Визначення показників продуктивності праці і собівартості одиниці продукції

Практична робота № 1
1. Визначте об'єкт спостереження, одиницю спостереження і одиницю сукупності:
а) у звітності по введенню об'єктів будівництва, основних фондів і потужностей;
б) у звітності за переписом поголів'я худоби на одноосібних господарствах.
Рішення:
Об'єкт спостереження - сукупність соціально-правових явищ і процесів, які підлягають дослідженню, або точні межі, в межах яких будуть реєструватися статистичні відомості.
Одиниця сукупності - це первинний елемент об'єкта статистичного спостереження, що є носієм ознак, що підлягають реєстрації та основою ведеться при обстеженні рахунку.
Чисельність одиниць сукупності характеризує обсяг і поширеність досліджуваного явища.
Одиниця спостереження - це та первинна осередок, від якої повинні бути отримані необхідні статичні відомості.
а) У звітності по введенню об'єктів будівництва, основних фондів і потужностей об'єктом спостереження будуть основні фонди, об'єкти будівництва, верстати та інші потужності. Одиницею сукупності будуть будівлі, споруди, верстати та інші основні фонди. Одиницею спостереження будуть підприємства - господарі одиниць сукупності.
б) У звітності за переписом поголів'я худоби на одноосібних господарствах об'єктом спостереження буде худоба на одноосібних господарствах. Одиницею сукупності будуть корови, свині, барани, кози і іншу худобу. Одиницею спостереження будуть одноосібні обійстя - господарі одиниць сукупності.

Практична робота № 2
Є звітні дані про роботу 36 заводів галузі за рік (табл.2.1).
Таблиця 2.1

№ заводу	Вироблено продукції, тис. т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.
1	900	810	6525
2	187	160	1712
3	416	400	3502
4	1105	860	7868
5	211	190	2835
6	1066	820	5632
7	610	510	3730
8	875	700	7645
9	1126	870	7779
10	136	150	1943
11	412	400	3912
12	794	610	5881
13	418	430	3805
14	275	290	3413
15	460	360	4111
16	1130	860	7755
17	718	650	5782
18	220	270	2815
19	559	510	3725
20	710	580	5680
21	331	380	2947
22	928	780	7993
23	318	330	3402
24	1270	980	7985
25	696	600	3680
26	1169	890	6335
27	968	790	8027
28	170	160	2406
29	566	520	5069
30	471	460	3703
31	460	470	4209
32	337	380	3530
33	448	450	4650
34	385	400	3198
35	251	290	2925
36	815	620	5902

1. На основі даних табл. 2.1:
а) обчислити показники продуктивності праці та собівартості одиниці продукції (1 тонни);
б) Неунікальна підприємств по продуктивності праці, розділивши їх на 6 груп з рівними інтервалами. Скласти таблиці за групами підприємств та зведену таблицю угруповання. У зведеній таблиці кожну групу охарактеризувати:
- Числом підприємств;
- Сумарною кількістю працівників, загальними обсягами виробництва і сумарними витратами;
в) побудувати структурну таблицю, де показати структуру числа підприємств за кількістю, сумарними витратами, обсягами виробництва та чисельності робітників;
г) побудувати аналітичну таблицю, де показати взаємозв'язок показників;
д) за даними розподілу підприємств побудувати графік ряду розподілу, обчислити середнє значення группировочного ознаки і його коефіцієнт варіації, вказати моду і медіану ряду розподілу.
Рішення:
Продуктивність праці (ω) дорівнює відношенню виробленого обсягу продукції (Q) до середньоспискової кількості працівників (Т)
ω = Q / T

Собівартість одиниці продукції (С) дорівнює відношенню загальної суми витрат на виробництво (Z) до середньоспискової кількості працівників (Т)
С = Z / T
Розрахуємо продуктивність і собівартість однієї тонни продукції для кожного заводу окремо, результати приведемо у таблиці 2.2
Знайдемо також сумарні показники виробленого обсягу продукції (SQ), загальних витрат на виробництво (SZ) і чисельності працівників (SТ).
Показники продуктивності праці і собівартості одиниці продукції в цілому по всім заводам розраховуються як відношення сумарних показників.

