До вирішення теореми Ферма
Більше 350 років професійні математики і любителі намагаються довести теорему Ферма. Проте до настоящнго часу немає загальновизнаного докази. Тим не менш, інтерес до загадкової теоремі не згасає і до теперішнього часу залишається високим.
У цій статті пропонується до розгляду простий метод докази, заснований на поділі числового безлічі y n + X n = Z n (1)
на дві підмножини, з яких перше містить тільки ті x і y для всіх показників ступеня n, які можуть містити рішення рівняння (1) в цілих числах x, y, z, а друге підмножина містить тільки нецілі рішення.
Відокремити один від одного згадані підмножини представляється можливим шляхом розкладання рівняння (1) на складові за біному Ньютона і складання на їх основі рівняння з урахуванням прийнятих обмежень для пошуку цілих рішень. Для цього представимо рівняння (1) у вигляді, зручному для розкладання:
(X - a) n + x n - (x + b) n = 0 (2)
Тут: x - змінне число, а <x - ціле число; n - ціле число, показник ступеня; b - ціле або неціле кількість, залежно від співвідношення x, a, і n.
Сутність докази полягає у визначенні відповідних значень x, y, z для задоволення рівнянь (1) і (2) методом послідовних наближень. Завдання вирішується стосовно 45 0 сектору I квадранта в площинних координатах (x, y), тому що через нестачу інформації координата z дорівнює 0. Отримані результати можуть бути поширені на інші 7 секторів площині (X, y), визначаючи тим самим область поширення умов теореми Ферма.
Отже, застосовуючи формулу бінома Ньютона до вираження (2), отримаємо:
(X-a) n + x n = 2x n - nx n-1 a + c n 2 x n-2 a 2 - c n 3 x n-3 a 3 ...... + a n
(X + b) n = x n + nx n-1 b + c n 2 x n-2 b 2 + c n 3 x n-3 b 3 .......+ b n
D = x n - nx n-1 (a + b) + c n 2 x n-2 (a 2-b 2) - c n 3 x n-3 (a 3 + b 3 )..+( a n + b n) = 0
(3)
Назвемо вираз (3) основним рівнянням у пошуках цілих рішень рівняння (2). Відповідні значення x, y = (x - a), z = (x + b), що задовольняють рівнянням (1) і (2), будемо шукати за умови a = b = 1. Обгрунтування прийнятих допущень (обмежень) викладено нижче. Вважаючи a = b, рівняння (3) перетворимо до вигляду:
x n - 2nx n-1 a - 2c n 3 x n-3 a 3 - 2c n 5 x n-5 a 5 - ... (A n + a n) = 0 (4)
Позначимо через P (a, n) = 2c n 3 x n-3 a 3 + 2c n 5 x n-5 a 5 + ... (a n + a n ) - Добавку після перших двох членів рівняння (4). Тоді рівняння (4) набуде вигляду:
x n - 2nx n-1 a - P (a, n) = 0
Розділивши всі члени рівняння на x n -1, отримаємо вираз для шуканого x
x = 2 na + P (a, n) / x n -1, де P (a, n) / x n-1 ³ 0 (5)
При a = b = 1 вираз (5) прийме вигляд:
x = 2n + P (1, n) / x n-1 (6)
Відповідні значення y = x-1 і z = x +1 визначаються через відомий х. З формул (5) і (6) стає ясним, що при n> 2 узгодження лівих і правих частин рівнянь (1) і (2) можливо тільки при обліку добавки P (1, n) / x n -1.
Виходячи з викладеного, цілі числа х и у з теореми Ферма слід однозначно віднести до другого підмножині y n + X n = Z n
Нижче, в таблиці наведено результати розрахунків погодження для n = 2,3,4 та 5.
На підставі викладеного можна зробити наступні попередні висновки:
1. Узгодження лівих і правих частин рівнянь (1) і (2) неможливо без урахування добавки P (a, n) / x n -1.
2. Якщо рівняння y n + X n = Z n з урахуванням добавки P (a, n) виразити в числових відрізках та спроектувати на площину (х, у), то на ній при n> 2 утворюється гострокутий трикутник, всі сторони якого при a = b = 1 виражені нецілим числами: х = 2n + P (1, n) / х n -1; у = 2n-1 + P (1, n) / х n -1; z = 2n +1 + P (1, n) / х n -1, що знаходить підтвердження при наступному розгляді добавки P (1, n) / х n -1.
