Міністерство освіти Республіки Білорусь
Установа освіти
"Гомельський державний університет ім. Ф. Скорини"
Математичний факультет
Кафедра МПМ
Вивчення тригонометричного матеріалу в шкільному курсі математики
Реферат
Виконавець:
Студентка групи М-42 Головачова А.Ю.
Науковий керівник:
Канд. фіз-мат. наук, доцент Лебедєва М.Т.
Гомель 2007

Зміст
Введення
1. Методика введення понять синуса, косинуса і тангенса на геометричному матеріалі. Основні тригонометричні тотожності
2. Методика введення визначень тригонометричних функцій кутів від 0 ° до 180 °
3. Методика вивчення тригонометричних функцій у курсі алгебри
4. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тригонометричні рівняння і нерівності та методика навчання розв'язуванню
Висновок
Література

Введення

Традиційна методична схема вивчення тригонометричних функцій така: 1) спочатку визначаються тригонометричні функції для гострого кута прямокутного трикутника; 2) потім введені поняття узагальнюються для кутів від ⁰ 0 до 180 ^0; 3) тригонометричні функції визначаються для довільних кутових величин та дійсних чисел.
Перші два етапи реалізуються в курсі планіметрії. Геометричний характер визначень тригонометричних функцій пояснює той факт, що вони складають єдиний вид функцій, який починають вивчати не в курсі алгебри, а в курсі геометрії. Для геометрії важливий "общефункціональний погляд" на тригонометричні функції, а їх прикладна сторона (рішення прямокутних трикутників, застосування деяких тригонометричних тотожностей, теорем cos і sin, рішення довільних трикутників). Тому в курсі планіметрії немає терміна "тригонометричні функції".

1. Методика введення понять синуса, косинуса і тангенса на геометричному матеріалі. Основні тригонометричні тотожності

Знайомство з тригонометричним матеріалом починається в курсі геометрії при знайомстві з прямокутним трикутником. Поняття , і гострих кутів трикутника вводиться для кутів від до , Як відношення сторін цього трикутника. Попередньо учні повинні засвоїти назви сторін прямокутного трикутника: катети (сторони прямого кута) і гіпотенуза (сторона протилежних прямого кута). Для цього необхідно запропонувати учням прямокутні трикутники, різноманітні по розташуванню вершин прямого кута і запропонувати назвати сторони трикутника.

Назвіть катети в ABC, APN. Назвіть гіпотенузи в LKM і EFA. Чи будуть гіпотенуза наступні відрізки: AB, KL, AP, AN, EF, FA в зазначених трикутниках і чому?
Наступні вирази "прилежащий" і "протилежних" відпрацьовуються на наступному етапі. Для цього необхідно за вказаними трикутниках запропонувати учням назвати прилежащие і протилежні гострим кутах катети. Назвати відрізки: KL, PN, EA і попросити учнів назвати ті кути, проти яких лежать ці катети або, яким вони прилягають.
Першим вводиться поняття кута і доводиться теорема: "Косинус кута залежить від градусної міри кута і не залежить від розташування та розмірів трикутника". Це визначення вже "працює" при доведенні теореми Піфагора.
З іншими поняттями учні знайомляться в пункті "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному трикутнику". sin , Tg

Формується властивість: синус і тангенс кута так само, як і косинус, залежать від величини кута.
Для синуса це доводиться так:
= ,
так як косинус залежить тільки від величини кута, то і синус залежить тільки від величини кута.
З визначень , і отримуємо наступні правила:
v Катет, протилежних куті , Дорівнює добутку гіпотенузи на синус ;
v Катет, прилегла до кута , Дорівнює добутку гіпотенузи на косинус ;
v Катет, протилежних куті , Дорівнює добутку другого катета на тангенс .
За цими правилами можна знаходити невідомі елементи в прямокутному трикутнику.
Перераховані правила можуть бути виведені учнями самостійно. Для цього пропонуються питання: В прямокутному трикутнику MNP, LN = , LM = , Гіпотенуза MP = m. Знайти довжини катетів цього трикутника. (Завдання вирішується за визначенням).
Раніше за програмою тригонометричні функції та співвідношення між кутами і сторонами в прямокутному трикутнику вивчалися в курсі 8 класу.
Після введення понять , і розглядалися рішення основних завдань, пов'язаних з відшукання довжин сторін і величин кутів у прямокутному трикутнику.
Завдання № 1. Дано: a, b. Потрібно знайти A, B, c.
Завдання № 2. Дано: a, c. Потрібно знайти A, B, b.
Завдання № 3. Дано: a, A. Потрібно знайти A, b, c.
Завдання № 4. Дано: a, B. Потрібно знайти A, b, c.
Завдання № 5. Дано: a, A. Потрібно знайти B, a, b.
За чинною програмою ці завдання в курсі 8 класу (колишній 7 клас) замінено такий: У прямокутному трикутнику дані: гіпотенуза c і ​​гострий кут . Знайдіть катети, їх проекції на гіпотенузу і висоту, опущену на гіпотенузу.
Вводяться основні тригонометричні тотожності:
, , , .
Зокрема, основне тригонометрическое тотожність виводиться з формулювання теореми Піфагора:
, .
Учні знайомляться з деякими властивостями функцій гострого кута: 1) при зростанні гострого кута і зростають, а - Убуває; 2) для будь-якого гострого кута : , ; Які формулюються як теореми. Їх доказ зв'язується з співвідношеннями гострих кутів у прямокутному трикутнику:

