Визначники Рішення систем лінійних рівнянь

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

КОСТРОМСЬКИЙ ФІЛІЯ ВІЙСЬКОВОГО УНІВЕРСИТЕТУ РХБ ЗАХИСТУ
Кафедра «Автоматизації управління військами»
Тільки для викладачів
"Затверджую"
Начальник кафедри № 9
полковник ЯКОВЛЄВ А.Б.
«____»______________ 2004
доцент А. І. СМИРНОВА
"Визначник.
РІШЕННЯ СИСТЕМ лінійних рівнянь "
ЛЕКЦІЯ № 2 / 1
Обговорено на засіданні кафедри № 9
«____»___________ 2004р.
Протокол № ___________
Кострома, 2004.

Зміст
Введення
1. Визначники другого і третього порядку.
2. Властивості визначників. Теорема розкладання.
3. Теорема Крамера.
Висновок

Література
1. В.Є. Шнейдер та ін, Короткий курс вищої математики, том I, гл. 2, п.1.
2. В.С. Щипачов, Вища математика, гл.10, п.2.

ВСТУП
На лекції розглядаються визначники другого і третього порядків, їх властивості. А також теорема Крамера, що дозволяє розв'язувати системи лінійних рівнянь за допомогою визначників. Визначники використовуються також у подальшому в темі "Векторна алгебра" при обчисленні векторного добутку векторів.
Перший навчальний питання      ВИЗНАЧНИК ДРУГОГО І ТРЕТЬОГО
ПОРЯДКУ
Розглянемо таблицю з чотирьох чисел виду
Числа в таблиці позначені буквою з двома індексами. Перший індекс указує номер рядка, другий - номер стовпця.
ВИЗНАЧЕННЯ 1. Визначником другого порядку називають вираз   види:
(1)
Числа а 11, ..., а 22 називають е. л е м е т а м і визначника.
Діагональ, утворена елементами а 11; а 22 називається р л а в н ої, а діагональ, утворена елементами а 12; а 21 -   п о б о ч н ою.
Таким чином, визначник другого порядку дорівнює різниці творів елементів головної та побічної діагоналей.
Зауважимо, що у відповіді виходить число.

ПРИКЛАДИ. Обчислити:

Розглянемо тепер таблицю з дев'яти чисел, записаних у три рядки і три стовпця:

ВИЗНАЧЕННЯ 2. Визначником третього порядку називається вираз виду:

Елементи а 11; а 22; а 33 - утворюють головну діагональ.
Числа а 13; а 22; а 31 - утворюють побічну діагональ.
Зобразимо, схематично, як утворюються складові з плюсом і з мінусом:
"+" "-"
З плюсом входять: твір елементів на головній діагоналі, інші два доданків є твором елементів, розташованих у вершинах трикутників з підставами, паралельними головній діагоналі.
Складові з мінусом утворюються за тією ж схемою щодо побічної діагоналі.
Це правило обчислення визначника третього порядку називають
п р а в і л о м т р е у р про л ь н і к о в.
ПРИКЛАДИ. Обчислити за правилом трикутників:

ЗАУВАЖЕННЯ. Визначники називають також д і т е р м і н а н т а м і.
Другий навчальний питання       Властивості визначників.
ТЕОРЕМА РОЗКЛАДУ
Наведені далі властивості виконуються для визначників будь-якого порядку. Всі вони можуть бути доведені безпосередній перевіркою, заснованої на правилах обчислення визначників.
Властивість 1. Величина визначника не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпчиками.
.
Розкриваючи обидва визначника, переконуємося у справедливості рівності.
Властивість 1 встановлює рівноправність рядків і стовпців визначника. Тому всі подальші властивості визначника будемо формулювати і для рядків і для стовпців.
Властивість 2. При перестановці двох рядків (або стовпчиків) визначник змінює знак на протилежний, зберігаючи абсолютну величину.
.
Властивість 3. Загальний множник елементів рядка (або стовпця) можна виносити за знак визначника.
.
Властивість 4. Якщо визначник має дві однакові рядки (або стовпця), то він дорівнює нулю.

Це властивість можна довести безпосередній перевіркою, а можна використовувати властивість 2.
Позначимо визначник за D. При перестановці двох однакових першої та другої рядків він не зміниться, а по другому властивості він повинен поміняти знак, тобто
D = - D Þ 2 D = 0 Þ D = 0.
Властивість 5. Якщо всі елементи будь-то рядки (або стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
Це властивість можна розглядати як окремий випадок властивості 3 при
k = 0
Властивість 6. Якщо елементи двох рядків (або стовпчиків) визначника пропорційні, то визначник дорівнює нулю.
.
Можна довести безпосередній перевіркою чи з використанням властивостей 3 і 4.
Властивість 7. Величина визначника не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (або стовпця) додати відповідні елементи іншого рядка (або стовпця), помножені на одне і те ж число.
.
Доводиться безпосередній перевіркою.
Застосування зазначених властивостей може в ряді випадків полегшити процес обчислення визначників, особливо третього порядку.
Для подальшого нам знадобиться поняття мінору і алгебраїчного доповнення. Розглянемо ці поняття для визначення третього порядку.
ВИЗНАЧЕННЯ 3. Мінором даного елемента визначника третього порядку називається визначник другого порядку, отриманий з даного викреслюванням рядка і стовпця, на перетині яких стоїть цей елемент.
Мінор елемента а i j позначається М i j . Так для елемента а 11 мінор