= SQ / ST;

= SZ / ST
Наведемо сумарні показники в таблиці 2.2.
Таблиця 2.2

№ п / п		Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.		Середньооблікова кількість працівників, чол.		Продуктивність праці, т. / чол.		Собівартість одиниці продукції,
1		900	810		6525		137,9		900,00
2		187	160		1712		109,2		855,61
3		416	400		3502		118,8		961,54
4		1105	860		7868		140,4		778,28
5		211	190		2835		74,4		900,47
6		1066	820		5632		189,3		769,23
	7	610	510	3730		163,5		836,07
	8	875	700	7645		114,5		800,00
	9	1126	870	7779		144,7		772,65
	10	136	150	1943		70,0		1102,94
	11	412	400	3912		105,3		970,87
	12	794	610	5881		135,0		768,26
	13	418	430	3805		109,9		1028,71
	14	275	290	3413		80,6		1054,55
	15	460	360	4111		111,9		782,61
	16	1130	860	7755		145,7		761,06
	17	718	650	5782		124,2		905,29
	18	220	270	2815		78,2		1227,27
	19	559	510	3725		150,1		912,34
	20	710	580	5680		125,0		816,90
	21	331	380	2947		112,3		1148,04
	22	928	780	7993		116,1		840,52
	23	318	330	3402		93,5		1037,74
	24	1270	980	7985		159,0		771,65
	25	696	600	3680		189,1		862,07
	26	1169	890	6335		184,5		761,33
	27	968	790	8027		120,6		816,12
	28	170	160	2406		70,7		941,18
	29	566	520	5069		111,7		918,73
	30	471	460	3703		127,2		976,65
	31	460	470	4209		109,3		1021,74
	32	337	380	3530		95,5		1127,60
	33	448	450	4650		96,3		1004,46
	34	385	400	3198		120,4		1038,96
	35	251	290	2925		85,8		1155,38
	36	815	620	5902		138,1		760,74
	Разом:	21911	18930	172011		127,4		863,95

При групуванні з рівними інтервалами для розрахунку довжини одного інтервалу застосовується формула:

,
де h - довжина одного інтервалу;
x _max - максимальне значення группировочного ознаки;
x _min - мінімальне значення группировочного ознаки;
Знайдемо довжину інтервалу:

т / чол.
Знайдемо, в яку групу потрапляє кожен завод і складемо таблиці по групах:
Таблиця 2.3 Дані заводів 1-ої групи

№ п / п	Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.	Продуктивність праці, т. / чол.	Собівартість одиниці продукції, грн.
5	211	190	2835	74,4	900,47
10	136	150	1943	70	1102,94
14	275	290	3413	80,6	1054,55
18	220	270	2815	78,2	1227,27
28	170	160	2406	70,7	941,18
35	251	290	2925	85,8	1155,38
Разом:	1263	1350	16337	77,3	1068,88

Таблиця 2.4 Дані заводів 2-ої групи

№ п / п	Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.	Продуктивність праці, т. / чол.	Собівартість одиниці продукції, грн.
2	187	160	1712	109,2	855,61
11	412	400	3912	105,3	970,87
23	318	330	3402	93,5	1037,74
31	460	470	4209	109,3	1021,74
32	337	380	3530	95,5	1127,6
33	448	450	4650	96,3	1004,46
Разом:	2162	2190	21415	101,0	1012,95

Таблиця 2.5 Дані заводів 3-ї групи

№ п / п	Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.	Продуктивність праці, т. / чол.	Собівартість одиниці продукції, грн.
3	416	400	3502	118,8	961,54
8	875	700	7645	114,5	800
13	418	430	3805	109,9	1028,71
15	460	360	4111	111,9	782,61
17	718	650	5782	124,2	905,29
20	710	580	5680	125	816,9
21	331	380	2947	112,3	1148,04
22	928	780	7993	116,1	840,52
27	968	790	8027	120,6	816,12
29	566	520	5069	111,7	918,73
30	471	460	3703	127,2	976,65
34	385	400	3198	120,4	1038,96
Разом:	7246	6450	61462	117,9	890,15

Таблиця 2.6 Дані заводів 4-ої групи

№ п / п	Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.	Продуктивність праці, т. / чол.	Собівартість одиниці продукції, грн.
1	900	810	6525	137,9	900
4	1105	860	7868	140,4	778,28
9	1126	870	7779	144,7	772,65
12	794	610	5881	135	768,26
16	1130	860	7755	145,7	761,06
36	815	620	5902	138,1	760,74
Разом:	5870	4630	41710	140,7	788,76

Таблиця 2.7 Дані заводів 5-ої групи

№ п / п	Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.	Продуктивність праці, т. / чол.	Собівартість одиниці продукції, грн.
7	610	510	3730	163,5	836,07
19	559	510	3725	150,1	912,34
24	1270	980	7985	159,0	771,65
Разом:	2439	2000	15440	158,0	820,01

Таблиця 2.8 Дані заводів 6-ої групи

№ п / п	Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.	Продуктивність праці, т. / чол.	Собівартість одиниці продукції, грн.
6	1066	820	5632	189,3	769,23
25	696	600	3680	189,1	862,07
26	1169	890	6335	184,5	761,33
Разом:	2931	2310	15647	187,3	788,13

