План
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Завдання 4
Завдання 5
Завдання 6
Задача 7
Завдання 8
Література
У свою чергу, для виготовлення цих складових частин необхідні три види сировини - скло (у кв. М), ДСП (у кв. М), ДВП (в кв. М), потреби в якому відображені у наступній таблиці:
Потрібно:
1) визначити потреби в сировині для виконання плану з виготовлення стінок першого, другого, третього і четвертого виду у кількості відповідно x 1, x 2, x 3 та x 4 штук;
2) провести підрахунки для значень x 1 = 50, x 2 = 30, x 3 = 120 і x 4 = 80.
Рішення: складемо умови для визначення числа складових частин залежно від кількості і виду комплектів меблів. Нехай n 1, n 2, n 3 та n 4 - кількість шаф, шифоньєрів, пеналів і тумб, відповідно.
Тоді умови будуть виглядати наступним чином:
n 1 = x 1 + x 2
n 2 = x 1 + x 2 + x 4
n 3 = x 1 + x 2 + x 3
n 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4
Складемо умови визначають потреби в сировині залежно від виду деталей. Нехай y 1, y 2 і y 3 - потреби у склі, ДВП і ДСП, відповідно:
y 1 = 0,9 n 1 + 0,2 n 3 + 1,2 n 4
y 2 = 6n 1 + 6,5 n 2 + 6n 3 + 2,5 n 4
y 3 = 2,9 n 1 + 1,7 n 2 + 1,4 n 3 + 0,6 n 4
Тепер підставимо замість n i - отримані раніше рівності.
y 1 = 0,9 · (x 1 + x 2) + 0,2 · (x 1 + x 2 + x 3) + 1,2 · (x 1 + x 2 + x 3 + x 4)
y 2 = 6 · (x 1 + x 2) + 6,5 · (x 1 + x 2 + x 4) + 6 · (x 1 + x 2 + x 3) + 2,5 · (x 1 + x 2 + x 3 + x 4)
y 3 = 2,9 · (x 1 + x 2) + 1,7 · (x 1 + x 2 + x 4) + 1,4 · (x 1 + x 2 + x 3) + 0,6 · ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4)
Наведемо подібні
y 1 = 2,3 x 1 + 2,3 x 2 + 1,4 x 3 + 1,2 x 4, y 2 = 21x 1 + 21x 2 + 8,5 x 3 + 9x 4
y 3 = 6,6 x 1 + 6,6 x 2 + 2x 3 + 2,3 x 4
Проведемо підрахунки для значень
x 1 = 50, x 2 = 30, x 3 = 120 і x 4 = 80
y 1 = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.
y 2 = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.
y 3 = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.
Рішення:
Складемо систему рівнянь:
Матричне рівняння виглядає наступним чином:
A · X = B
Домножимо зліва кожну з частин рівняння на матрицю A -1
A -1 · A · X = A -1 · B;
E · X = A -1 · B;
X = A -1 · B
Знайдемо обернену матрицю A -1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
X =
Вирішимо систему методом Крамера
Δ = 374
Δ 1 =
Δ 2 =
Δ 3 =
x 1 = Δ 1 / Δ = 1870/374 = 5, x 2 = Δ 2 / Δ = 1496/374 = 4
x 3 = Δ 3 / Δ = 1122/374 = 3
Вирішимо систему методом Гауса
=>
Рішення:
Грунтуючись на властивості функції попиту, визначити: який товар є досліджуваним, а який альтернативним і еластичність попиту за цінами досліджуваного і альтернативного товарів.
У процесі рішення відзначити, якими є дані товари - взаємозамінними або взаємодоповнюючими.
Рішення:
Еластичність попиту за ціною дорівнює першої похідної від функції попиту:
еластичність негативна, отже, перший товар - досліджуваний.
еластичність негативна.
Товари є товарами дополнители, т.к зростання цін на другий товар, як і зростання цін на перший товар призводить до зниження попиту.
Рішення:
Розрахуємо параметри рівняння лінійної парної регресії.
Для розрахунку параметрів a і b рівняння лінійної регресії у = а + bx вирішимо систему нормальних рівнянь відносно а і b (вона випливає з методу найменших квадратів):
За вихідними даними розраховуємо Sх, Sу, Sух, Sх 2, Sу 2.
