.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;. ;;.;;;);;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;;.;;. ;;.;;.;;.;;; Ãëàâà; ;;;;;;;;;;;;;;;;;; ;; ;; ;; ;; ;; ;; ;; ;; ;;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;; .;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;; .;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;);;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;; );;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;. ;;.;;; ;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;;.;;. ;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;. ;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;;.;;. ;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;.;;; Медико-біологічний ліцей м. Саратова.
Предмет: математика.
Визначник ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ У алгебри та геометрії.
Виконали: Дьомін Дмитро,
Грачов Денис учні 11 «б» класу МБЛ.
Керівник: Винник Ніна Дмитрівна
Учитель математики.
Саратов 2007
Зміст
Введення.
Визначники.
Визначення.
Приклад обчислення визначника другого порядку в загальному вигляді.
Властивості визначника.
Докази властивостей визначника.
Приклад застосування правила Крамера для розв'язання систем з n рівнянь з n невідомими.
Векторне твір.
Визначення.
Властивості векторного твори.
Докази властивостей векторного твір.
Змішане твір.
Векторний добуток векторів заданих проекціями.
Приклади рішення задач (з використанням визначників).
Висновок.
Список літератури.
Введення
В алгебрі існує широкий клас завдань, вирішення яких є громіздким і важким методами елементарної математики. Наприклад, рішення системи n лінійних рівнянь, з n невідомими методом Жордана - Гаусса вимагає тривалих обчислень і, як правило, часто веде до помилки.
Теорія визначників дозволяє вирішувати і досліджувати системи з малими витратами використовуючи правило Крамера, що розглядається в цій роботі.
(Цю частину роботи приготував учень 11 «б» класу Медико-біологічного ліцею Дьомін Дмитро).
При обчисленні площ, обсягів в просторі часто зручно користуватися векторним і змішаним творами векторів, обчислюючи визначник координат векторів, що представлено в роботі.
(Цю частину роботи приготував учень 11 «б» класу Грачов Денис).
Глава 1. Визначники
Визначення
Опр. Матриця - прямокутна таблиця, складена з елементів довільної природи. Елементи матриці розташовуються у рядки та стовпці (іноді їх називають колонками). Рядки та стовпці часто називають збірним терміном «ряди матриці». Елементи матриці часто позначають подвійними індексами - a ij; перший індекс i означає номер рядка матриці, в якій стоїть елемент a ij, а другий індекс j означає номер стовпця матриці, в якому стоїть a ij. Матриці символічно позначають ув'язненими в круглі або квадратні дужки, або подвійні вертикальні рисочки. (Коротко: (a ij) або IIa ij II).
Кожній квадратної матриці, елементами якої є числа, ставиться у відповідність число, зване визначником матриці.
Опр. Визначник (детермінант) n-го порядку - алгебраїчна сума n! доданків членів з елементів квадратної матриці (таблиці), що обчислюється по наступному закону: кожний доданок є твір n елементів взятих по одному і лише по одному з кожного рядка і з кожного стовпця матриці. Кожен член визначника береться зі знаком (-1) t, де t - число інверсій в других індексах члена, коли перші індекси члена розташовані в натуральному порядку.
2. Приклад обчислення визначника другого порядку в загальному вигляді
Нехай матриця A = , Тоді її визначник буде містити 2! = 2 доданків:
a 11 a 22 і + a 21 a 12, так як в перестановці немає інверсій, отже, (-1) 0 = -1, а в перестановці є одна інверсія і (-1) 1 = -1.
Значить, = A 11 a 22 - a 21 a 12
Мінором або алгебраїчним доповненням елемента a ij квадратної матриці або її визначника, називається визначник порядку n -1, який виходить з вихідного викреслюванням i - того рядка і j - того стовпця.
3. Властивості визначника
Визначник має ряд властивостей:
Визначник не змінюється при транспортуванні матриць (рядків і стовпців).
Якщо один із стовпців (рядків) складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
Якщо один з визначників отриманий з іншого визначника перестановкою двох стовпців (рядків), то визначники відрізняються один від одного знаком.
Якщо всі елементи якого-небудь i-го стовпця (рядки) визначника є сумами двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників в першому з яких як i-го стовпця (рядки) взяті перші складові, а у другому - другі доданки; при цьому елементи всіх інших рядків (стовпців) у кожного з трьох визначників однакові.
Визначник, що містить два пропорційних, зокрема два рівних, стовпця (рядки), дорівнює нулю.
Визначник не змінюється, якщо до якого-небудь стовпцю (рядку) додати лінійну комбінацію інших стовпців (рядків).
Якщо всі елементи якого-небудь стовпця (рядки) визначника помножити на деяке число k, тобто весь визначник помножується на k, то загальний множник будь-якого рядка чи будь-якого стовпця можна виносити за знак визначника.
