Міністерство освіти
1 (Т85.РП). Знайдіть матрицю D = (AC-AB), якщо
А = 1 0, C = 3 4 4, B = -3 1 4.
2 -2 1 -3 5 2 -3 4
(У відповідь ввести другий рядок матриці D.)
Рішення:
Розміри матриць А і С узгоджені, тому що кількість елементів у рядку матриці А дорівнює кількості елементів у стовпці матриці В.
а * з = 1 0 * 3 4 4 = 1 * 3 +0 * 1 1 * 4 +0 * (-3) 1 * 4 +0 * 5 = 3 4 4
2 -2 1 -3 5 2 * 3 + (-2) * 1 2 * 4-2 * (-3) 2 * 4-2 * 5 4 14 -2
А * В = 1 0 * -3 1 4 = 1 * (-3) +0 * 2 1 * 1 +0 * (-3) 1 * 4 +0 * 4 = -3 1 4
2 -2 2 -3 4 2 * (-3) -2 * 2 2 * 1-2 * (-3) 2 * 4-2 * 4 -10 8 0
D = А * С-А * В = 3 4 4 _ -3 1 квітня = 3 - (-3) 4-1 4-4 = 6 3 0
4 14 -2 -10 8 0 4 - (-10) 14-8 -2-0 14 6 -2
Відповідь: 14, 6, -2.
2 (3те). Обчисліть визначник D = 2 2 1 0
1 1 1 0
1 2 2 1
0 3 2 2
Рішення:
2 2 1 0
1 1 1 0
1 2 2 1 =
0 3 2 2
Помножимо третій рядок на (-2) і складемо з четвертої рядком, результат запишемо
в четвертий рядок:
2 2 1 0
1 1 1 0
= 1 = 2 2 1
-2 -1 -2 0
Даний визначник розкладемо за елементами четвертого стовпця:
3 +4 2 2 1
= 1 * (-1) * 1 1 1 =
-2 -1 -2
Помножимо другий рядок на (-2) і складемо з першою, результат запишемо в перший рядок. Помножимо другий рядок на 2 і складемо з третьої, результат запишемо в третій рядок.
0 0 -1
= - 1 1 1 = - (-1) 1 +3 * (-1) * 1 1 = 1-0 = 1;
0 1 0 0 1
Відповідь: D = 1.
3 (598.Р7). Вирішіть матричне рівняння
1 2 1 1 1 -1
X * 4 3 -2 = 16 * -1 2 3
-5 -4 -1 0 -1 -2.
Рішення:
A * X = B, X = A -1 * B
Знайдемо det A:
1 2 1
det A = 3 квітня -2 = 1 * 3 * (-1) +1 * 4 * (-4) +2 * (-2) * (-5) -1 * 3 * (-5) -2 * 4 * (-1) -1 * (-2) * (-4) =
-5 -4 -1
=- 19 +20 +15-8 +8 = 16;
det = 16 ≠ 0;
Складемо матрицю А -1, зворотну матриці А:
А 1 1 = 3 -2 = -3 -8 = -11
-4 -1
А 1 2 = - 4 -2 = - (-4-10) = 14
-5 -1
А 1 3 = 4 3 = -16 +15 = -1
-5 -4
A 2 1 = - 2 1 = - (-2 +4) = -2
-4 -1
A 2 2 = 1 1 = -1 +5 = 4
-5 -1
A 2 3 = - 1 2 = - (-4 +10) = -6
-5 -4
A 3 1 = 2 1 = - 4-3 = -7
3 -2
A 3 2 = - 1 1 = - (-2-4) = 6
-2
A 3 3 = 1 2 = 3 -8 = -5
4 березня
-11/16 -2/16 -7/16
А -1 = 14/16 4 / 16 6 / 16
-1/16 -6/16 -5/16
-11/16 -2/16 -7/16 1 * 16 1 * 16 -1 * 16
Х = 14/16 4 / 16 6 / 16 * -1 * 16 лютого * 16 3 * 16 =
-1/16 -6/16 -5/16 0 * 16 -1 * 16 2 * 16
-11 * 1 + (-2 * (-1 ))+(- 7 * 0) -11 * 1 + (-2 * 2) + (-7 * (-1)) -11 * (-1) + (-2 * 3) + (-7 * 2)
= 14 * 1 +4 * (-1) +6 * 0 14 * 1 +4 * 2 +6 * (-1) 14 * (-1) +4 * 3 +6 * 2 =
-1 * 1 + (-6 * (-1 ))+(- 5 * 0) -1 * 1 + (-6 * 2) + (-5 * (-1)) -1 * (-1) + (-6 * 3) + (-5 * 2)
-9 -8 -9
= 16 жовтня 1910
5 -8 -27
Відповідь: Х =: -9, -8, -9: 10, 16, 10: 5, -8, -27.
4 (4П5). При якому значенні параметра p, якщо він існує,
1 2 -2 1
останній рядок матриці А = 2 -3 2 Березня є лінійною комбінацією перших
1 -1 1 2
Серпня -7 p 11
трьох рядків?
Рішення:
Обчислимо det A:
1 2 -2 1 1 2 -2 1 -7 7 0 -7 7 0
det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =
1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23-16-p -3 14-7-p 0
Серпня -7 p 11 0 23-16-p -3
-1 * (-1) 2 +3 * -7 7 = 49 + 7p - 98 = 7p - 49
14-7-p
Якщо det A = 0, то ранг матриці А дорівнює двом, тобто 7p - 49 = 0, p = 7.
Третій рядок по теоремі про базисний мінорі є комбінацією перших двох.
Позначимо коефіцієнти цієї комбінації через λ 1 і λ 2, λ 3, тоді (8, -7,7,11) = λ 1 (1,2, -2,1) + + λ 2 (2, -3,3, 2) + λ 3 (1, -1,1,2);
Маємо систему: λ 1 + 2λ 2 + λ 3 = 8 * 2
2λ 1 - 3λ 2 - λ 3 = -7
-2λ 1 + 3λ 2 + λ 3 = 7
λ 1 + 2λ 2 + 2λ 3 = 11
Вирішимо дану систему методом Гауса:
λ 1 + 2λ 2 + λ 3 = 8 1) λ 3 = 3
7λ 2 + 3λ 3 = 23 2) 7λ 2 + 9 = 23
7λ 2 + 3λ 3 = 23 7λ 2 = 14
λ 3 = 3 λ 2 = 2
3) λ 1 + 2 * 2 + 3 = 8
λ 1 = 1
коефіцієнти лінійних комбінацій λ 1 = 1; λ 2 = 2; λ 3 = 3;
Відповідь: (8, -7,7,11) = 1 (1,2, -2,1) + 2 (2, -3,3,2) + 3 (1, -1,1,2).
