Біном Ньютона для простого n).
Простий наслідок з бінома Ньютона і малої теореми Ферма для s SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 1 [a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0]:
якщо цифра a s збільшується / зменшується на 0 <d <n,
то цифра a n s +1 збільшується / зменшується на d (або d + n, або d - n). (0.2 °)
[У негативних числах цифри вважаються негативними.]
***
(1 °) Припустимо, що a n + b n - c n = 0.
Випадок 1: (bc) 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0.
(2 °) Нехай u = a + b - c, де u (k) = 0, u k +1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0, k> 0 [відомо, що в 1 ° u> 0 і k> 0].
(3 °) Помножимо рівність 1 ° на число d 1 n (див. § § 2 і 2a в Додатку) з метою перетворити
цифру u k +1 в 5. Після цієї операції позначення чисел не змінюються
і рівність продовжує йти під тим же номером (1 °).
Очевидно, що і в новому рівність (1 °) u = a + b - c, u (k) = 0, u k +1 = 5.
(1 * °) І нехай a * n + b * n - c * n = 0, де знаком "*" позначені записані в канонічному вигляді числа в рівності (1 °) після множення рівності (1 °) на 11 n.
(4 °) Введемо у вказаній тут черговості наступні числа: u, u '= a (k) + b (k) - c (k),
u''= u - u '= (a - a (k)) + (b - b (k)) - (c - c (k)), v = (a k +2 + b k +2 - c k +2) 1, u * '= a * (k) + b * (k) - c * (k),
u *''= u * - u * '= (a * - a * (k)) + (b * - b * (k)) - (c * - c * (k)), 11u', 11u ' ', v * = (a * k +2 + b * k +2 - c * k +2) 1,
і обчислимо дві останні значущі цифри в цих числах:
(3a °) u k +1 = (u 'k +1 + u''k +1) 1 = 5;
(5 °) u 'k +1 = (-1, 0 або 1) - так як - n k <a' (k) <n k, - N k <b '(k) <n k, - N k <c '(k) <n k
і числа a, b, c мають різні знаки;
(6 °) u''k +1 = (4, 5 або 6) (Див. 3a ° і 5 °) [важливо: 1 <u''k +1 <N - 1];
(7 °) u 'k +2 = 0 [завжди!] - Так як \ u '\ <2 n k ;
(8 °) u''k +2 = u k +2 [Завжди!];
(9 °) u''k +2 = [V + (a k +1 + b k +1 - c k +1) 2] 1, де (a k +1 + b k +1 - c k +1) 2 = (-1, 0 або 1 );
(10 °) v = [u k +2 - (a (k +1) + b (k +1) - c (k +1)) k +2] 1 [де (a (k +1) + b (k +1) - c (k +1)) k +2 = (-1, 0 або 1)] =
= [U k +2 - (-1, 0 або 1)] 1;
(11 °) u * k +1 = U k +1 = 5 - тому що u * k +1 і u k +1 - Останні значущі цифри в числах u * і u;
(12 °) u * 'k +1 = U 'k +1 - тому що u *' k +1 і u 'k +1 - Останні значущі цифри в числах u * 'і u';
(13 °) u *''k +1 = (u * k +1 - u * 'k +1) 1 = (3 - u *' k +1) 1 = (4, 5 або 6) [Важливо: 1 <u *''k +1 <n - 1];
(14 °) (11 u ') k +2 = (U 'k +2 + u' k +1) 1 (потім - в результаті приведення чисел до канонічного виду -
величина u 'k +1 «йде» в u *''k +2, оскільки u *' k +2 = 0);
(14a °) важливо: числа (11 u ') (k +2) і u * '(k +2) відрізняються тільки k +2-ми цифрами, а саме:
u * 'k +2 = 0, але (11 u') k +2 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0 у загальному випадку;
(15 °) (11 u'') k +2 = (u''k +2 + U''k +1) 1;
(16 °) u * k +2 = (u k +2 + u k +1) 1 = (u''k +2 + u k +1) 1 = (u''k +2 + 5) 1;
(16а °) до відома: u * 'k +2 = 0 (див. 7 °);
(17 °) u *''k +2 = (u * k +2 + 1, u * k +2 або u * k +2 - 1) 1 = (см. 9 °) = (u''k + 2 + 4, u''k +2 + 5 або u''k +2 + 6) 1;
(18 °) v * = [u * k +2 - (a * (k +1) + b * (k +1) - c * (k +1)) k +2] 1
[Де u * k +2 = (u k +2 + u k +1) 1 (див. 16 °), а (a * (k +1) + b * (k +1) - c * (k + 1)) k +2 = (-1, 0 або 1) - див 10 °] =
= [(U k +2 + u k +1) 1 - (-1, 0 або 1)] 1.