Таблиця 2.9 Зведена таблиця угруповання

№ групи	Групи заводів по продуктивності праці (інтервали), т / чол.			Число заводів	Вироблено продукції, тис.т.	Загальна сума витрат, млн.руб.	Середньооблікова кількість працівників, чол.
1	70	-	89,9	6	1263	1350	16337
2	89,9	-	109,8	6	2162	2190	21415
3	109,8	-	129,7	12	7246	6450	61462
4	129,7	-	149,6	6	5870	4630	41710
5	149,6	-	169,5	3	2439	2000	15440
6	169,5	-	189,4	3	2931	2310	15647
Разом				36	21911	18930	172011

Найбільші обсяги виробленої продукції, загальну суму витрат і сумарну чисельність працівників має група заводів № 3.
Визначимо структуру обсягу виробництва, загальної суми витрат та чисельності працюючих по групах. Результати розрахунку наведемо у таблиці.
Таблиця 2.10 Структурна таблиця.

№	Групи заводів по продуктивності праці			Число заводів		Вироблено продукції		Загальна сума витрат		Середньооблікова кількість працівників
№	Групи заводів по продуктивності праці			шт.	% До підсумку	тис.т.	% До підсумку	млн. руб.	% До підсумку	чол.	% До підсумку
1	70	-	89,9	6	16,7	1263	5,8	1350	7,1	16337	9,5
2	89,9	-	109,8	6	16,7	2162	9,9	2190	11,6	21415	12,4
3	109,8	-	129,7	12	33,3	7246	33,1	6450	34,1	61462	35,7
4	129,7	-	149,6	6	16,7	5870	26,8	4630	24,5	41710	24,2
5	149,6	-	169,5	3	8,3	2439	11,1	2000	10,6	15440	9,0
6	169,5	-	189,4	3	8,3	2931	13,4	2310	12,2	15647	9,1
Разом				36	100,0	21911	100,0	18930	100,0	172011	100,0

У аналітичну таблицю зведемо середні показники по чисельності працівників, загальну суму витрат і випуску продукції, а також показники продуктивності праці та середньої вартості тонни продукції.
Таблиця 2.11 Аналітична таблиця

№ групи	Групи заводів по продуктивності праці			Середній обсяг виробництва продукції, т	Загальна сума витрат у середньому на один завод,.	Середня чисельність працівників,	Продуктивність праці, т / чол.	Середня вартість одиниці продукції,
№ групи	Групи заводів по продуктивності праці			Середній обсяг виробництва продукції, т	Загальна сума витрат у середньому на один завод,.	Середня чисельність працівників,	Продуктивність праці, т / чол.	Середня вартість одиниці продукції,
1	70	-	89,9	210,50	225,00	2722,83	77,3	1068,88
2	89,9	-	109,8	360,33	365,00	3569,17	101,0	1012,95
3	109,8	-	129,7	603,83	537,50	5121,83	117,9	890,15
4	129,7	-	149,6	978,33	771,67	6951,67	140,7	788,76
5	149,6	-	169,5	813,00	666,67	5146,67	158,0	820,01
6	169,5	-	189,4	977,00	770,00	5215,67	187,3	788,13
Разом				608,64	525,83	4778,08	127,4	863,95

За аналітичної таблиці бачимо, що зі зростанням середньої продуктивності праці зростають середній обсяг виробництва і загальні витрати. Це говорить про наявність прямого зв'язку між показниками. Середня собівартість одиниці продукції має зворотний зв'язок з середньою продуктивністю праці.
Графіком інтервального розподілу є гістограма. Побудуємо графік розподілу підприємств:

Рис. 2.1 Гістограма розподілу заводів по продуктивності праці.
Знайдемо середнє значення ознаки за формулою для інтервального ряду:

,
де

- Середнє значення ознаки;
x _i - значення ознаки на інтервалі (середина інтервалу);
m _i - частота повторення ознаки на інтервалі
Складемо допоміжну таблицю:
Таблиця 2.12 Розрахункова таблиця для розрахунку середнього

№ групи	Групи заводів по продуктивності праці (інтервали) т / чол.			Число заводів, n _i	Середина інтервалу, x _i	n _i * x _i
1	70	-	89,9	6	79,95	479,7
2	89,9	-	109,8	6	99,85	599,1
3	109,8	-	129,7	12	119,75	1437
4	129,7	-	149,6	6	139,65	837,9
5	149,6	-	169,5	3	159,55	478,65
6	169,5	-	189,4	3	179,45	538,35
Разом				36		4370,7

