Визначення статистичних даних

Задача 1
За звітний період є дані про роздрібний товарооборот і витратах звернення по магазинах торгу:

№ магазину	Обсяг роздрібного товарообігу, тис. грн.	Витрати обігу, тис. грн.	№ магазину	Обсяг роздрібного товарообігу, тис. грн.	Витрати обігу, тис. грн.
1	200	16,2	11	570	38,9
2	590	37,3	12	472	28,6
3	825	46,6	13	278	18,2
4	463	38,8	14	665	39,0
5	245	15,1	15	736	37,8
6	392	27,4	16	562	36,6
7	511	30,9	17	338	26,7
8	404	29,5	18	560	29,0
9	642	44,7	19	695	40,0
10	425	37,2	20	580	36,5

Для виявлення залежності між обсягом роздрібного товарообігу і рівнем витрат обігу згрупуйте магазини за розміром роздрібного товарообігу, утворивши 5 груп з рівними інтервалами. По кожній групі і в цілому по сукупності магазинів підрахуйте: а) число магазинів, б) обсяг роздрібного товарообігу - всього і в середньому на один магазин, в) Зробіть висновки.
Рішення
1. Визначимо величину інтервалу.
i = (X _max - X _min) / n, де
Х _max - максимальний роздрібний товарообіг;
X _min - мінімальний роздрібний товарообіг;
n - кількість груп;
i = (825 - 200) / 5 = 125;
Визначимо межі інтервалів:

1
200 - 325	325 - 450	450 - 575	575 - 700	700 - 825

По кожній групі необхідно підрахувати кількість магазинів, обсяг роздрібного товарообігу - всього і в середньому на один магазин, суму витрат обігу - всього і на один магазин. і оформити результати у вигляді таблиці.
Висновок: З результатів, наведених у таблиці, видно пряма залежність між обсягом роздрібного товарообігу і витратами обігу.

№ п / п	Інтервали	№ № магазинів	Обсяг товарообігу, т.грн	Витрати обігу, т.грн
	200 - 325	1	200	16,2
		5	245	15,1
		13	278	18,2
Разом		3	723	49,5
У середньому по групі			241	16,5
	325 - 450	17	338	26,7
		6	392	27,4
		8	404	29,5
		10	425	37,2
Разом		4	1559	120,8
У середньому по групі			389,75	30,2
	450 - 575	4	463	38,8
		12	472	28,6
		7	511	30,9
		18	560	29
		16	562	36,6
		11	570	38,9
Разом		6	3138	202,8
У середньому по групі			523	33,8
	575 - 700	20	580	36,5
		2	590	37,3
		9	642	44,7
		14	665	39
		19	695	40
Разом		5	3172	197,5
У середньому по групі			634,4	39,5
	700-825	15	736	37,8
		3	825	46,6
Разом		2	1561	84,4
У середньому по групі			780,5	42,2
Всього		20	10153	655
У середньому по совок-ти на 1 магазин			507,65	32,8

Задача 2
Є такі дані про розподіл заводів області за рівнем коефіцієнта змінності:

№ п / п	Група підприємств за рівнем коефіцієнта змінності роботи устаткування	Число одиниць устаткування,%	Середина інтервалу
1	До 1,7	2,2	1,65
2	1,7 - 1,8	12,8	1,75
3	1,8 - 1,9	32,6	1,85
4	1,9 - 2,0	24,9	1,95
5	2,0 - 2,1	23,4	2,05
6	2,1 - 2,2	4,1	2,15
Разом		100,0

Визначити середній рівень коефіцієнта змінності по області. Зробити висновки.
Рішення
Визначаємо величину інтервалу i = 0,1. Обчислюємо середини інтервалів. Дані заносимо в таблицю.
Середнє середній рівень коефіцієнта змінності по області визначається за формулою середньої арифметичної зваженої.
(1,65 * 2,2 +1,75 * 12,8 +1,85 * 32,6 +1,95 * 24,9 +
+2,05 * 23,4 +2,15 * 4,1) / 100 = 1,91
Т.ч. середній розмір витрат на гривню товарної продукції дорівнює 1,91.
Задача 3
Є такі дані про виробництво цементу:

