Зміст
1.1 Визначення опорних реакцій ферми 1
1.2 Розрахунок зусиль в стержнях ферми 1
1.2.1 Визначення зусиль в стержнях ферми аналітичним методом вирізання вузлів
1.2.2. Визначення зусиль в стержнях ферми методом Ріттера
2.1 Визначення опорних реакцій ферми 2
2.2 Розрахунок зусиль в стержнях ферми 2
2.2.1 Визначення зусиль в стержнях ферми аналітичним методом вирізання вузлів
2.2.2. Визначення зусиль в стержнях ферми методом Ріттера
3.1 Визначення опорних реакцій ферми 3
3.2 Розрахунок зусиль в стержнях ферми 3
3.2.1 Визначення зусиль в стержнях ферми аналітичним методом вирізання вузлів
3.2.2. Визначення зусиль в стержнях ферми методом Ріттер а
4. Розрахунок плоскою складної конструкції 1
5. Розрахунок плоскою складної конструкції 2
6. Розрахунок плоскою складної конструкції 3
7. Розрахунок плоскою складної конструкції 4
8. Розрахунок просторової конструкції
Висновки
Список літератури
Програми
1.1 Визначення опорних реакцій ферми 1
На малюнку 1 зображено ферма з опорами і діють на неї активними силами. На малюнку пронумеровані всі вузли і стрижні.
Звільнимо ферму від опор, замінивши їх дію силами реакцій зв'язків, , . Розрахункова схема зображена на рис. 2. На ферму діють активні сили ( ) І реакції опор. Реакція нерухомої шарнірної опори A невідома ні за модулем, ні за спрямуванням, тому її розкладемо на дві взаємно перпендикулярні складові сили , . Стрижень У замінимо однією силою, спрямованої під кутом до вертикалі. Таким чином, ферма знаходиться в рівновазі під дією довільної плоскої системи сил.
Вибравши систему координат, складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ферми:
(1)
(2)
(3)
З рівняння (3):
Перетворимо знаменник:
Визначимо, при яких умовах знаменник звертається до 0:
Отже, при постановці завдання слід враховувати це обмеження на кут і задавати для нього значення, далекі від
Підставивши значення активних сил і кутів, знайдемо значення реакції опори
.
З рівняння (1):
З рівняння (2):
1.2 Розрахунок зусиль в стержнях ферми 1
1.2.1 Визначення зусиль в стержнях ферми аналітичним методом вирізання вузлів
Для визначення зусиль у стрижнях 1-11 виріжемо вузли I-VII (див. рис. 3) і розглянемо рівновагу сил, прикладених до кожного з них. При цьому необхідно врахувати, що . Складемо систему рівнянь для кожного вузла, починаючи з першого. Сума проекцій всіх сил на вісь Ox відповідатиме першому рівнянню для кожного вузла, а сума всіх проекцій на вісь Oy - другому рівнянню.
Вузол I.
Вузол II.
Вузол III.
Вузол IV.
Вузол V.
Вузол VI.
Вузол VII.
Знаючи реакції опор, знайдемо зусилля всіх стрижнів.
З рівнянь I (де римська цифра означає рівняння проекцій сил, що діють на відповідний вузол, на осі координат):
З рівнянь III:
З рівнянь IV:
З рівнянь II:
З рівнянь V:
З рівнянь VII:
З результатів розрахунків випливає, що реакції стрижнів 2,4-8 мають напрямки, протилежні прийнятим на розрахунковій схемі. Отже,
ці стрижні стислі.
1.2.2 Визначення зусиль в стержнях ферми методом Ріттера
Метод Ріттера (спосіб перерізів) у загальному випадку передбачає попереднє визначення реакцій опор ферми, хоча зусилля в деяких стрижнях (при певному розташуванні опор ферми) можна визначити, не знаючи опорних реакцій. Якщо реакції опор ферми визначені, то метод Ріттера дозволяє оперативно знайти зусилля в даному стрижні, при цьому, як правило, визначення зусилля є автономним, тобто не пов'язаних з визначенням зусиль в інших стрижнях. Для цього необхідно виконання однієї умови: конструкція ферми повинна бути такою, щоб існувала можливість розсічення ферми на дві частини за трьома стержнів, серед яких знаходиться стрижень, зусилля в якому визначається.
