Випадкова подія і його ймовірність

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Міністерство освіти Російської Федерації
Марійський державний технічний університет

Випадкова подія і його ймовірність

Реферат з дисципліни «Математика».
Виконав:
Перевірив:
Йошкар-Ола
2004 рік.
ЗМІСТ:
1. Введення ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .3 с.
2. Випадкова подія і його ймовірність ... ... ... ... ... ... .... 4с.-8с.
3. Теорема додавання ймовірностей ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. 9с.-12с.
4. Закон рівномірної щільності ймовірності ... ... ... ... .. 12с.-14с.
5. Випадкові величини ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...... 14-15с.
6. Функція розподілу і її властивості ... ... ... ... ... ... ... 16с.-18с.
ВСТУП
Випадок, випадковість - з ними ми зустрічаємося повсякденно: випадкова зустріч, випадкова поломка, випадкова знахідки, випадкова помилка. Цей ряд можна продовжувати нескінченно. Здавалося б, тут років місця для математики-які вже закони в царстві Випадку! Але і тут наука виявила цікаві закономірності-вони дозволяють людині впевнено відчувати себе при зустріч з випадковими подіями.
Як наука теорія ймовірності зародилася в 17в. Виникнення поняття ймовірності було пов'язано як з потребами страхування, що отримав значного поширення в ту епоху, коли помітно зростали торговельні зв'язки і морські подорожі, так і у зв'язку із запитами азартних ігор. Слово «азарт», під яким зазвичай розуміється сильне захоплення, захоплення, є транскрипцією французького слова hazard, що буквально означає «випадок», «ризик». Азартними називають ті ігри, а яких виграш залежить головним чином не від уміння гравця, а від випадковості. Схема азартних ігор була дуже проста і могла бути піддана всебічному логічному аналізу. Перші спроби цього роду пов'язані з іменами відомих учених-алгебраїста Джероламо Кардано (1501 - 1576) і Галілео Галілея (1564-1642). Однак честь відкриття цієї теорії, яка не тільки дає можливість порівнювати випадкові величини, але і проводити певні математичні операції з ними, належить двом видатними вченим-Блезу Паскалю (1623-1662) і П'єру Ферма. Ще в давнину було помічено, що є явища, які володіють особливістю: при малому числі спостережень над ними не спостерігається ніякої правильності, але в міру збільшення числа спостережень все ясніше проявляється певна закономірність.
1. ВИПАДКОВЕ ПОДІЯ. ЙОГО ЙМОВІРНІСТЬ.
Будь-яка наука, яка розвиває загальну теорію якого-небудь кола явищ, містить ряд основних понять, на яких вона базується. Такі, наприклад, в геометрії поняття точки, прямої, лінії; в механіці - поняття сили, маси швидкості, прискорення. Природно, що не всі основні поняття можуть бути повністю визначені, бо "визначити" поняття
- Це означає звести його до інших, більш відомим. Очевидно, процес визначення одних понять через інші повинен десь кінчатися, дійшовши до самих первинних понять, до яких зводяться всі інші і які самі не визначаються, а тільки пояснюються. Такі поняття існують і в теорії ймовірностей. Тут ми розглянемо деякі з них.
Під досвідом (експериментом, випробуванням) ми будемо розуміти деяку відтворну сукупність умов, в яких спостерігається те чи інше явище, фіксується той чи інший результат. Зауважимо, що "досвід" не обов'язково повинен бути поставлений людиною, він може протікати незалежно від нього; при цьому людина виступає в ролі спостерігача або фіксатора відбувається. від нього залежить тільки рішення: що саме спостерігати і які явища фіксувати.
Якщо результат досвіду варіюється при його повторенні, говорять про досвід з випадковим результатом. Саме такі досліди ми будемо тут розглядати і додавання "з випадковим результатом" для стислості опускати. Той факт, що при повторенні досвіду його основні умови зберігаються, і, значить, ми вправі очікувати стійкості частот, теж не буде щоразу обумовлювати.
Випадковим подією (або, коротше, просто подією) називається будь-факт, який в досвіді з випадковим результатом може відбутися або не відбутися. Події ми будемо позначати великими літерами латинського алфавіту.