Рівняння регресії:
Розрахуємо по даному рівнянню значення для
Знайдемо прогноз на рік уперед:
Отримані графіки кажуть про поганий відображенні вихідних даних рівнянням прямої. Можливо це пов'язано з наявністю сезонності у товарообігу. Тоді пряма лінія є рівнянням тренду.
Рішення:
Знайдемо перші приватні похідні і визначимо точки потенційних екстремумів (там де похідні дорівнюють нулю).
Знайдемо другу похідні та їх значення в точці (2; 0)
Тобто в точці (2, 0) є екстремум.
Оскільки А> 0, то точка (2; 0) мінімум функції.
де x і y - кількість товарів А і В, придбаних споживачем, а значення функції корисності чисельно висловлюють міру задоволення покупця. За такої вартості одиниці товарів А і В, загальна сума, що виділяється покупцем на їх купівлю, становить 140 рублів. При якій кількості товарів А і В корисність для споживача максимальна. А = 11, В = 17.
Рішення:
Корисність максимальна при рівності перших похідних:
Обмеження вартості задається нерівністю 11x + 17y ≤ 140
Складемо систему.
Максимальна корисність буде досягнута при споживанні 4,46 од. А і 5,35 ед.в.
Рішення: знайдемо рівноважний стан попиту і пропозиції:
D (Q) = S (Q);
t 1 = - 34,685 і t 2 = 12,685, t 1 - не задовольняє умові
При цьому ціна складе: Р = 10 * 12,685 = 126,85 гр. од.
Надлишки споживача рівні площі фігури обмеженою зверху кривої попиту, знизу рівноважною ціною і зліва нульовим випуском. Знайдемо надлишки споживача:
S потр =
= 200 * 160,9 - 5 / 22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. од.
Надлишки виробника рівні площі фігури обмеженою зверху рівноважною ціною, ліворуч нульовим випуском і знизу кривою пропозиції. Знайдемо надлишки виробника:
S произв = 126,85 · 160,9 -
= 20410,165 - 5 * 12,685 3 = 10204,5 ден. од.
2. Н.Ш. Кремер. Практикум з вищої математики для економістів. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3. І.А. Зайцев. Вища математика. -М.: Вища школа, 1998.
4. Математичний аналіз і лінійна алгебра. Навчальний методичний посібник. Під ред. Н.Ш. Кремера. - ХТРЕІУ, 2006.
Завдання 1
Завдання 2
Завдання 3
Завдання 4
Завдання 5
Завдання 6
Задача 7
Завдання 8
Література
Завдання 1
Меблевій фабриці для виготовлення комплектів корпусних меблів необхідно виготовити їх складові частини - книжкова шафа, шафа, тумба для апаратури. Ці дані представлені в таблиці:| Найменування складових частин | Види комплектів корпусних меблів | |||
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
| Книжкова шафа | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Шифоньєр | 1 | 1 | 1 | 1 |
| Пенал | 0 | 0 | 1 | 1 |
| Тумба | 0 | 1 | 0 | 1 |
| Вид сировини | Складові елементи | |||
| Кн. шафа | Шифоньєр | Пенал | Тумба | |
| Скло | 0,9 | 0 | 0,2 | 1,2 |
| ДСП | 6 | 6,5 | 6 | 2,5 |
| ДВП | 2,9 | 1,7 | 1,4 | 0,6 |
1) визначити потреби в сировині для виконання плану з виготовлення стінок першого, другого, третього і четвертого виду у кількості відповідно x 1, x 2, x 3 та x 4 штук;
2) провести підрахунки для значень x 1 = 50, x 2 = 30, x 3 = 120 і x 4 = 80.
Рішення: складемо умови для визначення числа складових частин залежно від кількості і виду комплектів меблів. Нехай n 1, n 2, n 3 та n 4 - кількість шаф, шифоньєрів, пеналів і тумб, відповідно.
