Диференціальне числення

Міністерство науки і освіти

Кафедра "ІІВТ"

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

До курсової роботи

По предмету: Вища математика

На тему: Диференціальне числення

м. Талдикорган 2008

Введення

1. Предмет математики та основні періоди її розвитку. Математика являє собою один з найбільш важливих фундаментальних наук. Слово "математика" походить від грецького слова "матема", що означає знання. Виникла математика на перших же етапах людського розвитку в зв'язку з практичною діяльністю людей. З найдавніших часів люди, виробляючи різні роботи, зустрічалися з необхідністю виділення і освіти тих чи інших сукупностей об'єктів, ділянок землі, житлових потреб об'єктів, житлових приміщень.

По-перше, у всіх цих випадках потрібно було встановлювати кількісні оцінки розглянутих множин, вимірювати їх площі і об'єми, порівнювати, обчислювати, перетворювати. За визначенням, яке Ф. Енгельсом:

МАТЕМАТИКА - це наука вивчає кількісні відносини і просторові форми реального світу.

2. Основні математичні поняття, такі як число, геометрична фігура, функція, похідна, інтеграл, випадкова подія та її ймовірність і т.д. За свою історію математика, яка розвивалася в тісному зв'язку з розвитком виробничою діяльністю людей і суспільної культури, перетворилася на струнку дедуктивну науку, представлену як потужний апарат для вивчення навколишнього свiту.

Академік А.Н. Калинов виділив чотири основні розвитку в історії математики.

Перший - період зародження математики, початок якого лежить і втрачається в глибинах тисячоліть історії людства і триває до VI - V століть до нашої ери. У цьому періоді створюється арифметика, а також зачатки геометрії. Математичні відомості цього періоду складаються в основному із зведення правил вирішення різних практичних завдань.

Другий період - елементарної математики, тобто математики, постійних величин (VI - V ст. до н.е. - XVII ст. н.е.). Вже на початку цього періоду (близько 300 років до н.е.) Евклід створює теорію трьох книг ("Початок Евкліда" - перший з дійшли до нас великих теоретичних досліджень з математики), в яких, зокрема вивчається дедуктивним чином на базі система аксіоми вся елементарна геометрія. Виданої в IX столітті твори ал-Хорезмі "Кібат ал-Джарап ал-мукабала" містить загальні прийоми вирішення завдань, що зводять до управління першого та другого ступеня. У XV столітті замість гучних висловів стали вживати знаки + і -, знаки ступенів, коренів, дужки. У XVI столітті Ф. Вієт застосовує літери для позначення даних і не відомих величин. До середини XVII століття в основному склалася сучасна алгебраїчна символіка, і цим були створені основи формального математичного мови.

Третій період - період створення математики змінних величин (XVII століття - середина XIX століття). Починаючи з XVII століття, у зв'язку з вивченням кількісного відносини в процесі їх зміни, на перший план виносили поняття змінної величини і функції. У цьому періоді в роботах Р. Декарта на базі світового дослідження методу системних координат створюється аналітична геометрія. У ра ботах І. Ньютона і Г. В. Лейбніца завершує створення диференціального інтегрального числення.

Четвертий період - сучасні математики. Його початок слід відносити до двадцятих років XIX століття - цей період починається з робіт Е. Гаусса, в яких закладені ідеї теорії алгебраїчних структур, В. І. Лобачевського, який відкрив першу неевклідову геометрію - геометрію Лобачевського.

Надалі подальшого розповсюдження отримав аксіоматичний метод, в нову фазу вступили роботи з обгрунтування математики, математичної логіки та математичного моделювання. Створення в середині минулого століття ЕОМ привело не тільки більш до глибокого і широкого застосування математики в інших галузях знання, в технічних науках, у питаннях організації та управління виробництвом, а й зародження розвитку нових областей теоретичних і прикладних математичних функцій. Проникнення методів сучасної математики і ЕОМ в інші наук і практику застосовує на стільки загальний і глибокий характер, що одне з здібностей нинішнього етапу розвитку людської культури вважається процес математизації знань та комп'ютеризації всіх сфер трудової діяльності та життя людей.

