Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
Власні коливання пластин
Виконала:
студентка V курсу математичного факультету
Чураєвим Ганна Сергіївна
Науковий керівник: старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ С.А. Фалелеева
Рецензент: старший викладач кафедри математичного аналізу і МПМ Л.В. Ончукова
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою М.В. Крутіхін
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров
2005
Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава I Основні положення математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь ........................................ .................................................. ................. 4
1.1 Поперечні коливання. Початкові і граничні умови ..................... 4
1.2 Метод розділення змінних або метод Фур'є ................................... 6
1.3 Однорідні лінійні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами ......................................... .................................................. .......................... 8
Глава II Знаходження функцій, що описують власні коливання мембран 11
2.1 Основні визначення ............................................... ............................. 11
2.2 Власні коливання прямокутної мембрани .............................. 12
2.3 Власні коливання круглої мембрани .......................................... 19
Висновок ................................................. .................................................. . 28
Бібліографічний список ................................................ ........................... 29
Додаток ................................................. .................................................. 30
Введення
Математична фізика ставить своїм завданням максимально точне вивчення явищ природи. З цією метою вона використовує апарат математики. Об'єктом вивчення математичної фізики можуть служити тільки ті явища природи, які піддаються виміру. Наприклад, механічний рух, звук, теплота, світло і т. д.
Цілі роботи:
1. Вивчити математичну літературу на цю тему.
2. Освоїти основні методи розв'язання задач математичної фізики і застосувати їх до вирішення завдань.Завдання роботи:
1. Вирішити двовимірне рівняння коливань мембрани при додаткових умовах для прямокутної і круглої мембрани.
2. Порівняти отримані результати для обох випадків з аналогічними завданнями, вирішеними для інших додаткових умов.
Методи роботи:
· Вивчення спеціальної літератури;
· Рішення задач.
Глава I Основні положення математичної фізики та теорії диференціальних рівнянь
Коло питань математичної фізики тісно пов'язаний з вивченням різних фізичних процесів. Сюди відносяться явища, що вивчаються в гідродинаміці, теорії пружності, електродинаміки і т. д. Що виникають при цьому математичні завдання містять багато спільних елементів і складають предмет математичної фізики.Диференціальним рівнянням з приватними похідними називається рівність, що містить невідому функцію від декількох змінних, незалежні змінні і приватні похідні невідомої функції із незалежним змінним. Рішенням рівняння з приватними похідними називається функція, звертає це рівняння в тотожність [4].
1.1 Поперечні коливання. Початкові і граничні умови
При математичному описі фізичного процесу потрібно, перш за все, поставити завдання, тобто сформувати умови, достатні для однозначного визначення процесу. Диференціальні рівняння з приватними похідними мають, взагалі кажучи, нескінченна безліч рішень. Тому в тому випадку, коли фізична завдання приводиться до рівняння з приватними похідними, для однозначної характеристики процесу необхідно задати деякі додаткові умови.
У випадку звичайного диференціального рівняння 2-го порядку приватне рішення визначається початковими умовами, наприклад, завданням значень функції і її першої похідної при «початковому» значенні аргументу. Для рівняння з приватними похідними можливі різні форми додаткових умов.
x |
0 |
l |
|
Так як процес коливання струни залежить від її початкової форми та розподілу швидкостей, то слід задати початкові умови:
|
Таким чином, додаткові умови складаються з граничних та початкових умов, де
|
де
Можливі й інші типи граничних умов. Розглянемо, наприклад, задачу про поздовжні коливання пружини, один кінець якої закріплений (точка підвісу), а інший кінець вільний. Закон руху вільного кінця не заданий і часто є шуканої функцією.
У точці підвісу x = 0 відхилення
на вільному кінці x = l натяг пружини
дорівнює нулю (немає зовнішніх сил), так що математична формулювання умови вільного кінця має вигляд
Якщо кінець x = 0 рухається за певним законом
Типовим є також умова пружного закріплення, скажімо для x = l
при якому кінець x = l може переміщатися, але пружна сила закріплення викликає на цьому кінці натяг, що прагне повернути змістився кінець у попереднє положення.
Якщо точка (система), щодо якої має місце пружне закріплення, переміщається, і її відхилення від початкового положення задається функцією
Умова пружного закріплення при x = 0 має вигляд
Таким чином, мають місце три основних типи граничних умов, наприклад, при x = 0:
§ граничні умови 1-го роду
§ гранична умова 2-го роду
§ гранична умова 3-го роду
Аналогічно задаються граничні умови і на другому кінці x = l. Якщо функція, що задається в правій частині (
1.2 Метод розділення змінних або метод Фур'є
Одним з найбільш поширених методів рішення рівнянь з приватними похідними є метод розділення змінних або метод Фур'є.