= 4370,7 / 36 = 121,41 т / чол.
Знайдемо дисперсію ознаки за формулою:

,
де

- Дисперсія ознаки.
Складемо допоміжну таблицю:
Таблиця 2.13 Розрахункова таблиця для розрахунку дисперсії

№ групи	Групи заводів по продуктивності праці (інтервали) т / чол.			Число заводів, n _i	Середина інтервалу, x _i	(Х _i - )	(Х _i - ) ²	n _i * (х _i - ) ²
1	70	-	89,9	6	79,95	- 41,46	1718,932	10313,59
2	89,9	-	109,8	6	99,85	- 21,56	464,8336	2789,002
3	109,8	-	129,7	12	119,75	- 1,66	2,7556	33,0672
4	129,7	-	149,6	6	139,65	18,24	332,6976	1996,186
5	149,6	-	169,5	3	159,55	38,14	1454,66	4363,979
6	169,5	-	189,4	3	179,45	58,04	3368,642	10105,92
Разом				36				29601,75

= 29601,75 / 36 = 822,27 (т / чол.) ²
Середнє квадратичне ставлення

т / чол.
Коефіцієнт варіації

.
Коефіцієнт варіації менше 33% означає вибірка однорідна.
Мода - це найбільш часто повторюване значення ознаки, для угруповання мода перебувати за формулою:

гдех ₀ - початкове значення модального інтервалу;
f _Mo, f _{Mo -1,} f _{Mo +1} - частота появи ознаки відповідно в інтервалі модальному, що передує модальному і наступним за модальним;
h - довжина інтервалу.

т / чол.
Знайдемо медіану вибірки за формулою для інтервального ряду:

т / чол.

Практична робота № 3
1. Є такі дані про структуру і динаміку виробництва на заводі Буддеталь в табл. 3.1.
Таблиця 3.1

Умовні позначення видів продукції	Питома вага видів продукції (%) у минулому році	Темпи зростання обсягів виробництва,%
А	15,8	102,6
Б	10,2	110,2
У	25,0	108,7
Г	40,9	105,0
Д	8,1	118,0
Загальний обсяг виробництва	100,0	106,6

Визначте структуру виробництва в плановому році.
2. Фактичне та потрібне розподіл робочих за тарифними розрядами представлено в табл. 3.2
Таблиця 3.2

Тарифний розряд	1	2	3	4	5	6	Разом
Фактична чисельність, чол.	10	15	25	40	17	8	115
Необхідна структура,%	2	8	25	30	25	10	100

Побудуйте графік ряду розподілу фактично працюючих 115 робітників і порівняйте його з необхідною за складом робіт структурою кваліфікацій.
Як називається цей графік ряду розподілу?
3. Сукупність складається з 2 частин. Відомо, що одна частина становить від іншої 50%. Розрахуйте структуру сукупності.
Рішення:
1) Визначимо середньозважений за елементами структури індекс зростання продукції.
У цьому випадку вагами будуть виступати питомі ваги видів продукції (виражені в частках):
I = S (i * d _пр / 100)
Тоді питома вага однієї групи продукції можна знайти як відношення твори індивідуального індексу і питомої ваги до середньозваженого індексу:
d _пл = (i * d _пр) / I
Знайдемо питомі ваги продукції в плановому році. Результати розрахунків представимо в таблиці 3.3
Таблиця 3.3 Розрахунок структури продукції в плановому періоді

Умовні позначення видів продукції	Питома вага видів продукції (%) у минулому році (d _пр)	Темпи зростання обсягів виробництва,% (i)	i * d _пр / 100	Питома вага видів продукції (%) в плановому році (d _пл)
А	15,8	102,6	16,21	15,13
Б	10,2	110,2	11,24	10,49
У	25	108,7	27,18	25,37
Г	40,9	105	42,95	40,09
Д	8,1	118	9,56	8,92
Загальний обсяг виробництва	100	106,6	107,14	100

2) Знайдемо питома вага i-го тарифного розряду (d _i) як відношення чисельності робітників даного розряду (n _i) до загальної чисельності робітників (Sn):
d _i = n _i / Sn * 100%
Наприклад, для перового розряду:
d ₁ = 10 / 115 * 100 = 8,7%
Розрахуємо фактичну структуру розподілу робітників за тарифними розрядами.
Таблиця 3.4

Тарифний розряд	1	2	3	4	5	6	Разом
Фактична чисельність, чол.	10	15	25	40	17	8	115
Фактична структура,%	8,7	13,04	21,74	34,78	14,78	6,96	100
Необхідна структура,%	2	8	25	30	25	10	100