Знайдемо, наприклад зусилля в стержнях 3, 5 і 6. Для цього розсічений дані стрижні як показано на малюнку 4.
З малюнка видно, що зусилля в стержні 5 легко знаходиться, якщо скласти рівняння суми моментів усіх сил щодо точки D:
Зусилля в стержні 3 легко знаходиться з рівняння суми проекцій всіх сил на вісь Oy:
І, нарешті, зусилля в стержні 6 знайдемо з рівняння суми проекцій всіх сил на вісь Ox:
Порівняємо отримані результати з тими, що були отримані в математичному пакеті MathCAD:
Числа 1-11 - відповідні стрижні, 12 - , 13 - , 14 -
2.1 Визначення опорних реакцій ферми 2
На малюнку 5 зображено ферма з опорами і діють на неї активними силами. На малюнку пронумеровані всі вузли і стрижні.
Звільнимо ферму від опор, замінивши їх дію силами реакцій зв'язків . Розрахункова схема зображена на рис. 6. На ферму діють активні сили ( ) І реакції опор. Реакція нерухомій шарнірної опори З невідома ні за модулем, ні за спрямуванням, тому її розкладемо на дві взаємно перпендикулярні складові сили . Стрижень А замінимо однією силою, спрямованої під кутом до горизонталі. Таким чином, ферма знаходиться в рівновазі під дією довільної плоскої системи сил.
Вибравши систему координат, складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ферми:
(4)
(5)
(6)
З рівняння (6):
Перетворимо знаменник:
Визначимо, при яких умовах знаменник звертається до 0:
Отже, при постановці завдання слід враховувати це обмеження на кут і задавати для нього значення, далекі від . Наприклад,
Підставивши значення активних сил і кутів, знайдемо значення реакції опори .
З рівняння (4):
З рівняння (5):
2.2 Розрахунок зусиль в стержнях ферми 2
2.2.1 Визначення зусиль в стержнях ферми аналітичним методом вирізання вузлів
Для визначення зусиль у стрижнях 1-11 виріжемо вузли I-VII (див. рис. 6) і розглянемо рівновагу сил, прикладених до кожного з них. При цьому необхідно врахувати, що . Складемо систему рівнянь для кожного вузла, починаючи з першого. Сума проекцій всіх сил на вісь Ox відповідатиме першому рівнянню для кожного вузла, а сума всіх проекцій на вісь Oy - другому рівнянню.
Вузол I.
Вузол II.
Вузол III.
Вузол IV.
Вузол V.
Вузол VI.
Вузол VII.
Знаючи реакції опор, знайдемо зусилля всіх стрижнів.
З рівнянь I (де римська цифра означає рівняння проекцій сил, що діють на відповідний вузол, на осі координат):
З рівнянь IV:
З рівнянь III:
З рівнянь VI:
З рівнянь VII:
З рівнянь VI:
З рівнянь II:
З результатів розрахунків випливає, що реакції стрижнів 1-4, 6, 8, 9-10 мають напрямки, протилежні прийнятим на розрахунковій схемі. Отже, ці стрижні стислі.
2.2.2 Визначення зусиль в стержнях ферми методом Ріттера
Знайдемо зусилля у стержнях 3, 9 і 11. Для цього розсічений дані стрижні як показано на малюнку 8.
