ЗАВДАННЯ 1. Обчислити границі функцій а)-д):
а) 1. .
► = = .
2. .
► .= = = = 0.
3. ..
► .= = = =- ∞.
б) .
Рішення. = =
= =
= = =
Межа обчислений підстановкою
Межа не може бути обчислений підстановкою , Оскільки в результаті підстановки виходить невизначеність .
в) .
Аналіз завдання. Підстановка числа 2 замість показує, що межі чисельника і знаменника дорівнюють нулю. Отже, нам буде потрібно розкрити невизначеність . Для цього можна або провести тотожні перетворення виразу , Або застосувати правило Лопіталя.
Рішення. Вираз є зв'язаним по відношенню до вираження , А вираз - По відношенню до . Множачи чисельник і знаменник дробу на твір сполучених виразів ( ) · ( ), І використовуючи формулу різниці квадратів , Отримуємо
Інше рішення задачі. Скористаємося правилом Лопіталя
Аналіз завдання. У даному випадку, безпосереднє застосування теореми про межі приватного неможливого, оскільки, як показує підстановка числа. -3 Замість x і межа чисельника і межа знаменники рівні кулю.
і
Таким чином, розглянутий межа являє собою невизначеність виду і для виконання завдання потрібно провести тотожні перетворення виразу, що знаходиться під знаком межі.
Рішення. Розкладемо чисельник і знаменник на множники, користуючись наступною теоремою: якщо - Корені квадратного тричлена , То ,
= Вирішуємо квадратне рівняння, знаходячи його дискримінант D.
Звідси,
Аналогічно,
Тому,
Перетворимо вираз знаходяться під знаком межі:
= =
=
Інше рішення задачі. Оскільки межі чисельника і знаменника при
Дорівнюють нулю, застосовне правило Лопіталя.
д)
Аналіз завдання. Підстановка числа 0 замість x показує, що межі чисельника і знаменника при дорівнюють нулю. Тому, має місце невизначеність .
Для того, щоб розкрити невизначеність можна або провести тотожні перетворення виразу, або застосувати правило Лопіталя.
Рішення. Зробимо заміну невідомою при цьому
Так як при то
Використовуємо тепер тригонометричну формулу
Інше рішення. Скористаємося знову правилом Лопіталя
а) 1.
►
2.
►
3.
►
б)
Рішення.
Межа
Межа
в)
Аналіз завдання. Підстановка числа 2 замість
Рішення. Вираз
Інше рішення задачі. Скористаємося правилом Лопіталя
|
Аналіз завдання. У даному випадку, безпосереднє застосування теореми про межі приватного неможливого, оскільки, як показує підстановка числа. -3 Замість x і межа чисельника і межа знаменники рівні кулю.
Таким чином, розглянутий межа являє собою невизначеність виду
Рішення. Розкладемо чисельник і знаменник на множники, користуючись наступною теоремою: якщо
=
Звідси,
Аналогічно,
Тому,
Перетворимо вираз знаходяться під знаком межі:
=
Інше рішення задачі. Оскільки межі чисельника і знаменника при
Дорівнюють нулю, застосовне правило Лопіталя.
|
д)
Аналіз завдання. Підстановка числа 0 замість x показує, що межі чисельника і знаменника при
Для того, щоб розкрити невизначеність можна або провести тотожні перетворення виразу, або застосувати правило Лопіталя.
Рішення. Зробимо заміну невідомою
Так як
Використовуємо тепер тригонометричну формулу
Інше рішення. Скористаємося знову правилом Лопіталя
|
ЗАВДАННЯ 2. Обчислити похідні функцій а) - в):
а) Обчислити похідну функції
► ◄
б) Обчислити похідну функції
1. .
►
◄
в) Обчислити похідну функції
.
► . ◄
2. .
►
. ◄
3.
►
. ◄
а) Обчислити похідну функції
►
б) Обчислити похідну функції
1.
►
в) Обчислити похідну функції
►
2.
►
3.