3. Поняття про математичне моделювання. При вивченні кількісних характеристик складних об'єктів, процесів явищ, користуються методом математичного моделювання, який полягає в тому, що розглянуті закономірності формуються на математичній мові і досліджуються за допомогою відповідних математичних засобів. Математичний модуль досліджуваного об'єкта записується за допомогою математичних символів і складається із сукупності рівнянь, нерівностей, формул, алгоритмів програм (для ЕОМ), до складу яких входять змінні і постійні величини, різні операції, функції, можливо, і їх похідні, і інші математичні поняття. Прийомами складання найпростіших математичних моделей служить добре відомий, з курсу математики середньої школи, прийом вирішення завдань за допомогою рівнянь і систем рівнянь - отримане рівняння або система рівнянь є математичною моделлю даної задачі. Це були приклади завдань з єдиним рішенням - детермінованих задач. Однак часто зустрічаються задачі, що мають багато рішень. У таких випадках на практиці виникає питання про знаходження такого рішення, яке є найбільш підходящим для тієї чи іншої точки зору. Такі рішення називаються оптимальними рішеннями.

Оптимальне рішення визначається як рішення, для якого деяка функція називається цільовою функцією, приймає при заданих обмеженнях найбільше і найменше значення. Цільову функцію складають з умови завдання, і вона виражає величину, яку потрібно оптимізувати (тобто максимізувати або мінімізувати), - наприклад, одержуваний прибуток, витрати, ресурси і т.п.

Виявляється, що широкий клас, зокрема завдання управління, становлять завдання в математичних моделях яких умови на змінних створюють нерівність чи рівність. Теорія і методи вирішення таких завдань становить розділ математики, відомий під назвою "Математичне програмування".

Якщо обмеження і цільова функція є численним першого ступеня (лінійні), то такі завдання складають розділ математичного програмування.

Математичні моделі великих похідних систем, як правило, мають складну структуру. Зокрема, в них кількість змінних і нерівностей або рівнянь можуть нараховувати кілька десятків і навіть сотень ступенів мають досить складний вид. Такі завдання вирішуються в обчислювальних центрах з використанням великих обчислювальних машин.

Слідуючи А. Н. Тихонову, в процесі розв'язання реальних завдань методом математичного моделювання обчислюємо наступні п'ять етапів:

1. Побудова якісної моделі, тобто розглядання явищ, виділення основних факторів і встановлення закономірностей, які мають місце в наступному явищі.

2. Побудова математичної моделі, тобто переклад на мову математичних станів, встановлених якісних закономірностей явищ. На цьому ж етапі стану цільова функція, тобто така числова характеристика змінних, найбільшому або найменшим значенням якої відповідає краща ситуація з точки зору попереднього рішення.

3. Рішення одержуваної завдання. У зв'язку з тим, що часто математичні моделі є досить величезними, обчислення проводяться за допомогою ЕОМ в обчислювальних центрах.

4. Зіставлення результатів обчислень є незадовільними, то переходять до другого циклу процесу моделювання, тобто повторюють етапи 1, 2, 3 з належними уточненнями інформації поки не буде досягнуто задовільний угоду з наявними даними про модульованому об'єкті.

Математичні методи необхідно застосовувати при вирішенні великих завдань, таких як: фінансові відносини, планування народного господарства, використання атомної енергії в широких цілях, створення великих повітряних та космічних кораблів різного призначення, забезпечення тривалої роботи наукових експедицій в космосі і т.д.

Однак було б помилково думати, що математичні методи потрібні тільки для вирішення великих завдань. При вивченні наук у середній школі ми зустрічаємося із застосуваннями математичних методів і обчислень у вирішенні конкретних різних завдань. Подібні завдання зустрічаються в щоденній роботі технічних фахівців, економістів, технологів. Тому працівникам народного господарства, в якій би області вони не працювали, необхідно володіти основними методами дослідження і прийомами обчислення, усним, письмовим, і машинним рахунками. Фахівці повинні мати повне уявлення про можливості сучасної ЕОМ.

У середній школі ми ознайомилися з основними теоріями рівнянь, їх систем, векторів, диференціального й інтегрального исчислениями та їх застосуваннями у вирішенні практичних завдань.

Мета вивчення математики в середніх спеціальних закладах полягає в тому, щоб поглибити знання з вивченим розділам і ознайомитися з деякими новими розділами математики (аналітичної геометрією, теорією ймовірності та ін), які збагачують загальну культуру, розвиває логічне мислення, широко використовується в математичному моделюванні задач , з якими зустрічається сучасний фахівець у своїй повсякденній діяльності.