5. Щодо канонічного базису в R 3 дано чотири вектори f 1 (1,1,1), f 2 (1,2,3), f 3 (1,3,6), x (4,7,10). Доведіть, що вектори f 1, f 2, f 3 можна прийняти за новий базис в R 3. (ТР0.РП). Знайдіть координати вектора x в базисі f i .
1 1 1 1 1 1
Δ = 1 2 3 = 0 1 2 = 1 * (-1) 1 +1 * 1 2 = 5 - 4 = 1
1 3 6 0 2 5 2 5
Так як Δ ≠ 0, то вектори f 1, f 2, f 3 утворюють базис тривимірного простору R 3
Для обчислення координат вектора x в цьому базисі складемо систему лінійних рівнянь:
х 1 + х 2 + х 3 = 4 * (-1)
х 1 + 2х 2 + 3х 3 = 7
х 1 + 3х 2 + 6х 3 = 10
х 1 + х 2 + х 3 = 4
х 2 + 2х 3 = 3 * (-2)
2х 2 + 5х 3 = 6
х 1 + х 2 + х 3 = 4 1) х 3 = 0 3) х 1 + 3 + 0 = 4
х 2 + 2х 3 = 3 2) х 2 + 0 = 3 х 1 = 4 - 3
х 3 = 0 х 2 = 0 х 1 = 1
х 1 = 1, х 2 = 0, х 3 = 0.
Рішення цієї системи утворює сукупність координат вектора x в базисі f 1, f 2, f 3
x (1; 3; 0);
x = f 1 + 3f 2 + 0f 3;
x = f 1 + 3f 2.
Відповідь: координати вектора x (1; 3; 0).
6. Доведіть, що система
2х 1 + 2х 2 + х 3 = 8,
х 1 + х 2 + х 3 = 3,
х 1 + 2х 2 + 2х 3 + Х 4 = 3,
3х 2 + 2х 3 +2 х 4 = 3
має єдине рішення. (362). Невідоме х 2 знайдіть за формулами Крамера. (0М1.РЛ). Вирішіть систему методом Гаусса.
Рішення:
Складемо матрицю з коефіцієнтів при змінних
2 2 1 0
А = 1 1 1 0
1 2 2 1
0 3 2 2
Обчислимо визначник матриці А
2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0
Δ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1) 3 +4 * 1 1 1 = - 1 1 1 =
1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0
0 3 2 2 -2 -1 -2 0
= - (-1) 2 +3 * 1 1 = 1
0 1
Δ ≠ 0, тоді система має рішення х 2 = Δ х 2 / Δ
2 8 1 0 2 8 1 0 2 8 1 2 8 1
Δ х 2 = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1) 3 +4 * 1 3 1 = - 1 5 0 =
1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0
0 3 2 2 -2 -3 -2 0
= - (-1) 1 +3 * 1 5 = (3 + 0) = 3
0 8
х 2 = 3 / 1 = 3.
Вирішимо систему методом Гауса
2х 1 + 2х 2 + х 3 = 8 * (-2) * (-1)
х 1 + х 2 + х 3 = 3
х 1 + 2х 2 + 2х 3 + Х 4 = 3
3х 2 + 2х 3 +2 х 4 = 3
х 1 + х 2 + х 3 = 3
- Х 3 = 2
х 2 + х 3 + Х 4 = 0 * (-3)
3х 2 + 2х 3 +2 х 4 = 3
х 1 + х 2 + х 3 = 3
х 2 + х 3 + Х 4 = 0
- Х 3 - х 4 = 3
х 3 = -2
1) х 3 = - 2 3) х 2 - 2 - 1 = 0
2) 2 - х 4 = 3 х 2 = 3
х 4 = -1 4) х 1 + 3 - 2 = 3
х 1 = 2
Перевірка:
2 + 3 - 2 = 3, 3 = 3
4 + 3 * 3 - 2 = 8, 8 = 8
2 + 6 - 4 - 2 = 3, 3 = 3
9 - 4 - 2 = 3, 3 = 3.
Відповідь: х 1 = 2, х 2 = 3, х 3 = - 2, х 4 = -1.
7. Дана система лінійних рівнянь
3х 1 + х 2 - х 3 - х 4 = 2,
9х 1 + х 2 - 2х 3 - х 4 = 7,
х 1 - х 2 - х 4 = -1,
х 1 + х 2 - х 3-3х 4 = -2.
Доведіть, що система сумісна. Знайдіть її спільне рішення. (392.БЛ). Знайдіть приватне рішення, якщо х 4 = 1.
Доказ:
Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці
системи дорівнює рангу розширеної матриці.
Складемо розширену матрицю:
3 1 -1 -1 2 0 -2 2 8 8 0 0 1 6 7
А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 26 липня 1925 → 0 0 3 18 21 = 0
1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1
1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2
Перша і друга рядок пропорційні отже А = 0. Тому ранг матриці і розширеної матриці дорівнюють 3 тому система є спільною.
Вирішимо систему методом Гауса:
запишемо останнє рівняння на перше місце:
х 1 + х 2 - х 3-3х 4 = -2
3х 1 + х 2 - х 3 - х 4 = 2
9х 1 + х 2 - 2х 3 - х 4 = 7
х 1 - х 2 - х 4 = -1
1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2
З = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →
9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7
1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7
х 1 + х 2 - х 3-3х 4 = -2
→ 2х 2 - 2х 3-8х 4 = -8
- Х 3-6х 4 = -7.
1) г 3 = 7 - 6х 4
2) х 2 - х 3-4х 4 = -4
х 2 = х 3 + 4х 4 - 4
х 2 = 7 - 6х 4 + 4х 4 - 4
х 2 = 3 - 2х 4
3) х 1 = - х 2 + х 3 + 3х 4 - 2
х 1 = - 3 + 2х 4 + 7 - 6х 4 + 3х 4 - 2
х 1 = 2 -Х 4.