►
ЗАВДАННЯ 3. Дослідити функцію і побудувати графік
Дослідити функцію і побудувати її графік.
► Досліджуємо дану функцію.
1. Областю визначення функції є безліч .
2. Ордината точки графіка .
3. Точки перетину графіка даної функції з осями координат:
4. Легко знаходимо, що
.
Знаходимо похилі асимптоти:
Таким чином, існує єдина похила асимптота
5. Досліджуємо функцію на зростання, спадання, локальний екстремум: '
y = 2 (х + 3) (x-4) - (x + 3) 2 _ 2x 2 - 2x - 24 - х 2 - 6х - 9 =
(Х-4) 2 (x-4) 2
= .
З у '= 0 належить х р - 8х - 33 = 0, звідки = 11, х 2 = - 3. В інтервалі (- ∞; - 3) y '> 0, отже, функція зростає в цьому інтервалі; в (-3; 4) y' <0, тобто функція спадає. Тому функція в точці х = -3 має локальний максимум: у (-3) = 0. В інтервалі (4; 11)
в '<0, отже, функція спадає на цьому інтервалі; в (11; + ∞) у'> 0, тобто функції зростає. У точці = 11 маємо локальний мінімум: y (ll) = 28.
6. Досліджуємо графік функції на опуклість, увігнутість і визначимо точки перегину. Для цього знайдемо
=
= = .
Очевидно, що в інтервалі (- ∞; 4) y "<0, і в цьому інтервалі крива опукла; в (4; + ∞)
у "> 0, тобто в цьому інтервалі крива ввігнута. Так як при х = 4 функція не визначена, то точка перегину відсутня.
7. Графік функції зображено на рис. 0.17
Дослідити функцію
► Досліджуємо дану функцію.
1. Областю визначення функції є безліч
2. Ордината точки графіка
3. Точки перетину графіка даної функції з осями координат:
4. Легко знаходимо, що
Знаходимо похилі асимптоти:
Таким чином, існує єдина похила асимптота
5. Досліджуємо функцію на зростання, спадання, локальний екстремум: '
y = 2 (х + 3) (x-4) - (x + 3) 2 _ 2x 2 - 2x - 24 - х 2 - 6х - 9 =
(Х-4) 2 (x-4) 2
=
З у '= 0 належить х р - 8х - 33 = 0, звідки
в '<0, отже, функція спадає на цьому інтервалі; в (11; + ∞) у'> 0, тобто функції зростає. У точці
6. Досліджуємо графік функції на опуклість, увігнутість і визначимо точки перегину. Для цього знайдемо
=
Очевидно, що в інтервалі (- ∞; 4) y "<0, і в цьому інтервалі крива опукла; в (4; + ∞)
у "> 0, тобто в цьому інтервалі крива ввігнута. Так як при х = 4 функція не визначена, то точка перегину відсутня.
7. Графік функції зображено на рис. 0.17
ЗАВДАННЯ 4. Обчислити невизначені інтеграли а) - в)
а)
1.
► ◄
2.
►
◄
3.
►
. ◄
4.
►
. ◄
б) .
Рішення. Рішення даного завдання на формулі інтегрування частинами:
У цій формулі приймаємо за
За формулою знаходимо виробничу другий співмножники :
Підставляючи знайдені у формулу інтегрування по частинах отримуємо:
в) )
Рішення. Так як корінням знаменника є , То за формулою , Знаменник розкладаються на множники
.
Підставимо дріб у вигляді такої суми:
,
і знайдемо коефіцієнти А і В. Наведемо дробу в правій рівності частини до спільного знаменника:
Прирівнявши числители, отримаємо
(2) .
Підставивши останнім рівність , Знаходимо, що
Підставляючи в рівність (2), знаходимо, що
Таким чином, .
Отже,
Тут ми скористаємося формулою (1)
а)
1.
►
2.
►
3.
►
4.