Рік	1994	1995	1996	1997	1998	1999
Пр-во цементу, млн. т	33	39	46	51	57	61

Визначити аналітичні показники ряду динаміки випуску цементу за 1994 - 1999 р.р.: абсолютні приросту, темпи росту і темпи приросту, абсолютне значення 1% приросту, а також середні узагальнюючі показники ряду динаміки.
Рішення
Основні показники динаміки продукції підприємства

Роки	Виробництво продукції, млн.грн.	Абсолютні прирости, млн.грн.		Темпи зростання,%		Темпи приросту,%		Абсолютне значення 1% приросту, млн.грн.
		З попередн. роком	З 1994р.	З попередн. роком	З 1994р.	З попередн. роком	З 1994р.
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1994	33	-	-	-	100,00	0,00	-	-
1995	39	6	6	118,18	118,18	18,18	18,18	0,33
1996	46	7	13	117,95	139,39	17,95	39,39	0,39
1997	51	5	18	110,87	154,55	10,87	54,55	0,46
1998	57	6	24	111,76	172,73	11,76	72,73	0,51
1999	61	4	28	107,02	184,85	7,02	84,85	0,57
Разом	287	28	-	-	-	-	-	-

Показник абсолютного приросту визначається за формулою
- У порівнянні з попереднім роком (графа 3);
- У порівнянні з попереднім роком (графа 4),
де - Показник i-го року;
- Показник базового року
Темпи зростання визначаються за формулою
(Графа 5) або (Графа 6).
Темпи приросту визначаються за формулою
(Графа 7) або (Графа 8).
Показник абсолютного значення одного відсотка приросту
або (Графа 9).
Середній рівень ряду в разі рівновіддалених рівнів у часі визначається за формулою середньої зваженої простий

Середній абсолютний приріст

Середньорічний темп зростання
.
Середньорічний темп приросту

Задача 4
Є такі дані:

Вид продукції, млн.грн.	Загальні витрати на вир-во продукції, млн. грн.		% Зміни с / з одиниці продукції в звітному / базисному періоді	Індекс С / с i p
	Базисний період	Звітний період
Залізо листове	460,0	544,8	-1,3	0,987
Рейки трамвайні	293,0	374,5	+1,2	1,012
Чавун передільний	7,0	6,7	Без зміни	1

Визначити: 1) загальні індекси собівартості, витрат на виробництво і фізичного обсягу продукції; 2) загальну суму економії (перевитрати) за рахунок зміни собівартості продукції в звітному періоді в порівнянні з базисним.
Рішення
= 121,8%
Т.ч. ообщіе витрати на виробництво продукції у звітний період в порівнянні з базовим зросли на 21,8%
;
= 99,7%
Загальні витрати на виробництво продукції зменшилися на 0,3%, що в абсолютному вираженні становить (926-928,73) =- 2,73 млн.грн.
Індекс фізичного обсягу знаходимо з взаємозв'язку індексів:
I _qp = I _{q *;} I _q = I _qp: I _p = 1.218:0.997 = 1.222 = 122,2%
Задача 5
Є такі дані про розподіл за виконання норм виробітку механічного цеху:

№ п / п	Виконання норм виробітку,%	Кількість робітників у цеху	Середина інтервалу
1	95-100	3	97,5
2	100-105	82	102,5
3	105-110	157	107,5
4	110-115	35	112,5
5	Понад 115	8	117,5
Разом		285

Визначити: 1) середній відсоток норм виробітку для всього цеху; 2) середнє лінійне відхилення; 3) дисперсію і середнє квадратичне відхилення; 4) коефіцієнт варіації. Зробити висновки.
Рішення
1) Середній відсоток норм виробітку для всього цеху визначається за формулою середньої арифметичної зваженої
,
де - Значення середини інтервалу для кожного діапазону виконання норм;
- Кількість робітників у цеху.
.
2) Середнє лінійне відхилення визначається за формулою


