Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
''Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки''
кафедра інформаційні технології автоматизованих систем
РЕФЕРАТ
на тему:
«Визначення динамічних характеристик системи»
Мінськ, 2008
ЗМІСТ
1. Взаємна кореляційна функція між входом і виходом системи
2. Визначення імпульсної перехідної функції об'єкта за статистичними характеристиками
3. Визначення імпульсної перехідної функції з детермінованим характеристикам
Визначення характеристик системи за експериментальними даними називається ідентифікацією систем. Цей важливий клас задач теорії управління своєму розпорядженні великий набір методів, заснованих на методах аналізу систем.
Серед них важливе місце займають методи, які пов'язані з подачею на вхід певних впливів. Знаючи взаємозв'язок між входом і виходом системи у часовій і частотній областях, можна визначити перехідну або частотну характеристику. Наприклад, реакція на одиничне поетапне вплив є одиничною перехідною функцією.
Однак визначення перехідних і передатних функцій лінійних систем або об'єктів управління за допомогою подачі на її вхід штучних впливів певного виду (імпульсів, ступінчастих впливів, гармонік) та заміру реакції системи на ці дії не завжди можливо.
Причин тому може бути декілька.
По-перше, нерідко подання на вхід системи неможлива або небажана, оскільки це веде до порушення нормального ходу технологічного процесу. І в той же час необхідно визначити характеристики системи в режимі її нормальної експлуатації.
По-друге, дуже часто на вхідні дії спеціального виду накладаються випадкові неконтрольовані впливу (шуми і перешкоди), в результаті чого виявляються неможливим точне визначення динамічних характеристик системи з реакції на типові впливу.
У цих випадках вдаються до методів визначення характеристик системи, заснованим на взаємозв'язку статистичних характеристик процесів, що протікають в системі. Наведені вище висловлювання не завжди зручні. Наведемо додаткові відомості з цього приводу.
1 Взаємна кореляційна функція між входом і виходом системи
Процеси на вході
Якщо ж додатково до керуючого впливу
Нехай зовнішні впливи є стаціонарними випадковими процесами і, як наслідок, таким же є вихідний процес
Для центрованих процесів (при нульових математичних очікуваннях) визначимо взаємну кореляційну функцію вхідного і вихідного процесів як математичне очікування добутку цих процесів, один з яких зрушать за часом
Тут, як і раніше, використано усереднення за часом замість усереднення по множині.
Підставимо сюди вираження вихідного процесу (2)
Змінимо порядок інтегрування
Внутрішні інтеграли тут представляють вираження кореляційних функцій. Тому останній вираз можна представити у вигляді:
Якщо перешкода не корелює з керуючим впливом
Отриманий вираз являє собою інтеграл згортки. Воно аналогічно виразом (1). Якщо розглядати кореляційну функцію
Зауважимо, що в остаточному вираженні (4) не фігурують ні характеристики перешкоди, ні імпульсна перехідна функція по заваді. Не відображено навіть сам факт наявності перешкоди.
Якби висновок цього виразу був заснований на використанні виразу (1), а не (2), тобто у припущенні, що перешкода відсутній, то й тоді було б отримано вираз зв'язку (4).
Цим не вичерпуються чудові властивості отриманого виразу. Припустимо, що на вході системи діє «білий шум», тобто
Іншими словами, якщо на вхід системи подавати «білий шум», то взаємно кореляційна функція буде чисельно дорівнює імпульсної перехідної функції системи.
Це чисто теоретичний результат, але він має велике практичне значення. Як відомо, «білий шум» - це абстрактне математичне поняття, ідеалізація випадкового процесу, спектральна щільність якого однакова для будь-якої частоти. Такого процесу в природі не існує: для його генерації було б потрібно джерело нескінченно великої потужності. Проте до такої ідеалізації вдаються всякий раз, коли зміною спектральної щільності в смузі пропускання системи можна знехтувати.
Але навіть з урахуванням цієї обставини отриманий результат має велике значення, тому що чим ближче спектральна щільність до «білого шуму», тим ближче взаємна кореляційна функція до імпульсної перехідної функції.
2 Визначення імпульсної перехідної функції об'єкта за статистичними характеристиками
Якщо вхідний процес не може вважатися «білим шумом», для визначення імпульсної перехідної функції необхідно вирішити інтегральне рівняння (4).
Розраховувати на аналітичне рішення даного рівняння після експериментального визначення кореляційних функцій
Для вирішення різного роду рівнянь чисельними методами необхідна дискретизація завдання. У даному випадку для цього досить замінити інтеграл у виразі (4) кінцевою сумою.