Типовий навчальний план

Типовий навчальний план - це документ, призначений для реалізації державних вимог до мінімуму змісту та рівня підготовки випускних навчальних закладів середньо спеціальної освіти. Він визначає загальний перелік дисциплін, і обов'язкові обсяги часу для їх реалізації, види і мінімальну тривалість виробленої практики, приблизний перелік навчальних кабінетів, лабораторій і майстерень. У навчальному плані також передбачається курсове проектування не більш ніж з трьох дисциплін на весь період навчання. Види виробничої практики та їх тривалість визначається відповідно до типової навчальної практики по заданій спеціальності. Графік навчального процесу носить рекомендаційний характер і може бути відкоректований навчальним закладом при обов'язковому дотриманні тривалості теоретичного навчання, екзаменаційних сесій, а також термінів проведення зимових і завершальних навчальний рік літніх канікул (див. таблицю 1).

ТАБЛИЦЯ 1

З навчального плану видно, що на предмет "Вища математика" всього відводиться 91 год. З них 35 - теоретичних, 13 - практичних, 13 годин відводиться на лабораторні заняття і 30 годин відведено на курсовий проект. Мінімальна кількість контрольних робіт становить 1 робота. Заліку немає. Курсовий проект здається в 7 семестрі. Іспит проводиться в 7 семестрі. Предмет "Вища математика" вивчається на 3 курсі. У 7 семестрі навчання 13 тижнів, на тиждень по 7 годин: 13 * 7 = 91 год. Предмет повністю вивчається на 3 курсі в 7 семестрі.

Тематичний план

Тематичний план - є частиною навчальної програми. Навчальна програма - це документ, в якому дається характеристика змісту досліджуваного матеріалу по роках навчання і розділів (тем). Тематичний план складається з розділів, до яких входять теми. Тематичний план розподіляє годинник по розділам із загальної кількості годин. У тематичному плані з предмету "Вища математика" в розділі "Диференціальне числення" відводиться 36 годин.

ТАБЛИЦЯ 2

На вивчення розділу "Диференціальне числення" в предметі "Вища математика", дається 36 годин. З них: 22 години теоретичних занять і 14 годин присвячені практичному вивченню.

Календарно-тематичний план

Календарно-тематичний план - планирующее обліковий документ, його цілями є визначення тематики, тип методу і оснащення уроків по вибраному предмету. Складання календарно-тематичного плану є першим кроком створення поурочной систематизації. Вихідним документом тут є навчальна програма. Календарно тематичний план передбачає міжпредметні зв'язки. За відповідності календарно-тематичного плану навчальній програмі орієнтуються на тематичний план при складанні поурочного плану. Календарно-тематичний план (див. таблицю 3).

Розробка уроку

Вивчаючи навчальну програму, викладач уважно аналізує кожну тему, що дає можливість чітко визначити зміст навчання, встановити міжпредметні зв'язки. На основі навчальної програми складається календарно-тематичний план і вже на основі календарно-тематичного плану складається поурочний план. При визначенні мети і змісту уроку, що випливає з навчальної програми, визначається зміст запису, умінь і навичок, які учні повинні засвоїти на даному уроці. Аналізуючи попередні уроки, і встановлюючи якою мірою вирішені їх завдання, з'ясовують причину недоліків, і на основі цього визначають які зміни необхідно внести в проведення даного уроку. Намічають структуру уроку і час на кожну її частину, формують зміст і характер виховної роботи під час уроку.

План уроку

Предмет: Вища математика Група 636

Тема: Похідна

Цілі:

а) навчальна: Ознайомити учнів з поняттям похідна, розповісти про її властивості і методи знаходження

б) розвиваюча: Розвинути інтерес до вирішення завдань з даної теми

в) виховна: Виробити потреба в самоосвіті

Тип уроку: цільовий

Метод викладу: словесний

Наочні посібники: плакат

Час: 90 хв.

Хід уроку

I. Вступна частина:

1. Організаційний момент: перевірка за рапортичку час 2 хв.

2. Перевірка домашнього завдання: час 15 хв.

Тест (додаток 1)

II. Основна частина:

1. Повідомлення цілі нової теми

2. Виклад нового матеріалу час 40 хв.

а) Завдання, що призводять до поняття похідної

б) Похідна функції

в) Фізичний і геометричний зміст похідної

г) Обчислення похідної на основі її визначення

д) дифференцируемость безперервної функції

3. Відповіді на питання учнів час 10 хв.