Нехай потрібно знайти функцію
|
в області D і додатковим початковим і граничним умовам, де
Спробуємо за допомогою суперпозиції всіх лінійно незалежних частинних розв'язків описаного типу (тобто задовольняють граничній умові) задовольнити і початкових умов. Для цього будемо шукати нетривіальні приватні рішення рівняння (1.2.1), що задовольняють граничним умовам, в класі функцій виду
Щоб ця рівність було тотожне (тобто щоб функція
|
|
причому функція
Суть методу Фур'є:
1) шукаємо рішення рівняння (1.2.1), що задовольнить тільки граничним умовам, серед функцій виду
2) вирішуємо крайову задачу для функції
3) для кожного власного значення
4) таким чином, приватним рішенням рівняння (1.2.1), задовольняє тільки граничній умові, є функції виду
5) візьмемо суму таких приватних рішень по всіх власних функцій
1.3 Однорідні лінійні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
При вирішенні завдань математичної фізики часто приходять до лінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Рівняння
|
є однорідним лінійним рівнянням другого порядку з коефіцієнтом при старшої похідної рівним одиниці, а
У силу загальних властивостей лінійного рівняння, нам достатньо знайти два приватних рішення, що утворюють фундаментальну систему рішень.
Покажемо, що вираз
|
де
Продиференціюємо по x вираз (1.3.2):
Підставляємо отримані вирази в (1.3.1):
|
Позначимо через
Характеристичний многочлен виходить з оператора L [y], якщо похідні різних порядків в цьому рівнянні замінити рівними ступенями величини
|
Рівняння (1.3.4) - є алгебраїчне рівняння з невідомим
Рівняння (1.3.4) - рівняння 2-го ступеня, отже, має 2 корені. Якщо всі корені різні, то кожен з них відповідає приватному рішенням диференціального рівняння (1.3.1).
Отже, загальний розв'язок рівняння (1.3.1) буде
де
|
Якщо корені характеристичного рівняння чисто уявні, тобто
|
Якщо припустити, що характеристичне рівняння має рівні коріння
Друге приватне рішення буде
Тоді загальний розв'язок рівняння (1.3.1) можна представити у вигляді
|
Глава II Знаходження функції, що описує власні коливання мембрани
2.1 Основні визначення
У цій главі використані наступні позначення
·
·
Мембраною називається плоска пластинка, не чинить опір вигину і зсуву. Ми будемо розглядати поперечні коливання мембрани, в яких зміщення перпендикулярно до площини мембрани. Відхилення точок мембрани від площини xOy будемо позначати через функцію , Яка залежить від координат точки (x, y) і від часу t. Висновок диференціальних рівнянь задач математичної фізики супроводжується цілою низкою припущень як механічних, так і геометричних. Так при виводі рівняння коливання прямокутної мембрани ми знехтували квадратом приватних похідних
|
У результаті виходить наступне рівняння коливань прямокутної мембрани
У разі розгляду мембрани круглої форми корисно перейти до полярних координатах. Нехай мембрана в стані спокою займає коло радіуса
Вираз для оператора
Тоді рівняння коливань мембрани (2.1.1) перепишеться у вигляді
|
У даній главі нам ще знадобиться визначення ортогональних функцій в наступному вигляді:
Система функцій
2.2 Власні коливання прямокутної мембрани
Процес коливання плоскої однорідної мембрани описується рівнянням
|
0 |
b 1 |
Y |
b 2 |
|
Нехай в площині (x, y) розташована прямокутна мембрана зі сторонами b 1 і b 2, закріплена по краях. Її коливання викликається за допомогою початкового відхилення і початковій швидкості.
Для знаходження функції , Що характеризує відхилення мембрани від положення рівноваги (прогин), потрібно вирішити рівняння коливань при заданих початкових умовах
|
і граничних умовах
|
Короткий рішення завдання (2.2.1) - (2.2.3) наведено в книзі [8], де були отримані наступні результати.
Функція
де
А коефіцієнти
Знайдемо рішення задачі при інших граничних умовах.
Отже, для знаходження функції , Що характеризує прогин мембрани ми повинні вирішити рівняння коливань мембрани (2.2.1) при заданих початкових умовах
|
і граничних умовах
|
|
|
Щоб функція (2.2.6) була рішенням рівняння (2.2.1), рівність (2.2.7) має задовольнятися тотожно, тобто для будь-яких значень змінних
|
де
|
а для функції
|
Таким чином, сама задача на власні значення полягає у вирішенні однорідного рівняння в приватних похідних при заданих граничних умовах. Знову застосуємо метод розділення змінних. Нехай
|
Права частина рівності (2.2.10) є функцією тільки змінної y, а ліва - тільки x. Фіксуючи, наприклад, деякі значення x і змінюючи
Тоді з даного співвідношення отримуємо два однорідних диференціальних рівняння другого порядку:
1.
2.
2.
