Завдання 1. Знайти похідні функцій
a)
Нехай ,
, Тоді
b)
Якщо функція має вигляд , То її похідна знаходиться за формулою
.
Перейдемо від десяткового логарифма до натурального:
За властивості логарифма
Таким чином,
c)
Продифференцируем рівняння, вважаючи y функцією від х:
Завдання 2. Дослідити методами диференціального обчислення і побудувати графік функції
Областю визначення функції є всі дійсні числа,
крім х = 0. У точці х = 0 функція розривна.
Функція непарна, т. к.
Функція не перетинається з осями координат (рівняння y = 0 не має рішень).
Знайдемо похідну функції:
.
Знайдемо стаціонарні точки, прирівнявши похідну до нуля.
Функція зростає на проміжку (- ∞; - 1) U (1; ∞)
і убуває в проміжку (-1; 0) U (0; 1).
Функція має екстремуми: максимум - в точці х =- 1, мінімум - у точці х = 1.
Досліджуємо функцію на опуклість / увігнутість.
Для цього знайдемо похідну другого порядку і, прирівнявши її до нуля, обчислимо критичні точки другого роду.
У точці х = 0 друга похідна не існує, тому що це точка розриву функції. В інтервалі (- ∞, 0) <0, з ледовательно, графік функції в цьому інтервалі опуклий. В інтервалі (0; ∞)
> 0, з ледовательно, графік функції в цьому інтервалі увігнутий.
Асимптоти графіка функції :
1) вертикальна асимптота - пряма х = 0
Т.к. і
2) горизонтальних асимптот немає,
т. к. і
3) похилих асимптот немає,
т. к.
і
Завдання 3. Знайти екстремуми функції Z = ln (3 - x 2 + 2 x - y 2)
Знайдемо приватні похідні першого порядку.
М (1; 0) - стаціонарна крапка.
Знайдемо другі похідні та їх значення в точці М.
> 0
Отже, функція Z = ln (3 - x 2 + 2 x - y 2) має екстремум в точці М (1; 0) - максимум, т. к. A <0.
Завдання 4. Обчислити невизначені інтеграли, результат перевірити диференціюванням
a)
Вирішуємо методом заміни змінної. Покладемо ,
тоді
,
Таким чином, отримуємо
Повернемося до змінної х.
Перевіримо диференціюванням:
b)
Скористаємося таблицею невизначених інтегралів [Вигодський, М.Я. Довідник з вищої математики. - М.: Наука, 1972. - 872 с.: Іл. - С. 850]
З
Перевіримо диференціюванням:
c)
Неправильну раціональну дріб приводимо до правильної діленням чисельника на знаменник, отримуємо
Відповідно до властивості інтервалу алгебраїчної суми, маємо
Підстановка
призводить інтеграл до вигляду
Повертаючись до аргументу х, отримуємо
Таким чином, ,
де С = С 1 + С 2
Перевіримо диференціюванням:
Завдання 5. Обчислити визначений інтеграл
Спочатку обчислимо невизначений інтеграл методом заміни змінної. Вважаючи , Знаходимо
Повернемося до змінної х.
Таким чином,
Бібліографічний список
Баврін, І.І. Вища математика: підручник / І.І. Баврін. - М.: Академія, 2003. - 616 с.: Іл.
Вигодський, М.Я. Довідник з вищої математики / М.Я. Вигодський. - М.: Наука, 1972. - 872 с.: Іл.
Вигодський, М.Я. Довідник з елементарної математики / М.Я. Вигодський. - СПб.: Вид. «Санкт-Петербург оркестр», 1994. - 416 с.: Іл.