4. Докази властивостей визначника
Властивість № 1: Визначник не змінюється при транспортуванні матриць (рядків і стовпців).
Доказ:
Опр. Матриці A ji називається транспонованої матрицею A ij
= Det A = Det A T
det A = det A T
Виберемо будь-яке складова із суми визначника.
a 1i a 2j ... a nk
a i1 a j2 ... a kn сумі det A T
Отже визначники рівні.
Властивість № 2: Якщо один із стовпців (рядків) складається з нулів, то визначник дорівнює нулю.
Доказ:
Нехай дана матриця, один стовпець якої дорівнює 0.
= DetA підрахуємо визначник даної матриці.
Підрахуємо визначник даної матриці, використовуючи правило рівнобедрених трикутників, підстави яких паралельні головної та побічної діагоналях.
= 0 * а 22 * а 33 + а 12 * а 23 * 0 + а 32 * а 13 * 0 = 0
=- (А 13 * а 22 * 0 + а 12 * а 33 * 0 + а 23 * а 32 * 0) = 0
Властивість доведено.
Властивість № 3: Якщо один з визначників отриманий з іншого визначника перестановкою двох стовпців (рядків), то визначники відрізняються один від одного знаком.
Доказ: Візьмемо матрицю визначник якої дорівнює detA і переставимо в ній 2 шпальти. Отримаємо:
, Після перестановки отримаємо: .
Порахуємо визначники обох матриць. Отримаємо:
det A = (-1) 0 * ((a 11 * 22 * a a 33 + a 12 * 23 * a a 31 + a 21 * 32 * a a 13) - (a 13 * 22 * a a 31 + a 21 * 12 * a a 33 + a 32 * 23 * a a 11))
det B = (-1) 2 * ((a 31 * 22 * a a 13 + a 21 * 12 * a a 33 + a 32 * 23 * a a 11) - (a 33 * 22 * a a 11 + a 12 * 23 * a a 31 + a 21 * 32 * a a 13))
(A 11 * 22 * a a 33 + a 12 * 23 * a a 31 + a 21 * 32 * a a 13) - (a 13 * 22 * a a 31 + a 21 * 12 * a a 33 + a 32 * a 23 * a 11) + (a 31 * 22 * a a 13 + a 21 * 12 * a a 33 + a 32 * 23 * a a 11) - (a 33 * 22 * a a 11 + a 12 * a 23 * a 31 + a 21 * 32 * a a 13) = 0
Отримали, що det A =- det B.
Властивість доведено.
Властивість № 4: Якщо всі елементи якого-небудь i-го стовпця (рядки) визначника є сумами двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників в першому з яких як i-го стовпця (рядки) взяті перші складові, а у другому - другі доданки; при цьому елементи всіх інших рядків (стовпців) у кожного з трьох визначників однакові.
Доказ:
Візьмемо матрицю, в якій елементи першого стовпця дорівнюють a ij + b j і порахуємо її визначник.
.
Розкриємо дужки і наведемо подібні доданки.
.
Тобто: .
Властивість доведено.
Властивість № 5: Визначник, що містить два пропорційних, зокрема два рівних, стовпця (рядки), дорівнює нулю.
Доказ:
Нехай дано визначник detA ≠ 0, містить дві рівні рядки.
= DetA; =
Поміняємо місцями ці рівні рядки. Отримаємо новий визначник.
.
Оскільки даний визначник отриманий з визначника detA перестановкою рядків, то з попереднього властивості випливає, що отриманий визначник приймає значення - detA. У той же час, кількість доданків і модуль значень визначників detA і - detA рівні, то справедливо буде рівність detA =- detA. З даного рівності випливає що detA = 0. Властивість доведено.
Властивість № 6: Визначник не змінюється, якщо до якого-небудь стовпцю (рядку) додати лінійну комбінацію інших стовпців (рядків).
Доказ:
Візьмемо матрицю коефіцієнтів і порахуємо її визначник.
Додамо до на одну третій. Одержимо нову матрицю.
.
Порахуємо її визначник.
.
Властивість № 7: Якщо всі елементи якого-небудь стовпця (рядки) визначника помножити на деяке число k, тобто весь визначник помножується на k, то загальний множник будь-якого рядка чи будь-якого стовпця можна виносити за знак визначника.
Доказ: Візьмемо матрицю і порахуємо її визначник.
Тобто.
Властивість доведено.
5. Приклад застосування правила Крамера для розв'язання систем n рівнянь з n невідомими
Визначники дуже широко використовуються при вирішенні і дослідженні систем лінійних n рівнянь з n невідомими. Правило вирішення такої системи за допомогою визначників називається правилом Крамера. Покажемо це правило на прикладі.