Отримуємо спільне рішення системи:
х 1 = 2 -Х 4
х 2 = 3 - 2х 4
х 3 = 7 - 6х 4.
Знайдемо приватне рішення, якщо х 4 = 1 тоді
х 1 = 2 - 1 = 1;
х 2 = 3 - 2 * 1 = 1;
х 3 = 7 - 6 * 1 = 1.
Відповідь: (1; 1; 1; 1) - приватне рішення.
8. Дана система лінійних однорідних рівнянь
2х 1 +3 х 2 - х 3 - х 4 + х 5 = 0,
3х 1 - 2х 2 - 3х 3-3х 5 = 0,
х 1 - 3х 2 + 2х 3-5х 4-2х 5 = 0.
Доведіть, що система має нетривіальні рішення. Знайдіть спільне рішення системи. Знайдіть яку-небудь фундаментальну систему рішень Доказ:
Система має нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці менше числа невідомих. У цьому випадку ранг матриці не більше трьох, а змінних в системі п'ять.
Вирішимо систему методом Гаусса.
Запишемо матрицю системи:
2 3 -1 -1 1 1 -3 2 -5 -2
А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 травня │ * 7 →
1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │ * (-9)
1 -3 2 -5 -2
→ 0 9 -5 9 5
0 0 -8 -72 8
х 1-3х 2 + 2х 3 - 5х 4-2х 5 = 0
9х 2 - 5х 3 + 9х 4 +5 х 5 = 0
-8х 3-72х квітня +8 х 5 = 0
1) 8х 3 =-72х 4 + 8х 5
х 3 = - 9х 4 + х 5
2) 9х 2 + 45х 4 - 5 + 5х 9х 4 +5 х 5 = 0
9х 2 + 36х 4 = 0
х 2 = - 4х 4
3) х 1 +12 х 4 - 18х 4 + 2 х 5 - 5х 4-2х 5 = 0
х 1 - 11х 4 = 0
х 1 = 11х 4
Загальне рішення системи:
х 1 = 11х 4
х 2 = - 4х 4
х 3 = - 9х 4 + х 5
Знайдемо фундаментальну систему рішень, поклавши х 4 = 1, х 5 = 0.
х 1 = 11 * 1 = 11,
х 2 = - 4 * 1 = -4,
х 3 = - 9 * 1 + 0 = -9.
Нехай х 4 = 0, х 5 = 1.
х 1 = 11 * 0 = 0,
х 2 = - 4 * 0 = 0,
х 3 = - 9 * 0 + 1 = 1.
Відповідь: (11; -4; -9; 1; 0)
(0; 0; 1; 0; 1).
9 (3СА). Знайдіть площу паралелограма, побудованого на векторах а = 2р + 3r, b = p-2r, | p | = √ 2, | r | = 3, (p, ^ r) = 45 °.
Рішення:
S = | [а, b] | = | [2р + 3r, p-2r] | = | 2 [p, p] - 4 [p, r] + 3 [r, p] -6 [r, r] |
[P, p] = 0; [r, r] = 0; [r, p] = - [p, r].
S = | 7 [r, p] | = 7 | r | * | p | * sinφ
S = 7 * 3 * √ 2 * sin 45 ° = 21 * √ 2 * √ 2 / 2 = 21.
Відповідь: S = 21.
10 (78Т). Обчисліть Пр BD [BC, CD], якщо B (6,3,3); C (6,4,2); D (4,1,4).
Рішення:
Знайдемо координати векторів
BD = (4 - 6, 1 - 3, 4 - 3) = (- 2; - 2; 1),
BC = (6 - 6, 4 - 3, 2 - 3) = (0; 1; - 1),
CD = (4 - 6, 1 - 4, 4 - 2) = (- 2; - 3, 2).
Знайдемо векторний добуток:
i j k
[BC, CD] = 0 1 -1 = i (2 - 3) - j (0 -2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k.
-2 -3 2
Нехай [BC, CD] = а, тоді а = (-1, 2, 2)
Пр BD а = (BD, a) / | BD |
(BD, a) = -2 * (-1) - 2 * 2 + 1 * 2 = 2 -4 + 2 = 0.
Пр BD а = 0.
Відповідь: Пр BD а = 0.
11. Лінійний оператор А діє у R 3 → R 3 по закону Ax = (- х 1 + 2х 2 + x 3, 5х 2, 3х 1 + 2х 2 + х 3), де х (х 1, х 2, х 3) - довільний вектор. (125.РП). Знайдіть матрицю А цього оператора в канонічному базисі. Доведіть, що вектор х (1,0, 3) є власним для матриці А. (Т56). Знайдіть власне число λ 0, відповідне вектору х. (Д25.РП). Знайдіть інші власні числа, відмінні від λ 0. Знайдіть всі власні вектори матриці А і зробіть перевірку.
Російської Федерації
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УНІВЕРСИТЕТ
СИСТЕМ УПРАВЛІННЯ ТА РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ (ТУСУР)Контрольна робота
20031 (Т85.РП). Знайдіть матрицю D = (AC-AB), якщо
2 -2 1 -3 5 2 -3 4
(У відповідь ввести другий рядок матриці D.)
Рішення:
а * з = 1 0 * 3 4 4 = 1 * 3 +0 * 1 1 * 4 +0 * (-3) 1 * 4 +0 * 5 = 3 4 4
2 -2 1 -3 5 2 * 3 + (-2) * 1 2 * 4-2 * (-3) 2 * 4-2 * 5 4 14 -2
2 -2 2 -3 4 2 * (-3) -2 * 2 2 * 1-2 * (-3) 2 * 4-2 * 4 -10 8 0
D = А * С-А * В = 3 4 4 _ -3 1 квітня = 3 - (-3) 4-1 4-4 = 6 3 0
4 14 -2 -10 8 0 4 - (-10) 14-8 -2-0 14 6 -2
Відповідь: 14, 6, -2.