Побудований графік називається порівняльної діаграмою.
За діаграмою бачимо, що фактична структура робочих перерозподілена в бік низьких розрядів у порівнянні з необхідною структурою. На обличчя нестача висококваліфікованих кадрів.
3) Сукупність складається з 2 частин. Відомо, що одна частина становить від іншої 50%. Розрахуйте структуру сукупності.
Знайдемо частку більшої частини в загальній сукупності:
d ₁ = 100 / (100 + 50) * 100% = 66,67% або 2 / 3
Знайдемо частку меншої частини в загальній сукупності:
d ₂ = 50 / (100 + 50) * 100% = 33,33% або 1 / 3
Практична робота № 4
Таблиця 4.1

Інтервал по зарплаті, руб.	Кількість робітників у групі, чол.
180-200	10
200-400	30
400-600	50
600-800	60
800-1000	145
1000-1200	110
1200-1400	80
1400-1600	15
Разом:	500

Розрахуйте методом моментів середню зарплату робітників.
Визначте модальне значення середньої зарплати.
Знайдіть медіану ряду розподілу.
Рішення:
Математичне сподівання розподілу знаходитися як початковий момент першого порядку:

Для інтервального ряду в якості x _i будуть виступати середини інтервалів.
M _x = (190 * 10 + 300 * 30 + 500 * 50 + 700 * 60 + 900 * 145 + 1100 * 110 + 1300 * 80 + 1500 * 15) / 500 = 455 900 / 500 = 911,8 руб.

Мода - це найбільш часто повторюване значення ознаки, для інтервального ряду мода перебувати за формулою:

руб.
Медіана вибірки перебувати за формулою для інтервального ряду:

гдех ₀ - початкове значення медіанного інтервалу;
f _{'M е-1} - накопичена частота в інтервалі попередньому медіанного
f _{M е} - частота появи ознаки в медіанній інтервалі;
h - довжина інтервалу.
Медіанним інтервалом є інтервал в якому накопичена частота перевищує половину вибірки. Для наведеного в табл. 4.1 ряду такий інтервал 800 - 1000 руб.
Знайдемо медіану вибірки

руб.
Практична робота № 5
Відповідно до макета за даними табл. 2.1 побудуйте угруповання підприємств за ознаками: Х - продуктивність праці, Y - собівартість одиниці продукції.
Обчисліть загальну, внутрішньогрупових і міжгрупова дисперсії фондоозброєності праці; середню з внутрішньогрупових. Перевірте складанням дисперсій правильність своїх розрахунків.
Обчисліть коефіцієнт детермінації.
Зробіть короткі висновки.
Рішення:
Розділимо вибірку на 5 класів. Величини інтервалів визначимо з формул:

.
Складемо кореляційну таблицю
Таблиця 5.1

X		Y										Разом
		761	854	854	947	947	1041	1041	1134	1134	1227
70,0	93,9	0		2		1		2		2		7	79,03
93,9	117,7	3		2		4		1		1		11	108,36
117,7	141,6	5		2		3		0		0		10	128,76
141,6	165,4	4		1		0		0		0		5	152,60
165,4	189,3	2		1		0		0		0		3	187,63
Разом		14		8		8		3		3		36	-
		788,24		899,46		1005,08		1095,03		1176,90		-	-

Значення у стовпці

та рядку

задають послідовність точок, яка ілюструє залежність середнього значення результативної ознаки (у) від факторного ознаки (х) - емпіричну лінію регресії.
Загальна та міжгрупова дисперсії знаходяться за формулами:

де

- Міжгрупова дисперсія;

- Загальна дисперсія.

- Групові середні;

- Загальна середня;
n _i - частота i-ої групи;
y _i - i-й варіант ознаки;
f _i - частота i-го варіанта.
Загальна дисперсія показує варіацію результативної ознаки під впливом всіх факторів. Міжгрупова дисперсія показує варіацію результативної ознаки, обумовлену варіацією группировочного. Середня з внутрішньогрупових показує варіацію результативної ознаки під впливом факторів неврахованих при угруповання. Середня з внутрішньогрупових перебувати за формулою середньозваженої.