При обчисленні інтеграла за формулою прямокутників це відбувається природним чином. Для застосування згаданої формули інтервал інтегрування розбивають на досить малі подінтервали довжиною Т, на кожному з яких підінтегральна функція мало змінюється.
В якості інтервалу інтегрування візьмемо інтервал (0, L). Нижня межа визначається умовою фізичної здійсненності: при негативних значеннях аргументу імпульсна функція дорівнює нулю, а кінцевий верхня межа визначається умовою стійкості системи: імпульсна перехідна функція стійкої системи повинна прагнути до нуля.
Отже, знайдеться таке значення аргументу імпульсної перехідної функції L, що при великих значеннях вона нехтує мала. Далі, розіб'ємо інтервал (0, L) на N однакових по довжині подінтервалов, кожен з яких має довжину T.
Після цього рівняння (4) можна з достатнім ступенем точності представити у вигляді суми
Вважаючи
Позначивши
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ....
або матричному вигляді
У результаті вирішення цієї системи рівнянь можна отримати значення імпульсної перехідної функції при
3 Визначення імпульсної перехідної функції з детермінованим характеристикам
З рівняння зв'язку між вхідним і вихідним процесами в детермінованому випадку також можна отримати систему рівнянь відносно значень імпульсної перехідної функції.
Дійсно, зв'язок між входом і виходом в тимчасовій області описується рівнянням згортки (1). Воно до цих пір розглядалася як вираження вихідний координати через вхідну, як інтегральний оператор, який ставить вхідного процесу у відповідність деякий вихідний процес.
Опис імпульсної перехідної функції і вхідного процесу в цьому випадку має бути відомо.
Якщо ж відомими є інші два компоненти з трьох: вхідного і вихідного процесу і потрібно визначити імпульсну перехідну характеристику, то на даний вираз слід дивитися як на інтегральне рівняння.
Воно може бути вирішено і в результаті отримано значення імпульсної перехідної функції.
Дійсно, повторивши міркування щодо виведення рівняння (5) з рівняння (4), з рівняння (1) отримаємо рівняння
При
Різниця між двома цими системами рівнянь не тільки в тому, що в одному випадку матриця системи рівнянь симетрична, а в іншому - ні. Основна відмінність в ступені впливу шумів на результат обчислень.
Якщо шуми значні, то помилки при визначенні імпульсної перехідної функції з детермінованим характеристиками можуть бути дуже великі.
У той же час, якщо шуми (перешкоди) при визначенні відповідності межу входом і виходом некорельованих з вхідним впливом, то вони можуть мати будь-яку інтенсивність.
Точність результату обчислень від цього не зміниться, але при цьому необхідно оперувати не значеннями самих сигналів, а їх кореляційними функціями.
Якщо ж перешкоди відсутні, то немає необхідності вдаватися до статистичних методами. У детерміністичному випадку поряд з розглянутим щойно підходом до визначення імпульсної перехідної функції існує ще один, що володіє певними перевагами в порівнянні з тільки що розглянутим.
Вони пов'язані з більшою простотою рівняння, яке необхідно вирішувати для визначення дискретних значень імпульсної перехідної функції.
Як вже зазначалося, зв'язок між вхідним і вихідним процесами виражається не тільки інтегралом згортки (1), але і інтегралом
Свого часу були дані докази можливості заміни змінного верхньої межі нескінченним значенням. У даному випадку в цьому немає необхідності. Навпаки, будь-яке звуження області інтегрування призводить до спрощення системи рівнянь, яку необхідно вирішувати.
Замінимо інтеграл кінцевою сумою точно так само, як це робилося раніше. Отримаємо
Тут так само всі процеси розглядаються в дискретні моменти часу
Позначивши
... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
Звідси
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Звідси вже видно, що значення імпульсної перехідної характеристики в дискретні моменти часу можуть бути визначені послідовно, один за одним, до тих пір, поки вони не стануть пренебрежимо малими.
ЛІТЕРАТУРА
1. Мірошник І.В. Теорія автоматичного керування. Лінійні системи. - СПб.: Питер, 2005.
2. Філліпс Ч., Харбор Р. Системи управління зі зворотним зв'язком. М.: Лабораторія Базових Знань, 2007.
3. Методи класичної та сучасної теорії автоматичного управління в 3-х т. Т.1: Аналіз і статистична динаміка систем автоматичного управління / За ред. Н.Д. Єгупова. - Вид. МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2005.