1 1 1 0
1 2 2 1
0 3 2 2
Рішення:
1 1 1 0
1 2 2 1 =
0 3 2 2
Помножимо третій рядок на (-2) і складемо з четвертої рядком, результат запишемо
в четвертий рядок:
1 1 1 0
= 1 = 2 2 1
-2 -1 -2 0
Даний визначник розкладемо за елементами четвертого стовпця:
= 1 * (-1) * 1 1 1 =
-2 -1 -2
Помножимо другий рядок на (-2) і складемо з першою, результат запишемо в перший рядок. Помножимо другий рядок на 2 і складемо з третьої, результат запишемо в третій рядок.
= - 1 1 1 = - (-1) 1 +3 * (-1) * 1 1 = 1-0 = 1;
0 1 0 0 1
Відповідь: D = 1.
1 2 1 1 1 -1
X * 4 3 -2 = 16 * -1 2 3
-5 -4 -1 0 -1 -2.
Рішення:
A * X = B, X = A -1 * B
1 2 1
det A = 3 квітня -2 = 1 * 3 * (-1) +1 * 4 * (-4) +2 * (-2) * (-5) -1 * 3 * (-5) -2 * 4 * (-1) -1 * (-2) * (-4) =
-5 -4 -1
=- 19 +20 +15-8 +8 = 16;
det = 16 ≠ 0;
А 1 1 = 3 -2 = -3 -8 = -11
-5 -1
А 1 3 = 4 3 = -16 +15 = -1
A 2 1 = - 2 1 = - (-2 +4) = -2
-4 -1
-5 -1
-5 -4
A 3 2 = - 1 1 = - (-2-4) = 6
A 3 3 = 1 2 = 3 -8 = -5
4 березня
А -1 = 14/16 4 / 16 6 / 16
-1/16 -6/16 -5/16
-11/16 -2/16 -7/16 1 * 16 1 * 16 -1 * 16
Х = 14/16 4 / 16 6 / 16 * -1 * 16 лютого * 16 3 * 16 =
-1/16 -6/16 -5/16 0 * 16 -1 * 16 2 * 16
-11 * 1 + (-2 * (-1 ))+(- 7 * 0) -11 * 1 + (-2 * 2) + (-7 * (-1)) -11 * (-1) + (-2 * 3) + (-7 * 2)
= 14 * 1 +4 * (-1) +6 * 0 14 * 1 +4 * 2 +6 * (-1) 14 * (-1) +4 * 3 +6 * 2 =
-9 -8 -9
= 16 жовтня 1910
5 -8 -27
Відповідь: Х =: -9, -8, -9: 10, 16, 10: 5, -8, -27.
1 2 -2 1
останній рядок матриці А = 2 -3 2 Березня є лінійною комбінацією перших
1 -1 1 2
Серпня -7 p 11
трьох рядків?
Рішення:
Обчислимо det A:
det A = 2 -3 3 2 = 0 -7 7 0 = 3 -3 -1 = 3 -3 -1 =
1 -1 1 2 0 3 -3 -1 23-16-p -3 14-7-p 0
Серпня -7 p 11 0 23-16-p -3
14-7-p
Якщо det A = 0, то ранг матриці А дорівнює двом, тобто 7p - 49 = 0, p = 7.
Третій рядок по теоремі про базисний мінорі є комбінацією перших двох.
Позначимо коефіцієнти цієї комбінації через λ 1 і λ 2, λ 3, тоді (8, -7,7,11) = λ 1 (1,2, -2,1) + + λ 2 (2, -3,3, 2) + λ 3 (1, -1,1,2);
2λ 1 - 3λ 2 - λ 3 = -7
-2λ 1 + 3λ 2 + λ 3 = 7
λ 1 + 2λ 2 + 2λ 3 = 11
Вирішимо дану систему методом Гауса:
7λ 2 + 3λ 3 = 23 2) 7λ 2 + 9 = 23
7λ 2 + 3λ 3 = 23 7λ 2 = 14
λ 3 = 3 λ 2 = 2
3) λ 1 + 2 * 2 + 3 = 8
λ 1 = 1
коефіцієнти лінійних комбінацій λ 1 = 1; λ 2 = 2; λ 3 = 3;
Відповідь: (8, -7,7,11) = 1 (1,2, -2,1) + 2 (2, -3,3,2) + 3 (1, -1,1,2).
5. Щодо канонічного базису в R 3 дано чотири вектори f 1 (1,1,1), f 2 (1,2,3), f 3 (1,3,6), x (4,7,10). Доведіть, що вектори f 1, f 2, f 3 можна прийняти за новий базис в R 3. (ТР0.РП). Знайдіть координати вектора x в базисі f i .
Складемо визначник з компонент векторів і f 1, f 2, f 3 обчислимо її:
1 3 6 0 2 5 2 5
Так як Δ ≠ 0, то вектори f 1, f 2, f 3 утворюють базис тривимірного простору R 3
Для обчислення координат вектора x в цьому базисі складемо систему лінійних рівнянь:
х 1 + 2х 2 + 3х 3 = 7
х 1 + 3х 2 + 6х 3 = 10
2х 2 + 5х 3 = 6
х 2 + 2х 3 = 3 2) х 2 + 0 = 3 х 1 = 4 - 3
х 3 = 0 х 2 = 0 х 1 = 1
х 1 = 1, х 2 = 0, х 3 = 0.
Рішення цієї системи утворює сукупність координат вектора x в базисі f 1, f 2, f 3
x (1; 3; 0);
x = f 1 + 3f 2 + 0f 3;
x = f 1 + 3f 2.
Відповідь: координати вектора x (1; 3; 0).
6. Доведіть, що система
х 1 + х 2 + х 3 = 3,
х 1 + 2х 2 + 2х 3 + Х 4 = 3,
3х 2 + 2х 3 +2 х 4 = 3
має єдине рішення. (362). Невідоме х 2 знайдіть за формулами Крамера. (0М1.РЛ). Вирішіть систему методом Гаусса.
Рішення:
Складемо матрицю з коефіцієнтів при змінних
А = 1 1 1 0
1 2 2 1
0 3 2 2
2 2 1 0 2 2 1 0 2 2 1 1 1 0
Δ = 1 1 1 0 = 1 1 1 0 = (-1) 3 +4 * 1 1 1 = - 1 1 1 =
1 2 2 1 1 2 2 1 -2 -1 -2 0 1 0
0 3 2 2 -2 -1 -2 0
0 1
Δ ≠ 0, тоді система має рішення х 2 = Δ х 2 / Δ
Δ х 2 = 1 3 1 0 = 1 3 1 0 = (-1) 3 +4 * 1 3 1 = - 1 5 0 =
1 3 2 1 1 3 2 1 -2 -3 -2 0 3 0
= - (-1) 1 +3 * 1 5 = (3 + 0) = 3
0 8
х 2 = 3 / 1 = 3.