Усі три види дисперсій пов'язані правилом додавання трьох дисперсій

Таблиця 5.2 Допоміжні розрахунки для розрахунку міжгруповий дисперсії

Група по Х	n _i	_i	_i -	( _i - ) ²	n _i · ( _i - ) ²
1	7	1059,93	140,83	19834,21	138839,45
2	11	954,44	35,35	1249,32	13742,47
3	10	872,27	-46,82	2192,57	21925,70
4	5	810,75	-108,34	11738,61	58693,07
5	3	797,54	-121,56	14775,75	44327,26
Разом	36	919,10			277527,95

= 277527,95 / 36 = 7709,11
Таблиця 5.3 Допоміжні розрахунки для розрахунку загальної дисперсії

Група з Y	n _i	y _i	y _i -	(Y _i - ) ²	n _i · (y _i - ) ²
1	14	807,39	-111,7	12478,2	174694,9
2	8	900,70	-18,4	338,6	2708,4
3	8	994,01	74,9	5610,9	44887,4
4	3	1087,31	168,2	28295,3	84885,9
5	3	1180,62	261,5	68391,7	205175,2
Разом	36	919,10			512351,8

= 512351,8 / 36 = 17820,82
Знайдемо внутригрупповую дисперсію по першій групі

Таблиця 5.4 Розрахункова таблиця для розрахунку дисперсії по першій групі

№ п / п	y	y -	(Y - ) ²
1	900,47	-159,46	25428,40
2	1102,94	43,01	1849,61
3	1054,55	-5,38	28,98
4	1227,27	167,34	28001,72
5	1037,74	-22,19	492,52
6	941,18	-118,75	14102,24
7	1155,38	95,45	9110,16
Сума	7419,53	0	79013,63

= 79013,63 / 7 = 11287,66
Знайдемо внутригрупповую дисперсію по другій групі
Таблиця 5.5 Розрахункова таблиця для розрахунку дисперсії по другій групі

№ п / п	y	y -	(Y - ) ²
1	855,61	-98,83	9768,27
2	800,00	-154,44	23853,12
3	970,87	16,43	269,80
4	1028,71	74,27	5515,36
5	782,61	-171,83	29527,11
6	1148,04	193,60	37479,20
7	840,52	-113,92	12978,80
8	918,73	-35,71	1275,53
9	1021,74	67,30	4528,68
10	1127,60	173,16	29982,81
11	1004,46	50,02	2501,55
Сума	10498,89	0	157680,22

= 157680,22 / 11 = 14334,57
Знайдемо внутригрупповую дисперсію по третій групі

Таблиця 5.6 Розрахункова таблиця для розрахунку дисперсії по третій групі

№ п / п	y	y -	(Y - ) ²
1	900,00	27,73	768,73
2	961,54	89,27	7968,42
3	778,28	-93,99	8834,87
4	768,26	-104,01	10818,91
5	905,29	33,02	1090,06
6	816,90	-55,37	3066,28
7	816,12	-56,15	3153,27
8	976,65	104,38	10894,35
9	1038,96	166,69	27784,22
10	760,74	-111,53	12439,83
Сума	8722,74	0	86818,95

= 86818,95 / 10 = 8681,89
Знайдемо внутригрупповую дисперсію по четвертій групі
Таблиця 5.7 Розрахункова таблиця для розрахунку дисперсії по четвертій групі

№ п / п	y	y -	(Y - ) ²
1	836,07	25,32	640,90
2	772,65	-38,10	1451,91
3	761,06	-49,69	2469,49
4	912,34	101,59	10319,72
5	771,65	-39,10	1529,12
Сума	4053,77	0	16411,15

= 16411,15 / 5 = 3282,23
Знайдемо внутригрупповую дисперсію по четвертій групі

Таблиця 5.8 Розрахункова таблиця для розрахунку дисперсії по четвертій групі

№ п / п	y	y -	(Y - ) ²
1	769,23	-28,31	801,64
2	862,07	64,53	4163,69
3	761,33	-36,21	1311,41
Сума	2392,63	0	6276,74

= 6276,74 / 3 = 2092,25
Знайдемо середню з внутрішньогрупових:

= (11287,66 * 7 + 14334,57 * 11 + 8681,89 * 10 + 3282,23 * 5 + 2092,25 * 3) / 36 = 346200,68 / 36 = 9616,69
Перевіримо правило додавання дисперсій

7709,11 + 9616,69 = 17325,8

= 17820,82
Тобто правило додавання дисперсій виконується.
Емпіричний коефіцієнт детермінації дорівнює:

= 7709,11 / 17820,82 = 0,433
Тобто 43,3% варіації результативної ознаки пояснюється варіацією факторної ознаки. Зв'язок між показниками середня.