Розглянемо кілька прикладів подій. 1. Досвід - кидання монети; подія A - поява герба. 2. Досвід - кидання трьох монет; подія B - поява трьох гербів. 3. Досвід передача групи з n сигналів; подія C - спотворення хоча б одного з них. 4. Досвід - постріл по мішені; подія D - влучання. 5. Досвід - виймання навмання однієї карти з колоди; подія Е - поява туза. 6. Той же досвід, що в прикладі 5; подія F - поява карти червонною масті.
Розглядаючи перелічені в наших прикладах події A, B, C, бачимо, що кожне з них володіє певним відтінком можливості - одні більшою, а інші меншою, причому для деяких з них ми відразу можемо вирішити, яке з них більше, а яке менше можливо. Наприклад подія A більш можливо (ймовірно), ніж B, а подія F більш можливо, ніж
Є. Будь випадкова подія має якусь ступенем можливості, яку в принципі можна виміряти чисельно. Щоб порівнювати події за ступенем їх можливості, потрібно зв'язати з кожним з них якесь число, яке тим більше, чим більше можливість події. Це число ми і назвемо ймовірністю події.
Відзначимо, що порівнюючи між собою за ступенем можливості різні події, ми схильні вважати більш ймовірними ті події, які відбуваються частіше, менш ймовірними
- Ті, які відбуваються рідше; малоймовірними - ті, які взагалі не відбуваються. Наприклад, подія "випадання дощу в Москві 1-го червня майбутнього року" більш імовірно, ніж "випадання снігу в Москві той же день", а подія "землетрусу в Москві, що перевищує за інтенсивністю 3 бали, протягом майбутнього року" вкрай мало ймовірно (хоча таке землетрус і спостерігалося в 1977 р., і статистика говорить, що подібні події відбуваються раз на 100 років). Таким чином, поняття ймовірності події з самого початку тісно пов'язується з поняттям його частоти.
Характеризуючи ймовірності подій числами, потрібно встановити якусь одиницю виміру. В якості такої одиниці природно взяти ймовірність достовірної події, тобто такої події, яке в результаті досвіду неминуче має статися. Приклад достовірної події - випадання не більше шести очок при киданні гральної кістки. Інший приклад достовірного події: "камінь, кинутий вгору рукою повернеться на Землю, а не стане її штучним супутником".
Протилежністю достовірної події є неможлива подія - те, яке в даному досвіді взагалі не може відбутися. Приклад: "випадання 12 очок при киданні однієї гральної кістки".
Якщо приписати достовірного події ймовірність, рівну одиниці, а неможливого - рівну нулю, то всі інші події - можливі, але не достовірні будуть характеризуватися ймовірностями, що лежать між нулем і одиницею, складовими якусь частку одиниці.
Таким чином, встановлені одиниця вимірювання ймовірності - ймовірність достовірної події і діапазон ймовірностей - числа від нуля до одиниці.
Яке б подія A ми б не взяли, його ймовірність P (A) задовольняє умові:
0 <P (A) <1.
Дуже велику роль у застосуванні імовірнісних методів грають практично достовірні і практично неможливі події.
Подія A називається практично неможливим, якщо його ймовірність не в точності дорівнює нулю, але дуже близька до нуля:
P (A) 0 Приклад.
Досвід: 32 літери розрізної абетки змішали між собою; навмання виймається одна картка, що стоїть на ній буква записується, картка повертається назад і змішується з іншими. Такий досвід виробляється 25 разів. Подія A полягає в тому, що після 25 виймання ми запишемо перший рядок "Євгенія Онєгіна":
"Мій дядько самих чесних правил". Подія A не є фізично неможливим, але ймовірність його настільки мала, що подія з такою ймовірністю можна сміливо вважати практично неможливим.
Аналогічно, практично достовірним є подія, ймовірність якої не в точності дорівнює одиниці, але дуже близька до одиниці:
P (A) 1.
Введемо нове важливе поняття: противопол ж ве подія. Протилежним події А називається подія А, що складається в непоявленія події А.
Приклад. Досвід: Один постріл по мішені. З обитіе А - потрапляння в десятку. Протилежне подія А - непотрапляння в десятку.
Повернемося до практично неможливим і практично достовірним подіям. Якщо якась подія А пра до тично неможливо, то протилежне йому подія А практично вірогідно і навпаки.