Вирішимо систему методом Гауса
х 1 + х 2 + х 3 = 3
х 1 + 2х 2 + 2х 3 + Х 4 = 3
3х 2 + 2х 3 +2 х 4 = 3
- Х 3 = 2
3х 2 + 2х 3 +2 х 4 = 3
х 2 + х 3 + Х 4 = 0
- Х 3 - х 4 = 3
х 3 = -2
1) х 3 = - 2 3) х 2 - 2 - 1 = 0
2) 2 - х 4 = 3 х 2 = 3
х 4 = -1 4) х 1 + 3 - 2 = 3
х 1 = 2
Перевірка:
2 + 3 - 2 = 3, 3 = 3
4 + 3 * 3 - 2 = 8, 8 = 8
2 + 6 - 4 - 2 = 3, 3 = 3
9 - 4 - 2 = 3, 3 = 3.
Відповідь: х 1 = 2, х 2 = 3, х 3 = - 2, х 4 = -1.
7. Дана система лінійних рівнянь
9х 1 + х 2 - 2х 3 - х 4 = 7,
х 1 - х 2 - х 4 = -1,
х 1 + х 2 - х 3-3х 4 = -2.
Доведіть, що система сумісна. Знайдіть її спільне рішення. (392.БЛ). Знайдіть приватне рішення, якщо х 4 = 1.
Доказ:
Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці
системи дорівнює рангу розширеної матриці.
А = 9 1 -2 -1 7 → 0 -8 26 липня 1925 → 0 0 3 18 21 = 0
1 -1 0 -1 -1 0 -2 1 2 1 0 -2 1 2 1
1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2 1 1 -1 -3 -2
Перша і друга рядок пропорційні отже А = 0. Тому ранг матриці і розширеної матриці дорівнюють 3 тому система є спільною.
Вирішимо систему методом Гауса:
запишемо останнє рівняння на перше місце:
3х 1 + х 2 - х 3 - х 4 = 2
9х 1 + х 2 - 2х 3 - х 4 = 7
З = 3 1 -1 -1 2 → 0 2 -2 -8 -8 → 0 2 -2 -8 -8 →
9 1 -2 -1 7 0 8 -7 -26 -25 0 0 -1 -6 -7
1 -1 0 -1 -1 0 2 -1 -2 -1 0 0 -1 -6 -7
→ 2х 2 - 2х 3-8х 4 = -8
- Х 3-6х 4 = -7.
1) г 3 = 7 - 6х 4
2) х 2 - х 3-4х 4 = -4
х 2 = х 3 + 4х 4 - 4
х 2 = 7 - 6х 4 + 4х 4 - 4
х 2 = 3 - 2х 4
3) х 1 = - х 2 + х 3 + 3х 4 - 2
х 1 = - 3 + 2х 4 + 7 - 6х 4 + 3х 4 - 2
х 1 = 2 -Х 4.
Отримуємо спільне рішення системи:
х 1 = 2 -Х 4
х 2 = 3 - 2х 4
х 3 = 7 - 6х 4.
Знайдемо приватне рішення, якщо х 4 = 1 тоді
х 1 = 2 - 1 = 1;
х 2 = 3 - 2 * 1 = 1;
х 3 = 7 - 6 * 1 = 1.
Відповідь: (1; 1; 1; 1) - приватне рішення.
8. Дана система лінійних однорідних рівнянь
3х 1 - 2х 2 - 3х 3-3х 5 = 0,
х 1 - 3х 2 + 2х 3-5х 4-2х 5 = 0.
Доведіть, що система має нетривіальні рішення. Знайдіть спільне рішення системи. Знайдіть яку-небудь фундаментальну систему рішень Доказ:
Система має нетривіальне рішення тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці менше числа невідомих. У цьому випадку ранг матриці не більше трьох, а змінних в системі п'ять.
Вирішимо систему методом Гаусса.
Запишемо матрицю системи:
А = 3 -2 3 0 -3 → 0 9 -5 9 травня │ * 7 →
1 -3 2 -5 -2 0 7 -3 15 3 │ * (-9)
→ 0 9 -5 9 5
0 0 -8 -72 8
9х 2 - 5х 3 + 9х 4 +5 х 5 = 0
-8х 3-72х квітня +8 х 5 = 0
1) 8х 3 =-72х 4 + 8х 5
х 3 = - 9х 4 + х 5
2) 9х 2 + 45х 4 - 5 + 5х 9х 4 +5 х 5 = 0
9х 2 + 36х 4 = 0
х 2 = - 4х 4
3) х 1 +12 х 4 - 18х 4 + 2 х 5 - 5х 4-2х 5 = 0
х 1 - 11х 4 = 0
х 1 = 11х 4
Загальне рішення системи:
х 1 = 11х 4
х 2 = - 4х 4
х 3 = - 9х 4 + х 5
Знайдемо фундаментальну систему рішень, поклавши х 4 = 1, х 5 = 0.
х 1 = 11 * 1 = 11,
х 2 = - 4 * 1 = -4,
х 3 = - 9 * 1 + 0 = -9.
Нехай х 4 = 0, х 5 = 1.
х 1 = 11 * 0 = 0,
х 2 = - 4 * 0 = 0,
Відповідь: (11; -4; -9; 1; 0)
(0; 0; 1; 0; 1).
9 (3СА). Знайдіть площу паралелограма, побудованого на векторах а = 2р + 3r, b = p-2r, | p | = √ 2, | r | = 3, (p, ^ r) = 45 °.
Рішення:
S = | [а, b] | = | [2р + 3r, p-2r] | = | 2 [p, p] - 4 [p, r] + 3 [r, p] -6 [r, r] |
[P, p] = 0; [r, r] = 0; [r, p] = - [p, r].
S = | 7 [r, p] | = 7 | r | * | p | * sinφ
S = 7 * 3 * √ 2 * sin 45 ° = 21 * √ 2 * √ 2 / 2 = 21.
