Гіпергеометричний рівняння

Міністерство освіти РФ

Тульський державний педагогічний університет імені Л. Н. Толстого

кафедра математичного аналізу

Курсова робота з математики

"Гіпергеометричний рівняння"

Виконала:

студентка ф-ту МіМ,

групи 3В,

Куркова Д.М.

Перевірила:

Ісаєва Г.Р.

Тула-2006

Зміст

Введення

Гіпергеометричний рівняння

1.1 Визначення гіпергеометричного ряду. Гіпергеометричних функція

1.2 Властивості гіпергеометричний функції

1.3 гіпергеометричний рівняння

Представлення функцій через гіпергеометричних
Вироджена функція
Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричний функції. Вироджена гіпергеометричних функція другого роду
Представлення різних функцій через вироджені гіпергеометричних функції

Література

Введення

У зв'язку з широким розвитком чисельних методів і зростанням ролі чисельного експерименту у великій мірі підвищився інтерес до спеціальних функцій. Це пов'язано з двома обставинами. По-перше, при розробці математичної моделі фізичного явища для з'ясування відносної ролі окремих ефектів вихідну задачу часто доводиться спрощувати для того, щоб можна було отримати рішення в легко аналізованої аналітичній формі. По-друге, при вирішенні складних завдань на ЕОМ зручно використовувати спрощені завдання для вибору надійних і економічних обчислювальних алгоритмів. Дуже рідко при цьому можна обмежитися завданнями, що приводять до елементарних функцій. Крім того, знання спеціальних функцій необхідно для розуміння багатьох важливих питань теоретичної та практичної фізики.

Найбільш часто вживаними функціями є так звані спеціальні функції математичної фізики: класичні ортогональні поліноми (поліноми Якобі, Лагера, Ерміта), циліндричні, сферичні і гіпергеометричних. Теорії цих функцій і їх додаткам присвячено цілий ряд досліджень. Гіпергеометричних функції застосовуються в різних розділах математичного аналізу, зокрема, при вирішенні диференціальних рівнянь і при розгляді інших спеціальних функцій. За допомогою гіпергеометричних функцій виражаються не тільки сферичні, еліптичні, але і ряд інших, у тому числі й елементарні функції. У роботі розглядаються визначення гіпергеометричного ряду і гіпергеометричний функції, доводиться, і виводяться деякі елементарні властивості гіпергеометричний функції, функціональні та спеціальні функціональні співвідношення, подання різних функцій через гіпергеометричних, вироджена функція 1 і 2 роду, диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричний функції і його інтеграли, уявлення різних функцій через вироджені гіпергеометричних функції.

1. Гіпергеометричний рівняння

1 .1 Визначення гіпергеометричного ряду

Гіпергеометричних поруч називається степеневий ряд виду

де z - комплексна змінна, , , - Параметри, які можуть приймати будь-які речові або комплексні значення ( 0, -1, -2, ...), і символ позначає величину = = 1

Якщо і - Нуль або ціле від'ємне число, ряд обривається на кінцевому числі членів, і сума його представляє собою поліном щодо z. За винятком цього випадку, радіус збіжності гіпергеометричного ряду дорівнює одиниці, в чому легко переконатися за допомогою ознаки збіжності Даламбера: вважаючи

z ^k

маємо

= ,

коли k , Тому гіпергеометричний ряд сходиться при <1 і розходиться при > 1.

Сума ряду

F ( , , , Z) = , <1 (1.1)

називається гіпергеометричний функцією.

Дане визначення гіпергеометричний функції придатне лише для значень z, що належать колі збіжності, проте надалі буде показано, що існує функція комплексного змінного z, регулярна в площині з розрізом (1, ) Яка при <1 збігається з F ( , , , Z). Ця функція є аналітичним продовженням F ( , , , Z) в розрізану площину і позначається тим же символом.

Щоб виконати аналітичне продовження припустимо спочатку що R ( )> R ( )> 0 і скористаємося інтегральним поданням

(1.2)

k = 0,1,2, ..

Підставляючи (1.2) в (1.1) знаходимо

F ( , , , Z) = = = ,

причому законність зміни порядку інтегрування і підсумовування випливає з абсолютної збіжності.