Установа освіти
''Білоруський державний університет інформатики і радіоелектроніки''
кафедра інформаційні технології автоматизованих систем
РЕФЕРАТ
на тему:
«Визначення динамічних характеристик системи»
Мінськ, 2008
ЗМІСТ
1. Взаємна кореляційна функція між входом і виходом системи
2. Визначення імпульсної перехідної функції об'єкта за статистичними характеристиками
3. Визначення імпульсної перехідної функції з детермінованим характеристикам
Визначення характеристик системи за експериментальними даними називається ідентифікацією систем. Цей важливий клас задач теорії управління своєму розпорядженні великий набір методів, заснованих на методах аналізу систем.
Серед них важливе місце займають методи, які пов'язані з подачею на вхід певних впливів. Знаючи взаємозв'язок між входом і виходом системи у часовій і частотній областях, можна визначити перехідну або частотну характеристику. Наприклад, реакція на одиничне поетапне вплив є одиничною перехідною функцією.
Однак визначення перехідних і передатних функцій лінійних систем або об'єктів управління за допомогою подачі на її вхід штучних впливів певного виду (імпульсів, ступінчастих впливів, гармонік) та заміру реакції системи на ці дії не завжди можливо.
Причин тому може бути декілька.
По-перше, нерідко подання на вхід системи неможлива або небажана, оскільки це веде до порушення нормального ходу технологічного процесу. І в той же час необхідно визначити характеристики системи в режимі її нормальної експлуатації.
По-друге, дуже часто на вхідні дії спеціального виду накладаються випадкові неконтрольовані впливу (шуми і перешкоди), в результаті чого виявляються неможливим точне визначення динамічних характеристик системи з реакції на типові впливу.
У цих випадках вдаються до методів визначення характеристик системи, заснованим на взаємозв'язку статистичних характеристик процесів, що протікають в системі. Наведені вище висловлювання не завжди зручні. Наведемо додаткові відомості з цього приводу.
1 Взаємна кореляційна функція між входом і виходом системи
Процеси на вході
Якщо ж додатково до керуючого впливу
Нехай зовнішні впливи є стаціонарними випадковими процесами і, як наслідок, таким же є вихідний процес
Для центрованих процесів (при нульових математичних очікуваннях) визначимо взаємну кореляційну функцію вхідного і вихідного процесів як математичне очікування добутку цих процесів, один з яких зрушать за часом
Тут, як і раніше, використано усереднення за часом замість усереднення по множині.
Підставимо сюди вираження вихідного процесу (2)
Змінимо порядок інтегрування
Внутрішні інтеграли тут представляють вираження кореляційних функцій. Тому останній вираз можна представити у вигляді:
Якщо перешкода не корелює з керуючим впливом
Отриманий вираз являє собою інтеграл згортки. Воно аналогічно виразом (1). Якщо розглядати кореляційну функцію
Зауважимо, що в остаточному вираженні (4) не фігурують ні характеристики перешкоди, ні імпульсна перехідна функція по заваді. Не відображено навіть сам факт наявності перешкоди.
Якби висновок цього виразу був заснований на використанні виразу (1), а не (2), тобто у припущенні, що перешкода відсутній, то й тоді було б отримано вираз зв'язку (4).
Цим не вичерпуються чудові властивості отриманого виразу. Припустимо, що на вході системи діє «білий шум», тобто
Іншими словами, якщо на вхід системи подавати «білий шум», то взаємно кореляційна функція буде чисельно дорівнює імпульсної перехідної функції системи.
Це чисто теоретичний результат, але він має велике практичне значення. Як відомо, «білий шум» - це абстрактне математичне поняття, ідеалізація випадкового процесу, спектральна щільність якого однакова для будь-якої частоти. Такого процесу в природі не існує: для його генерації було б потрібно джерело нескінченно великої потужності. Проте до такої ідеалізації вдаються всякий раз, коли зміною спектральної щільності в смузі пропускання системи можна знехтувати.
Але навіть з урахуванням цієї обставини отриманий результат має велике значення, тому що чим ближче спектральна щільність до «білого шуму», тим ближче взаємна кореляційна функція до імпульсної перехідної функції.
2 Визначення імпульсної перехідної функції об'єкта за статистичними характеристиками
Якщо вхідний процес не може вважатися «білим шумом», для визначення імпульсної перехідної функції необхідно вирішити інтегральне рівняння (4).
Розраховувати на аналітичне рішення даного рівняння після експериментального визначення кореляційних функцій
Для вирішення різного роду рівнянь чисельними методами необхідна дискретизація завдання. У даному випадку для цього досить замінити інтеграл у виразі (4) кінцевою сумою.