4. Закріплення нового матеріалу час 20 хв.

Самостійна робота по 4 варіантами (додаток 2)

III. Заключна частина: час 3 хв.

1. Підведення підсумків

2. Домашнє завдання: повторення теми, № 229, 235, 238

3. Заключне слово викладача

Викладач :___________________________

Список літератури

1. Г.Л. Луканкін, М.М. Мартинов "Вища математика", Москва "Освіта" 1988

2. Ю.К. Бабанський "Вища математика", Москва "Освіта" 1988

3. Ю.К. Бабанський "Вища математика", Москва "Освіта" 1983

4. І.М. Бронштейн, К.А. Семендяев "Довідник з математики", Москва "Просвіта" 1990 рік

Додаток 1

ТЕСТ

1. Знайдіть межа

а) 9

б)

в) -9

г) -8

2. Обчисліть межа

а) 5

б) -1

в) -5

г) -

3. Обчисліть межа

а) cos

б)

в)

г)

4. Обчисліть межа

а) -2

б)

в)

г) 2

5. Обчисліть межа

а) -1

б) 2

в) -5

г) 1

Правильна відповідь г)

Додаток 2

САМОСТІЙНА РОБОТА

1. Знайти миттєву швидкість в момент часу t _{0 вільне} падіння тіла в полі тяжіння Землі (I, II, III, IV).

2. Точка рухається прямолінійно за законом x (t) = V ₀ t + . Знайдіть миттєву швидкість цієї точки:

I в.: При t = 0

II ст.: У момент t ₀

III ст.: При t = 7

IV ст.: У момент часу t = 7 c

3. Знайдіть похідну функції:

I в.: F (x) = x ²

II ст.: F (x) = 2x ³ + 4x + 4

III ст.: F (x) =

IV ст.: F (x) = 3 x ² + 4

4. Знайдіть похідну функцій в точках x = 1, x = 3.

I в.: F (x) =

II ст.: F (x) = (x + 5) ²

III ст.: F (x) = 4 - x ³

IV ст.: F (x) = 5x ⁴ + 2x ³ - 3x + 6

5. Знайдіть похідну функцій в даних точках.

I в.: F (x) = cos x, при х =

II ст.: F (x) = tg x, при х =

III ст.: F (x) = cos 2 x, при х =

IV ст.: F (x) = x ² + 4 x + 72, при х = -5

Додаток 3

Конспект уроку на тему "Похідна"

1. Завдання, що призводять до поняття похідної.

Розглянемо рух матеріальної точки М вздовж осі Ох (рис.1). За початок відліку (точка О) приймемо положення матеріальної точки в момент часу t = 0. Нехай в момент часу t координата рухається точки х дорівнює f (t), тобто координата х матеріальної точки є функція часу:

Х = f (t), t Є [0; T]

О М х

Ця функція називається законом руху, задається формулою:

X = Vt

На практиці поїзда, автомобілі рухаються рівномірно і прямолінійно лише на деяких ділянках, а в загальному випадку їх рух нерівномірний. При нерівномірному прямолінійному русі матеріальна точка за різні, але рівні за тривалістю проміжки часу може здійснювати різні як за часом, так і за напрямком переміщення. Для нерівномірного руху вводиться поняття середньої швидкості V _ср, яка залежить від вибору моментів часу t ₀ і t _1:

V _ср (t _1, t ₀₎ =

Проілюструємо сказане прикладом. З курсу фізики відомо, що вільне падіння тіл в полі тяжіння Землі є нерівномірним рухом і відбувається за законом х = , Де g - прискорення вільного падіння. Його середня швидкість за першу секунду руху, тобто за проміжок часу від моменту t ₀ = 0 до моменту часу t ₁ = _1, дорівнює:

V _ср (1, 0) = ,

в той час як для другої секунди руху (t ₁ = 2, t ₀ = 1) вона вже дорівнює в три рази більшого значенням:

V _ср (2, 1) = =

Середня швидкість не може повністю характеризувати нерівномірний рух. Для повної характеристики вводять так звану миттєву швидкість. Очевидно, що середня швидкість V _ср (t _1, t ₀₎ тим повніше характеризує рух за проміжок часу від t ₀ до t _1, чим менше тривалість цього проміжку. Межа середньої швидкості за проміжок часу від t ₀ до t ₁ при t _1, прагнуть до t _0, називається миттєвою швидкістю V (t ₀₎ в момент часу t _0, тобто:

2. Похідна функції

У розглянутих вище задачах різні фізичні величини вводилися за допомогою деякої межі одного і того ж виду. Тому має сенс розглянути межа для функції в загальному випадку.