Практично неможливі (і супутні їм практично достовірні) події відіграють велику роль в теорії ймовірностей: на них грунтується вся її пізнавальна цінність. Ні один прогноз в області випадкових явищ не є і не може бути повністю достовірним, він може бути тільки практично достовірним, тобто здійснюватися з дуже великою ймовірністю.
В основі застосування усіх висновків і рекомендацій, що добуваються з допомогою теорії ймовірностей, лежить принцип практичної впевненості, який можна сформулювати наступним чином:
Якщо ймовірність події А в даному досвіді досить мала, то (при одноразовому виконанні досвіду) можна вести себе так, як ніби подія А взагалі неможливо, тобто не розраховувати на його появу.
У повсякденному житті ми постійно (хоч і несвідомо) користуємося цим при принципом. Наприклад виїжджаючи кудись на таксі, ми не розраховуємо на можливість загинути в дорожній катастрофі, хоча деяка (дуже мала) ймовірність цієї події все-таки є. Вирушаючи влітку на Кавказ або до Криму, ми не захоплюємо з собою зимового верхнього одягу, хоча якась (дуже мала) ймовірність того, що нас наздожене мороз, все-таки не дорівнює нулю.
Переходимо до самого тонкого і важкого питання: наскільки мала повинна бути ймовірність події, щоб його можна було вважати практично неможливим?
Відповідь на питання виходить за рамки математичної теорії і в кожному окремому випадку вирішується з практичних міркувань, відповідно до тієї важливістю, яку має бажаний для нас результат досвіду. Чим небезпечніше для нас можлива помилка передбачення, тим ближче до нуля повинна бути ймовірність події, щоб його вважати практично неможливим.
Існує клас дослідів, для яких ймовірності їх можливих результатів можна обчислити, виходячи безпосередньо з самих умов досвіду. Для цього потрібно, щоб різні результати досвіду мали симетрією і в силу цього були об'єктивно однаково можливими.
Розглянемо, наприклад, досвід, що складається в киданні гральної кістки. Якщо кубик виконаний симетрично, "правильно" (центр ваги не усунутий ні до однієї з граней), природно припустити, що будь-яка з граней буде випадати так само часто, як кожна з інших. Так як достовірне подія "випадає якась із граней" має ймовірність, рівну одиниці, і розпадається на шість однаково рівних варіантів (1, 2, 3, 4, 5 або 6 очок), то природно приписати кожному з них ймовірність, рівну 1 / 6.
Для будь-якого досвіду, що володіє симетрією можливих результатів, можна застосувати аналогічний прийом, який називається безпосереднім підрахунком ймовірностей.
Перед тим як дати спосіб безпосереднього підрахунку ймовірностей, введемо деякі допоміжні поняття.
Кажуть, що кілька подій у даному досвіді утворюють повну групу, якщо в результаті досвіду неминуче повинно з'явитися хоча б одна з них.
Приклади подій, що утворюють повну групу:
1) Поява "1", "2", "3", "4", "5", "6" очок при киданні гральної кістки;
2) Два влучення, два промахи і одне влучення, один промах при двох пострілах по мішені.
Кілька подій у даному досвіді називаються несумісними якщо ніякі дві з них не можуть з'явитися разом. Приклади несумісних подій:
1) Випадання герба і випадання решки при киданні монети;
2) Два попадання і два промахи при двох пострілах;
3) Випадання двох, випадання трьох і випадання п'яти очок при одноразовому киданні гральної кістки. Кілька подій називаються рівноможливими, якщо за
умовам симетрії є підстава вважати, що жодне з них не є більш об'єктивно можливим ніж інше.
Зауважимо, що рівноможливими події не можуть проявлятися інакше, ніж у дослідах, які мають симетрією можливих результатів; наше незнання про те, яке з них найімовірніше, не є підстава для того, щоб вважати події рівноможливими.
Приклади равновозможних подій:
1) Випадання герба і випадання решки при киданні симетричною, "правильної монети";
2) Поява карти "червоної", "бубновою", "трефової" або "пікової" масті при вийманні карти з колоди.
З дослідами, що володіють симетрією результатів, зв'язуються особливі групи подій: вони утворюють повну групу, несумісні і рівноможливими.
Події, що утворюють таку групу, називаються випадками. Приклади випадків:
1) Поява герба і решки при киданні монети;
2) Поява "1", "2", "3", "4", "5" і "6" очок при киданні гральної кістки.