(19 °) Введемо числа U '= (a k +1) n + (b k +1) n - (c k +1) n, U''= (a n + b n - c n) - U' , U = U '+ U'',
U * '= (a * k +1) n + (b * k +1) n - (c * k +1) n, U *''= (a * n + b * n - c * n) - U * ', U * = U *' + U *'';
(19а °) до відома: U '(k +1) = U *' (k +1) = 0.
(20 °) Лема: U (k +2) = U '(k +2) = U''(k +2) = U * (k +2) = U *' (k +2) = U * ' '(k +2) = 0 [завжди!].
Дійсно, з 1 ° ми маємо:
U = a n + b n - c n == (A (k +1) + n k +1 a k +2 + n k +2 P a) n + (b (k +1) + n k +1 b k +2 + n k +2 P b ) n - (c (k +1) + n k +1 c k +2 + n k +2 P c) n =
= (A (k +1) n + b (k +1) n - c (k +1) n) + n k +2 (a k +2 a (k +1) n - 1 + b k +2 b (k +1) n - 1 - c k +2 c (k +1) n - 1) + n k +3 P =
= U '+ U''= 0, де
U '= a (k +1) n + b (k +1) n - c (k +1) n,
(20a °) U''= n k +2 (a k +2 a (k +1) n -1 + b k +2 b (k +1) n -1 - c k +2 c (k +1) n -1) + n k +3 P,
де (a k +2 a (k +1) n -1 + b k +2 b (k +1) n -1 - c k +2 c (k +1) n -1) 1 = (див. 0.1 °) =
(20b °) = (a k +2 + b k +2 - c k +2) 1 = U''k +3 = v (див. 4 °).
(21 °) Слідство: (U 'k +3 + U''k +3) 1 = (U *' k +3 + U *''k +3) 1 = 0.
(22 °) Обчислимо цифру (11 n U ') k +3:
[Так як числа (11 u ') (k +2) і u * '(k +2) відрізняються тільки k +2- ми цифрами на величину
(11 u ') k +2), то на цю величину будуть відрізнятися і цифри (11 n U') k +3 і U * 'k +3, це означає,
що цифра (11 n U ') k +3 буде на (11 u ') k +2 перевищувати цифру U *' k +3 (див. 0.2 °)]
(11 n U ') k +3 = U' k +3 = (U * 'k +3 + (11u') k +2) 1 = (U * 'k +3 + u' k +1) 1.
(23 °) Звідки U * 'k +3 = U' k +3 - u 'k +1.
(24 °) Обчислимо цифру U *'' k +3 :
U *''k +3 = v * = (u k +2 + u k +1) 1 - (-1, 0 або 1) - див (18 °);
(25 °) Нарешті, обчислимо цифру (U * 'k +3 + U *''k +3) 1:
(U * 'k +3 + U *''k +3) 1 = (U *' k +3 + U *''k +3 - U 'k +3 - U''k +3) 1 = ( U * 'k +3 - U' k +3 + U *''k +3 - U''k +3) 1 =
(См. 23 ° і 24 °) = (- u 'k +1 + v * - v) = (див. 18 ° і 10 °) =
= (- U 'k +1 + [u k +2 + u k +1 - (-1, 0 або 1)] - [u k +2 - (-1, 0 або 1)]) 1 =
= (- U 'k +1 + u k +1 + (-2, -1, 0, 1, або 2)) 1 = (див. 3a °) =
(U''k +1 + (-2, -1, 0, 1, або 2)) 1 = (див. 6 °) = (2, 3, 4, 5, 6, 7 або 8) SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0,
що суперечить 21 ° і, отже, вираз 1 ° є нерівність.