При обчисленні інтеграла за формулою прямокутників це відбувається природним чином. Для застосування згаданої формули інтервал інтегрування розбивають на досить малі подінтервали довжиною Т, на кожному з яких підінтегральна функція мало змінюється.
В якості інтервалу інтегрування візьмемо інтервал (0, L). Нижня межа визначається умовою фізичної здійсненності: при негативних значеннях аргументу імпульсна функція дорівнює нулю, а кінцевий верхня межа визначається умовою стійкості системи: імпульсна перехідна функція стійкої системи повинна прагнути до нуля.
Отже, знайдеться таке значення аргументу імпульсної перехідної функції L, що при великих значеннях вона нехтує мала. Далі, розіб'ємо інтервал (0, L) на N однакових по довжині подінтервалов, кожен з яких має довжину T.
Після цього рівняння (4) можна з достатнім ступенем точності представити у вигляді суми
Вважаючи
Позначивши
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .... ... ....
або матричному вигляді
У результаті вирішення цієї системи рівнянь можна отримати значення імпульсної перехідної функції при
3 Визначення імпульсної перехідної функції з детермінованим характеристикам
З рівняння зв'язку між вхідним і вихідним процесами в детермінованому випадку також можна отримати систему рівнянь відносно значень імпульсної перехідної функції.
Дійсно, зв'язок між входом і виходом в тимчасовій області описується рівнянням згортки (1). Воно до цих пір розглядалася як вираження вихідний координати через вхідну, як інтегральний оператор, який ставить вхідного процесу у відповідність деякий вихідний процес.
Опис імпульсної перехідної функції і вхідного процесу в цьому випадку має бути відомо.
Якщо ж відомими є інші два компоненти з трьох: вхідного і вихідного процесу і потрібно визначити імпульсну перехідну характеристику, то на даний вираз слід дивитися як на інтегральне рівняння.
Воно може бути вирішено і в результаті отримано значення імпульсної перехідної функції.
Дійсно, повторивши міркування щодо виведення рівняння (5) з рівняння (4), з рівняння (1) отримаємо рівняння
При
Різниця між двома цими системами рівнянь не тільки в тому, що в одному випадку матриця системи рівнянь симетрична, а в іншому - ні. Основна відмінність в ступені впливу шумів на результат обчислень.
Якщо шуми значні, то помилки при визначенні імпульсної перехідної функції з детермінованим характеристиками можуть бути дуже великі.
У той же час, якщо шуми (перешкоди) при визначенні відповідності межу входом і виходом некорельованих з вхідним впливом, то вони можуть мати будь-яку інтенсивність.
Точність результату обчислень від цього не зміниться, але при цьому необхідно оперувати не значеннями самих сигналів, а їх кореляційними функціями.
Якщо ж перешкоди відсутні, то немає необхідності вдаватися до статистичних методами. У детерміністичному випадку поряд з розглянутим щойно підходом до визначення імпульсної перехідної функції існує ще один, що володіє певними перевагами в порівнянні з тільки що розглянутим.
Вони пов'язані з більшою простотою рівняння, яке необхідно вирішувати для визначення дискретних значень імпульсної перехідної функції.
Як вже зазначалося, зв'язок між вхідним і вихідним процесами виражається не тільки інтегралом згортки (1), але і інтегралом
Свого часу були дані докази можливості заміни змінного верхньої межі нескінченним значенням. У даному випадку в цьому немає необхідності. Навпаки, будь-яке звуження області інтегрування призводить до спрощення системи рівнянь, яку необхідно вирішувати.
Замінимо інтеграл кінцевою сумою точно так само, як це робилося раніше. Отримаємо
Тут так само всі процеси розглядаються в дискретні моменти часу
Позначивши
... ... ... ... ... ... ... ... ... ....
Звідси
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
Звідси вже видно, що значення імпульсної перехідної характеристики в дискретні моменти часу можуть бути визначені послідовно, один за одним, до тих пір, поки вони не стануть пренебрежимо малими.
ЛІТЕРАТУРА
1. Мірошник І.В. Теорія автоматичного керування. Лінійні системи. - СПб.: Питер, 2005.
2. Філліпс Ч., Харбор Р. Системи управління зі зворотним зв'язком. М.: Лабораторія Базових Знань, 2007.
3. Методи класичної та сучасної теорії автоматичного управління в 3-х т. Т.1: Аналіз і статистична динаміка систем автоматичного управління / За ред. Н.Д. Єгупова. - Вид. МГТУ ім. Н.Е. Баумана, 2005.