З малюнка видно, що зусилля в стержні 9 легко знаходиться, якщо скласти рівняння суми моментів усіх сил щодо точки D:
Зусилля в стержні 3 легко знаходиться з рівняння суми проекцій всіх сил на вісь Oy:
І, нарешті, зусилля в стержні 6 знайдемо з рівняння суми проекцій всіх сил на вісь Ox:
Порівняємо отримані результати з тими, що були отримані в математичному пакеті MathCAD:
Числа 1-11 - відповідні стрижні, 12 - , 13 - , 14 -
3.1 Визначення опорних реакцій ферми 3
На малюнку 9 зображена ферма з опорами і діють на неї активними силами. На малюнку пронумеровані всі вузли і стрижні.
Звільнимо ферму від опор, замінивши їх дію силами реакцій зв'язків . Розрахункова схема зображена на рис. 10. На ферму діють активні сили ( ) І реакції опор. Стрижень А замінимо одній горизонтальній силою, стрижень B замінимо одній вертикальній силою, стрижень З однією силою, спрямованої під кутом до горизонталі. Таким чином, ферма знаходиться в рівновазі під дією довільної плоскої системи сил.
Вибравши систему координат, складемо рівняння рівноваги сил, прикладених до ферми:
(7)
(8)
(9)
З рівняння (9):
Перетворимо знаменник:
Визначимо, при яких умовах знаменник звертається до 0:
Отже, при постановці завдання слід враховувати це обмеження на кут і задавати для нього значення, далекі від . Наприклад,
Підставивши значення активних сил і кутів, знайдемо значення реакції опори
.
З рівняння (7):
З рівняння (8):
3.2 Розрахунок зусиль в стержнях ферми 3
3.2.1 Визначення зусиль в стержнях ферми аналітичним методом вирізання вузлів
Для визначення зусиль у стрижнях 1-11 виріжемо вузли I-VII (див. рис. 10) і розглянемо рівновагу сил, прикладених до кожного з них. При цьому необхідно врахувати, що . Складемо систему рівнянь для кожного вузла, починаючи з першого. Сума проекцій всіх сил на вісь Ox відповідатиме першому рівнянню для кожного вузла, а сума всіх проекцій на вісь Oy - другому рівнянню.
Вузол I.
Вузол II.
Вузол III.
Вузол IV.
Вузол V.
Вузол VI.
Вузол VII.
Знаючи реакції опор, знайдемо зусилля всіх стрижнів.
З рівнянь I (де римська цифра означає рівняння проекцій сил, що діють на відповідний вузол, на осі координат):
З рівнянь IV:
З рівнянь III:
З рівнянь VI:
З рівнянь VII:
З рівнянь VI:
З рівнянь II:
З результатів розрахунків випливає, що реакції стрижнів 2-4, 6, 8-10 мають напрямки, протилежні прийнятим на розрахунковій схемі. Отже, ці стрижні стислі.
3.2.2 Визначення зусиль в стержнях ферми методом Ріттера
Знайдемо зусилля у стержнях 3, 9 і 11. Для цього розсічений дані стрижні як показано на малюнку 8.
З малюнка видно, що зусилля в стержні 9 легко знаходиться, якщо скласти рівняння суми моментів усіх сил щодо точки D:
Зусилля в стержні 3 легко знаходиться з рівняння суми проекцій всіх сил на вісь Oy:
І, нарешті, зусилля в стержні 6 знайдемо з рівняння суми проекцій всіх сил на вісь Ox:
Порівняємо отримані результати з тими, що були отримані в математичному пакеті MathCAD:
Графіки залежностей зусиль стрижнів від кута для всіх ферм представлені у додатку. Висновки про оптимальний виборі набору опор для ферм зроблені в кінці роботи (див. стор 27).
4. Розрахунок плоскою складної конструкції 1
Конструкція складається з балки ПС, на лівому кінці якої є стрижень В, а праворуч вона з'єднана за допомогою шарніра з іншого балкою - АС. До балці НД прикладена сила F під кутом до цієї балки. Крім того, до балки AC прикладена лінійна навантаження з максимальною інтенсивністю (Рисунок 12). Визначити реакції стрижня B і шарніра С, якщо F = 1 кН, , B = 0.8 м, a = 0.7 м, .