Практична робота № 6
На основі даних табл. 2.1 і розрахунків собівартості (С) і продуктивності праці (ω) виконайте наступні операції з розрахунку лінії регресії

:
- Нанесіть на графік кореляційного поля дані по 36 заводам;
- Зробіть висновок про можливу форму зв'язку між собівартістю продукції і продуктивністю праці;
- Для вибраної формули за допомогою методу найменших квадратів розрахуйте величини коефіцієнтів;
- Нанесіть на графік кореляційного поля отриману теоретичну лінію регресії;
- Розрахуйте для даної форми зв'язку необхідні показники, що характеризують тісноту зв'язку (кореляційне відношення або коефіцієнт кореляції) між собівартістю продукції і продуктивністю праці.
Рішення:
Побудуємо кореляційне поле

За графіком можна припустити наявність зворотного зв'язку між продуктивністю праці (х) і собівартістю одиниці продукції (у).
Розрахуємо параметри рівняння лінійної парної регресії.
Для розрахунку параметрів a і b рівняння лінійної регресії у = а + bx вирішимо систему нормальних рівнянь відносно а і b:

За вихідними даними розраховуємо Sх, Sу, Sух, Sх ^2, Sу ^2.
Таблиця 6.1

№ п / п	y	x	yx	x ²	y ²
1	900	137,9	124110,00	19016,41	810000,00
2	855,61	109,2	93432,61	11924,64	732068,47
3	961,54	118,8	114230,95	14113,44	924559,17
4	778,28	140,4	109270,51	19712,16	605719,76
5	900,47	74,4	66994,97	5535,36	810846,22
6	769,23	189,3	145615,24	35834,49	591714,79
7	836,07	163,5	136697,45	26732,25	699013,04
8	800	114,5	91600,00	13110,25	640000,00
9	772,65	144,7	111802,46	20938,09	596988,02
10	1102,94	70	77205,80	4900,00	1216476,64
11	970,87	105,3	102232,61	11088,09	942588,56
12	768,26	135	103715,10	18225,00	590223,43
13	1028,71	109,9	113055,23	12078,01	1058244,26
14	1054,55	80,6	84996,73	6496,36	1112075,70
15	782,61	111,9	87574,06	12521,61	612478,41
16	761,06	145,7	110886,44	21228,49	579212,32
17	905,29	124,2	112437,02	15425,64	819549,98
18	1227,27	78,2	95972,51	6115,24	1506191,65
19	912,34	150,1	136942,23	22530,01	832364,28
20	816,9	125	102112,50	15625,00	667325,61
21	1148,04	112,3	128924,89	12611,29	1317995,84
22	840,52	116,1	97584,37	13479,21	706473,87
23	1037,74	93,5	97028,69	8742,25	1076904,31
24	771,65	159	122692,35	25281,00	595443,72
25	862,07	189,1	163017,44	35758,81	743164,68
26	761,33	184,5	140465,39	34040,25	579623,37
27	816,12	120,6	98424,07	14544,36	666051,85
28	941,18	70,7	66541,43	4998,49	885819,79
29	918,73	111,7	102622,14	12476,89	844064,81
30	976,65	127,2	124229,88	16179,84	953845,22
31	1021,74	109,3	111676,18	11946,49	1043952,63
32	1127,6	95,5	107685,80	9120,25	1271481,76
33	1004,46	96,3	96729,50	9273,69	1008939,89
34	1038,96	120,4	125090,78	14496,16	1079437,88
35	1155,38	85,8	99131,60	7361,64	1334902,94
36	760,74	138,1	105058,19	19071,61	578725,35
Разом	33087,56	4358,7	3907787,13	562532,77	31034468,27
Середнє	919,10	121,08	108549,6	15625,9	862068,6
Позначення середнього

Знайдемо дисперсію змінних:

= 15625,9 - 121,08 ² = 966,75

= 862068,6 - 919,10 ² = 17325,8
Знайдемо параметри a і b рівняння лінійної регресії:

- 2,8

919,10 + 2,8 · 121,08 = 1261,03
Рівняння регресії:

= 1261,03 - 2,8 · х

Зі збільшенням середньої продуктивності праці на 1 т / чол. собівартість однієї тонни зменшується на 2,8 руб.
Нанесемо лінію регресії на графік кореляційного поля.
Розрахуємо лінійний коефіцієнт парної кореляції:

- 0,667
Оскільки коефіцієнт близький до - 0,7, то зв'язок середня, близька до сильної, зворотна.
Практична робота № 7
Зміна обсягів товарообігу і цін у 1985-1990 рр.. наведено табл.7.1
Таблиця 7.1

Роки	1985	1986	1987	1988	1989	1990
Зміна обсягів товарообігу, млн. руб.	700	720	750	780	800	840
Ланцюговий індекс цін	-	1,02	1,03	1,05	1,06	1,08

