В 4 столітті до н. е.. давньогрецький вчений Евклід звів накопичені на той час математичні знання у своїй праці «Початки», проаналізувавши праці своїх попередників, піднісся до створення небаченої на ті часи точно обгрунтованої теорії. Вона спирається на ряд визначень і аксіом. Вихідною точкою його логічної системи є положення про те, що висунуті ним постулати очевидні, їх справедливість визнається всіма безсумнівною.
Є п'ять постулатів:
Через дві точки проходить єдина пряма.
Обмежену пряму лінію можна безперервно продовжити.
З будь-якої точки що з центру можна описати коло будь-якого радіусу.
Усі прямі кути рівні між собою.
Всякий раз, коли пряма при перетині з двома іншими прямими утворює з ними внутрішні односторонні кути, сума яких менше суми двох прямих кутів, ці прямі перетинаються і притому з того боку, з якою ця сума менше суми двох прямих кутів.
П'ятий постулат (так званий постулат «про паралельні») внаслідок його порівняльної складності і малої наочності викликав велике число спроб довести його як теорему, вивести його з інших аксіом. З першого століття до н.е. до 1820 математики намагалися довести справедливість п'ятого постулату, використовуючи перші чотири, але досягли успіху лише в заміні його різними еквівалентними припущеннями, такими, як «дві паралельні лінії всюди однаково віддалені один від одного» або «будь-які три точки, не розташовані на одній прямій, належать кола ».
Найближче підійшов до мети єзуїт, логік і математик Джироламо Саккери (1667-1733) в своїй праці «Евклід, очищений від плям, або Геометрична спроба встановити найперші початку всієї геометрії». Він почав свої дослідження з так званого чотирикутника Саккери (рис. 1), тобто з чотирикутника BCED, у якого BC = DE, а кути при вершинах C і E прямі.
Рисунок 1
Помітивши, що кути при вершинах B і D обов'язково рівні, Саккери розглянув по черзі три гіпотези: верхні кути чотирикутника тупі, прямі і гострі. Він довів, що будь-яка з цих гіпотез, якщо її прийняти для якого-небудь одного такого чотирикутника, залишається в силі для всіх таких чотирикутників. Саккери мав намір обгрунтувати гіпотезу про те, що верхні кути прямі, довівши, що будь-яка інша гіпотеза призводить до протиріччя. Незабаром він відкинув гіпотезу про тупому куті (і тим самим позбавив себе можливості відкрити еліптичну геометрію), оскільки, як і всі геометри до 1854, розглядав другий постулат як твердження про те, що пряма має нескінченну довжину, і відмовлятися від цього постулату він не хотів . Точно також Саккери зрештою відкинув і гіпотезу про гострий вугіллі, але перш, ніж прийняти це помилкове рішення, він, сам того не відаючи, відкрив багато теореми геометрії, що отримала згодом назву гіперболічної.
А. Келі (1821-1895) і Ф. Клейн (1849-1925) прояснили зв'язок між двома згаданими варіантами, розробивши в аналітичній формі те, що ними було названо «еліптичної» і «гіперболічної» геометріями. Евклідова геометрія є граничним випадком кожної з них, і це вірно щодо будь-якої з аналітичних формул таких геометрій. Великі кола (геодезичні) на сфері, що є поверхнею постійної позитивної кривизни (тобто сума кутів криволінійного трикутника більше суми двох прямих.), Грають роль прямих і породжують еліптичну геометрію; аналогічним чином, на поверхні постійної негативної кривизни (сума кутів криволінійного трикутника менше суми двох прямих) геодезичні кола породжують гіперболічну геометрію.
Прикладом поверхні позитивної кривизни є поверхня кулі. Домовимося вважати «прямий» на сфері будь-яку окружність великого кола, тобто окружність, одержувану при перетині сфери площиною, що проходить через центр кулі. Виявляється, що всі прямі тут перетинаються. Отже, у такій геометрії не існує паралельних прямих. Можна побудувати і інші наочні і повчальні моделі еліптичної і гіперболічної геометрії, але важливо усвідомлювати, що всі ці моделі містяться в більш загальному підході Рімана.