де і - Постійні розділення змінних, причому . При цьому граничні умови для і випливають з відповідних умов для функції .
,
,
,
.
Отримуємо наступні одновимірні задачі на власні значення:
Отримуємо наступні одновимірні задачі на власні значення:
(2.2.11)
(2.2.12)
(2.2.12)
1) При
т. к. характеристичне рівняння
Враховуючи граничні умови, отримуємо:
тому що
2) При
3) При
Враховуючи граничні умови, отримуємо:
Отже, тільки при значеннях рівних
Вони визначаються з точністю до довільного множника, який ми поклали рівним одиниці.
Аналогічно отримуємо рішення задачі (2.2.12):
Власним значенням
де
Обчислимо окремо інтеграли в рівності:
|
Число власних функцій, що належать
Власним значенням
де
Повертаючись до початкової задачі для рівняння
Тоді загальне рішення запишеться у вигляді
де
У завданнях, розглянутих у цьому параграфі, необхідно було знайти функцію, що описує відхилення мембрани від положення рівноваги при однакових початкових умовах, але при різних граничних умовах. У результаті були отримані дві різні функції. Таким чином, можна сказати, що прогинання мембрани безпосередньо залежить від граничних умов.
2.3 Власні коливання круглої мембрани
Порівняємо тепер результати вирішення двох задач про знаходження функції, що характеризує прогин мембрани, також при заданих різних граничних умовах, однакових початкових умовах, але вже для круглої мембрани.
|
Будемо шукати рішення цього рівняння при заданих початкових умовах
|
|
Застосуємо метод розділення змінних. Нехай
Підставляємо отриманий вираз для функції
|
Зі співвідношення (2.3.4) отримуємо однорідне диференціальне рівняння другого порядку для функції
|
і наступне завдання на власні значення для функції
|
До задачі (2.3.6) знову застосуємо метод Фур'є для знаходження функції
Поділимо це рівність на
Оскільки ліва частина співвідношення (
1) однорідне диференціальне рівняння другого порядку для знаходження функції
Нетривіальні періодичні рішення для
2) рівняння для визначення функції
|
|
Таким чином, потрібно вирішити задачу на власні значення.
Введемо нову змінну
Підставляємо вираз
|
Рішення попереднього завдання зводиться до вирішення циліндричного рівняння (2.3.9) з додатковими граничними умовами
спільне рішення, якого має вигляд
де
З умови
З умови
Це трансцендентне рівняння має незліченну безліч речових коренів
|
крайової задачі для знаходження функції
Знайдемо норму власних функцій і отримаємо умову ортогональності системи власних функцій
Для цього розглянемо функції
Вони задовольняють рівнянням
причому
|
Переходячи до границі при
отримуємо вираз для квадрата норми:
|
Отже, отримуємо:
1. Згідно (2.3.11) при
2. Норма цих функцій визначається формулою (2.3.12).
3. У силу загальних властивостей власних крайових завдань має місце теорема разложимости:
Будь-яка безперервна в інтервалі
причому коефіцієнти розкладання визначаються формулою
Повертаючись до задачі на власні значення для круглої мембрани, отримаємо для власного значення
Доведемо ортогональность і обчислимо норму власних функцій
Аналогічні умови мають місце для функції
Тоді вираз для норми функції
Скористаємося теоремою про разложимости:
всяка безперервна функція
за власними функціями задачі на власні значення для кола.
Коефіцієнти розкладання обчислюються за такими формулами
Повернемося до вихідної завданню коливання мембрани при заданому початковому відхиленні і початковою швидкістю, її рішення запишеться у вигляді
Коефіцієнти
Аналогічні формули мають місце для
Вирішення такого завдання про знаходження функції, що характеризує прогин мембрани при тих же початкових умовах
та інших граничних умовах
наведено в джерелі [8], де були отримані наступні результати.
Коефіцієнти
Аналогічно для
Отже, для круглої мембрани при різних граничних умовах отримані також різні функції, що описують її прогин.
Висновок
У даній кваліфікаційній роботі були розглянуті основні поняття теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними, вивчений один з найбільш поширених методів вирішення подібних рівнянь - метод Фур'є, вирішені два крайові задачі для рівняння коливань прямокутної і круглої мембрани.За результатами вирішення завдань можна зробити наступний висновок:
· Функція, що описує прогин мембрани безпосередньо залежить від своїх граничних умов і від геометричної форми мембрани;
· При зміні форми мембрани завдання на знаходження функції, що характеризує її прогин, значно ускладнилася. Виникла необхідність у вивченні циліндричних функцій та їх властивостей.
У даній роботі деякі твердження були взяті без доказу або без виводу. Наприклад, рівняння коливань прямокутної мембрани використовувалося без виведення, тому що його розгляд вимагає більш глибокого знання законів фізики. Рішення циліндричного рівняння було взято в готовій формі, тому що не було метою вивчення цієї роботи.