Правило Крамера: правило рішення системи n лінійних рівнянь. з n невідомими, визначник якої відмінний від нуля, завжди має рішення. Це рішення єдине і визначається таким правилом Крамера: значення кожного з невідомих , Де - Визначник системи., Матриця якого складена з коефіцієнтів при невідомих системи, а I - визначник, матриця якого одержана заміною стовпця коефіцієнтів при даному невідомому на стовпець вільних членів системи. У разі якщо визначник системи дорівнює нулю, система має нескінченно багато рішень.
Нехай дана система з трьох рівнянь з трьома невідомими:
Порахуємо визначник матриці системи, складеної з коефіцієнтів при невідомих:
Після підрахунку визначника системи, підрахуємо визначники невідомих. Для цього вирізаємо з стовпець цієї змінної, а на його місце ставимо стовпець вільного члена.
= = = 6 = 6 = 6 * (4 * 2 - (-2) * 11) = 180
Згідно з правилом Крамера значення невідомої змінної одно приватному від визначника даної невідомою і визначника системи. Значить мінлива x 1 = ; x 1 = .
Діючи за тим же алгоритмом, знайдемо значення змінних x 2 і x 3:
За правилом рівнобедрених трикутників, підстави яких паралельні головної та побічної діагоналях матриці отримаємо:
= 2 * 11 * 4 +3 * 11 * (-1) +4 * (-2) * 3 = 88-33-24 = 31 = 60
-2 * (-2) * 11-3 * 4 * 4 - (-1) * 11 * 3 = 44-48 +33 = 29
Значить x 2 =
Значить x 3 =
Для доказу істинності правила Крамера, перевіримо отримані значення змінних, підставивши отримані значення в систему:
Після підстановки ми отримали правильне числове рівність, значить, правило Крамера істинно для вирішення системи n рівнянь з n невідомими. Відповідь: (3; 1; 1)
Глава 2. Векторний добуток
1. Визначення
Опр. Векторним твором двох векторів А і В називається новий вектор С довжина якого чисельно дорівнює площі паралелограма побудованого на векторах А і В перпендикулярний до площини цих векторів і спрямований в таку сторону, щоб найкоротший поворот від А до В навколо отриманого вектора З представляється відбувається проти годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця С.
З цього визначення випливає, що довжина вектора С дорівнює: .
Слідство. Векторне твір одно нульового вектору в тому і тільки в тому випадку, коли принаймні один із перемножуєте векторів є нульовим, або якщо ці вектори паралельні (колінеарні).
2. Властивості векторного добутку
При перестановці співмножників векторний добуток множиться на (-1). Тобто В x А =- (А x В).
Векторний добуток має властивість сочетательно щодо числового множника: і , Тобто щоб помножити векторний добуток векторів на число, досить помножити на це число один із співмножників.
Векторний добуток підпорядковується розподільного закону, тобто .
Довжина векторного твори неколінеарних векторів А і В чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на приведених до загального початку векторах А і В, як на сторонах.
3. Докази властивостей
Справді, площа паралелограма, побудованого на векторах А і В, а також і його площину не змінюються при перестановці А і В. Тому вектори А * В і В * А мають однакові довжини та колінеарні. Напрями ж цих векторів протилежні; дійсно, якщо дивитися на площину векторів А і В з кінця вектора А * В, то найкоротший поворот від В до А буде здаватися відбувається за годинниковою стрілкою. Отже, вектор В * А буде спрямований у протилежний бік.
Зауважимо ще, що в разі коллинеарности векторів А і В рівність А x У =- (В x А) очевидно, так як тоді А x В і В xA - нульові вектори.
Обидві формули доводяться аналогічно. Доведемо, наприклад, першу з них. Обмежимося випадком > 0.
Для доказу рівності векторів (А x В) і А x В зауважимо перш за все, що довжини цих векторів однакові:
.
Напрями ж векторів (А * В) і А * В збігаються, тому що при множенні вектора на позитивне число його напрямок не змінюється.
Для доказу зауважимо спочатку, що твір А x З 0, де С 0 - одиничний вектор, можна побудувати так (рис. 1).
рис. 1.
Спроектуємо вектор А = на площину, перпендикулярну до С 0, і отриману вектор-проекцію 1 Поверніть в цій площині навколо точки О за годинниковою стрілкою на 90 0 (якщо дивитися на площину з кінця вектора С 0).
Отриманий вектор і дорівнює А * С 0. Справді,
ОА 2 = ОА 1 = А cos (90 0 - φ) = Asin ф, де ф - кут між векторами А і С 0;
Вектор перпендикулярний до векторів А і С 0 представляється совершающимся проти годинникової стрілки. Отже, = А * С 0.