У 1854 Б. Ріман (1826-1866) помітив, що з необмеженість простору ще не слід його нескінченна протяжність. Сенс цього твердження стане ясніше, якщо уявити, що в необмеженої, але кінцевої всесвіту астроном в принципі міг би побачити в телескоп, що володіє досить високою роздільною здатністю, свій власний потилицю (якщо відволіктися від невеликої деталі, пов'язаної з тим, що світло, відбите від потилиці, досяг би очі астронома через тисячі мільйонів років). У своєму доказі того, що зовнішній кут при будь-якій вершині трикутника більше внутрішнього кута при будь-якій з двох інших вершин, Евклід неявно використовував нескінченну довжину прямої. З цієї теореми негайно ж слід теорема про те, що сума будь-яких двох кутів трикутника менша від суми двох прямих кутів. Якщо відмовитися від нескінченної довжини прямої, то гіпотеза Саккери про тупому вугіллі ставати вірною і з неї випливає, що сума кутів трикутника більше суми двох прямих. Таке положення справ було давно відомо в сферичної тригонометрії, де сторони трикутника є дугами великих кіл. Ріман вніс епохальний внесок, поширивши уявлення про кінцевий, але необмеженій просторі з двох на три і більше число вимірювань.
Ф. Клейн (1849-1925) першим побачив, як позбавити сферичну геометрію від одного з її недоліків - того, що дві лежать в одній площині «прямі» (два великих кола на сфері) мають не одну спільну точку, а дві (рис. 2).
Рисунок 2
Так як для кожної точки існує одна-єдина точка-антипод (діаметрально протилежна точка), а для будь-якої фігури існує її дублікат з точок-антиподів, ми можемо, нічим не жертвуючи, але багато чого набуваючи, абстрактно ототожнити обидві точки такої пари, об'єднавши їх в одну. Таким чином можна змінити зміст терміну «точка», домовившись надалі називати «однією точкою» пару діаметрально протилежних точок. Інакше кажучи, точки так званої «еліптичної» площини представлені на одиничній сфері парами точок-антиподів або діаметрами, що з'єднують точки-антиподи. Вся еліптична пряма замкнута, як коло, але, оскільки кожна з її точок представлена двома точками-антиподами на одиничній сфері, повна довжина еліптичної прямий дорівнює половині довжини окружності великого кола, тобто її повна довжина дорівнює.
Карл Гаус першим підійшов до проблеми з сучасної точки зору, згідно якої геометрію, що заперечує п'ятий постулат, слід розвивати заради неї самої, не чекаючи, що при цьому виникне якась суперечність. Листи Гаусса до друзів говорять про те, що до 1816 він подолав традиційний забобон щодо неминучості протиріччя і розвинув «антіевклідову» геометрію, що задовольняє гіпотезі Саккери про гострий вугіллі. У цьому ж напрямку працювали і два інших видатних вчених того часу - Янош Бойя і Н. І. Лобачевський. У 1833 році Бойя опублікував свої дослідження як додаток (по-латині «» Appendix ») до курсу математики, написаному його батьком Фаркаш Бойя. У «апендиксі» Янош Бойя в надзвичайно стислій формі виклав основи неевклідової геометрії. Його батько послав примірник «апендикса» Карлу Гауссу. У відповідному листі Гаусс писав, що не може хвалити роботу Яноша, тому що це означало б хвалити самого себе, тому що результати цієї роботи майже суцільно збігалися з тими результатами, які були давно отримані ним самим. Відповідь Гаусса справив на Яноша Бойя настільки тяжке враження, що він навіть не повірив йому. Він не знав у цей час, що пріоритет відкриття нової геометрії вже належав російській математику Лобачевському. Саме тому по сьогоднішній день цю геометрію називають геометрією Лобачевського.