Дійсно, при R ( )> R ( )> 0 і <1

= F ( , R ( ), R ( ), )

На підставі відомого біномного розкладання

= (1 - tz) ^{- a} (1.3)

0 t 1, <1

тому для F ( , , , Z) виходить уявлення

F ( , , , Z) = (1.4)

R ( )> R ( )> 0 і <1

Покажемо, що інтеграл у правій частині останнього рівності зберігає сенс і являє регулярну функцію комплексного змінного z в площині з розрізом (1, ).

Для z належать області , (R - довільно велике, і довільно малі позитивні числа), і 0 <t <1 подинтегральной вираз є регулярна функція z і безперервна функція t; тому досить показати що інтеграл сходиться рівномірно в даній області. Доказ випливає з оцінки

(М - верхня межа модуля функції (1 - tz) ^{- a,} безперервної в замкнутій області , , 0 t 1), яка показує, збіжність інтеграла буде мажорірованной, тобто при R ( )> R ( )> 0 інтеграл сходиться.

Таким чином, умова <1 в (1.4) може бути відкинуто, і дані аналітичне продовження гіпергеометричний функції в розрізану площину дається формулою

F ( , , , Z) = (1.5)

R ( )> R ( )> 0;

У загальному випадку, коли параметри мають довільні значення, аналітичне продовження F ( , , , Z) площину з розміром (1, ) Може бути отримано у формі контурного інтеграла, до якого приводить підсумовування ряду (1.1) за допомогою теорії відрахувань.

Більш елементарний метод продовження, не дає, однак, можливість отримати в явній формі загальне аналітичне вираз гіпергеометричний функції, полягає у використанні рекурентного співвідношення (1.6)

F ( , , , Z) = +

справедливість якого може бути встановлена підстановкою в нього ряду (1.1). Після підстановки і приведення подібних членів коефіцієнт при z ^k в правій частині (1.6) буде

+ - = = { - - } = = (

Шляхом повторного застосування цієї тотожності можна уявити функцію F ( , , , Z) з довільними параметрами ( 0, -1, -2, ...) у вигляді суми

F ( , , , Z) = F ( + S, + P, +2 P, z) (1.7)

де р - ціле позитивне число ( , , , Z) - поліном щодо z. Якщо вибрати число р достатньо великим, так, щоб R ( )> - P і R ( - )> - P, то аналітичне продовження кожної з функцій F ( + S, + P, +2 P, z) може бути виконано за формулою (1.5). Підставляючи отримані вирази в (1.7) отримаємо функцію, регулярну в площині з розрізом (1, ), Яка при <1 збігається з сумою гіпергеометричного ряду (1.1) і, отже, є шуканим аналітичним продовженням.

Гіпергеометричних функція F ( , , , Z) грає важливу роль в аналізі і його додатках. Введення цієї функції дає можливість отримати рішення багатьох цікавих проблем теоретичного і прикладного характеру, до яких, зокрема, відноситься завдання конформного відображення трикутника, обмеженого пересічними прямими або дугами кіл, різні задачі квантової механіки і так далі.

Велике число спеціальних функцій може бути виражена через функцію F ( , , , Z), що дозволяє розглядати теорію цих функцій як відповідні спеціальні випадки загальної теорії, яку у цьому пункті.

1. 2 Елементарні властивості гіпергеометричний функції

У цьому розділі ми розглянемо деякі властивості гіпергеометричний функції, які безпосередньо випливають з її визначення за допомогою ряду (1.1).

1. Беручи до уваги, що члени ряду не змінюються при перестановці параметрів і маємо співвідношення симетрії

F ( , , , Z) = F ( , , , Z), (2.1)

2. Диференціюючи розглянутий ряд почленно, знаходимо

F ( , , , Z) = = =

= = F ( +1, +1, +1, Z)

Таким чином, F ( , , , Z) = F ( +1, +1, +1, Z) (2.2)

3. Повторне застосування цієї формули призводить до рівності

F ( , , , Z) = F ( + M, + M, + M, z) (2.3)

m = 1,2, ...

Покладемо в подальшому для скорочення запису

F ( , , , Z) = F,

F ( 1, , , Z) = F ( 1),

F ( , 1, , Z) = F ( 1),

F ( , , 1, z) = F ( 1).

Функції F ( 1), F ( 1), F ( 1) називаються суміжними з F.

4. Ми покажемо, що F і будь-які дві суміжні функції пов'язані між собою рекурентним співвідношенням з коефіцієнтами, які є лінійними функціями змінного z. В якості основних співвідношень цього типу можуть бути обрані рівності (2.4), (2.5), (2.6) відповідно.