Для з'ясування цього питання представимо її після скорочень в наступному вигляді
P (1, n) / х n-1 = 2c n 3 / x 2 + 2c n 5 / x 4 +2 c n 7 / x 6 ... (1 + 1 ) / X n -1
Перша половина розкладання по сумі значно перевищує другу за рахунок різкого збільшення числителей. Всі члени розкладання другої половини менше 1 за рахунок зменшення числителей і подальшого зростання знаменників, і інтенсовно зменшуються в міру віддалення від центру. У результаті загальна сума розкладу для n> 14 (для n <= 14 добавка <1) завжди буде визначатися цілими числами з значущими цифрами після коми, тобто всі ці числа будуть нецілим, що свідчить про достовірність та доказовість теореми Ферма.
3. Відомо, що рівняння другого ступеня y 2 + x 2 = z 2 вирішується в цілих числах, а її проекцією на площину (х, у) є прямокутний трикутник. Можна припустити, що для більш високих ступенів n знайдеться прямокутна проекція, при якій рішення рівняння Ферма буде відбуватися при цілих x, y, z. Таке припущення виправдане для ступеня n = 3 в об'ємних прямокутних координатах x, y, z, в яких для рівняння (x -2 a) 3 + (x - a) 3 + x 3 = (x + b) 3, існують цілі числа 3,4,5,6 і їм кратні, які задовольняють умові 3 3 +4 3 +5 3 = 6 3.
Фізично ці числа виражають суму кубів на цілих числах, за аналогією з n = 2, де сума квадратів означає суму площ. По суті ми отримали новий варіант теореми Ферма.
4. Спотворення проекцій (трикутників) в міру зростання n обумовлені відображенням на площині (х, у) невластивих їй структур більш високого порядку. Звідси можна зробити висновок, що рішення теореми Ферма в цілих числах пов'язані з наявністю прямокутних проекцій, а при нецілих рішеннях-з перекрученими проекціями у вигляді гострокутних трикутників.
Це підтверджується наступними математичними викладками. Попередньо вирішимо трикутник АВС з теореми косинусів щодо cosC, де C-кут між сторонами а і b
сosC = (a 2 + b 2-c 2) / 2ab. Підставимо замість сторін а, b і з їх аналоги з трикутних проекцій при а = b = 1:
а → x; b → y = x-1; c → z = x +1, де x = 2n + P (1, n) / x n-1
Після виконання операцій перетворення отримаємо:
cosC n = 0,5-1,5 / x n -1 (7)
З яких випливає:
- Спотворення трикутників при n> 2 обумовлено зміною кута С від 90 о при n = 2 до 60 о при n → ∞ при цьому трикутники перетворюються з прямокутних у гострокутні і в межі - в рівносторонні.
- У гострокутних трикутниках немає цілих рішень рівнянь Ферма тому їхнього боку сформовані нецілим числами.
- Рішення теореми Ферма в цілих числах притаманне тільки прямокутним проекціям на площину (х, у) числових відрізків рівнянь y 2 + x 2 = z 2
5. Другий сектор квадранта є аналогом першого-дзеркальним відображенням першого при y> x з усіма наслідками, що випливають з цього результатами.
6. У процесі проведення аналізу по доведенню теореми Ферма в загальному вигляді одержано 4 компактних методу доказу теореми при цілих x, y, коли треба показати, що при n> 2 число z є нецілим.
Перший метод докази слід з розгляду гострокутного трикутника, для якого Z 0 2 = x 2 + y 2 -2 xycosc. Потрібно довести, що Z 0 є нецілим числом. У ньому відомі x і y - цілі числа, а cosc визначений з урахуванням обмежень a = b = 1. Він змінюється в межах 0 <cosc <0,5 (див. ф-лу (7) і табл. На стор.3) і є функцією нецілого, ірраціонального числа х. Значить і соsc є також нецілим числом з безліччю значущих цифр після коми. Завдяки цьому нецілим стає вираз 2 xycosc, що у свою чергу робить нецілим Z 0 2 і витягнутий з нього квадратний корінь Z 0.
В основу другого методу також закладено розгляд гострокутного трикутника. Його Z 0 2 = x 2 + y 2 -2 xycosc завжди менше відповідного Z п 2 = x 2 + y 2 прямокутного трикутника і числовий відрізок Z 0 2 знаходиться всередині числового відрізка Z п 2 = x 2 + y 2.