Випадок 2 [доводиться аналогічно, але набагато простіше]: b (Або c) = n t b ', де b 1 = 0 і b t +1 = b' 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0.
(26 °) Введемо число u = c - a> 0, де u (nt - 1) = 0, а u nt SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 ? 0 (див. § 1 у Додатку).
(27 °) Після множення рівності 1 ° на число d 1 n (з метою перетворити цифру u nt у 5)
(Див. § § 2 і 2a в Додатку) позначення чисел зберігаються.
(28 °) Нехай: u '= a (nt - 1) - c (nt - 1), u''= (a - a (nt - 1)) - (c - c (nt - 1)) (де, очевидно, u''nt = (a nt - c nt) 1);
U '= a (nt) n + b n - c (nt) n (де U '(nt + 1) = 0 - див 1 ° і 26 °), U''= (a n - a (nt) n) - (c n - c (nt) n),
U * '= a * (nt) n + b * n - c * (nt) n (де U * '(nt + 1) = 0), U *''= (a * n - a * (nt) n) - (c * n - c * (nt) n),
v = a nt +1 - c nt +1.
Обчислення, повністю аналогічні розрахункам в разі 1, показують, що nt +2- я цифра в рівності Ферма не дорівнює нулю. Число b в усіх розрахунках (крім самої останньої операції і в п. 27 °) можна проігнорувати, оскільки цифри b n nt +1 і b n nt +2 при множенні рівності 1 ° на 11 n не змінюються (тому що 11 n (3) = 101).
Таким чином, для простих n> 7 теорема доведена.
==================
ДОДАТОК
§ 1. Якщо числа a, b, c не мають спільних співмножників і b 1 = (c - a) 1 = 0,
тоді з числа R = (c n - A n) / (c - a) =
= C n -1 + c n -2 a + c n -3 a 2 + ... c 2 a n - 3 + ca n - 2 + a n - 1 =
= (C n -1 + a n -1) + ca (c n -3 + a n -3) + ... + c (n -1) / 2 a (n -1) / 2 =
= (C n -1 - 2c (n -1) / 2 a (n -1) / 2 + a n -1 + 2c (n -1) / 2 a (n -1) / 2) + ca (c n -3 - 2c (n -3) / 2 a (n -3) / 2 + a n -3 + 2c (n -3) / 2 a (n -3) / 2) +
+ ... + C (n -1) / 2 a (n -1) / 2 = (c - a) 2 P + nc (n -1) / 2 a (n -1) / 2 випливає, що:
c - a ділиться на n 2, отже R ділиться на n і не ділиться на n 2;
так як R> n, то число R має простий співмножник r не рівний n;
c - a не ділиться на r;
якщо b = N t b ', де b' 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0, то число c - a ділиться на n tn - 1 і не ділиться n tn.
§ 2. Лема. Всі n цифр (a 1 d i) 1, де d i = 0, 1, ... n - 1, різні.
Дійсно, припустивши, що (a 1 d 1 *) 1 = (a 1 d 1 **) 1, ми знаходимо: ((d 1 * - d 1 **) a 1) 1 = 0.
Звідки d 1 * = d 1 **. Отже, безлічі цифр a 1 (тут разом з a 1 = 0) і d 1 збігаються.
[Приклад для a 1 = 2: 0: 2 x0 = 0; 1: 2 x3 = 1 1, 2: 2 x1 = 2, 3: 2 x4 = 1 3; 4: 2 x2 = 4.
При складеному n Лемма несправедлива: у базі 10 і (2х2) 1 = 4, і (2х7) 1 = 4.]
§ 2a. Слідство. Для будь-якої цифри a 1 SYMBOL 185 \ f "Symbol" \ s 10 № 0 Існує така цифра d i, що (a 1 d i) 1 = 1.
[Приклад для a 1 = 1, 2, 3, 4: 1x 1 = 1; 2x 3 = 1 1; 3x 2 = 1 1; 4x 4 = 3 1.]
ВІКТОР СОРОКІН
e - mail: victor.sorokine @ wanadoo.fr
4 листопада 2004, Франція
PS Доказ для випадків n = 3, 5 , 7 аналогічно, але в (3 °) цифра u k