►
б)
Рішення. Рішення даного завдання на формулі інтегрування частинами:
У цій формулі приймаємо за
Підставляючи знайдені
в)
Рішення. Так як корінням знаменника є
Підставимо дріб у вигляді такої суми:
і знайдемо коефіцієнти А і В. Наведемо дробу в правій рівності частини до спільного знаменника:
Прирівнявши числители, отримаємо
(2)
Підставивши останнім рівність
Підставляючи
Таким чином,
Отже,
Тут ми скористаємося формулою (1)
ЗАДАЧА 5. Обчисліть площу фігури, обмеженої графіками функцій . Зобразіть цю фігуру на координатній площині.
Рішення. Графіком функції є парабола, гілки якої спрямовані вгору. Обчислюємо похідну функції і знаходимо координати вершини параболи С:
Рис. до завдання 5
Знайдемо точки перетину графіків функції: .
Зауважимо, що Графіком функції є пряма, яку можна побудувати за двома точками .
Нехай площа фігури , Обмеженої графіками функцій. Так як
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Диференціальне рівняння виду
(3)
де - Задані функції називаються диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
Для рішення рівняння такого виду необхідно зробити наступне:
1). Розділити змінні, тобто Перетворити рівняння до виду
(4) .
2). Проінтегрувати обидві частини рівняння (4)
(5)
де первообразная функції первообразная функції довільна постійна.
3). Дозволити, якщо це можливо, рівняння (5) щодо y (і знайти область визначення рішення):
4). Додати до вирішення (5) всі функції виду (Горизонтальні прямі), де число
один з коренів рівняння
Описаний метод рішення можна схематично представити у вигляді формули:
Рішення. Графіком функції
Знайдемо точки перетину графіків функції:
Зауважимо, що
Нехай
Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Диференціальне рівняння виду
(3)
де
Для рішення рівняння такого виду необхідно зробити наступне:
1). Розділити змінні, тобто Перетворити рівняння до виду
(4)
2). Проінтегрувати обидві частини рівняння (4)
(5)
де
3). Дозволити, якщо це можливо, рівняння (5) щодо y (і знайти область визначення рішення):
4). Додати до вирішення (5) всі функції виду
Описаний метод рішення можна схематично представити у вигляді формули:
ЗАДАЧА 6. Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння Побудувати графіки двох приватних рішень цього рівняння.
Рішення. 1). Перетворимо рівняння до виду
Рівність (У 2 + х 2) = С показує, що С> 0. Покладемо С = ∙ R 2, де R> 0 - інша довільна постійна. Тоді
у 2 + х 2 = R 2.
3). Дозволимо, попереднє рівняння відносно в і знайдемо область визначення рішення:
Рис. до задачі 6.
D (в) = > 0. Графіки рішень - дуги концентричних кіл довільного радіуса з центром у початку координат (див. мал.).
4). У даному випадку, рівняння не має рішень. Тому рішень виду
y = а немає.
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Рівняння виду
(7) у "+ by '+ су = 0,
де b і с - деякі числа, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Загальне рішення цього рівняння в залежності від знаку дискриминанта
характеристичного рівняння
. (8) k 2 + bk + c = 0
мають такий вигляд:
A) якщо D> 0, де k = α, к = β - два різних дійсних корені (α ≠ β) характеристичного рівняння (8);
Б) , Якщо D = О,
де α-єдиний корінь характеристичного рівняння;
B) якщо D <О,
де
Загальне рішення лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами
(9)
є сумою деякого його приватного рішення і спільного рішення
. однорідного рівняння (7), т. е.
Многочлен називають характеристичним многочленом диференціального рівняння (7).
У тих випадках, коли являє собою многочлен, функцію
, Приватне рішення вдається знайти підбором за допомогою наступної таблиці.
1. :
2. якщо
3.
Рішення. 1). Перетворимо рівняння до виду
у 2 + х 2 = R 2.
Рис. до задачі 6.
D (в) =
4). У даному випадку, рівняння
y = а немає.