Якщо досвід має симетрією можливих результатів, то випадки представляють собою набір його равновозможних і виключають один одного випадків. Про такий випадок кажуть, що він зводиться до схеми випадків. Для таких дослідів можливий безпосередній підрахунок ймовірностей, заснований на підрахунку частки так званих сприятливих випадків у загальному їх числі.
Випадок називається сприятливим (або "сприятливим") події A, якщо поява цього випадку тягне за собою появу даної події.
Якщо досвід зводиться до схеми випадків, то ймовірність події A в даному досвіді можна обчислити як частку сприятливих випадків у загальному їх числі:
P (A) = m / n,
де m - число випадків, сприятливих події A; n - загальна
кількість випадків.
Дана формула, так звана "класична формула" для обчислення ймовірностей, запропонована ще в XVII столітті, коли головним полем застосування теорії ймовірностей були азартні ігри (у яких симетрія можливих
результатів забезпечується спеціальними заходами), довгий час (аж до XIX століття) фігурувала в літературі як "визначення ймовірності"; ті завдання, в яких схема випадків відсутня, штучними прийомами зводилися до неї. В даний час формального визначення ймовірності не дається, тому що це поняття вважається первинним і не визначається.
На даний час для обчислення ймовірностей застосовується закон розподілу Пуассона.
Розподілом Пуасона описуються:
а) показання лічильника, що знімаються через кожен інтервал часу Т;
б) число зареєстрованих подій.
Розподіл Пуассона відіграє велику роль у практичному застосуванні теорії ймовірностей: багато фізичні явища призводять саме до такого розподілу ймовірностей.
 
2. ТЕОРЕМА СКЛАДАННЯ ЙМОВІРНОСТЕЙ
Безпосередній підрахунок випадків, що сприяють даної події, може виявитися скрутним. Тому для визначення ймовірності події буває вигідно представити дану подію у вигляді комбінації деяких інших, більш простих подій. Наведемо теореми, за допомогою яких можна по ймовірностями одних випадкових подій обчислювати ймовірності інших випадкових подій, будь - яким чином пов'язаних з першими. Почнемо з теорем, які утворюють групу із загальною назвою «теореми складання».
Теорема 1. Нехай А і В - два несумісних події. Тоді ймовірність того, що здійсниться хоча б одне з цих двох подій, дорівнює сумі їх імовірностей: P (A U B) = P (A) + P (B).
Доказ.
Позначимо результати, сприятливі для події А, через а 1, а 2, ..., а m , А для події В - через b 1, b 2, ..., b n. Ймовірності цих фіналів позначимо відповідно через p 1, p 2, ..., p m і q 1, q 2, ..., q n. Тоді події A U B сприятливі всі результати a 1, a 2, ..., a m, b 1, b 2, ..., b n . У силу того що події А і В несумісні, серед цих результатів немає повторюваних. Тому ймовірність події А U B дорівнює сумі ймовірностей цих результатів. тобто
P (A U B) = p 1 + p 2 + ... + p m + q 1 + q 2 + ... + q n.
Але p 1 + p 2 + pm = P (A), q 1 + q 2 + q n = P (B), а тому
P (A U B) = P (A) + P (B).
Теорема доведена.
Приклад 1. Стрілець стріляє в мішень. Імовірність вибити 10 очок дорівнює 0,3, а ймовірність вибити 9 очок дорівнює 0,6. Чому дорівнює ймовірність вибити щонайменше 9 очок?
Рішення. Подія А «вибити щонайменше 9 очок» є об'єднанням подій В - «вибити 10 очок» і С - "вибити 9 очок». При цьому події В і С несумісні, тому що не можна одним пострілом вибити відразу і 9, і 10 очок.
Тому за теоремою 1 маємо:
P (A) = P (B) + P (C) = 0,3 +0,6 = 0.9.
Якщо події А 1, А 2, ..., А n попарно несумісні, то подія A 1 U ... U A n -1 несовместно з подією A n. У самому справі,
(A 1 U ... UA n-1) IA n = (A 1    A n) U ... U (A n-1    A n).