Враховуючи, що при прийнятих обмеженнях y = x-1, тобто відрізняється на одиницю, то корінь, витягнутий з Z 0 2 буде мати неціле значення, тому що між числами x-1 і x немає інших цілих чисел.
Третій метод заснований на іншому принципі. Його сутність полягає в наступному.
Для послідовності цілих чисел 1,2,3,4 і т.д. складається ряд їх квадратів:
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 і т.д.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 і т.д.
Між числами першого ряду розміщується нижній ряд, що представляє собою кількість цілих чисел (порядкових номерів), розміщених між двома суміжними квадратами чисел x і x +1. Ці цілі (і нецілі) числа z 1 не можуть мати при вилученні з них коренів цілих значень, тому що знаходяться між числами, що відрізняються на одиницю, а матимуть значення x + D, де D = z 1 / Dx 2
Враховуючи, що при n> 2 для гострокутних трикутників z 0 2 завжди менше z п 2 або відповідного Dx 2 в ряду квадратів, необхідно вставити числової відрізок z 0 2 в числовий відрізок Dx 2 і переконатися, що витягнутий корінь з числа z 0 2 є нецілим числом.
Розглянемо доказ на прикладі для n = 5.
Приймемо: x = 2n = 10; y = 2n-1 = 9; cos C = 0,337 (див. Формули 6 і 7).
z 0 2 = 10 2 +9 2 -2 * 10 * 9 * 0,337 = 120,34.
У ряді квадратів це число знаходиться між числами 100 і 121, які є квадратами цілих чисел 10 і 11.
Кв. корінь з числа 120,34 дорівнює 10.97 - неціле число.
Перевірка: 10 5 +9 5 = 159049. Корінь п'ятого ступеня з числа 159049 дорівнює 10,97. У разі необхідності z 0 2 може бути уточнено шляхом повторного (багаторазового) визначення cos C за трьома відомим сторонам трикутника.
Примітка. Числа ряду квадратів відносяться до гострокутним трикутниках різних ступенів n. Числа другого ряду, відмічені жирним шрифтом і поділені на 4, вказують на ступінь n, до якої належить пара чисел, обрана з умови обмеження a = b = 1, у відповідності з формулою (6).
Четвертий метод заснований на тому, що аналогічні статечні ряди можуть бути побудовані для будь-яких n. Тоді для довільно обраної ступеня n = k представляється можливим безпосередньо переконатися в тому, що витягнутий корінь ступеня k з числа z k = x k + y k є нецілим числом.
P. S. Постає питання: за яких умов неціле число 10,97 ... , Зведене в ступінь n = 5, перетвориться на ціле число 159049? Напрошується відповідь: число 10.97 ... повинно бути ірраціональним тобто мати після коми необмежену кількість значущих цифр.
Зупинимося на обгрунтуванні прийнятих у статті допущень (обмежень).
Прийняття a = 1 обумовлено отриманням максимальних
Прийняття b = 1 обумовлено тим, що 1 є єдиним для всіх n цілим числом. Це підтверджується наступними міркуваннями. З рівняння (*) маємо:, звідки b £ x (n Ö 2-1). Підставляючи замість х його близьке ціле значення 2 n, отримаємо формулу b £ 2 n (n Ö 2-1) для практичних розрахунків, які свідчать про те, що поблизу початку координат (на видаленні х для кожного ступеня n) b змінюється від 1,65 при n = 2 до 0 при зростанні n до ¥ . Звідси висновок: у розчині 45 0 сектора всюди b є нецілим числом, що виключає отримання цілих x, y, z при вирішенні рівнянь (1) і (2), за винятком однієї точки, де b = 1, яку слід перевіряти на наявність рішення в цілих числах x, y, z, що й було зроблено вище з негативним результатом.
Розрахунки при a = b = 2,3,4 .... відносяться до точок на значній відстані від початку координат, кратним коефіцієнтами a = 2,3,4 ....
Результати розрахунків при цьому аналогічні виконаним при а = b = 1, за винятком випадків, коли х визначається цілим числом з кінцевим числом значущих цифр після коми. Тоді можна підібрати такий коефіцієнт пропорційності а множення на який нецілих чисел х, у, z зробить їх цілими числами, для яких буде справедливо (x * a) n + (Y * a) n = (z * a) n.