Визначення. Нехай задана функція f (x), x Є (a; b), і нехай х ₀ - деяка точка інтервалу (a; b). Межа називається похідною функції f (x) в точці x ₀ і позначається f '(x _0). Таким чином, за визначенням:

f '(x ₀₎ =

Функція, що має похідну в деякій точці, називається дифференцируемой на цьому інтервалі. Операція знаходження похідної даної функції називається диференціюванням і позначається за допомогою штриха.

Якщо ввести прирощення аргументу х = х - х ₀ і приріст функції f = f (x) - f (x ₀₎ = f (x ₀ + x) - f (x _0), то похідна функції f (x) в точці x ₀ запишеться у вигляді:

f '(x ₀₎ =

Часто для позначення похідної замість штриха використовується символ .

Так як х ₀ - довільне значення аргументу, то будемо позначати його просто Х. Тоді:

f '(x) =

Повертаючись до розглянутих вище завдань, можемо тепер сказати, що шукані величина миттєвої швидкості руху V (t) є похідною від відповідної функції:

V (t) = x '(t)

3. Фізичний і геометричний зміст похідної.

Дамо геометричне тлумачення похідної. Нехай крива До є графіком неперервної функції у = f (x), x Є [a; b] (рис. 2). На кривій До розглянемо точки М ₀ (х _0; у ₀₎ і М ₁ (х _1; у ₁₎ і проведемо січну М ₀ М _1. Її кутовий коефіцієнт k = tg дорівнює:

Нехай тепер , Тобто абсциса точки М ₁ прагнути до абсциссе точки М _0, залишаючись на кривій К. При цьому січна М ₀ М _1, взагалі кажучи, змінює своє положення, обертаючись навколо точки М _0, тобто змінює кут .

) Якщо функція f (x) дифференцируема в точці х _0, то існує межа:

=

і отже, існує пряма М ₀ Т, що є граничним положенням січної при наближенні точки М ₁ по кривій до М _0. Ця пряма називається дотичній до кривої К в точці М _0.

Таким чином, якщо функція у = f (x) дифференцируема в точці х _0, то її графік має дотичну в точці М ₀ (х _0; f (x _0)), кутовий коефіцієнт якої дорівнює . Сказане дозволяє дати наступне геометричне тлумачення похідної: похідної функції у = f (x) в точці x ₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці М ₀ (х _0; f (x _0)).

4. Обчислення похідної на основі її визначення.

Виходячи з визначення похідної сформулюємо наступне правило знаходження похідної функції в точці:

Щоб обчислити похідну функції f (x) в точці x ₀ потрібно:

1) Знайти f (x) - f (x _0);

2) скласти різницеве ​​відношення ;

3) обчислити межа різницевого відносини при :

.

5. Безперервність диференціюється.

Сформулюємо і доведемо необхідна умова існування похідної.

Теорема: Якщо функція f (x) має похідну в точці x _0, то вона неперервна в цій точці.

Згідно з умовою теореми функція f (x) в точці x ₀ дифференцируема, тобто існує межа:

Використовуючи властивість межі, запишемо це рівність у наступному вигляді:

,

де . Домножити рівність на (х - х _0), знаходимо, що дифференцируемая в точці x ₀ функція представима в околиці цієї точки у вигляді:

,

де . Переходячи до межі при в рівності отримуємо:

.

Останнє означає безперервність функції f (x) в точці x _0.

Зауваження. З доведеної теореми легко побачити, що якщо функція не є безперервною в деякій точці, то вона в цій точці не має похідної.

Таким чином безперервність в точці - необхідна умова діфференцируємості в точці. Далі зауважимо, що безперервність функції в точці не є достатньою умовою існування похідної цієї функції в розглядуваній точці, тобто з безперервності функції в точці не слід її диференційовної в цій точці.

Методика проведення уроку.

Заходжу до кабінету, вітаюся з учнями.

Починається вступна частина уроку.

I. Вступна частина:

1. Організаційний момент: перевірка за рапортичку час 2 хв.