Але при s <n маємо A s    A n =  , і тому (A 1 U ... U An-1)    A n = . Користуючись цим зауваженням, отримуємо з теореми 1 наслідок:
Слідство. Якщо події А 1, ..., А n попарно несумісні, то ймовірність об'єднання цих подій дорівнює сумі їх імовірностей:
P (A 1 U ... UA n) = P (A 1) + ... + P (A n).
Доказ. Як було зазначено вище, події A1U ... UAn-1 і An несумісні, а тому за теоремою 1імеем:
P (A 1 U ... UA n-1 UA n) = P (A1U ... UAn-1) + P (An).
Застосовуючи це ж міркування до перших складових і продовжуючи далі, одержуємо після n-1 кроку, що
P (A 1 U ... UA n) = P (A 1) + ... + P (A n).
  Приклад 2. У цеху працює кілька верстатів. Імовірність того, що за зміну зажадає налагодження рівно один верстат, дорівнює 0,2. Імовірність того, що за зміну зажадають налагодження рівно два верстати, дорівнює 0,13. Імовірність того, що за зміну зажадають налагодження більше двох верстатів, дорівнює 0,07. Яка ймовірність того, що за зміну доведеться проводити наладку верстатів?
Рішення. У тому прикладі досвід полягає в тому, що пройшла зміна і відзначено, скільки верстатів за цю зміну зажадало наладки. У цьому досвіді події: А - «за зміну зажадав налагодження рівно один верстат», В - «за зміну зажадали налагодження рівно два верстати» і С - «за сіна зажадали налагодження більш двох верстатів» несумісні. Нас же цікавить ймовірність події A U B U C. По теоремі 1: P (A U B U C) = P (A) + P (B) + P (C) = 0,2 +0,13 +0,07 = 0,4.
Виведемо тепер зв'язок між імовірностями протилежних подій.
Теорема 2. Для будь-якої події А маємо: P (A *) = 1-P (A).
Для доказу згадаємо, що AUA *= U, P (U) = 1 і A   A *. Тоді за теоремою 1 отримуємо: 1 = P (U) = P (AUA *) = P (A) + P (A *), звідки слід необхідна формула.
Приклад 3. Береться навмання тризначне натуральне число від 100 до 999. Яка ймовірність того, що хоча б дві його цифри збігаються?
Рішення. Досвід тут полягає в тому, що навмання вибирається натуральне число від 100 до 999 і дивляться, чи є у негосовпадающіе цифри. Події «взяли навмання число N» (N = 100, 101, ..., 999) різновірогідні (у цьому сенс слова «навмання») і утворюють безліч випадків цього досвіду. Число випадків n = 900. Нас цікавить подія А - «у обраного числа збігаються хоча б дві цифри». Простіше, однак, підрахувати ймовірність протилежного події А * - «у обраного числа всі цифри різні». Кожне таке число є розміщення без повторень з 10 цифр по 3, що не має першим елементом нуль. Отже, m = (A 10) 3 - (A 9) 2 = 10. 9. 8-9. 8 = 9 2. 8 (з числа всіх Трьохелементний розміщень без повторень треба відняти число тих, у яких на першому місці стоїть нуль) і P (A *) = 9 2. 8 / 900 = 0,72. Тоді за
теоремі 2 P (A) = 1-P (A *) = 0,28.
Приклад 4. В урні, яка містить n куль білого, червоного і чорного кольору, знаходиться k білих куль і L червоних. Яка ймовірність вийняти куля не чорного кольору?
Рішення. Якщо подія А полягає у появі білого, а подія В - червоної кулі, то поява кулі не чорного кольору означає поява або білого, або червоної кулі. Так як щодо визначення ймовірності
P (A) = k / n, P (B) = L / n,
То по теоремі складання ймовірність появи кулі не чорного кольору дорівнює: P (AUB) = k / (n + L) / n = (k + L) / n.
Це завдання можна вирішити й так. Нехай подія З складається в появі чорного кулі. Число чорних куль одно n - (k + L), так що P (C) = (n-k-L) / n. 3
Поява кулі не чорного кольору є протилежним подією З *, тому на підставі зазначеного вище наслідки з теореми складання маємо: P (C *) = 1-P (C) = 1 - (n-k-L) / n = (k + L) / n, як і раніше.
Приклад 5. У грошово - речовий лотереї на серію в 1000 квитків припадає 120 грошових і 80 речових виграшів. Яка ймовірність будь - якого виграшу на один лотерейний квиток?