Тоді умови будуть виглядати наступним чином:
n 1 = x 1 + x 2
n 2 = x 1 + x 2 + x 4
n 3 = x 1 + x 2 + x 3
n 4 = x 1 + x 2 + x 3 + x 4
Складемо умови визначають потреби в сировині залежно від виду деталей. Нехай y 1, y 2 і y 3 - потреби у склі, ДВП і ДСП, відповідно:
y 1 = 0,9 n 1 + 0,2 n 3 + 1,2 n 4
y 2 = 6n 1 + 6,5 n 2 + 6n 3 + 2,5 n 4
y 3 = 2,9 n 1 + 1,7 n 2 + 1,4 n 3 + 0,6 n 4
Тепер підставимо замість n i - отримані раніше рівності.
y 1 = 0,9 · (x 1 + x 2) + 0,2 · (x 1 + x 2 + x 3) + 1,2 · (x 1 + x 2 + x 3 + x 4)
y 2 = 6 · (x 1 + x 2) + 6,5 · (x 1 + x 2 + x 4) + 6 · (x 1 + x 2 + x 3) + 2,5 · (x 1 + x 2 + x 3 + x 4)
y 3 = 2,9 · (x 1 + x 2) + 1,7 · (x 1 + x 2 + x 4) + 1,4 · (x 1 + x 2 + x 3) + 0,6 · ( x 1 + x 2 + x 3 + x 4)
Наведемо подібні
y 1 = 2,3 x 1 + 2,3 x 2 + 1,4 x 3 + 1,2 x 4, y 2 = 21x 1 + 21x 2 + 8,5 x 3 + 9x 4
y 3 = 6,6 x 1 + 6,6 x 2 + 2x 3 + 2,3 x 4
Проведемо підрахунки для значень
x 1 = 50, x 2 = 30, x 3 = 120 і x 4 = 80
y 1 = 2,3 * 50 + 2,3 * 30 + 1,4 * 120 + 1,2 * 80 = 448 кв. м.
y 2 = 21 * 50 + 21 * 30 + 8,5 * 120 + 9 * 80 = 3420 кв. м.
y 3 = 6,6 * 50 + 6,6 * 30 + 2 * 120 + 2,3 * 80 = 952 кв. м.
Завдання 2
Нехай a ij - кількість продукції j, виробленої підприємством i, а b i - вартість всієї продукції підприємства i досліджуваної галузі. Значення a ij і b i задані матрицями A і В відповідно. Потрібно визначити ціну одиниці продукції кожного виду, виробленої підприємствами галузі. У ході виконання завдання необхідно скласти систему рівнянь, відповідну умовам, і вирішити її трьома способами (матричний метод, метод Крамера, метод Гаусса).Рішення:
Складемо систему рівнянь:
Матричне рівняння виглядає наступним чином:
A · X = B
Домножимо зліва кожну з частин рівняння на матрицю A -1
A -1 · A · X = A -1 · B;
E · X = A -1 · B;
X = A -1 · B
Знайдемо обернену матрицю A -1
Δ = 4 * 12 * 4 + 12 * 7 * 13 + 14 * 7 * 9 - 9 * 12 * 7 - 12 * 14 * 4 - 4 * 7 * 13 = 374
X =
Вирішимо систему методом Крамера
Δ = 374
Δ 1 =
Δ 2 =
Δ 3 =
x 1 = Δ 1 / Δ = 1870/374 = 5, x 2 = Δ 2 / Δ = 1496/374 = 4
x 3 = Δ 3 / Δ = 1122/374 = 3
Вирішимо систему методом Гауса
=>
Завдання 3
Знайти приватні похідні першого і другого порядків заданої функції:Рішення:
Завдання 4
Задана функція попитуГрунтуючись на властивості функції попиту, визначити: який товар є досліджуваним, а який альтернативним і еластичність попиту за цінами досліджуваного і альтернативного товарів.
У процесі рішення відзначити, якими є дані товари - взаємозамінними або взаємодоповнюючими.
Рішення:
Еластичність попиту за ціною дорівнює першої похідної від функції попиту:
еластичність негативна, отже, перший товар - досліджуваний.
еластичність негативна.
Товари є товарами дополнители, т.к зростання цін на другий товар, як і зростання цін на перший товар призводить до зниження попиту.
Завдання 5
У таблиці наведено дані про товарообіг магазину за минулий рік (по місяцях). Провести вирівнювання даних по прямій за допомогою методу найменших квадратів. Скориставшись знайденим рівнянням прямої, зробити прогноз про величину товарообігу через півроку і рік. Супроводити завдання кресленням, на якому необхідно побудувати ламану емпіричних даних і отриману пряму. Проаналізувавши креслення, зробіть висновки.| Місяць | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| Товарообіг, (тис. р.) | 22 | 4,4 | 37 | 57,4 | 55,4 | 72 | 91,6 | 78,4 | 58 | 59 | 42 | 37,6 |
Розрахуємо параметри рівняння лінійної парної регресії.