3) Дисперсія визначається за формулою

.
4) Середньоквадратичне відхилення визначаємо за формулою
.
5) Коефіцієнт варіації
.
Т.ч., можна зробити висновок про однорідність представленої сукупності даних.
Задача 6
За міської телефонної мережі з 1000 абонентів в порядку механічної вибірки виробили 100 спостережень і встановили, що середня тривалість телефонної розмови 4 хв при середньому квадратичному відхиленні 2 хв.
Визначити: 1) граничну помилку репрезентативності (з ймовірністю 0,954), 2) ймовірність того, що гранична помилка репрезентативності не перевищить 0,3 хв.
Рішення
N = 1000 - генеральна сукупність
n = 100 - вибіркова сукупність
t _сер = 4 хв. -
σ = 2 хв.
Середня помилка вибірки
= 0,19
Δ = t * μ - гранична помилка
t = 2 (коефіцієнт довіри, якому відповідає ймовірність 0,954)
Δ = 2 * 0,19 = 0,38
Це означає, що з ймовірністю 0,954 можна гарантувати, що середня тривалість генеральної сукупності телефонних розмов розташується між 3,62 хв. і 4,38 хв.
Завдання № 1
1) Визначимо величину інтервалу
I = (8,1-0,5): 4 = 7,6:4 = 1,9
Кількість заводів по групах.

№ групи	Угруповання заводів		Середньорічна вартість		Валова продукція в порівнянних цінах, грн.		Рівень фондовіддачі (%)
	к-сть шт.	№ №	всього	на завод	всього	на завод
1	5	1,8,12,13,20	5,0	1,0	4,5	0,9	90
2	8	2,3,5,7,9,11,22,23,	26,9	3,3625	26,8	3,35	99,6
3	6	4,6,10,15,18,21	30,3	13,3	35	5,833	115,5
4	5	14,16,17,19,24	34,8	6,96	34,5	6,9	99

2) Інтервал для груп заводів:
1-а: 0,5 ... 2,4
2-я: 2,4 ... 4,3
Третє: 4,3 ... 6,2
4-я: 6,2 ... 8,1
3) Рівень фондовіддачі = (Валова продукція / вартість ОФ) * 100%
Висновки:
1) Із зростанням вартості основних фондів (ОФ) зростає вартість валової продукції отже між цими показниками існує пряма залежність.
2) Рівень фондовіддачі не залежить від зміни вартості ОФ і вартості валової продукції.

Завдання № 2

Є дані по двом заводам, що виробляють однорідну продукцію (табл. 31).
Таблиця 31

Номер заводу	1998		1999
	Витрати часу на одиницю продукції, год	Виготовлення продукції, шт.	Витрати часу на одиницю продукції, год	Витрати часу на всю продукцію, год
1	2,0	150	1,9	380
2	3,0	250	3,0	840

Обчисліть середні витрати часу на виготовлення одиниці продукції за двом заводам з 1998 по 1999 р.р. Вкажіть, який вид середньої необхідно застосовувати при обчисленні цих показників.
Рішення
Якщо у статистичній сукупності дано ознака Xi і його частота fi, то розрахунок ведеться за формулою середньої арифметичної зваженої:
(Ч)
Якщо дано ознака x _i, немає його частоти f _i, а дан обсяг M = x _i f _i поширення явища, тоді розрахунок ведемо за формулою середньої гармонійної зваженої:
(Ч)
Висновок: У середньому витрати часу на виготовлення одиниці продукції в 1998р. вище, ніж у 1999р.

Задача 3

Для визначення середньої суми вкладу в ощадних касах району, що має 9000 вкладників, проведена 10%-я механічна вибірка, результати якої представлені в таблиці.