Відповідь: S = 21.
10 (78Т). Обчисліть Пр BD [BC, CD], якщо B (6,3,3); C (6,4,2); D (4,1,4).
Рішення:
Знайдемо координати векторів
BD = (4 - 6, 1 - 3, 4 - 3) = (- 2; - 2; 1),
BC = (6 - 6, 4 - 3, 2 - 3) = (0; 1; - 1),
CD = (4 - 6, 1 - 4, 4 - 2) = (- 2; - 3, 2).
Знайдемо векторний добуток:
[BC, CD] = 0 1 -1 = i (2 - 3) - j (0 -2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k.
-2 -3 2
Нехай [BC, CD] = а, тоді а = (-1, 2, 2)
Пр BD а = (BD, a) / | BD |
(BD, a) = -2 * (-1) - 2 * 2 + 1 * 2 = 2 -4 + 2 = 0.
Пр BD а = 0.
Відповідь: Пр BD а = 0.
11. Лінійний оператор А діє у R 3 → R 3 по закону Ax = (- х 1 + 2х 2 + x 3, 5х 2, 3х 1 + 2х 2 + х 3), де х (х 1, х 2, х 3) - довільний вектор. (125.РП). Знайдіть матрицю А цього оператора в канонічному базисі. Доведіть, що вектор х (1,0, 3) є власним для матриці А. (Т56). Знайдіть власне число λ 0, відповідне вектору х. (Д25.РП). Знайдіть інші власні числа, відмінні від λ 0. Знайдіть всі власні вектори матриці А і зробіть перевірку.
Рішення:
Ax = (- х 1 + 2х 2 + x 3; 5х 2; 3х 1 + 2х 2 + х 3)
Знайдемо матрицю в базисі l 1, l 2, l 3
A l 1 = (-1; 2; 1)
A l 2 = (0; 5; 0)
A l 3 = (3; 2; 1)
-1 2 1
A = 0 5 0
3 2 1.
Доведемо, що вектор х = (1, 0, 3) є власним для матриці А.
Маємо
-1 2 1 1 -1 + 0 + 3 2 1
Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0
3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3.
Звідси випливає, що вектор х = (1, 0, 3) власний і відповідає власним числа λ = 2.
Складаємо характеристичне рівняння:
-1 - Λ 2 Січень
0 5 - λ 0 = 0
3 2 1 - λ
(5 - λ )*((- 1 - λ) * (1 - λ) - 3) = 0
5 - λ = 0 або λ 2 -1 - 3 = 0
λ 2 = 4
λ = ± 2
λ 1 = 2, λ 2 = -2, λ 3 = 5.
х 1 + 2х 2 + х 3 = 0 х 2 = 0
7х 2 = 0
3х 1 + 2х 2 + 3х 3 = 0
х 1 + х 3 = 0 х 1 =-х 3
3х 1 + 3х 3 = 0
Нехай х 3 = 1, тоді х 1 = -1, маємо власний вектор х 1 = (-1; 0; 1).
Перевірка:
-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1
A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0
3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1
Отже, x 1 = (-1; 0; 1) власний вектор і відповідає власним числа λ = -2.
-6х 1 + 2х 2 + х 3 = 0
3х 1 + 2х 2 - 4х 3 = 0
-9х 1 + 5х 3 = 0
х 1 = 5 / 9 х 3
-6 * (5 / 9 х 3) + 2х 2 + х 3 = 0
-10 / 3 х 3 + х 3 + 2х 2 = 0
2х 2 = 7 / 3 х 3
х 2 = 7 / 6 х 3.
Нехай х 3 = 18, тоді х 1 = 10, х 2 = 21.
Вектор х 2 = (10; 21; 18) власний вектор.
Перевірка
-1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10
A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21
3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18.
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої 2х + 3y + 5 = 0.
3y =-2x -5
y = -2 / 3 x - 5 / 3
κ = -2 / 3
Так як вихідна пряма паралельна даній, то її кутовий коефіцієнт дорівнює κ = -2 / 3.
Рівняння прямої має кутовий коефіцієнт κ і що проходить через точку М (х 0, y 0) записується у вигляді
y - y 0 = κ (x - x 0).
Маємо
y - 4 = -2 / 3 (x - 1)
3y - 12 =-2x + 2
2х + 3y - 14 = 0.
Відповідь: 2х + 3y - 14 = 0 - рівняння шуканої прямої.
13 (3А2.РП). Знайдіть координати проекції точки М (3,6) на пряму х + 2y - 10 = 0.
Рішення:
Нехай N - проекція точки М на дану пряму.
Складемо рівняння прямої MN кутовий коефіцієнт заданої прямої х + 2y - 10 = 0 дорівнює κ 1 = -1 / 2, тоді кутовий коефіцієнт прямої MN дорівнює κ 2 = 2.
Тоді рівняння MN має вигляд y - y 0 = 2 (x - x 0).
Для визначення координат точки N вирішимо систему рівнянь
х + 2y - 10 = 0
y - y 0 = 2 (x - x 0), x 0 = 3, y 0 = 6.
х + 2y - 10 = 0 2х + 4y - 20 = 0
y - 6 = 2 (x - 3)-2х + y = 0
4y = 20
y = 4
2х = y
х = Ѕ y
х = Ѕ * 4 = 2
х = 2.
Відповідь: координати проекції точки М (3,6) на пряму х + 2y - 10 = 0 N (2,4).
14 (103.БЛ). Запишіть загальне рівняння площини, походящей через три задані точки M 1 (-6,1, -5), M 2 (7, -2, -1), M 3 (10, -7,1).
Рішення:
Рівняння площини, що проходить через 3 точки має вигляд
x-x1 y-y1 z-z1
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0
x3-x1 y3-y1 z3-z1
x-6 y-1 z +5
7 +6 -2-1 -1 +5 = 0
10 +6 -7-1 1-5
x-6 y-1 z +5
13 -3 4 = 0
16 -8 -4
(X -6) * -3 4 - (y - 1) * 13 4 + (z + 5) * 13 -3 = (x -6) * (12 +32) - (y - 1) * (-52 -64) +
-8 -4 16 -4 16 -8
+ (Z + 5) * (-104 +48) = 0
(X -6) * 44 - (y - 1) * (-116) + (z + 5) * (-56) = 0
11 * (x -6) + 29 * (y - 1) - 14 * (z + 5) = 0
11x - 66 + 29y - 29 - 14z - 70 = 0
11x + 29y - 14z - 165 = 0.