Для розрахунку параметрів a і b рівняння лінійної регресії у = а + bx вирішимо систему нормальних рівнянь відносно а і b (вона випливає з методу найменших квадратів):
За вихідними даними розраховуємо Sх, Sу, Sух, Sх 2, Sу 2.
| t | y | x | yx | x 2 | y 2 | |
| 1 | 22,0 | 1 | 22,0 | 1 | 484,00 | 36,688 |
| 2 | 4,4 | 2 | 8,8 | 4 | 19,36 | 39,332 |
| 3 | 37,0 | 3 | 111,0 | 9 | 1369,00 | 41,976 |
| 4 | 57,4 | 4 | 229,6 | 16 | 3294,76 | 44,62 |
| 5 | 55,4 | 5 | 277,0 | 25 | 3069,16 | 47,264 |
| 6 | 72,0 | 6 | 432,0 | 36 | 5184,00 | 49,908 |
| 7 | 91,6 | 7 | 641,2 | 49 | 8390,56 | 52,552 |
| 8 | 78,4 | 8 | 627,2 | 64 | 6146,56 | 55, 196 |
| 9 | 58,0 | 9 | 522,0 | 81 | 3364,00 | 57,84 |
| 10 | 59,0 | 10 | 590,0 | 100 | 3481,00 | 60,484 |
| 11 | 42,0 | 11 | 462,0 | 121 | 1764,00 | 63,128 |
| 12 | 37,6 | 12 | 451,2 | 144 | 1413,76 | 65,772 |
| Разом | 614,8 | 78 | 4374 | 650 | 37980,16 | 614,76 |
Рівняння регресії:
Розрахуємо по даному рівнянню значення для
Знайдемо прогноз на рік уперед:
Отримані графіки кажуть про поганий відображенні вихідних даних рівнянням прямої. Можливо це пов'язано з наявністю сезонності у товарообігу. Тоді пряма лінія є рівнянням тренду.
Завдання 6
Дослідити на екстремум наступну функцію:Рішення:
Знайдемо перші приватні похідні і визначимо точки потенційних екстремумів (там де похідні дорівнюють нулю).
Знайдемо другу похідні та їх значення в точці (2; 0)
Тобто в точці (2, 0) є екстремум.
Оскільки А> 0, то точка (2; 0) мінімум функції.
Задача 7
Нехай функція корисності задана якде x і y - кількість товарів А і В, придбаних споживачем, а значення функції корисності чисельно висловлюють міру задоволення покупця. За такої вартості одиниці товарів А і В, загальна сума, що виділяється покупцем на їх купівлю, становить 140 рублів. При якій кількості товарів А і В корисність для споживача максимальна. А = 11, В = 17.
Рішення:
Корисність максимальна при рівності перших похідних:
Обмеження вартості задається нерівністю 11x + 17y ≤ 140
Складемо систему.
Максимальна корисність буде досягнута при споживанні 4,46 од. А і 5,35 ед.в.
Завдання 8
Задані функції попиту і пропозиції залежно від кількості товару Q:Рішення: знайдемо рівноважний стан попиту і пропозиції:
D (Q) = S (Q);
t 1 = - 34,685 і t 2 = 12,685, t 1 - не задовольняє умові
При цьому ціна складе: Р = 10 * 12,685 = 126,85 гр. од.
Надлишки споживача рівні площі фігури обмеженою зверху кривої попиту, знизу рівноважною ціною і зліва нульовим випуском. Знайдемо надлишки споживача:
S потр =
= 200 * 160,9 - 5 / 22 * 160,9 - 20410,165 = 11733,27 ден. од.
Надлишки виробника рівні площі фігури обмеженою зверху рівноважною ціною, ліворуч нульовим випуском і знизу кривою пропозиції. Знайдемо надлишки виробника:
S произв = 126,85 · 160,9 -
= 20410,165 - 5 * 12,685 3 = 10204,5 ден. од.
Література
1. Н.Ш. Кремер. Вища математика для економістів. - М.: Банки і біржі, ЮНИТИ, 1997.2. Н.Ш. Кремер. Практикум з вищої математики для економістів. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007.
3. І.А. Зайцев. Вища математика. -М.: Вища школа, 1998.
4. Математичний аналіз і лінійна алгебра. Навчальний методичний посібник. Під ред. Н.Ш. Кремера. - ХТРЕІУ, 2006.