Групи вкладів за розміром, грн. - X i	До 200	200-400	400-600	600-800	Св.800	Σ
Кількість вкладників - f i	80	100	200	370	150	900
Середина інтервалу	100	300	500	700	700
x - A = x '- 700	-600	-400	-200	0	+200
(X - A) / i	-3	-2	-1	0	1
((X - A) / I) * f	-240	-200	-200	0	150	-490
((X - A) / I) 2 * f	720	400	200	0	150	1470

Рішення:
Для визначення середньої суми вкладів способів моментів скористаємося формулою:
= M ₁ Δ * I + Ai
де: m ₁ - момент першого порядку
x - варіанта
i - величина інтервалу
f - частота
Δ - постійна величина, на яку зменшуються всі значення ознаки.
m ₁ = (Σ ((XA) / i)) * f) / Σf
= ((Σ ((XA) / i * f) / Σf) * i + A
1. Знаходимо середини інтервалів
(200 + 400) / 2 = 300 - для закритих інтервалів;
Для відкритих інтервалів друга межа добудовується: (0 + 200) / 2 = 100
Величина інтервалу i = 200.
Найбільша частота дорівнює 370, отже А = 700.
У варіаційних рядах з рівними інтервалами в якості А приймається варіант з найбільшою частотою.
Кількість вкладників f = 900
m ₁ = (-240-200-200 +150) / 900 =- 0,544
=- 0,544 * 200 +700 = 591,2 грн.
Висновок: в середньому сума вкладів становить 591,2 грн.

2. Визначимо дисперсію способом моментів:

σ ²² = i ² * (m ₂ - )

m ₁ =- 0.544; m ₂ = (Σ ((XA) / i) ² * f) / Σf

m ₂ = 1470/900 = 1,63
σ ² = 200 ² * (1,63 - (-0,544) ²⁾ = 53362,56 середньоквадратичне відхилення:
= 231 грн.

3. Співвідношення середньоквадратичного відхилення до середньої називають квадратичним коефіцієнтом варіації:

V = (σ / ) * 100% = (231/591, 2) * 100 = 39,07%
4. Гранична помилка вибірки середньої обчислюється за формулою:
Δx = t * 2 / n
Δx = 2 * (Грн.)
де: n - обраної сукупності, n = 900
σ ² - дисперсія
t - коефіцієнт довіри (табличне значення для ймовірності 0,954 відповідає t = 2)
Δx = 2 * 15,4 (грн)
Т.ч. з ймовірністю 0,954 можна сказати, що середня сума вкладів в ощадкасах району знаходиться в межах

591,2-15,4 ≤ x ≤ 591,2 +15,4
575,8 ≤ x ≤ 606,4
5. Середня помилка частки ознаки
Частка ознаки у вибірковій сукупності:
Р = = 20%
μ =
Nт = 9000 інтегральна сукупність
n = 900 - вибіркова сукупність
μ = = 0,01265 = 1,3%
Δ = t * M = 2 * 1,3 = 2,6%
20-6 ≤ ≤ 20 +2,6 => 17,4 ≤ ≤ 22,6

Задача 4

Є дані про малюкової смертності на Україну

Рік	1990	1995	1996	1997	1998	1999
Померло дітей у віці до 1 року (всього), тис. чол.	12,3	11,6	11,1	10,6	9,0	9,3

Для аналізу ряду динаміки перелічіть: 1) абсолютний приріст, темпи росту і приросту (по роках і до базисного 1995 р.), абсолютний вміст 1% приросту (отримані показники подайте у вигляді таблиці); 2) середньорічний темп зростання і приросту малюкової смертності: а) з 1990 по 1996 роки, б) з 1995 по 1999 роки, в) з 1990 по 1999 роки. Зобразіть вихідні дані графічно. Зробіть висновки.

Рішення:

1. Абсолютний приріст (Δ _i) визначається як різниця між двома рівнями динамічного ряду і показує, на скільки даний рівень ряду перевищує рівень, прийнятий за базу порівняння Δ _i = y _{i-y баз,} де y _i - рівень порівнюваного періоду; y _баз - базисний рівень.
При порівнянні зі змінною базою абсолютний приріст буде дорівнює Δ _i = y _{i-y i-1,} де y _i - рівень порівнюваного періоду; y _i-1 - попередній рівень.
Темпи зростання визначаються як процентне відношення двох порівнюваних рівнів:
При порівнянні з базисом:

По роках:

Темп приросту показує, на скільки відсотків рівень даного періоду більше (або менше) базисного рівня. По відношенню до базисного: ; По роках: або можна обчислювати так: Тп = Тр-100%.
Абсолютна утримання 1% приросту - порівняння темпу приросту з показником абсолютної зростання:

.
2. Середньорічна малюкова смертність обчислюється за формулою:
.