( - - ) F + (1-z) F ( +1) - ( - ) F ( -1) = 0,

( - - 1) F + F ( +1) - ( - 1) F ( -1) = 0,

(1 - z) F- F ( - 1) + ( - ) F ( + 1) = 0.

Підставляючи ряд (1.1) в (2.4) маємо (2.4)

( - - ) F + (1-z) F ( +1) - ( - ) F ( -1) =

= ( - - ) + (1-z) - ( -

) =

= {( - - ) + - ( - ) -

} Z ^k =

= {( - - ) ( + K-1) + ( + K) ( + K-1) - ( - ) ( -1) - ----

( -K-1) k} z ^k = 0,

так як

z = =

= ( +1 )...( + K -1)

= ( +1 )...( + K -1) ( + K)

= ( -1) ( +1 )...( + K -2)

= ( +1) ... ( + K -2)

= ( +1) ... ( + K -2) ( + K -1)

= ( -1) ( +1 )...( + K -3)

Формули (2.5) і (2.6) доводяться аналогічним способом:

( - - ) F + F ( +1) - ( - 1) F ( -1) =

= {( - -1) + - ( - 1) =

= { - -1 + + K - ( + K -1)} z ^k = 0,

(1 - z) F - F ( -1) + ( - ) ZF ( +1) =

= { - - + ( - ) } Z ^k

= { ( + K -1) ( + K -1) - ( + K -1) k - ( -1) ( + K -1)

+ ( - ) k} z ^k = 0,

З (2.4) - (2.6) і властивості симетрії (2.1) слід три інших рівності:

( - - ) F + (1 - z) F ( +1) - ( - ) F ( -1) = 0, (2.7)

( - -1) F + F ( -1) - ( - 1) F ( -1) = 0, (2.8)

(1 - z) F - F ( -1) + ( - ) ZF ( +1) = 0. (2.9)

( - - ) F + (1 - z) F ( +1) - ( - ) F ( -1) =

= {( - - ) + - - ( -

) } Z ^k =

= {( - - ) ( + K -1) + ( + K -1) ( + K) - ( + K -1) k - ( - ) ( -

1)} z ^k = 0,

( - -1) F + F ( -1) - ( - 1) F ( -1) =

= {( - -1) + - ( - 1) } Z ^k =

= { - -1 + ( + K) - ( + K-1)} z ^k = 0,

(1-z) F- F ( -1) + ( - ) ZF ( +1) =

= { - - + ( - ) } Z ^k

= { ( + K -1) ( + K -1) - k ( + K -1) - ( + K -1) ( -1) + K

( - )} Z ^k = 0.

Решта рекурентні співвідношення виходять з (2.4) - (2.9) шляхом виключення з відповідної пари формул загальної суміжної функції. Наприклад, комбінуючи (2.5) і (2.8) або (2.6) і (2.9) отримуємо

( - ) F- F ( +1) + F ( +1) = 0 (2.10)

( - ) (1 - z) F + ( - ) F ( -1) - ( - ) F ( -1) = 0 (2.11)

і так далі

( - ) F- F ( +1) + F ( +1) =

= {( - ) + + } Z ^k =

= { - - ( + K) + ( + K)} z ^k = 0.

( - ) (1-z) F + ( - ) F ( -1) - ( - ) F ( -1) =

= {( - ) - ( - ) + ( - ) - ( -

) } Z ^k =

= {( - ) ( + K-1) ( + K-1) - ( - ) ( + K-1) k + ( - ) ( -1) ( + K-1) -

( - ) ( + K-1) ( -1)} Z ^k = 0.

Крім поширених рекурентних співвідношень існують аналогічні співвідношення, що зв'язують гіпергеометричних функцію виду F ( , , , Z) з будь - якої парою споріднених функцій виду F ( +1, + M, + N, z), де l, m, n - довільні цілі числа.

Найпростішими рекурентними співвідношеннями цього типу є

F ( , , , Z) - F ( , , -1, Z) = F ( +1, +1, +1, Z) (2.12)

F ( , +1, , Z) - F ( , , , Z) = F ( +1, +1, +1, Z) (2.13)

F ( , +1, +1, Z) - F ( , , , Z) = F ( +1, +1, +2, Z) (2.14)

F ( -1, +1, , Z) - F ( , , , Z) = F ( , +1, +1, Z) (2.15)

До даного класу відносяться також рівність (1.6)

Формули (2.12) і (2.15) доводяться підстановкою в них ряду (1.1) або виводяться на основі вже відомих рекурентних співвідношень для суміжних функцій.