У цьому випадку теорема Ферма стане недостовірної або яка має виключення при n> 2. У принципі теорема Ферма може вважатися достовірною, якщо добавка P (a, n) / x n -1 є ірраціональним числом. Тоді неможливо використовувати коефіцієнт пропорційності a.
У ірраціональності добавки P (1, n) / x n -1 можна переконатися, якщо проводити багаторазове уточнення величини х методом послідовних наближень, бо при розподілі цілих числителей в добавці на нецілі, багаторазово уточнюється знаменники, у складі добавки знайдеться хоча б один ірраціональний результат ділення, який перетворить всю добавку в ірраціональне число.
Нарешті, аналізуючи розташування секторів на площині (x, y) і, враховуючи, що непарні функції x n і y n можуть приймати позитивні і негативні значення, можна скласти наступну схему розташування цих функцій на площині (x, y), тобто в області розповсюдження умов теореми Ферма:
- Вся площина (x, y) - для парних показників ступеня n
- Квадрант I - для позитивних x і y
- Квадрант III-для негативних x і y
- У квадрантах II і IV для непарних n будуть мати місце різниці типу x n - Y n або y n - X n, розгляд яких теоремою Ферма не передбачено.
2. Рішення рівнянь Ферма в нецілих числах при n> 2 зумовлено утворенням на площині (x, y) перекручених (гострокутних) проекцій функції y n + X n = Z n . При проекціях у вигляді прямокутних трикутників розв'язки отримують у цілих числах.
3. Теорема Ферма поширюється на всю площину (x, y), крім II і IV квадрантів при непарних n.
Микола Іванович Пічугін, ветеран ВВВ та ВС,
Москва 2001 - 2004 год
Т. 396 -90-24
e-meil: hrendy@rumbler.ru
|
Більше 350 років професійні математики і любителі намагаються довести теорему Ферма. Проте до настоящнго часу немає загальновизнаного докази. Тим не менш, інтерес до загадкової теоремі не згасає і до теперішнього часу залишається високим.
У цій статті пропонується до розгляду простий метод докази, заснований на поділі числового безлічі y n + X n = Z n (1)
на дві підмножини, з яких перше містить тільки ті x і y для всіх показників ступеня n, які можуть містити рішення рівняння (1) в цілих числах x, y, z, а друге підмножина містить тільки нецілі рішення.
Відокремити один від одного згадані підмножини представляється можливим шляхом розкладання рівняння (1) на складові за біному Ньютона і складання на їх основі рівняння з урахуванням прийнятих обмежень для пошуку цілих рішень. Для цього представимо рівняння (1) у вигляді, зручному для розкладання:
(X - a) n + x n - (x + b) n = 0 (2)
Тут: x - змінне число, а <x - ціле число; n - ціле число, показник ступеня; b - ціле або неціле кількість, залежно від співвідношення x, a, і n.
Сутність докази полягає у визначенні відповідних значень x, y, z для задоволення рівнянь (1) і (2) методом послідовних наближень. Завдання вирішується стосовно 45 0 сектору I квадранта в площинних координатах (x, y), тому що через нестачу інформації координата z дорівнює 0. Отримані результати можуть бути поширені на інші 7 секторів площині (X, y), визначаючи тим самим область поширення умов теореми Ферма.
Отже, застосовуючи формулу бінома Ньютона до вираження (2), отримаємо:
(X-a) n + x n = 2x n - nx n-1 a + c n 2 x n-2 a 2 - c n 3 x n-3 a 3 ...... + a n
(X + b) n = x n + nx n-1 b + c n 2 x n-2 b 2 + c n 3 x n-3 b 3 .......+ b n
D = x n - nx n-1 (a + b) + c n 2 x n-2 (a 2-b 2) - c n 3 x n-3 (a 3 + b 3 )..+( a n + b n) = 0
(3)
Назвемо вираз (3) основним рівнянням у пошуках цілих рішень рівняння (2). Відповідні значення x, y = (x - a), z = (x + b), що задовольняють рівнянням (1) і (2), будемо шукати за умови a = b = 1. Обгрунтування прийнятих допущень (обмежень) викладено нижче. Вважаючи a = b, рівняння (3) перетворимо до вигляду:
x n - 2nx n-1 a - 2c n 3 x n-3 a 3 - 2c n 5 x n-5 a 5 - ... (A n + a n) = 0 (4)
Позначимо через P (a, n) = 2c n 3 x n-3 a 3 + 2c n 5 x n-5 a 5 + ... (a n + a n ) - Добавку після перших двох членів рівняння (4). Тоді рівняння (4) набуде вигляду:
x n - 2nx n-1 a - P (a, n) = 0
Розділивши всі члени рівняння на x n -1, отримаємо вираз для шуканого x
x = 2 na + P (a, n) / x n -1, де P (a, n) / x n-1 ³ 0 (5)
При a = b = 1 вираз (5) прийме вигляд:
x = 2n + P (1, n) / x n-1 (6)
Відповідні значення y = x-1 і z = x +1 визначаються через відомий х. З формул (5) і (6) стає ясним, що при n> 2 узгодження лівих і правих частин рівнянь (1) і (2) можливо тільки при обліку добавки P (1, n) / x n -1.