Нехай тепер дано одиничний вектор С 0, перпендикулярна до нього площину р і трикутник ОА 1 В 1 (рис. 2.), В якому 1 = А, = В і 1 = А + В.
рис. 2.
Спроектуємо трикутник ОА 1 В 1 на площину р і повернемо проти проекцію ОА 2 В 2 в площині р за годинниковою стрілкою на 90 0.
Отримаємо трикутник ОА 3 У 3, в якому за попереднім
3 = (А + В) * З 0, 3 = В * С 0, = В * С 0.
Так як = + , То (А + В) * С 0 = А * З 0 + В * С 0. (1)
Помітивши, що С = С * С 0, помножимо тепер обидві частини рівності (1) на скаляр С. Застосувавши Властивість 2 векторного твори, отримаємо:
(А + В) * СС
Справедливість цього твердження полягає в тому, що площа паралелограма дорівнює добутку довжин його суміжних сторін і синуса кута між ними, що, в свою чергу, слід безпосередньо з визначення векторного добутку векторів А і В. (рис. 3,4)
рис. 3
Рис. 4
4. Змішане твір
Сме шанное произведе ня векторів - Скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів і :
.
Іноді його називають потрійним скалярним добутком векторів.
Змішане твір кососімметрічно по відношенню до всіх своїх аргументів:
тобто перестановка будь-яких двох співмножників змінює знак твору.
Змішане твір у правій декартовій системі координат одно визначник матриці, складеної з векторів і :
Зокрема,
Якщо три вектори лінійно залежні (тобто компланарними, лежать в одній площині), то їх змішане твір дорівнює нулю.
Змішане твір за абсолютним значенням дорівнює обсягу паралелепіпеда, утвореного векторами і знак залежить від того, чи є ця трійка векторів правої або лівої.
Теорема: векторно-скалярний твір (АВС) = (А * В) З трьох некомпланарних векторів є число, абсолютна величина якого висловлює обсяг паралелепіпеда, побудованого на векторах А, В і С, як на ребрах. Знак твори позитивний, якщо вектори А, В і С утворюють систему, однойменну з основною
5. Векторний добуток векторів, заданих проекціями
Позначимо через x 1, y 1, z 1 проекції вектора А, а через x 2, y 2, z 2 проекції вектора В. Виразимо через них векторний добуток А * В:
А x В = (ix 1 + jy 1 + kz 1) * (ix 2 + jy 2 + kz 2).
За розподільчим властивості суми векторів множаться як многочлени:
А x В = (i * i) x 1 x 2 + (j * i) y 1 x 2 + (k * i) z 1 x 2 + (i * j) x 1 y 2 + (j * j) y 1 y 2 + (k * j) z 1 y 2 + (i * k) x 1 z 2 + (j * k) y 1 z 2 + (k * k) z 1 z 2. (1)
Так як I, j, k є трьома взаємно перпендикулярними одиничними векторами і обертання від j до k представляється з кінця вектора i совершающимся проти годинникової стрілки, то:
.
Отже в отриманому виразі (1) для АВ пропадуть три складових, інші ж з'єднаються попарно, і остаточна формула буде:
А x В = i (y 1 z 2-y 2 z 1) + j (z 1 x 2-z 2 x 1) + k (x 1 y 2-x 2 y 1).
Останню формулу можна також записати в символічний, легко запам'ятовується формі, якщо скористатися поняттям визначника 3-го порядку.
.
Вектор має координати . Вектор має координати . Тоді
Так як вірна формула , То і наступна формула вірна
6. Приклади рішення задач (з використанням визначників)
Приклад 1.
Знайти площу трикутника АВС з вершинами в точках А (x 1; y 1; z 1), B (x 2; y 2; z 2), C (x 3; y 3; z 3).
Рішення:
Так як вектор має проекції x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1 а вектор має проекції x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1, то площа трикутника
= .
Приклад 2.
Визначити синус кута А трикутника АВС з вершинами А (1,2,3), В (3,4,5), С (2,4,7).
Рішення:
Так як вектори і мають відповідно проекції 2,2,2 і 1,2,4, то
кут слід взяти гострим, якщо , І тупим, якщо . В даному випадку кут А гострий.
Висновок
Таким чином ми розглянули теорію визначників і з'ясували, що, дійсно, дана теорія дуже допомагає при вирішення завдань з системами n лінійних рівнянь з n невідомими.
Також ми розглянули як теорія визначників застосовується в аналітичній геометрії, зокрема, у векторному і змішаному творах і завдань, пов'язаних з ними.
Список використаної літератури
Привалов І. І. Аналітична геометрія Москва Державне видавництво техніко-теоретичної літератури 1956
www. wikipedia. ru