1 .3 гіпергеометричний рівняння

Зауважимо, що гіпергеометричних функція u = F ( , , , Z) є інтегралом лінійного диференціального рівняння

z (1-z) + [ - ( + +1)] - u = 0 (2.16)

регулярним в околиці точки z = 0.

Рівняння (2.16) називається гіпергеометричних і включає, як окремі випадки, багато диференціальні рівняння, що зустрічаються в додатках.

Якщо привести це рівняння до стандартної форми, розділивши його на коефіцієнт при другої похідної, то коефіцієнти отриманого рівняння будуть регулярними функціями змінного z в області 0 < <1 <1, наявними при z = 0 полюс першого порядку або звичайну точку, в залежності від значень параметрів , , .

Із загальної теорії лінійних диференціальних рівнянь випливає, що в такому випадку розглядається рівняння повинно мати приватне рішення виду

u = z ^s z ^k (2.17)

де s - належне вибране число, 0, степеневий ряд сходиться при <1

u = z ^k ^{+ s}

= (K + s) z ^k ^{+ s-1}

= (K + s) (k + s-1) z ^k ^{+ s-2}

Підставляючи (2.17) в рівняння (2.16) знаходимо

z (1-z) ( z ^k ^{+ s} + [ - ( + +1) Z] ( z ^k ^{+ s} - z ^k ⁺ ^s = 0,

z (1-z) ( z ^k ⁺ ^s-1 (k + s) (k + s-1)) + [ - ( + +1) Z] ( z ^k ⁺ ^s-1 (k + s)) -

z ^k ⁺ ^s =

= ( z ^k ⁺ ^s-1 (k + s) (k + s-1)) - ( z ^k ⁺ ^s (k + s) (k + s-1)) + ( z ^k ^{+ s-1} (K + s)) -

- z ^k ⁺ ^s ( + +1) (K + s)) - z ^k ^{+ s} =

= z ^k ⁺ ^s-1 (k + s) (k + s-1 + ) - z ^k ⁺ ^s (s + k + ) (S + k + ) = 0,

звідки для визначення показника s і виходить система рівнянь

s (s-1-) = 0,

(S + k) (s + k-1 + ) - (S + k-1 + ) (S + k-1 + ) = 0,

k = 1,2, ...,

перше з яких дає s = 0 або s = 1 -

Припустимо, що 0, -1, -2, ... і виберемо s = 0

Тоді для обчислення коефіцієнтів отримаємо реккурентним співвідношення

= k = 1,2, ...,

звідки, якщо взяти = 1, слід

= k = 0,1,2, ...,

де для скорочення запису введено позначення

= ( +1) ... ( + K-1),

= 1, k = 1,2, ...,

Таким чином перше приватне рішення рівняння (2.16) при 0, -1, -2, ... буде

u = = F ( , , , Z) = z ^k, <1 (2.18)

Аналогічно, вибираючи s = 1 - отримуємо в припущенні, що 2,3, 4, ...

= k = 1,2, ...,

звідки, якщо взяти = 1 знаходимо

k = 0,1,2, ...,

Таким чином, при 2,3,4, ... рівняння (2.16) має друге приватне рішення

u = = = F (1 - + , 1 - + , 2 - , Z), (2. 19)

<1,

Якщо не є цілим числом ( 0, 1, 2, ...), то обидва рішення (2.18-2.19) існують одночасно і лінійно незалежні між собою, так, що спільне рішення рівняння (2.17) може бути представлено у формі

u = A F ( , , , Z) + B F (1 - + , 1 - + , 2 - , Z), (2.20)

де А і В довільні постійні <1,

2. Представлення різних функцій через гіпергеометричних

Гіпергеометричних функція F ( , , , Z) приводиться до полиному, коли = 0, -1, -2, ... або = 0, -1, -2. Наприклад,

F ( , 0, , Z) = z ^k = = 1,

так як

= 0 (0 +1) (0 +2) ... .. (0 + k -1) = 0.

F ( , -2, , Z) = z ^k = z ⁰ + z + z ² =

= 1-2 z + z ^2,

так як

= 1, =- 2,

= (-2) (-1) = 2, = (-2) (-1) 0 = 0, = (-2) (-1) 01 = 0

і так далі.