Виходячи з викладеного, цілі числа х и у з теореми Ферма слід однозначно віднести до другого підмножині y n + X n = Z n
Нижче, в таблиці наведено результати розрахунків погодження для n = 2,3,4 та 5.
n | x | y = x-1 | z = x +1 | x n | y n | x n + y n | z n | D% |
| 2 | 4 | 3 | 5 | 16 | 9 | 25 | 25 | - |
| 3 | 6,055 | 5,055 | 7,055 | 221 | 129 | 350 | 350 | - |
| 4 | 8,125 | 7,125 | 9,125 | 4350 | 2540 | 6890 | 6890 | - |
| 5 | 10,200 | 9,200 | 11,200 | 107000 | 66000 | 173000 | 175000 | 1,25 |
1. Узгодження лівих і правих частин рівнянь (1) і (2) неможливо без урахування добавки P (a, n) / x n -1.
2. Якщо рівняння y n + X n = Z n з урахуванням добавки P (a, n) виразити в числових відрізках та спроектувати на площину (х, у), то на ній при n> 2 утворюється гострокутий трикутник, всі сторони якого при a = b = 1 виражені нецілим числами: х = 2n + P (1, n) / х n -1; у = 2n-1 + P (1, n) / х n -1; z = 2n +1 + P (1, n) / х n -1, що знаходить підтвердження при наступному розгляді добавки P (1, n) / х n -1.
Для з'ясування цього питання представимо її після скорочень в наступному вигляді
P (1, n) / х n-1 = 2c n 3 / x 2 + 2c n 5 / x 4 +2 c n 7 / x 6 ... (1 + 1 ) / X n -1
У чисельнику кожного члена розкладання представлені поєднання c n k, розподіл яких симетрично, на зразок гаусовських, щодо центру (n +1) / 2. У знаменнику функція x 2, зростаюча з кожним членом за квадратичним законом.
Перший член розкладання, через малість x 2 має найбільшу величину і може виражатися цілим числом зі значущими цифрами після коми (для n = 15 - 1,1 ...; для n = 25 - 1,8 ...; і т.п.) . Останній член має найменшу величину через велику знаменника x n -1 (Для n = 3 - 2 / 6 2; для n = 15 - близько 2 / 30 14; для n = 25 - 2 / 50 24 і т.п.)Перша половина розкладання по сумі значно перевищує другу за рахунок різкого збільшення числителей. Всі члени розкладання другої половини менше 1 за рахунок зменшення числителей і подальшого зростання знаменників, і інтенсовно зменшуються в міру віддалення від центру. У результаті загальна сума розкладу для n> 14 (для n <= 14 добавка <1) завжди буде визначатися цілими числами з значущими цифрами після коми, тобто всі ці числа будуть нецілим, що свідчить про достовірність та доказовість теореми Ферма.
3. Відомо, що рівняння другого ступеня y 2 + x 2 = z 2 вирішується в цілих числах, а її проекцією на площину (х, у) є прямокутний трикутник. Можна припустити, що для більш високих ступенів n знайдеться прямокутна проекція, при якій рішення рівняння Ферма буде відбуватися при цілих x, y, z. Таке припущення виправдане для ступеня n = 3 в об'ємних прямокутних координатах x, y, z, в яких для рівняння (x -2 a) 3 + (x - a) 3 + x 3 = (x + b) 3, існують цілі числа 3,4,5,6 і їм кратні, які задовольняють умові 3 3 +4 3 +5 3 = 6 3.