Складемо розрахункову схему, звільнившись від опор і замінивши їх відповідними реакціями зв'язків (малюнок 13). Для визначення реакції шарніра С необхідно розчленувати конструкцію. Щоб оптимальним способом визначити шукані реакції, необхідно, щоб в рівняннях відсутні реакції зв'язків жорсткої закладення А. Тому виберемо частина конструкції, показану на малюнку 14.
Оскільки нам невідомо напрямок реакції шарніра С, розіб'ємо її на дві взаємно перпендикулярні складові: горизонтальну - і вертикальну - . Реакція стрижня У спрямована з цього стрижня. Замінимо лінійну навантаження рівнодіючої: . Вона прикладена на відстані від точки С.
Складемо рівняння рівноваги для цієї частини конструкції
(10)
(11)
(12)
З рівняння (12) знайдемо
З рівняння (11):
З рівняння (10):
Реакцію шарніра знайдемо із співвідношення:
Таким чином
Реакції зв'язків отримані з негативним знаком, тобто їхні напрямки протилежні тим, що показані на малюнку.
5. Розрахунок плоскою складної конструкції 2
Розглянута конструкція (малюнок 15) складається з балки ВС, яка з'єднана з іншого балкою - А D за допомогою шарніра С. До балці AD прикріплений вантаж P. До балці НД прикладена лінійна навантаження з максимальною інтенсивністю . Визначити реакції шарніра С і вертикальну складову реакції зв'язку в точці B, якщо P = 1 кН, , A = 0.7 м, r = 0.4 м.
Складемо розрахункову схему, звільнившись від опор і замінивши їх відповідними реакціями зв'язків (малюнок 16). Для визначення реакції шарніра С необхідно розчленувати конструкцію. Спочатку розглянемо рівновагу тій частині, яка показана на малюнку 17. Покажемо всі активні сили:
- Відповідно, горизонтальна і вертикальна складові реакції шарніра С.
- Відповідно, горизонтальна і вертикальна складові реакції шарніра B.
- Сила натягу нитки.
Знайдемо точку перетину ліній дій сил і . Вона показана на малюнку 17. Знайдемо суму моментів усіх сил щодо цієї точки і прирівняємо її до нуля:
(13)
Легко помітити, що більше не можна скласти рівнянь рівноваги, які не містили б невідомі реакції, визначати які не потрібно. Значить необхідно розглянути інші частини конструкції.
Розглянемо, наприклад, ту частину, яка зображена на малюнку 18. При цьому необхідно врахувати, що складові реакції шарніра С потрібно направити в протилежні сторони, однак, за модулем залишити рівними, тобто . Шарнірну опору А замінимо двома взаємно перпендикулярними складовими .
Конструкція знаходиться в стані рівноваги, значить сума моментів усіх сил, обчислених щодо будь-якої точки, дорівнює нулю, наприклад, відносно точки А:
(14)
Отже, для трьох невідомих реакцій ми склали два рівняння рівноваги. Необхідно скласти ще одне рівняння. Повернемося знову до схеми, зображеної на малюнку 17. «Разрєжєм» балку ПС у тому місці, де до неї прикріплена нитка і відкинемо праву частину з лінійної навантаженням і шарнірної опорою В. відкинуту частина замінимо силою , Лінія дії якої збігається з балкою НД Знайдемо точку перетину ліній дій сил і . Вона показана на малюнку 19. Третє рівняння рівноваги для знаходження невідомих реакцій буде мати вигляд:
(15)
Таким чином, маємо:
З рівняння (15) виразимо :
(16)
З рівняння (14) виразимо :
(17)
Підставимо і в рівняння (13). Після всіх перетворень отримаємо:
(18)
З (18) знайдемо :
З рівняння (17):
З рівняння (16):
Реакцію шарніра З знайдемо із співвідношення:
6. Розрахунок плоскою складної конструкції 3
Розрахунок даної конструкції проведемо за допомогою математичного пакету MathCAD. Початкова схема представлена на рисунку 20. Дана конструкція складається з двох частин. Для кожної можна скласти по 3 рівняння рівноваги, разом, 6 рівнянь рівноваги. Число невідомих реакцій теж 6:
- Реакції жорсткої закладення А,
- Реакції шарнірної опори В,
- Зусилля в стержні С.