Перевіряю наявність учнів з рапортичку. На перевірку наявності учнів на уроці відводжу 2 хвилини. Потім роблю опитування домашнього завдання.

2. Перевірка домашнього завдання: час 15 хв.

Тест

Опитування проводжу у вигляді тесту з 5 питань. У тест включаю питання по пройденій темі. На тест відводжу 15 хвилин.

ТЕСТ

1. Знайдіть межа

а) 9

б)

в) -9

г) -8

2. Обчисліть межа

а) 5

б) -1

в) -5

г) -

3. Обчисліть межа

а) cos

б)

в)

г)

4. Обчисліть межа

а) -2

б)

в)

г) 2

Правильна відповідь г)

5. Обчисліть межа

а) -1

б) 2

в) -5

г) 1

Правильна відповідь Г.

В результаті тесту, я зможу визначити, як був засвоєний матеріал, даний на попередньому уроці. Зроблю висновки:

а) чи правильно був підібраний тип уроку і метод викладу нового матеріалу;

б) чи правильно був піднесений матеріал;

в) виявлено прогалини в знаннях з пройденої теми;

г) виявлено учнів, яким був не доступний матеріал і попрацюю з ним на додатковому уроці;

д) виявлено учнів, яким можна давати випереджаючі завдання для їх самоосвіти;

е) виправлю помилки у проведенні уроку, з'ясовані при тестуванні класу.

Переходжу до основної частини урока.Где повідомляю цілі нової теми. Викладаю новий матеріал. Відповідаю на запитання учнів. Закріплюємо пройдений матеріал самостійною роботою по 4 варіантами. На основну частину відділяю 70 хвилин.

II. Основна частина:

1. Повідомлення цілі нової теми

2. Виклад нового матеріалу час 40 хв.

а) Завдання, що призводять до поняття похідної

З курсу фізики відомо, що вільне падіння тіл в полі тяжіння Землі є нерівномірним рухом і відбувається за законом х = , Де g - прискорення вільного падіння. Його середня швидкість за першу секунду руху, тобто за проміжок часу від моменту t ₀ = 0 до моменту часу t ₁ = _1, дорівнює:

V _ср (1, 0) = ,

в той час як для другої секунди руху (t ₁ = 2, t ₀ = 1) вона вже дорівнює в три рази більшого значенням:

V _ср (2, 1) = =

Середня швидкість не може повністю характеризувати нерівномірний рух. Для повної характеристики вводять так звану миттєву швидкість. Очевидно, що середня швидкість V _ср (t _1, t ₀₎ тим повніше характеризує рух за проміжок часу від t ₀ до t _1, чим менше тривалість цього проміжку. Межа середньої швидкості за проміжок часу від t ₀ до t ₁ при t _1, прагнуть до t _0, називається миттєвою швидкістю V (t ₀₎ в момент часу t _0, тобто:

б) Похідна функції

Визначення.

Нехай задана функція f (x), x Є (a; b), і нехай х ₀ - деяка точка інтервалу (a; b).

Межа називається похідною функції f (x) в точці x ₀ і позначається f '(x _0). Таким чином, за визначенням:

f '(x ₀₎ =

Функція, що має похідну в деякій точці, називається дифференцируемой на цьому інтервалі.

Операція знаходження похідної даної функції називається диференціюванням і позначається за допомогою штриха.

в) Фізичний і геометричний зміст похідної

Якщо функція у = f (x) дифференцируема в точці х _0, то її графік має дотичну в точці М ₀ (х _0; f (x _0)), кутовий коефіцієнт якої дорівнює . Сказане дозволяє дати наступне геометричне тлумачення похідної: похідної функції у = f (x) в точці x ₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці М ₀ (х _0; f (x _0)).

г) Обчислення похідної на основі її визначення.

Виходячи з визначення похідної, сформулюємо наступне правило знаходження похідної функції в точці:

Щоб обчислити похідну функції f (x) в точці x ₀ потрібно:

1) Знайти f (x) - f (x _0);

2) скласти різницеве ​​відношення ;

3) обчислити межа різницевого відносини при :

.

д) Безперервність диференціюється.

Сформулюємо і доведемо необхідна умова існування похідної.

Теорема: Якщо функція f (x) має похідну в точці x _0, то вона неперервна в цій точці.