Фізично ці числа виражають суму кубів на цілих числах, за аналогією з n = 2, де сума квадратів означає суму площ. По суті ми отримали новий варіант теореми Ферма.
4. Спотворення проекцій (трикутників) в міру зростання n обумовлені відображенням на площині (х, у) невластивих їй структур більш високого порядку. Звідси можна зробити висновок, що рішення теореми Ферма в цілих числах пов'язані з наявністю прямокутних проекцій, а при нецілих рішеннях-з перекрученими проекціями у вигляді гострокутних трикутників.
Це підтверджується наступними математичними викладками. Попередньо вирішимо трикутник АВС з теореми косинусів щодо cosC, де C-кут між сторонами а і b
сosC = (a 2 + b 2-c 2) / 2ab. Підставимо замість сторін а, b і з їх аналоги з трикутних проекцій при а = b = 1:
а → x; b → y = x-1; c → z = x +1, де x = 2n + P (1, n) / x n-1
Після виконання операцій перетворення отримаємо:
cosC n = 0,5-1,5 / x n -1 (7)
За отриманою формулою проведені розрахунки
| n | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | ∞ |
| x-1 | 3 | 5.054 | 7.125 | 9.200 | 19.0 .. | ∞ |
| cosC | 0 | 0.202 | 0.289 | 0.337 | 0.421 | 0.5 |
| C o | 90 | 78 | 73 | 70 | 65 | 60 |
- Спотворення трикутників при n> 2 обумовлено зміною кута С від 90 о при n = 2 до 60 о при n → ∞ при цьому трикутники перетворюються з прямокутних у гострокутні і в межі - в рівносторонні.
- У гострокутних трикутниках немає цілих рішень рівнянь Ферма тому їхнього боку сформовані нецілим числами.
- Рішення теореми Ферма в цілих числах притаманне тільки прямокутним проекціям на площину (х, у) числових відрізків рівнянь y 2 + x 2 = z 2
5. Другий сектор квадранта є аналогом першого-дзеркальним відображенням першого при y> x з усіма наслідками, що випливають з цього результатами.
6. У процесі проведення аналізу по доведенню теореми Ферма в загальному вигляді одержано 4 компактних методу доказу теореми при цілих x, y, коли треба показати, що при n> 2 число z є нецілим.
Перший метод докази слід з розгляду гострокутного трикутника, для якого Z 0 2 = x 2 + y 2 -2 xycosc. Потрібно довести, що Z 0 є нецілим числом. У ньому відомі x і y - цілі числа, а cosc визначений з урахуванням обмежень a = b = 1. Він змінюється в межах 0 <cosc <0,5 (див. ф-лу (7) і табл. На стор.3) і є функцією нецілого, ірраціонального числа х. Значить і соsc є також нецілим числом з безліччю значущих цифр після коми. Завдяки цьому нецілим стає вираз 2 xycosc, що у свою чергу робить нецілим Z 0 2 і витягнутий з нього квадратний корінь Z 0.
В основу другого методу також закладено розгляд гострокутного трикутника. Його Z 0 2 = x 2 + y 2 -2 xycosc завжди менше відповідного Z п 2 = x 2 + y 2 прямокутного трикутника і числовий відрізок Z 0 2 знаходиться всередині числового відрізка Z п 2 = x 2 + y 2.
Враховуючи, що при прийнятих обмеженнях y = x-1, тобто відрізняється на одиницю, то корінь, витягнутий з Z 0 2 буде мати неціле значення, тому що між числами x-1 і x немає інших цілих чисел.
Третій метод заснований на іншому принципі. Його сутність полягає в наступному.
Для послідовності цілих чисел 1,2,3,4 і т.д. складається ряд їх квадратів:
1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 і т.д.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 і т.д.
Між числами першого ряду розміщується нижній ряд, що представляє собою кількість цілих чисел (порядкових номерів), розміщених між двома суміжними квадратами чисел x і x +1. Ці цілі (і нецілі) числа z 1 не можуть мати при вилученні з них коренів цілих значень, тому що знаходяться між числами, що відрізняються на одиницю, а матимуть значення x + D, де D = z 1 / Dx 2
Враховуючи, що при n> 2 для гострокутних трикутників z 0 2 завжди менше z п 2 або відповідного Dx 2 в ряду квадратів, необхідно вставити числової відрізок z 0 2 в числовий відрізок Dx 2 і переконатися, що витягнутий корінь з числа z 0 2 є нецілим числом.