Рішення. Якщо позначити через А подія, яке у випаданні грошового виграшу, і через В - речового, то з визначення ймовірності слід P (A) = 120/1000 = 0,12; P (B) = 80/1000 = 0,08 . Цікавить нас подія представляє (AUB), тому з теореми складання випливає:
P (AUB) = P (A) + P (B) = 0,20.
Таким чином, ймовірність будь - якого виграшу дорівнює 0,2.
3. Закон рівномірної щільності ймовірності.
У деяких завданнях практики зустрічаються неперервні випадкові величини, про які заздалегідь відомо, що їх можливі значення лежать в межах деякого певного інтервалу; крім того, відомо, що в межах цього інтервалу всі значення випадкової величини однаково ймовірні (точніше, володіють однією й тією ж щільністю ймовірності). Про таких випадкових величинах говорять, що вони розподіляються за законом рівномірної щільності.
Дамо визначення: рівномірним називається розподіл неперервної випадкової величини Х всі значення якої лежать на відрізку [a; b] і мають при цьому постійну щільність розподілу:

площа під кривою розподілу дорівнює 1 і тому з (в-а) = 1

ймовірність попадання випадкової величини Х на інтервал від (α; β)

α = а, якщо α <а
β = в, якщо β> у
основні числові характеристики закону розподілу щільності обчислюються за загальними формулами і вони рівні

Наведемо приклади подібних випадкових величин:
Приклад 1. Вироблено зважування тіла на точних вагах, але в розпорядженні вісового є тільки важка вагою не менше 1г.; Результат зважування показує, що вага тіла укладений між k і (k +1 / 2) грамам. Допущена при цьому помилка X, очевидно, є випадкова величина, розподілена з рівномірною щільністю на ділянці р.
Приклад 2. Вертикально поставлене симетричне колесо (див. малюнок № 1) наводиться в обертання і потім зупиняється внаслідок тертя. Розглядається випадкова величина θ-кут, який після зупинки буде складати з горизонтом фіксований радіус колеса ОА. Очевидно величина θ розподілена з рівномірною щільністю на ділянці (0,2 π)

Отже, я розгляну випадкові величини і функції розподілу.
4. Випадкові величини
Визначення. Нехай - Довільне ймовірнісний простір.
Випадковою величиною називається вимірна функція , Що відображає в безліч дійсних чисел , Тобто функція, для якої прообраз будь-якого борелівської безлічі є також багато з -Алгебри .
Приклади випадкових величин. 1) Число випало на грані гральної кістки.
2) Розмір випускається деталі. 3) Відстань від початку координат до випадково кинутої в квадрат точки .
Безліч значень випадкової величини будемо позначати , А образ елементарної події - . Безліч значень може бути кінцевим, рахунковим або незліченною.
Визначимо -Алгебру на безлічі . У загальному випадку -Алгебра числового безлічі може бути утворена застосуванням кінцевого числа операцій об'єднання та перетину інтервалів або полуінтервалов виду ( ), В яких одне з чисел або може бути одно або .
В окремому випадку, коли - Дискретне (не більш ніж зліченна) безліч, -Алгебру утворюють будь-які підмножини множини , В тому числі і одноточкові.
Таким чином -Алгебру безлічі можна побудувати з множин або , Або .
Будемо називати подією будь-яка підмножина значень випадкової величини : . Прообраз цієї події позначимо . Ясно, що ; ; . Всі безлічі , Які можуть бути отримані як підмножини з безлічі , , Застосуванням кінцевого числа операцій об'єднання та перетину, утворюють систему подій. Визначивши безліч можливих значень випадкової величини - і виділивши систему подій , Побудуємо вимірний простір . Визначимо вірогідність на підмножинах (події) з таким чином, щоб вона була рівна ймовірності настання події, що є його прообразом: .
Тоді трійка назвемо імовірнісним простором випадкової величини , Де
- Безліч значень випадкової величини ; - -Алгебра числового безлічі ; - Функція ймовірності випадкової величини .
Якщо будь-якої події поставлено у відповідність , То говорять, що задано розподіл випадкової величини . Функція задається на таких подіях (базових), знаючи ймовірності яких можна обчислити ймовірність довільного події . Тоді подіями можуть бути події .