Відповідь: загальне рівняння площини 11x + 29y - 14z - 165 = 0.
15.Дана крива 4x2 - y2 - 24x + 4y + 28 = 0.
8.1.Докажіте, що ця крива - гіпербола.
8.2 (325.Б7). Знайдіть координати її центра симетрії.
8.3 (Д06.РП). Знайдіть дійсну і уявну півосі.
8.4 (267.БЛ). Запишіть рівняння фокальній осі.
8.5. Побудуйте дану гіперболу.
Рішення:
Виділимо повні квадрати
4 (x2 - 6x + 9) - 36 - (y2 - 4y + 4) + 4 + 28 = 0
4 (x - 3) 2 - (y - 2) 2 - 4 = 0
4 (x - 3) 2 - (y - 2) 2 = 4
((X - 3) 2 / 1) - ((y - 2) 2 / 4) = 1
Покладемо x 1 = x - 3, y 1 = y - 2, тоді x 1 2 / 1 - y 1 2 / 4 = 1.
Дана крива є гіперболою.
Визначимо її центр
x 1 = x - 3 = 0, x = 3
y 1 = y - 2 = 0, y = 2
(3, 2) - центр.
Дійсна піввісь a = 1.
Уявна піввісь b = 2.
Рівняння асимптот гіперболи
y 1 = ± b / ax 1
(Y - 2) = (± 2 / 1) * (x - 3)
y -2 = 2x - 6 і y - 2 = -2 (x - 8)
2x - y - 4 = 0 2x + 2y - 8 = 0
x + y - 4 = 0.
Визначимо фокуси гіперболи
F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0)
c2 = a2 + b2; c2 = 1 + 4 = 5
c = ± √ 5
F 1 (- √ 5; 0), F 2 (√ 5; 0).
F 1 '(3 - √ 5; 2), F 2' (3 + √ 5; 2).
Рівняння F 1 'F 2' (x - 3 + √ 5) / (3 + √ 5 - 3 + √ 5) = (y - 2) / (2 - 2); y = 2
Відповідь: (3, 2), дійсна піввісь a = 1, уявна піввісь b = 2, (x - 3 + √ 5) / (3 + √ 5 - 3 + √ 5) = (y - 2) / (2 - 2); y = 2.
16.Дана крива y2 + 6x + 6y + 15 = 0.
16.1.Докажіте, що ця крива - гіпербола.
16.2 (058.РП). Знайдіть координати її вершини.
16.3 (2П9). Знайдіть значення її параметра p.
16.4 (289.РП). Запишіть рівняння її осі симетрії.
16.5.Постройте дану параболу.
Рішення:
Виділимо повний квадрат при змінної y
(Y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0
(Y + 3) 2 = - 6 (x + 1).
Покладемо y 1 = y + 3, x 1 = x + 1.
Отримаємо
y 1 лютого = ± 6x 1.
Це рівняння параболи виду y2 = 2px, де p = -3.
Ця крива є гіперболою.
Так як p <0, то гілки параболи в негативну сторону. Координати вершини параболи y + 3 = 0 x + 1 = 0
y = -3 x = -1
(-1; -3) - Вершина параболи.
Рівняння осі симетрії y = -3.
Відповідь: (-1; -3) - вершина параболи, p = -3, рівняння осі симетрії y = -3.
Ax = (- х 1 + 2х 2 + x 3; 5х 2; 3х 1 + 2х 2 + х 3)
Знайдемо матрицю в базисі l 1, l 2, l 3
A l 1 = (-1; 2; 1)
A l 2 = (0; 5; 0)
A l 3 = (3; 2; 1)
A = 0 5 0
3 2 1.
Доведемо, що вектор х = (1, 0, 3) є власним для матриці А.
Маємо
Aх = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = 2 * 0
3 2 1 3 3 + 0 + 3 6 3.
Звідси випливає, що вектор х = (1, 0, 3) власний і відповідає власним числа λ = 2.
Складаємо характеристичне рівняння:
0 5 - λ 0 = 0
3 2 1 - λ
(5 - λ )*((- 1 - λ) * (1 - λ) - 3) = 0
5 - λ = 0 або λ 2 -1 - 3 = 0
λ 2 = 4
λ = ± 2
λ 1 = 2, λ 2 = -2, λ 3 = 5.
Запишемо систему для визначення власного вектора, що відповідає власним числа λ = -2.
7х 2 = 0
3х 1 + 2х 2 + 3х 3 = 0
3х 1 + 3х 3 = 0
Нехай х 3 = 1, тоді х 1 = -1, маємо власний вектор х 1 = (-1; 0; 1).
-1 2 1 -1 1 + 0 + 1 2 -1
A = 0 5 0 * 0 = 0 + 0 + 0 = 0 = -2 * 0
3 2 1 1 -3 + 0 + 1 -2 1
Отже, x 1 = (-1; 0; 1) власний вектор і відповідає власним числа λ = -2.
Знайдемо власний вектор для λ = 5
3х 1 + 2х 2 - 4х 3 = 0
-9х 1 + 5х 3 = 0
х 1 = 5 / 9 х 3
-6 * (5 / 9 х 3) + 2х 2 + х 3 = 0
-10 / 3 х 3 + х 3 + 2х 2 = 0
2х 2 = 7 / 3 х 3
х 2 = 7 / 6 х 3.
Нехай х 3 = 18, тоді х 1 = 10, х 2 = 21.
Вектор х 2 = (10; 21; 18) власний вектор.
-1 2 1 10 -10 + 42 + 18 50 10
A = 0 5 0 * 21 = 0 + 105 + 0 = 105 = 5 * 21
3 2 1 18 30 + 42 + 18 90 18.
Отже, х 2 = (10; 21; 18) власний і відповідає власним числа λ = 5.