Розглянемо доказ на прикладі для n = 5.
Приймемо: x = 2n = 10; y = 2n-1 = 9; cos C = 0,337 (див. Формули 6 і 7).
z 0 2 = 10 2 +9 2 -2 * 10 * 9 * 0,337 = 120,34.
У ряді квадратів це число знаходиться між числами 100 і 121, які є квадратами цілих чисел 10 і 11.
Кв. корінь з числа 120,34 дорівнює 10.97 - неціле число.
Перевірка: 10 5 +9 5 = 159049. Корінь п'ятого ступеня з числа 159049 дорівнює 10,97. У разі необхідності z 0 2 може бути уточнено шляхом повторного (багаторазового) визначення cos C за трьома відомим сторонам трикутника.
Примітка. Числа ряду квадратів відносяться до гострокутним трикутниках різних ступенів n. Числа другого ряду, відмічені жирним шрифтом і поділені на 4, вказують на ступінь n, до якої належить пара чисел, обрана з умови обмеження a = b = 1, у відповідності з формулою (6).
Четвертий метод заснований на тому, що аналогічні статечні ряди можуть бути побудовані для будь-яких n. Тоді для довільно обраної ступеня n = k представляється можливим безпосередньо переконатися в тому, що витягнутий корінь ступеня k з числа z k = x k + y k є нецілим числом.
P. S. Постає питання: за яких умов неціле число 10,97 ... , Зведене в ступінь n = 5, перетвориться на ціле число 159049? Напрошується відповідь: число 10.97 ... повинно бути ірраціональним тобто мати після коми необмежену кількість значущих цифр.
Зупинимося на обгрунтуванні прийнятих у статті допущень (обмежень).
Прийняття a = 1 обумовлено отриманням максимальних
Розрахунки при a = b = 2,3,4 .... відносяться до точок на значній відстані від початку координат, кратним коефіцієнтами a = 2,3,4 ....
Результати розрахунків при цьому аналогічні виконаним при а = b = 1, за винятком випадків, коли х визначається цілим числом з кінцевим числом значущих цифр після коми. Тоді можна підібрати такий коефіцієнт пропорційності а множення на який нецілих чисел х, у, z зробить їх цілими числами, для яких буде справедливо (x * a) n + (Y * a) n = (z * a) n.
У цьому випадку теорема Ферма стане недостовірної або яка має виключення при n> 2. У принципі теорема Ферма може вважатися достовірною, якщо добавка P (a, n) / x n -1 є ірраціональним числом. Тоді неможливо використовувати коефіцієнт пропорційності a.
У ірраціональності добавки P (1, n) / x n -1 можна переконатися, якщо проводити багаторазове уточнення величини х методом послідовних наближень, бо при розподілі цілих числителей в добавці на нецілі, багаторазово уточнюється знаменники, у складі добавки знайдеться хоча б один ірраціональний результат ділення, який перетворить всю добавку в ірраціональне число.
Нарешті, аналізуючи розташування секторів на площині (x, y) і, враховуючи, що непарні функції x n і y n можуть приймати позитивні і негативні значення, можна скласти наступну схему розташування цих функцій на площині (x, y), тобто в області розповсюдження умов теореми Ферма:
- Вся площина (x, y) - для парних показників ступеня n
- Квадрант I - для позитивних x і y
- Квадрант III-для негативних x і y
- У квадрантах II і IV для непарних n будуть мати місце різниці типу x n - Y n або y n - X n, розгляд яких теоремою Ферма не передбачено.
ВИСНОВКИ
1. Розроблено метод доведення теореми Ферма в загальному вигляді. Визначено основне рівняння (3) і робочі формули (2), (5), (6), (7) для проведення аналізу та розрахунків.2. Рішення рівнянь Ферма в нецілих числах при n> 2 зумовлено утворенням на площині (x, y) перекручених (гострокутних) проекцій функції y n + X n = Z n . При проекціях у вигляді прямокутних трикутників розв'язки отримують у цілих числах.
3. Теорема Ферма поширюється на всю площину (x, y), крім II і IV квадрантів при непарних n.
Микола Іванович Пічугін, ветеран ВВВ та ВС,
Москва 2001 - 2004 год
Т. 396 -90-24
e-meil: hrendy@rumbler.ru