Перетворення

F ( , , , Z) = (1 - z F ( - , - , , Z)

- = 0 =

показує, що гіпергеометричних функція при - = 0, -1, -2, ... або - = 0, -1, -2, ... виражається через алгебраїчні функції. Зокрема,

F ( , , , Z) = (1 - z , (3.1)

Надаючи параметрам , спеціальні значення, знаходимо

(1 - z) ^v = F (- v, 1, 1, z)

(1 - z = F ( , 1, 1, z) (3.2)

(1 - z) ⁿ = F (- n, , , Z)

n = 0,1,2, ...

Щоб отримати уявлення логарифмічної функції, скористаємося розкладанням

ln (1-z) = - =- Z <1

звідки випливає

ln (1 - z) =- zF (1,1,2, z) . (3. 3)

Аналогічним чином виводяться формули для зворотних кругових функцій:

arctg z = zF ( , 1, , - Z ²⁾ (3. 4)

arcsin z = zF ( , , , Z ²⁾

arctg z = (-1) ^K = Z = Z =

= Z = Z = Z = ZF ( , 1, , -

z ^2),

так як = 1 * 2 * ... * k = k!

arcsin z = z + = Z [1 + ] =

= Z [1 + ] = Z [1 + ] = Z [1 + ] =

= Z [1 + ] = Z [1 + = ZF ( , , , Z ^2).

3. Вироджена гіпергеометричних функція

Поряд з гіпергеометричний функцією F ( , , , Z), важливу роль в теорії спеціальних функцій грає так звана вироджена гіпергеометричних функція F ( , , Z).

Щоб визначити цю функцію, зауважимо, що степеневий ряд

де z - комплексне змінне, і - Параметри, які можуть приймати будь-які речові або комплексні значення, виключаючи = 0, -1, -2, ... і символ позначає величину

= = 1

сходиться при будь-яких кінцевих z.

Так як, якщо позначити через загальний член ряду, то

= 0, коли k .

Вироджена гіпергеометричних функція F ( , , Z) визначається як сума розглянутого ряду

F ( , , Z) = , 0, -1, -2, ..., < (4 .1)

З даного визначення випливає, що F ( , , Z) функція комплексного змінного z.

Якщо покласти

f ( , , Z) = F ( , , Z) = , (4 .2)

то f ( , , Z) при фіксованому z буде цілою функцією від і . Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, <C.

Вважаючи , Маємо для досить великих k

Звідси випливає, що при заданому z функція F ( , , Z)

представляє цілу функцію і мероморфних функцію з простими полюсами в точках = 0, -1, -2, ...

Функція F ( , , Z) дуже часто зустрічається в аналізі, причому головна її значення полягає в тому, що багато спеціальні функції можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудова теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.

Зв'язок функції F ( , , Z) з гіпергеометричних функцій дається співвідношенням

F ( , , Z) = lim F ( , , , ). (4.3)

З визначення виродженої гіпергеометричний функції безпосередньо випливають рівності

F ( , , Z) = F ( +1, +1, Z) (4.4)

F ( , , Z) = F ( + M, + M, z) m = 1,2, ... (4 .5)

і рекурентні співвідношення

( - -1) F + F ( +1) - ( -1) F ( -1) = 0 (4.6)

F - F ( -1) - ZF ( +1) = 0 (4.7)

( -1 + Z) F + ( - ) F ( -1) - ( -1) F ( -1) = 0 (4.8)

( + Z) F - F ( +1) - ( - ) ZF ( +1) = 0 (4.9)

( - ) F ( -1) + (2 - + Z) F - F ( +1) = 0 (4.10)

( -1) F ( -1) - ( -1 + Z) F + ( - ) ZF ( +1) = 0 (4.11)

зв'язують функцію F F ( , , Z) з двома будь-якими суміжними функціями

F ( 1) F ( 1, , Z) і F ( 1) F ( , 1, z)

Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять з них у результаті простих алгебраїчних операцій.

( - -1) F + F ( +1) - ( -1) F ( -1) =

= {( - -1) + - ( -1) } Z ^k =

= { - -1 + ( + K) - ( + K-1)} z ^k =

= { - -1 + + K- -K +1)} z ^k = 0

F - F ( -1) - ZF ( +1) =

= { - - } z ^k =

= { ( + K -1) - ( -1) - K } z ^k =

= { + k- - - -K } Z ^k = 0.