3. Середньорічний абсолютний приріст обчислюється за формулою:
.

4. Базисний темп росту за допомогою взаємозв'язку ланцюгових темпів зростання обчислюється за формулою:
.
5. Середньорічний темп зростання обчислюється за формулою
.
Середньорічний темп приросту обчислюється за формулою:
.
Розраховані дані представимо в таблиці
Як базисний беремо 1995

Середньорічний темп зростання
з 1990 по 1996	98,30
з 1995 по 1999	94,63
з 1990 по 1999	96,94
Середньорічний темп приросту
з 1990 по 1996	-1,70
з 1995 по 1999	-5,37
з 1990 по 1999	-3,06

Задача 5

Реалізація товарів на колгоспному ринку характеризується даними

Найменування товару	Базисний період		Звітний період
	Кількість, тис.кг.	Ціна 1 кг., Грн	Кількість, тис.грн.	Ціна 1 кг., Грн
Картопля	15,0	0,3	20	0,5
М'ясо	3,0	3,5	4	5

Визначте: 1) загальний індекс фізичного обсягу продукції; 2) загальний індекс цін і абсолютний розмір економії (перевитрати) від зміни цін; 3) на підставі обчислених індексів визначити індекс товарообігу.
Рішення.
Індекс являє собою відносну величину, що отримується в результаті зіставлення рівнів складних соціально-економічних показників в часі, в просторі або з планом.
Індивідуальними називаються індекси, що характеризують зміни тільки одного елемента сукупності.
Загальний індекс відображає зміну по всій сукупності елементів складного явища.
Вартість - це якісний показник.
Фізичний обсяг продукції - кількісний показник.
Загальний індекс фізичного обсягу продукції обчислюється за формулою:
,
де p ₀ і р ₁ - ціна одиниці товару відповідно в базисному і звітному періодах;
q ₀ і q ₁ - кількість (фізичний обсяг) товару відповідно в базисному і звітному періодах.
Кількість проданих товарів збільшилася на 33,3%.
Або в грошах: 20 - 15 = 5,0 тис.грн.
Загальний індекс вартості обчислюється за формулою:

Отже, ціни на дані товари в середньому збільшилися на 50%.
Сума заощаджених або перевитрачено грошей:
сума зросла на 50%, отже, населення в звітному періоді на купівлю даних товарів додатково витратить: 30 - 20 = 10 тис. грн.
Загальний індекс товарообороту обчислюється за формулою:


Товарообіг в середньому зріс на 100%.
Взаємозв'язок індексів:

1,333 * 1,5 = 2,0

Задача 6

Є дані про випуск однойменної продукції і її собівартості по двом заводам

Завод	Виробництво продукції, тис. шт.		Собівартість 1 шт., Грн.
	I квартал	II квартал	I квартал	II квартал
I	100	180	100	96
II	60	90	90	80

Обчисліть індекси: 1) собівартості змінного складу; 2) собівартості постійного складу; 3) структурних зрушень. Поясніть отримані результати.
Рішення.
Індекс собівартості змінного складу обчислюється за формулою:

де z ₀ і z ₁ - собівартість одиниці продукції відповідно базисного і звітного періодів;
q ₀ і q ₁ - кількість (фізичний обсяг) продукції відповідно в базисному і звітному періодах.