Лінійні диференціальні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Рівняння виду
(7) у "+ by '+ су = 0,
де b і с - деякі числа, називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку з постійними коефіцієнтами. Загальне рішення
. (8) k 2 + bk + c = 0
мають такий вигляд:
A)
Б)
де α-єдиний корінь характеристичного рівняння;
B)
де
Загальне рішення
(9)
є сумою деякого його приватного рішення
Многочлен
У тих випадках, коли
1.
коріння характеристичного многочлена | приватне рішення |
перша частина | приватне рішення |
Завдання 7. Знайти приватне рішення диференціального рівняння задовольняє початковим умовам в (0) = 1, у '(0) = 2.
Рішення. 1). Характеристичного рівняння:
Так як D = - 16, використовуємо формулу В):
Загальне рішення однорідного рівняння:
2). Так як права частина многочлен другого ступеня, приватне рішення неоднорідного рівняння будемо шукати у вигляді многочлена 2-го ступеня з невизначеними коефіцієнтами:
Підставляючи у = у даний в задачі рівняння, отримуємо:
Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, знаходимо:
Звідси тому загальне рішення неоднорідного рівняння має вигляд
3). Знаходимо приватне рішення, що задовольняє початковим умовам, даними в задачі:
Нагадаємо, що число n! (Читається «Ен-факторіал») - це добуток натуральних чисел від одиниці до :
! =
При обчисленнях з факторіалом видається важливим таке міркування:
і т.д.
Ознака Даламбера. Якщо існує межа
Те числовий ряд сходиться при і розходиться при
Рішення. 1). Характеристичного рівняння:
Так як D = - 16, використовуємо формулу В):
2). Так як права частина
Підставляючи у =
Порівнюючи коефіцієнти при однакових ступенях х, знаходимо:
Звідси
3). Знаходимо приватне рішення, що задовольняє початковим умовам, даними в задачі:
|
Нагадаємо, що число n! (Читається «Ен-факторіал») - це добуток натуральних чисел від одиниці до
При обчисленнях з факторіалом видається важливим таке міркування:
Ознака Даламбера. Якщо існує межа
Те числовий ряд
ЗАДАЧА 8. Дослідити збіжність ряду
Рішення: .
Обчислюємо межа
Рішення:
Обчислюємо межа
Таблиці і формули.
1. Похідні основних елементарних функцій
1). Похідна константи дорівнює нулю:
2). де а - будь-яка не рівне нулю дійсне число. Зокрема,
3). Показова і логарифмічна функції.
2. Похідні деяких складних функцій:
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
3.Правила диференціювання:
Константи можна виносити за знак похідної:
Похідна суми дорівнює сумі похідних:
Нехай складна функція, і
Тоді:
9. Інтегрування, також як і операція диференціювання, операція обчислення меж, є лінійною; тобто, константи можна виносити за знак інтеграла, і інтеграл суми функцій дорівнює сумі інтегралів. Лінійність операції інтегрування можна виразити формулою:
1. Похідні основних елементарних функцій
1). Похідна константи дорівнює нулю:
2).
3). Показова і логарифмічна функції.
4) Тригонометричні функції | |
5) Зворотні тригонометричні функції | |
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
3.Правила диференціювання:
Константи можна виносити за знак похідної:
Похідна суми дорівнює сумі похідних:
Нехай
Тоді:
9. Інтегрування, також як і операція диференціювання, операція обчислення меж, є лінійною; тобто, константи можна виносити за знак інтеграла, і інтеграл суми функцій дорівнює сумі інтегралів. Лінійність операції інтегрування можна виразити формулою:
10. Таблиця основних невизначених інтегралів:
11). при
11. Заміна змінних (метод підстановки):
Якщо Ця формула дозволяє інтегрувати твори, одним із співмножників яких служить складна функція
12. Інтегрування по частинах:
13. Інтегрування найпростіших дробів:
14. Якщо F (x) - первообразная, що обчислюється як невизначений інтеграл з С = 0.
11).
11. Заміна змінних (метод підстановки):
Якщо
12. Інтегрування по частинах:
13. Інтегрування найпростіших дробів:
14. Якщо F (x) - первообразная, що обчислюється як невизначений інтеграл з С = 0.