Повторне застосування рекурентних формул призводить до лінійних співвідношенням, що зв'язує функцію F ( , , Z) з родинними функціями F ( + M, + N, z), де m, n - задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:

F ( , , Z) = F ( +1, , Z) - F ( +1, +1, Z) (4.12)

F ( , , Z) = F ( , +1, Z) + F ( +1, +1, Z) (4.13)

4. Диференціальне рівняння для виродженої гіпергеометричний функції. Вироджена гіпергеометричних функція другого роду

Покажемо, що вироджена гіпергеометричних функція є приватним рішенням диференціального рівняння

z + ( - Z) - u = 0, (5.1)

де 0, -1, -2, ...

u = F ( , , Z) = z ^k

= z ^k ^-1

= z ^k ^-2

Дійсно, позначаючи ліву частину рівняння l (u) і полога u = = F ( , , Z), маємо

l ( ) = z ^k ^-2 + ( - Z) z ^k ^-1 - z ^k =

= [ - ] + [K + - K - ] 0.

Щоб отримати другу лінійне незалежне рішення даного рівняння, припустимо, що , І виконаємо підстановку .

Рівняння (5.1) перетворюється тоді в рівняння того ж виду

z + ( - Z) - = 0

з новими значеннями параметрів = 1 + , = 2 - . Звідси випливає, що при 2,3, ... функція також є рішенням рівняння (5.1).

Якщо 0, 1, 2, ... обидва рішення ( ) Мають сенс і лінійно незалежні між собою, тому загальний інтеграл рівняння (5.1) може бути представлений у вигляді

u = F ( , , Z) + B F (1 + - , 2 - , Z) (при = 1 u = ) (5.2)

0, 1, 2, ...

Щоб отримати вираз загального інтеграла у формі, придатній для будь-яких значень (крім = 0, -1, -2, ...), удобнл ввести виродження гіпергеометричних функцію другого роду

G , , Z) = F ( , , Z) + F (1 + - , 2 - , Z) (5.3)

0, 1, 2, ...

Формула (5.3) визначає функцію G , , Z) для будь-яких , Відмінних від цілого числа. Покажемо, що при n +1 (n = 0,1,2, ...) права частина (5.3) прагнути до певної межі. Для доказу замінимо гіпергеометричних функції відповідними рядами і скористаємося співвідношенням теорії Г-функції. Тоді отримаємо (5.4)

G , , Z) = [ - ] =

= ( )

Ми маємо

= =

n = 0,1,2, ...

= = =

= ,

тому вираз в правій частині (5.4) при n +1 приймає невизначений вигляд і прагне до межі, значення якого може бути знайдено за правилом Лопіталя. Відповідно до цього результатом покладемо

G ( , , Z) = G , , Z) = (-1) ^{n +1} [ ] (5.5)

n = 0,1,2, ...

Виконавши обчислення, знаходимо:

= [ ],

= [ ] +

+ ,

звідки для G ( , N +1, z) виходить явне вираження у формі ряду (5.6)

G ( , N +1, z) = [ ] +

+ ,

n = 0,1,2, ..., 0, -1, -2, ...,

Тут - Логарифмічна похідна Г-функція, і для випадку n = 0 порожня сума приймається рівною 0.

Якщо =- M (m = 0,1,2, ...), то граничний перехід n +1 (n = 0,1,2 ...) у формулі (5.3) приводить до виразу

G (-m, n +1, z) = F (-m, n +1, z), (5.7)

m = 0,1,2, ..., n = 0,1,2, ...

З (5.3) безпосередньо випливає, що вироджена гіпергеометричних функція другого роду задовольняє функціональному співвідношенню

G ( , , Z) = G ( - +1,2 - , Z), (5.8)

На підставі цієї формули можна визначити функцію G ( , , Z) при , Рівному нулю або цілому негативного числа, за допомогою рівності

G ( , 1 - n, z) = G ( , , Z) = z ⁿ G ( + N, n +1, z) (5.9)

n = 1,2, ...,

Таким чином, функція має сенс при будь-яких значеннях її параметрів. З донного визначення випливає, що G ( , , Z) регулярна функція від z в площині з розрізом (- , 0) і ціла функція і .

Покажемо, що функція G ( , , Z) є рішенням диференціального рівняння (5.1).

При 0, 1, 2, ... доказ слід безпосередньо з (5.3). Для цілих необхідний результат може бути обгрунтований шляхом застосування принципу аналітичного продовження.