Індекс показує, що середня собівартість за двом заводам підвищилася на 71,6%, це підвищення обумовлене зміною собівартості продукції по кожному заводу і зміною структури продукції (збільшенням обсягу випуску).
Виявимо вплив кожного з цих факторів.
Індекс собівартості постійного складу обчислюється за формулою:

Тобто собівартість продукції за двома заводам в середньому зросла на 70%.
Індекс собівартості структурних зрушень обчислюється за формулою:


Або

Взаємозв'язок індексів:

170 * 100,9 = 171,6
Висновок:
Індекс собівартості змінного складу залежить від зміни рівня собівартості і від зміни обсягу виробництва, тобто середній приріст собівартості склав 71,6%.
Індекс собівартості постійного складу показує зміну собівартості при фіксованому обсязі виробництва, тобто в середньому по заводам собівартість підвищилася на 71%. Індекс собівартості змінного складу вище, ніж індекс собівартості постійного складу, це свідчить про те, що відбулися сприятливі структурні зрушення. Індекс структурних зрушень дорівнює 1,009%, тобто за рахунок зміни обсягів виробництва по заводах середня собівартість підвищилася на 0,9%.

Задача 7

Для вивчення тісноти зв'язку між випуском валової продукції на один завод (результативна ознака Y) і оснащеністю заводів основними виробничими фондами (факторний ознака X) за даними задачі 1 визначити коефіцієнт детермінації і емпіричне кореляційне відношення.
Рішення.
Показником тісноти зв'язку між факторами, є лінійний коефіцієнт кореляції.
Лінійний коефіцієнт кореляції обчислимо за формулою:
.
Лінійне рівняння регресії має вигляд: y = bx-а.
Коефіцієнт детермінації показує наскільки варіація ознаки залежить від чинника, покладеного в основу групування та обчислюється за формулою:

де d ² - внутригрупповая дисперсія;
s ² - загальна дисперсія.
Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки, який залежить від всіх умов у даній сукупності.
Міжгрупова дисперсія відображає варіацію досліджуваної ознаки, яка виникає під впливом фактору, покладеного в основу групування та розраховується за формулою:


де середнє значення по окремих групах;
f _i - частота кожної групи.

Середня з внутрішньогрупових дисперсія:

де - Дисперсія кожної групи.

Емпіричне кореляційне відношення розраховується за формулою:

Всі розрахункові дані наведені в таблиці 7.
Таблиця 7

№ заводу	Середньорічна вартість ОФ, млн.грн. (X)	Валова продукція в порівнянних цінах, грн. (Y)	X ^ 2	Y ^ 2	XY
1	1,6	1,5	2,56	2,25	2,55
2	3,9	4,2	15,21	17,64	17,16
3	3,3	4,5	10,89	20,25	15,75
4	4,9	4,4	24,01	19,36	22,05
5	3,0	2,0	9	4	6,4
6	5,1	4,2	26,01	17,64	22,44
7	3,1	4,0	9,61	16	13,2
8	0,5	0,4	0,25	0,16	0,1
9	3,1	3,6	9,61	12,96	11,52
10	5,6	7,9	31,36	62,41	43,68
11	3,5	3,0	12,25	9	10,8
12	0,9	0,6	0,81	0,36	0,63
13	1,0	1,1	1	1,21	1,32
14	7,0	7,5	49	56,25	53,9
15	4,5	5,6	20,25	31,36	25,76
16	8,1	7,6	65,61	57,76	63,18
17	6,3	6,0	39,69	36	38,4
18	5,5	8,4	30,25	70,56	46,75
19	6,6	6,5	43,56	42,25	43,55
20	1,0	0,9	1	0,81	0,8
21	4,7	4,5	22,09	20,25	21,6
22	2,7	2,3	7,29	5,29	6,75
23	2,9	3,2	8,41	10,24	8,96
24	6,8	6,9	46,24	47,61	46,24
Разом	95,6	100,8	485,96	561,62	523,49
Середнє	3,824	4,032	19,4384	22,4648	21,81

Підставивши обчислені значення у формулу, отримаємо:
Коефіцієнт детермінації h ² = 0,87.
Емпіричне кореляційне відношення має вигляд: у = 1,0873 х - 0,161.
Лінійний коефіцієнт кореляції r = 0,93.
a = 0,161 b = 1,0873
Так як значення коефіцієнта кореляції близьке до одиниці, то між випуском валової продукції і оснащеністю заводів основними виробничими фондами є тісна залежність.
b - коефіцієнт регресії, тому що b> 0, то зв'язок прямий.