Склавши рівняння для кожної частини конструкції, запишемо коефіцієнти при невідомих реакціях в матрицю A. Всі відомі величини запишемо в матрицю-стовпець B. Тоді матриця-стовпець Х з невідомих реакцій буде обчислюватися за формулою:
Нижче представлено рішення, отримане в MathCAD 'е:
При складанні рівнянь, напрямок зусиль в стержні С було обрано в припущенні, що він розтягнутий. Але в результаті реакція стрижня вийшла з негативним знаком, тобто стрижень З утисків.
7. Розрахунок плоскою складної конструкції 4
Розрахунок даної конструкції також проведемо за допомогою математичного пакету MathCAD. Початкова схема представлена на рисунку 21. Дана конструкція складається з трьох частин. Для кожної можна скласти по 3 рівняння рівноваги, разом, 9 рівнянь рівноваги. Число невідомих реакцій теж 9:
- Реакції жорсткої закладення А,
- Реакції шарнірної опори В,
- Реакції шарнірного з'єднання С,
- Реакції шарнірного з'єднання D.
Склавши рівняння для кожної частини конструкції, запишемо коефіцієнти при невідомих реакціях в матрицю A. Всі відомі величини запишемо в матрицю-стовпець B. Тоді матриця-стовпець Х з невідомих реакцій буде обчислюватися за формулою:
Нижче представлено рішення, отримане в MathCAD 'е:
8. Розрахунок просторової конструкції
Початкова схема конструкції представлена на малюнку 22. Проаналізувавши її, приходимо до висновку, що для того, щоб ця конструкція знаходилася в стані рівноваги необхідно і достатньо, щоб виконувалося 5 умов: сума проекцій всіх сил на осі Ox, Oy дорівнювала нулю, і сума моментів всіх щодо всіх координатних осей дорівнювала нулю. Це випливає з того, що всі сили паралельні площини xOz, тобто проекції всіх сил на вісь Оу рівні 0. Нижче представлено рішення, отримане в математичному пакеті MathCAD:
Головний вектор просторової системи сил:
Головний момент просторової системи сил:
Матриця коефіцієнтів при невідомих реакціях
Матриця, що містить відомі сили:
Висновки
При розрахунку ферм необхідно було вибрати оптимальне значення кута , За якого опорні реакції були б найменшими. Для цього за допомогою засобів MathCAD були побудовані графіки, на яких представлені залежності модулів невідомих сил від кута . За допомогою опції «Trace» було оцінено значення модулів опорних реакцій і був обраний шуканий кут.
Після розрахунків, оцінюючи отримані результати, приходимо до висновку, що найоптимальнішим буде набір опор, відповідний фермі 3 з кутом (Малюнок 9).
12 - реакція стрижня А, 13 - реакція стрижня В, 14 - реакція стрижня С.
Список літератури
Бать М.І., Джанелідзе Г.Ю., Кельзон А.С. Теоретична механіка у прикладах і задачах. Т.1 (Статика та кінематика) - М.: Наука, 2000.
Кільчевський М.О. Курс теоретичної механіки. Т.1 (Кінематика, статика, динаміка точки) - М.: Наука, 1977.
Збірник завдань для курсових робіт з теоретичної механіки під редакцією А.А. Яблонського. - М.: Вища школа, 1983.
Тарг С.М. Короткий курс теоретичної механіки. - М.: Вища школа, 1990.
Програми
Ферма 1.
Ферма 2.
Ферма 3.