Визначення оптимального за квадратичним критерієм якості програмного керуючого впливу

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ РОСCІЙСКОЙ ФЕДЕРАЦІЇ
МІНІСТЕРСТВО АГЕНСТВО ДО ОСВІТИ
Південний федеральний університет
ТЕХНОЛОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ
ПІВДЕННОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ У м. Таганрог
Факультет автоматики та обчислювальної техніки Кафедра систем автоматичного управління
ІНДИВІДУАЛЬНЕ ЗАВДАННЯ № 1
Дисципліна "Методи оптимізації"
Тема: Визначення оптимального за квадратичним критерієм якості програмного керуючого впливу.
Виконав:
Ст-т гр. А-14425.10.07 р
Безродний С.В.
Перевірила:
Викладач каф. САУ25.10.07 р
Тесленко О.А.
Таганрог 2007

Варіант № 5

Дано:
Структурна схема об'єкта управління (ОУ).

2. Граничні умови.
, (1)
3. Критерій якості виду:
(2)
4. Вигляд обурює впливу:
(3)
Потрібно визначити:
Аналітичне вираження оптимального програмного керуючого впливу u ^* (t), що переводить ОУ з початкового стану в кінцеве, за кінцевий інтервал часу t Є [0, t _k] по оптимальній траєкторії
x ^* (t) = [x ₁ ^* (t) x ₂ ^* (t)] _^Т.
Примітка: f (t) = 0.
Побудувати часові діаграми: u ^* (t), x ₁ ^* (t), x ₂ ^* (t) і фазову траєкторію.
Ввести рівноваги вплив f (t) і провести моделювання оптимальної СУ. Побудувати часові діаграми u ^* (t), x ₁ ^* (t), x ₂ ^* (t) і фазову траєкторію.
Примітка: амплітуду a вибрати довільно в розумних межах, а частоту ω ₀ вибрати з інтервалу [(5Ч10) · ].
Моделювання СУ проводити за допомогою пакету MATLAB, програму моделювання представити у звіті.
Зробити висновки.
Виконання роботи:
1) Математична модель ЗУ має вигляд:

Складемо вираз розширеного функціоналу:

Визначаємо всі приватні похідні по всіх координатах і отримуємо систему рівнянь Ейлера-Лагранжа у вигляді:

Перепишемо систему в формі Коші:

Складаємо матрицю коефіцієнтів цієї системи:

Визначаємо коріння характеристичного полінома:



Загальний вигляд рівнянь шуканих екстремальний визначається однозначно, як:

З граничних умов (1) визначаємо значення постійних інтегрування:




Рівняння оптимального програмного керування визначаємо чинності вихідного ОУ з урахуванням виразів оптимальних програмних траєкторій у вигляді:

2) Моделювання оптимальної системи програмного керування без урахування обурює впливу:


Рис.1. Лістинг програми моделювання системи без урахування обурює впливу.

Рис.2. Оптимальне програмне вплив u (t).

Рис.3. Перехідна характеристика х ₁ (t).

Рис.4. Перехідна характеристика х ₂ (t).

Рис.5. Фазова траєкторія.
3) Моделювання оптимальної системи програмного керування з урахуванням обурює впливу:


Рис.6. Лістинг програми моделювання системи з урахуванням обурює впливу.

Рис.7. Оптимальне програмне вплив u (t).


Рис.8. Перехідна характеристика х ₁ (t).

Рис.9. Відхилення істинної перехідної характеристики від програмної е (t).

Рис.10. Перехідна характеристика х ₂ (t).


Рис.11. Фазова траєкторія.

Висновки по роботі

У даній роботі визначалося аналітичний вираз оптимального програмного управляючого впливу за квадратичним критерієм якості. З графіків рис.3. - Рис.5. видно, що характер процесу - аперіодичний, що встановилася помилка дорівнює нулю, процес переведення ОУ з початкового стану х ₁ (0) = х ₂ (0) = 0 в кінцеве х ₁ (0,9) = 0,3, х ₂ (0 , 9) = 0 відбувається по оптимальній траєкторії, доставляючи екстремум функціоналу в заданий проміжок часу t = 0,9 c.
При дії на систему обурення (3) спостерігали на рис.8. - Рис.11. відхилення істинних перехідних характеристик від програмних, причому на рис.9. представлений графік .