Один з підходів до побудови гіперболічної геометрії виходить з деяких фундаментальних аксіом порядку, справедливих і в евклідової, але не в еліптичної геометрії. Якщо вважати «точки» вихідними поняттями, то запис [ABC] означає, що точка B лежить «між» точками A і C (це первинне відношення ми приймаємо, не намагаючись його визначити). Перші чотири аксіоми порядку стверджують, що 1) існує принаймні дві точки; 2) якщо A і B - дві різні точки, то існує принаймні одна точка C, для якої [ABC]; 3) ця точка C відмінна від точки A і 4) порядок [ABC] тягне за собою [CBA], але не [BCA]. «Відрізок» AB, за визначенням, складається з точок P, для яких [APB], а «промінь» A / B («виходить з A в іншу сторону, ніж B») - з точок Q, для яких [QAB]. «Пряма» AB складається з відрізка AB, точок A, B і двох променів A / B, B / A. П'ята аксіома стверджує, що якщо C і D - різні точки на прямій AB, то A лежить на прямій CD (з цієї ж аксіоми випливає, що прямі AB і CD збігаються). Шоста аксіома дає нам точку поза даною прямою, а сьома, сформульована М. оремо (1843-1931), дозволяє визначити площину як безліч всіх точок, колінеарних з парами точок на одній або двох сторонах даного трикутника.
Велика частина вкладу Бойя пов'язана з тими розділами гіперболічної геометрії, які належать і евклідової геометрії. Його «абсолютна геометрія» може бути виведена з геометрії порядку, якщо до останньої додати ще одне фундаментальне відношення, а саме «конгруентність». Це ставлення визначається п'ятьма аксіомами типу «Якщо ABC і A B C - два трикутника, таких, що BC B C , CA C A , AB A B , а D і D - ще дві точки, такі, що [BCD] і [B C D ] і BD B D , то AD A D ». Ці аксіоми служать основою теорії довжини і дозволяють поширити ставлення конгруентності з пар точок на кути. Визначивши звичайним чином окружність, можна розглядати перші чотири постулату Евкліда як теореми і довести його перші двадцять вісім пропозицій, замінивши слово «паралельні» на «не пересічні». Однак необхідно ретельно уникати будь-якого звернення до звичайного поданням про суму кутів трикутника, наприклад, не можна більше стверджувати, що кути, що спираються на один і той же сегмент кола, рівні, так як доказ цієї пропозиції залежало б від суми кутів трикутника. З іншого боку, можна довести, що три висоти остроугольного трикутника перетинаються в одній точці, побудувати теорію правильних багатокутників і правильних багатогранників (з невеликими застереженнями). Уточнивши поняття паралельності (визначивши як паралельні промені, які просто не перетинаються), можна показати, що паралельність - відношення симетричне і транзитивне (тобто якщо пряма r паралельна прямій s, то s паралельна r; якщо r паралельна s, а s паралельна t, то r паралельна t).
Безліч прямих, паралельних даній променю, називається «пучком паралельних», він містить єдину пряму, що проходить через будь-яку задану точку. Слідуючи аналогії зі звичайним пучком (складається з усіх прямих, що проходять через точку), можна вважати, що пучок паралельних визначає «нескінченно віддалену точку», або, за термінологією Д. Гільберта (1862-1943), «кінець». Замість того, щоб говорити, що два промені (або дві прямі) паралельні або що вони належать деякому пучку паралельних M, кажуть, що два промені мають загальний кінець M. Промінь, що проходить через точку C і належить даному пучку паралельних, прийнято позначати CM, як якщо б це був відрізок; той же символ CM можна використовувати і для позначення всієї прямій. Якщо BM і CM - паралельні промені, то фігура MCB називається «асимптотическим трикутником», оскільки вона багато в чому поводиться, як звичайний трикутник. Зокрема, два асимптотичних трикутника конгруентний, якщо у них є по конгруентне стороні і конгруентність кутку.
Розглянемо зміст гіперболічної геометрії.