Він виходить, якщо у визначнику третього порядку викреслити перший рядок і перший стовпець.
ВИЗНАЧЕННЯ 4. Алгебраїчним доповненням елемента визначника називають його мінор, помножений на (-1) k, де k - сума номерів рядка та стовпця, на перетині яких стоїть цей елемент.
Алгебраїчне доповнення елемента а i j позначається А i j.
Таким чином, А i j = .
Випишемо алгебраїчні доповнення для елементів а 11 і а 12.
.
.
Корисно запам'ятати правило: алгебраїчне доповнення елемента визначника одно його мінору зі знаком плюс, якщо сума номерів рядка та стовпця, в яких стоїть елемент, парна, і зі знаком мінус, якщо ця сума непарна.
ПРИКЛАД. Знайти мінори й алгебраїчні доповнення для елементів першого рядка визначника:

Мінори:

Алгебраїчні доповнення:

Ясно, що мінори й алгебраїчні доповнення можуть відрізнятися тільки знаком.
Розглянемо без доведення важливу теорему - теорему розкладання визначника.
ТЕОРЕМА РОЗКЛАДУ
Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на їх алгебраїчні доповнення.
Використовуючи цю теорему, запишемо розкладання визначника третього порядку за першому рядку.
.
У розгорнутому вигляді:
.
Останню формулу можна використовувати як основну при обчисленні визначника третього порядку.
Теорема розкладання дозволяє звести обчислення визначника третього порядку до обчислення трьох визначників другого порядку.
Рекомендується розкладати визначник тому рядку або стовпцю, де є нулі, тому що для нульових елементів не треба знаходити алгебраїчні доповнення.
Теорема розкладання дає другий спосіб обчислення визначників третього порядку.
ПРИКЛАДИ. Обчислити визначник, використовуючи теорему розкладання.

використовували розкладання по другому рядку.
Теорема розкладання дозволяє також обчислювати визначники більш високого порядку, зводячи їх до обчислення декількох визначників третього або другого порядку.
Так, визначник четвертого порядку можна звести до обчислення чотирьох визначників третього порядку.
Третя навчальний питання                  ТЕОРЕМА КРАМЕР
Застосуємо розглянуту теорію визначників до розв'язання систем лінійних рівнянь.
1. Система двох лінійних рівнянь з двома невідомими.
(3)
Тут х 1, х 2 - невідомі;
а 11, ..., а 22 - коефіцієнти при невідомих, занумеровані двома індексами, де перший індекс означає номер рівняння, а другий індекс - номер невідомого.
b 1, b 2 - Вільні члени.
Нагадаємо, що під рішенням системи (3) розуміється пара значень х 1, х 2, які при підстановці в обидва рівняння звертають їх у вірні рівності.
У випадку, коли система має єдине рішення, це рішення можна знайти за допомогою визначників другого порядку.
ВИЗНАЧЕННЯ 5. Визначник, складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи.
Позначимо визначник системи D.
D = .
У стовпцях визначника D стоять коефіцієнти відповідно при х 1 і при, х 2.
Введемо два д о п о л н т е л ь н и х про п р е д е л і т е л я, які виходять з визначника системи заміною одного із стовпців стовпцем вільних членів:
D 1 = D 2 = .
Розглянемо без доведення наступну теорему:
ТЕОРЕМА Крамер (для випадку n = 2)
Якщо визначник D системи (3) відмінний від нуля (D ¹ 0), то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:
(4)
Формули (4) називаються формулами Крамера.
ПРИКЛАД. Вирішити систему за правилом Крамера.


.
Відповідь: х 1 = 3; х 2 = -1
2. Система трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
(5)
У випадку єдиного рішення систему (5) можна вирішити за допомогою визначників третього порядку.
Визначник системи D має вигляд:

Введемо три додаткових визначника:
.
Аналогічно формулюється теорема.
ТЕОРЕМА Крамер (для випадку n = 3)
Якщо визначник D системи (5) відмінний від нуля, то система має єдине рішення, яке знаходиться за формулами:

(6)
Формули (6) - це формули Крамера.

ЗАУВАЖЕННЯ. Г. Крамер (1704 - 1752) - швейцарський математик.
Зауважимо, що теорема Крамера застосовна, коли число рівнянь дорівнює числу невідомих і коли визначник системи D відмінний від нуля.
Якщо визначник системи дорівнює нулю, то в цьому випадку система може або не мати рішень, або мати незліченну безліч рішень. Ці випадки досліджуються особливо, з ними можна детально познайомитися в рекомендованій літературі.
Зазначимо лише один випадок:
Якщо визначник системи дорівнює нулю (D = 0), а хоча б один з додаткових визначників відмінний від нуля, то система рішень не має (тобто є несумісною).
Теорему Крамера можна узагальнювати для системи n лінійних рівнянь з n невідомими.

Якщо , То єдине рішення системи знаходиться за
формулами Крамера:
Додатковий визначник виходить з визначника D, якщо в ньому стовпчик коефіцієнтів при невідомому
x i замінити стовпцем вільних членів.
Зауважимо, що визначники D, D 1, ..., D n мають порядок n.
ВИСНОВОК
На лекції розглянута нове поняття - визначник, докладно розглянуті визначники другого і третього порядків, що часто зустрічаються на практиці. Для визначника третього порядку наводяться два способи обчислення. Розглянуто теорема Крамера, яка дає практичний спосіб розв'язання систем лінійних рівнянь, для випадку, коли рішення єдине. Більш детально з цією темою можна познайомитися в рекомендованій літературі.
Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Лекція
35.5кб. | скачати


Схожі роботи:
Рішення систем лінійних рівнянь
Рішення систем лінійних рівнянь
Рішення довільних систем лінійних рівнянь
Методи рішення систем лінійних рівнянь
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь прямі методи
Рішення лінійних інтегральних рівнянь
Рішення лінійних рівнянь першого порядку
Рішення системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера
Чисельні методи розв`язання систем лінійних рівнянь
© Усі права захищені
написати до нас