Таким чином, можна сказати, що поставлені цілі були досягнуті.
Бібліографічний список
1. Арамановіч, І. Г. Рівняння математичної фізики [Текст] / І. Г. Арамановіч, В. І. Левін. - М.: Наука, 1969. - С. 114 - 144.2. Арсенін, В. Я. Методи математичної фізики та спеціальні функції [Текст] / В. Я. Арсенін. - М.: Наука, 1974. - С. 165 - 170.
3. Архипов, Г. І. Лекції з математичного аналізу: Учеб. для університетів та пед. вузів [Текст] / Г. І. Архипов, В. А. Садовничий; Під. ред. В. А. Садовничого. - М.: Вища школа, 1999. - С. 695.
4. Вебстер, А. Диференціальні рівняння в приватних похідних математичної фізики, Ч. I [Текст] / А. Вебстер, Г. Сеге. - М.: Держ. техніко-теоретичне видавництво, 1933. - С. 189 - 200.
5. Двайт, Г. Б. Таблиці інтегралів та інші математичні формули [Текст] / Г. Б. Двайт; Під ред. К. А. Семендяева. - М.: Наука, 1966. - С. 161 - 178.
6. Матвєєв, Н. М. Диференціальні рівняння: Учеб. сел. для студ. пед. ін-тів по фіз.-мат. спец. [Текст] / Н. М. Матвєєв. - М.: Просвещение, 1988. - С. 131 - 187.
7. Розет, Т. О. Елементи теорії циліндричних функцій з додатками до радіотехніки [Текст] / Т. А. розетк. - М.: «Радянське радіо», 1956. - С. 141 - 160.
8. Тихонов, А. Н. Рівняння математичної фізики [Текст] / А. Н. Тихонов, А. А. Самарський. - М.: Наука, 1972. - С. 23 - 44, 82-88, 426 - 427.
9. Фіхтенгольц, Г. М. Основи математичного аналізу, Ч. I [Текст] / Г. М. Фіхтенгольц, - СПб.: «Лань», 2002. - С. 448.
10. Янке, Є. Спеціальні функції. Формули, графіки таблиці [Текст] / Є. Янке, Ф. Емде, Ф. Леш. - М.: Наука, 1977. - С. 176 - 241.
При вирішенні багатьох задач математичної фізики приходять до звичайного диференціального рівняння
званому рівнянням циліндричних функцій n-го порядку. Це рівняння часто називають також рівнянням Бесселя n-го порядку.
Рівняння Бесселя -Го порядку
або
де - Довільне дійсне або комплексне число, дійсну частину якого можна вважати неотрицательной.
Загальне рішення рівняння (2) може бути представлено у вигляді
,
де - Функція Бесселя першого роду, - Функція Бесселя другого роду - Го порядку або функція Неймана, - Довільні постійні.
Функція будь-якого позитивного і негативного цілого порядків відрізняється від всіх інших бесселевих функцій тією, що вони залишаються кінцевими при .
Для дійсного порядку функції Бесселя і Неймана від дійсного аргументу будуть дійсними функціями , ; , при (Рис. 1 і рис. 2). Опції і найбільш часто зустрічаються в додатках і для них є докладні таблиці [5, 7, 10].
9. Фіхтенгольц, Г. М. Основи математичного аналізу, Ч. I [Текст] / Г. М. Фіхтенгольц, - СПб.: «Лань», 2002. - С. 448.
10. Янке, Є. Спеціальні функції. Формули, графіки таблиці [Текст] / Є. Янке, Ф. Емде, Ф. Леш. - М.: Наука, 1977. - С. 176 - 241.
Додаток
Циліндричні функції. Рівняння БесселяПри вирішенні багатьох задач математичної фізики приходять до звичайного диференціального рівняння
званому рівнянням циліндричних функцій n-го порядку. Це рівняння часто називають також рівнянням Бесселя n-го порядку.
|
|
де
Загальне рішення рівняння (2) може бути представлено у вигляді
де
Функція
Для дійсного порядку
| ||||
|
Графіки функцій Неймана |
X |
1.0 |
0.5 |
-0.5 |
-1.0 |
2 |
8 |
Графіки функцій Бесселя |
X |
1.0 |
0.5 |
-0.5 |
-1.0 |
2 |
8 |
Цей текст може містити помилки.
Фізика та енергетика | Диплом
Схожі роботи:
Власні числа і власні вектори квадратної матриці характеристичне рівняння
Власні вектора і власні значення лінійного оператора
Власні числа та власні вектори матриці
Власні значення і власні вектори матриці
Методи розділення пластин і підкладок
Власні українські імена
Шліфування пластин Поверхневі покриття та антикорозійний захист
Власні назви як прецедент в рекламі
Власні джерела фінансування підприємств