З абсолютною геометрії Бойя можна вивести евклидову геометрію, додавши евклидову (або аффинную) аксіому: через точку B, не лежить на даній прямій r, можна провести не більше однієї прямої, паралельної даній. Гіперболічну геометрію можна вивести з абсолютної геометрії, додавши гіперболічну аксіому. Система аксіом гіперболічної геометрії відрізняється від евклідової аксіоматики в одному: як аксіоми про паралельні береться положення про те, що «через точку, що знаходиться поза прямою, можна провести дві прямі лінії, паралельні їй». З цієї аксіоми крок за кроком геометрично виводяться інші властивості цієї геометрії. Таким чином, промені BM і BN на рис. 2 можуть бути обидва паралельні r, а якщо M і N їх кінці, то r називається «прямій MN». Будь пряма, наприклад t, що є продовженням сторони кута NBM, утворює з r пару «гіперпараллельних», тобто пару прямих, які не перетинаються і не паралельні. Дві такі прямі мають єдиний загальний перпендикуляр. Безліч прямих, перпендикулярних даної прямий a, називаються «пучком гіперпараллельних» з «віссю» a.
Рисунок 3
Відображення щодо BC показує, що CBM і NBC - рівні гострі кути. Лобачевський назвав кожен з них «кутом паралельності» П (a), де a - довжина BC. Він показав, що функція П (a) монотонно убуває від до 0, коли a зростає від 0 до . Трикутник BMN природно назвати «двічі асимптотическим трикутником». Два двічі асимптотичних трикутника конгруентний, якщо мають конгруентні кути. Якщо відрізок CB зростає до тих пір, поки не перетвориться в промінь CL, то BMN перетворюється в «тричі асимптотичний трикутник» LMN, всі три вершини якого є кінцями (всі три сторони такого трикутника нескінченні, а всі три кути дорівнюють нулю). Всі тричі асимптотичні трикутники конгруентний.
Крім геометрії ріманових просторів, Ріман був творцем ще однієї найважливішої геометричній дисципліни, значно розширила наші уявлення про простір, - топології. Це розділ математики, що займається вивченням властивостей фігур (або просторів), які зберігаються при неперервних деформаціях, таких, наприклад, як розтяг, стиск або згинання. Безперервна деформація - це деформація фігури, при якій не відбувається розривів (тобто порушення цілісності фігури) або склеювання (тобто ототожнення її точок). Такі геометричні властивості пов'язані з положенням, а не з формою або величиною фігури. На відміну від евклідової і ріманової геометрій, геометрії Лобачевського і інших геометрій, що займаються виміром довжин і кутів, топологія має неметричного і якісний характер. Раніше вона носила назви «аналіз сітус» (аналіз положення), а також «теорія точкових множин». У науково-популярній літературі топологію часто називають «геометрією на гумовому листі», оскільки її наочно можна уявляти собі як геометрію фігур, намальованих на ідеально пружних гумових листах, які піддаються розтягуванню, стиснення або згинанню.
Пояснимо суть її проблем на одному прикладі. Візьмемо деяку поверхню і будемо її розглядати як гумову плівку, яку можна стискати і розтягувати, але не рвати. Тоді ніякі з дозволених операцій не можуть перетворити сферу в тор (бублик); число дір у поверхні називається її «родом» і є «топологічним інваріантом». Аналогічний інваріант існує і для односторонніх поверхонь, таких як лист Мебіуса.
В останні десятиліття наші уявлення про простір сильно змінилися під впливом повсюдного прийняття у фізиці концепції «простору-часу». Зв'язування воєдино двох фундаментальних понять змушує перенести всю увагу з «положення» на «подія». Вибираючи з різноманіття ріманових метрик деяку, в чомусь більш зручній, можна більш задовільним чином скоординувати результати сучасної науки.
Література
1. Мацуо Комацу, Різноманіття геометрії, «Знання», 1981 рік.
2. А. В. Сілін, Н. А. Шмакова, Відкриваємо неевклідової геометрії, «Просвещение», 1988 р.
3. Б. А. Розенфельд, Історія неевклідової геометрії, «Наука», 1976 р.
4. П. А. Широков, «Короткий нарис основ геометрії Лобачевського», «Наука», 1983р.
5. Н. А. Ліціс, Філософське та наукове значення ідей Н. І. Лобачевського, «Зінатне», 1976 р.
6. Енциклопедія «Світ навколо нас».