Відповідь: матриця в канонічному базисі: -1, 2, 1: 0, 5, 0: 3, 2, 1; вектор х = (1, 0, 3) власний і відповідає власним числа λ = 2, х 1 = (- 1; 0; 1) власний вектор і відповідає власним числа λ = -2, х 2 = (10; 21; 18) власний і відповідає власним числа λ = 5.12 (Д01.РП). Складіть загальне рівняння прямої, що проходить через точку М (1,4) паралельно прямий 2х + 3y + 5 = 0.
Рішення:Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої 2х + 3y + 5 = 0.
3y =-2x -5
y = -2 / 3 x - 5 / 3
κ = -2 / 3
Так як вихідна пряма паралельна даній, то її кутовий коефіцієнт дорівнює κ = -2 / 3.
Рівняння прямої має кутовий коефіцієнт κ і що проходить через точку М (х 0, y 0) записується у вигляді
y - y 0 = κ (x - x 0).
Маємо
y - 4 = -2 / 3 (x - 1)
3y - 12 =-2x + 2
2х + 3y - 14 = 0.
Відповідь: 2х + 3y - 14 = 0 - рівняння шуканої прямої.
13 (3А2.РП). Знайдіть координати проекції точки М (3,6) на пряму х + 2y - 10 = 0.
Рішення:
Нехай N - проекція точки М на дану пряму.
Складемо рівняння прямої MN кутовий коефіцієнт заданої прямої х + 2y - 10 = 0 дорівнює κ 1 = -1 / 2, тоді кутовий коефіцієнт прямої MN дорівнює κ 2 = 2.
Тоді рівняння MN має вигляд y - y 0 = 2 (x - x 0).
Для визначення координат точки N вирішимо систему рівнянь
y - y 0 = 2 (x - x 0), x 0 = 3, y 0 = 6.
y - 6 = 2 (x - 3)-2х + y = 0
4y = 20
y = 4
2х = y
х = Ѕ y
х = Ѕ * 4 = 2
х = 2.
y x +2 y -10 = 0 6 M 4 N 1 0 2 березня 1910 x |
Відповідь: координати проекції точки М (3,6) на пряму х + 2y - 10 = 0 N (2,4).
14 (103.БЛ). Запишіть загальне рівняння площини, походящей через три задані точки M 1 (-6,1, -5), M 2 (7, -2, -1), M 3 (10, -7,1).
Рішення:
Рівняння площини, що проходить через 3 точки має вигляд
x2-x1 y2-y1 z2-z1 = 0
x3-x1 y3-y1 z3-z1
7 +6 -2-1 -1 +5 = 0
10 +6 -7-1 1-5
13 -3 4 = 0
16 -8 -4
-8 -4 16 -4 16 -8
+ (Z + 5) * (-104 +48) = 0
(X -6) * 44 - (y - 1) * (-116) + (z + 5) * (-56) = 0
11 * (x -6) + 29 * (y - 1) - 14 * (z + 5) = 0
11x - 66 + 29y - 29 - 14z - 70 = 0
11x + 29y - 14z - 165 = 0.
Відповідь: загальне рівняння площини 11x + 29y - 14z - 165 = 0.
15.Дана крива 4x2 - y2 - 24x + 4y + 28 = 0.
8.1.Докажіте, що ця крива - гіпербола.
8.2 (325.Б7). Знайдіть координати її центра симетрії.
8.3 (Д06.РП). Знайдіть дійсну і уявну півосі.
8.4 (267.БЛ). Запишіть рівняння фокальній осі.
8.5. Побудуйте дану гіперболу.
Рішення:
Виділимо повні квадрати
4 (x2 - 6x + 9) - 36 - (y2 - 4y + 4) + 4 + 28 = 0
4 (x - 3) 2 - (y - 2) 2 - 4 = 0
4 (x - 3) 2 - (y - 2) 2 = 4
((X - 3) 2 / 1) - ((y - 2) 2 / 4) = 1
Покладемо x 1 = x - 3, y 1 = y - 2, тоді x 1 2 / 1 - y 1 2 / 4 = 1.
Дана крива є гіперболою.
Визначимо її центр
x 1 = x - 3 = 0, x = 3
y 1 = y - 2 = 0, y = 2
(3, 2) - центр.
Дійсна піввісь a = 1.
Уявна піввісь b = 2.
Рівняння асимптот гіперболи
y 1 = ± b / ax 1
(Y - 2) = (± 2 / 1) * (x - 3)
y -2 = 2x - 6 і y - 2 = -2 (x - 8)
2x - y - 4 = 0 2x + 2y - 8 = 0
x + y - 4 = 0.
Визначимо фокуси гіперболи
F 1 (-c; 0), F 2 (c; 0)
c2 = a2 + b2; c2 = 1 + 4 = 5
c = ± √ 5
F 1 (- √ 5; 0), F 2 (√ 5; 0).
F 1 '(3 - √ 5; 2), F 2' (3 + √ 5; 2).
Рівняння F 1 'F 2' (x - 3 + √ 5) / (3 + √ 5 - 3 + √ 5) = (y - 2) / (2 - 2); y = 2
y 2 * * 0 x -1 1 -2 |
Відповідь: (3, 2), дійсна піввісь a = 1, уявна піввісь b = 2, (x - 3 + √ 5) / (3 + √ 5 - 3 + √ 5) = (y - 2) / (2 - 2); y = 2.
16.Дана крива y2 + 6x + 6y + 15 = 0.
16.1.Докажіте, що ця крива - гіпербола.
16.2 (058.РП). Знайдіть координати її вершини.
16.3 (2П9). Знайдіть значення її параметра p.
16.4 (289.РП). Запишіть рівняння її осі симетрії.
16.5.Постройте дану параболу.
Рішення:
Виділимо повний квадрат при змінної y
(Y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0
(Y + 3) 2 = - 6 (x + 1).
Покладемо y 1 = y + 3, x 1 = x + 1.
Отримаємо
y 1 лютого = ± 6x 1.
Це рівняння параболи виду y2 = 2px, де p = -3.
Ця крива є гіперболою.
Так як p <0, то гілки параболи в негативну сторону. Координати вершини параболи y + 3 = 0 x + 1 = 0
y = -3 x = -1
(-1; -3) - Вершина параболи.
Рівняння осі симетрії y = -3.
y -7 -3 -1 1 0 x -3 -9 |
Відповідь: (-1; -3) - вершина параболи, p = -3, рівняння осі симетрії y = -3.