5. Функція розподілу і її властивості
Розглянемо ймовірнісний простір , Утворене випадковою величиною .
Визначення. Функцією розподілу випадкової величини називається функція дійсного змінного , Що визначає ймовірність того, що випадкова величина прийме в результаті реалізації експерименту значення, менше деякого фіксованого числа :
(1)
Там де зрозуміло, про яку випадковій величині , або йде мова, замість будемо писати . Якщо розглядати випадкову величину як випадкову точку на осі , То функція розподілу з геометричної точки зору це ймовірність того, що випадкова точка в результаті реалізації експерименту потрапить лівіше точки .
Очевидно що функція при будь-якому задовольняє нерівності . Функція розподілу випадкової величини має такі властивості:
2) Функція розподілу - неспадними функція , Тобто для будь-яких і , Таких що , Має місце нерівність .
Доказ. Нехай і і . Подія, що полягає в тому, що прийме значення, менше, ніж , представимо у вигляді об'єднання двох несумісних подій і : .
Тоді згідно аксіомі 3 Колмогорова, або за формулою (1)
, (2)
звідки , Так як . Властивість доведено.
Теорема. Для будь-яких і ймовірність нерівності обчислюється за формулою
(3)
Доказ. Справедливість формули (3) випливає із співвідношення (2). Таким чином, ймовірність попадання випадкової величини в полуінтервал дорівнює різниці значень функції розподілу обчислених на кінцях полуінтервала і .
2) ; .
Доказ. Нехай і - Дві монотонні числові послідовності, причому , при . Подія полягає в тому, що . Достовірне подія еквівалентно об'єднанню подій :
; .
Так як , То за властивості ймовірностей , Тобто .
Беручи до уваги визначення межі, отримуємо ;
3) Функція неперервна зліва в будь-якій точці ,
Доказ. Нехай - Будь-яка зростаюча послідовність чисел, що сходиться до . Тоді можна записати:
На підставі аксіоми 3
Так як ряд справа складається з позитивних чисел і сходиться до , То залишок ряду, починаючи з деякого номера , Буде менше , (Теорема про залишок ряду)
.
Використовуючи формулу (3), висловимо ймовірності подій через функцію розподілу. Отримаємо
,
звідки або , А це означає, що .
З розглянутих властивостей випливає, що кожна функція розподілу є 1) неубутною, 2) безперервної ліворуч і 3) задовольняє умові і . І, назад, кожна функція, що має властивості 1), 2), 3), може розглядатися як функція розподілу деякої випадкової величини.
Теорема. Імовірність того, що значення випадкової величини більше дійсного числа , Обчислюється за формулою .
Доказ. Достовірне подія представимо у вигляді об'єднання двох несумісних подій і . Тоді по 3-1 аксіомі Колмогорова або , Звідки слід шукана формула.
Визначення. Будемо говорити, що функція розподілу має при стрибок , Якщо , Де і межі ліворуч і праворуч функції розподілу в точці .
Теорема. Для кожного з простору випадкової величини має місце формула
Доказ. Прийнявши у формулі (3) , і перейшовши до межі при , , Відповідно до властивості 3), отримаємо шуканий результат. Можна показати, що функція може мати не більше ніж рахункове число стрибків. Дійсно функція розподілу може мати не більше одного стрибка , Стрибків - Не більше 3-х, стрибків не більше ніж . Іноді поведінка випадкової величини характеризується не завданням її функції розподілу, а яким-небудь іншим законом розподілу, але так, щоб можна було отримати з цього закону розподілу функцію розподілу .
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Реферат
66.9кб. | скачати


Схожі роботи:
Подія
Вплив обмінних взаємодій на ймовірність дезактивації тріпл
Вплив обмінних взаємодій на ймовірність дезактивації триплетних молекул акцепторів
Концепція здоров`я людини як запасу його міцності в умовах його
Концепція здоров`я людини як запасу його міцності в умовах його цивілізаційних перевантажень
Салтиков-Щедрін me - Гротеск його функції і значення в зображенні міста Глупова та його градоначальників
Банківський відсоток Його сутність і фактори його визначальні
Природа злочину його визначення Поняття про склад злочину його структура
Скалярний добуток двох векторів його властивості Векторний добуток його властивості Змішаний
© Усі права захищені
написати до нас