Згідно з умовою теореми функція f (x) в точці x ₀ дифференцируема, тобто існує межа:

Використовуючи властивість межі, запишемо це рівність у наступному вигляді:

,

де . Домножити рівність на (х - х _0), знаходимо, що дифференцируемая в точці x ₀ функція представима в околиці цієї точки у вигляді:

,

де . Переходячи до межі при в рівності отримуємо:

.

Останнє означає безперервність функції f (x) в точці x _0.

Зауваження. З доведеної теореми легко побачити, що якщо функція не є безперервною в деякій точці, то вона в цій точці не має похідної.

Таким чином, безперервність в точці - необхідна умова діфференцируємості в точці. Далі зауважимо, що безперервність функції в точці не є достатньою умовою існування похідної цієї функції в розглядуваній точці, тобто з безперервності функції в точці не слід її диференційовної в цій точці.

3. Відповіді на питання учнів час 10 хв.

4. Закріплення нового матеріалу час 20 хв.

Самостійна робота по 4 варіантами

САМОСТІЙНА РОБОТА ПО 4 Варіант

1. Знайти миттєву швидкість в момент часу t _{0 вільне} падіння тіла в полі тяжіння Землі (I, II, III, IV).

2. Точка рухається прямолінійно за законом x (t) = V ₀ t + . Знайдіть миттєву швидкість цієї точки:

I в.: При t = 0

II ст.: У момент t ₀

III ст.: При t = 7

IV ст.: У момент часу t = 7 c

3. Знайдіть похідну функції:

I в.: F (x) = x ²

II ст.: F (x) = 2x ³ + 4x + 4

III ст.: F (x) =

IV ст.: F (x) = 3 x ² + 4

4. Знайдіть похідну функцій в точках x = 1, x = 3.

I в.: F (x) =

II ст.: F (x) = (x + 5) ²

III ст.: F (x) = 4 - x ³

IV ст.: F (x) = 5x ⁴ + 2x ³ - 3x + 6

5. Знайдіть похідну функцій в даних точках.

I в.: F (x) = cos x, при х =

II ст.: F (x) = tg x, при х =

III ст.: F (x) = cos 2 x, при х =

IV ст.: F (x) = x ² + 4 x + 72, при х = -5

Підходжу до заключної частини уроку, в якій підводжу підсумки уроку. Виділяю основні моменти теми, наголошую на необхідності вивчення даної теми.

Видаю домашнє завдання.

Підводжу підсумки уроку.

Виставляю оцінки активним учням, для заохочення їх потреби самоосвіти.

III. Заключна частина: час 3 хв.

1. Підведення підсумків

Ще раз виділяю найбільш важливу інформацію з похідною.

Визначення. Нехай задана функція f (x), x Є (a; b), і нехай х ₀ - деяка точка інтервалу (a; b).

Межа називається похідною функції f (x) в точці x ₀ і позначається f '(x _0). Таким чином, за визначенням:

f '(x ₀₎ =

Функція, що має похідну в деякій точці, називається дифференцируемой на цьому інтервалі. Операція знаходження похідної даної функції називається диференціюванням і позначається за допомогою штриха.

Щоб обчислити похідну функції f (x) в точці x ₀ потрібно:

1) Знайти f (x) - f (x _0);

2) скласти різницеве ​​відношення ;

3) обчислити межа різницевого відносини при :

.

Теорема: Якщо функція f (x) має похідну в точці x _0, то вона неперервна в цій точці.

Згідно з умовою теореми функція f (x) в точці x ₀ дифференцируема, тобто існує межа:

Використовуючи властивість межі, запишемо це рівність у наступному вигляді:

,

де . Домножити рівність на (х - х _0), знаходимо, що дифференцируемая в точці x ₀ функція представима в околиці цієї точки у вигляді:

,

де . Переходячи до межі при в рівності отримуємо:

.

Останнє формула означає безперервність функції f (x) в точці x _0.

Зауваження. З доведеної теореми легко побачити, що якщо функція не є безперервною в деякій точці, то вона в цій точці не має похідної.

Таким чином, безперервність в точці - необхідна умова діфференцируємості в точці. Далі зауважимо, що безперервність функції в точці не є достатньою умовою існування похідної цієї функції в розглядуваній точці, тобто з безперервності функції в точці не слід її диференційовної в цій точці.

2. Домашнє завдання: повторення теми, № 229, 235, 238

3. Заключне слово викладача: Прощаюся з учнями.