Розрахуйте:
а) показники динаміки обсягу товарообігу за ці роки (абсолютні прирости, темпи росту і приросту, їх середні величини);
б) побудуйте графік, визначте вид функції і проведіть операцію аналітичного вирівнювання. Теоретичну лінію регресії нанесіть на графік.
Рішення:
Розрахуємо показники динаміки за такими формулами:
Розрахуємо показники динаміки за такими формулами:
Абсолютний приріст базисний:
D _{i баз} = Y _i - Y _1,
де Y ₁ - розмір показника в першому році, Y _i - розмір показника в i-му році. Абсолютний приріст ланцюговий:
D _{i ціп} = Y _i - Y _i-1,
де Y _i-1 - розмір показника в попередній i-му рік.
Темп зростання базисний:
Т _{р баз} = (Y _i / Y ₁₎ · 100.
Темп зростання ланцюгової:
Т _{р ціп} = (Y _i / Y _i-1) · 100.
Темп приросту базисний:
Т _{пр баз} = Т _{р баз} - 100.
Темп приросту ланцюгової:
Т _{пр ціп} = Т _{р ціп} - 100.
Розраховані показники зведемо в таблицю 7.2

Таблиця 7.2 Показники динаміки обсягу товарообігу

Квартал	Обсяги товарообороту, млн. руб.	Абсолютний приріст		Темп росту,%		Темп приросту,%
Квартал	Обсяги товарообороту, млн. руб.	базисний	ланцюгової	базисний	ланцюгової	базисний	ланцюгової
1985	700	0	-	100,0	-	0,0	-
1986	720	20	20	102,9	102,9	2,9	2,9
1987	750	50	30	107,1	104,2	7,1	4,2
1988	780	80	30	111,4	104,0	11,4	4,0
1989	800	100	20	114,3	102,6	14,3	2,6
1990	840	140	40	120,0	105,0	20,0	5,0

Нанесемо дані на графік динаміки:

Рис. 7.1. Вихідні дані.
За графіком динаміки можна припустити лінійну залежність між показниками.
Для визначення основної тенденції ряду зробимо вирівнювання ряду динаміки за допомогою рівняння прямої:
Y _{i теор} = а ₀ + а ₁ t _i,
де Y _{i теор} - розраховане вирівняне значення виробництва електроенергії, після підставлення в рівняння значення t _i. Для знаходження а ₀ і а ₁ вирішимо таку систему.

Для вирішення системи складемо таблицю:
Таблиця 7.3

Роки	Обсяги товарообороту, млн. руб.	t	Y * t	t ²	f (t)
1985	700	-5	-3500	25	695,71
1986	720	-3	-2160	9	723,43
1987	750	-1	-750	1	751,14
1988	780	1	780	1	778,86
1989	800	3	2400	9	806,57
1990	840	5	4200	25	834,29
Разом	4590	0	970	70	4590

а ₀ = 4590 / 6 = 765 і а ₁ = 970 / 70 = 13,857.
Таким чином, f (t) = 765 + 13,857 · t, для t = -5, -3, ..., +3, +5, або f (t) = 668 + 27,714 · t, для t = 1, 2, 3, 4, 5, 6. а ₁ = 27,714 - показник сили зв'язку, тобто за період 6 років відбувалося збільшення товарообігу на 27,714 млн. руб. щорічно. Зобразимо вихідний і вирівняний ряди

Рис. 7.2. Вихідний і вирівняний ряди

По графіку видно, що лінійна функція дуже точно збігається з вихідними даними.
Практична робота № 8
Є такі дані про продаж картоплі на ринках міста за 2 кварталу (табл. 8.1).
Таблиця 8.1

Ринки	2-й квартал		4-й квартал
Ринки	Кількість, ц	Модальна ціна, крб. за 1 кг	Кількість, ц	Модальна ціна, крб. за 1 кг
1	120,0	7,0	180,0	8,5
2	140,0	8,0	160,0	8,1
3	140,0	9,0	180,0	8,5

На основі наведених даних визначте:
а) індекс середніх цін;
б) індекс цін у постійній структурі продажів;
в) індекс впливу на середню ціну структурних змін (зміни питомої ваги ринків) у продажу картоплі;
г) зміна середніх цін (в абсолютних величинах) в цілому і за рахунок впливу окремих факторів.
Рішення:
Індексом змінного складу в статистиці називають відношення двох середніх величин. Знайдемо індекс змінного складу за такою формулою:

,

де

- Індекс змінного складу;

- Середня ціна картоплі в звітному періоді;

- Середня ціна картоплі в базисному періоді;
p ₁ - ціна на картоплю у звітному періоді;
p ₀ - ціна на картоплю в базисному періоді;
q ₁ - фізичний обсяг проданого картоплі в звітному періоді;
q ₀ - фізичний обсяг проданого картоплі в базисному періоді.