, , Тоді , .
,
тоді з рівності правих частин отримуємо:
.
, Тоді .
Висновок властивості зростання і зменшення виглядає так:

Нехай і - Гострі кути, і , І вона перетинає сторони кутів і в точках і відповідно.
Так як , То точка лежить між точками і , Тоді . А значить, по властивості похилих, (Через порівняння їх проекцій). Так як , , То косинус убуває. А так як , То синус зростає.

2. Методика введення визначень тригонометричних функцій кутів від до

Розширення області визначення тригонометричних функцій від до відбувається в темі: "Декартові координати на площині".

Розглянемо коло з центром у початку координат довільного радіуса R. Відкладаємо полуплоскость кут . Нехай точка має координати і . , , То з трикутника : , .
Визначаються значення і цими формулами для будь-якого кута α (для ^{0-виключається).}


Можна знайти значення цих функцій для кутів 90 ^{0, 0} 0, 180 ^0. Доводиться, що для будь-якого кута α, ⁰ 0 <α <180 ^0, .

y

повернемо рухливий радіус на кут 180 ^0-α =

180 0-α

А 1 (x 1, y 1)

по гіпотенузі і гострого кутку: => OB ₁ = OB; A ₁ B ₁ = AB => x =-x _1, y = y ₁ =>

O

B 1

α

R

Отже, в шкільному курсі геометрії поняття тригонометричної функції вводиться геометричними засобами з вигляду на їх більшої доступності.
Традиційна методична схема вивчення тригонометричних функцій така: 1) спочатку визначаються тригонометричні функції для гострого кута прямокутного трикутника; 2) потім введені поняття узагальнюються для кутів від ⁰ 0 до 180 ^0; 3) тригонометричні функції визначаються для довільних кутових величин та дійсних чисел.
Перші два етапи реалізуються в курсі планіметрії. Геометричний характер визначень тригонометричних функцій пояснює той факт, що вони складають єдиний вид функцій, який починають вивчати не в курсі алгебри, а в курсі геометрії. Для геометрії важливий "общефункціональний погляд" на тригонометричні функції, а їх прикладна сторона (рішення прямокутних трикутників, застосування деяких тригонометричних тотожностей, теорем cos і sin, рішення довільних трикутників). Тому в курсі планіметрії немає терміна "тригонометричні функції".
Конкретизувати, наприклад, поняття cos гострого кута прямокутного трикутника, можна за наступною методичною схемою:
1) побудувати на міліметровому папері прямокутний трикутник ABC;
2) позначити величину гострого кута А буквою α;
3) виміряти (по клітках) прилежащий катет АС і гіпотенузу АВ;
4) обчислити відношення
5) записати значення cos α (робиться наступний запис cos α ≈ в якій для α не вказується його конкретне значення);
6) виміряти транспортиром кут α, знайти його величину і записати значення косинуса цього кута даного прямокутного трикутника.
Певні труднощі у вивчення елементів тригонометрії (за Піфагором) породжує теорема: "Косинус кута α залежить тільки від градусної міри кута". Необхідність вивчення даної теореми можна роз'яснити учневі так: Нехай потрібно на підставі визначення знайти cos 37 ^0. Припустимо, що це завдання виконують окремо один від одного кілька чоловік. Щоб знайти cos 37 ^0, вони побудують прямокутний трикутник (кожен свій) з кутом в 37 ^0, виміряють прилежащий катет і гіпотенузу, знайдуть ставлення прилеглого катета до гіпотенузі. Отримане число і буде cos 37 ^0. Чи є гарантія, що кожен учень отримає один і той же відповідь? Це питання виникає з тієї причини, що кожен будує свій трикутник, отримує свої значення довжин прилеглого катета і гіпотенузи. Так, може бути, і шукане відношення у кожного учня буде якесь своє? Зрозуміло, що якщо б значення cos 37 ⁰ при переході від одного прямокутного трикутника до іншого змінювалося, то цінність такого поняття в математиці була б не велика. Досліджувана терема є відповіддю на поставлені питання. Вона стверджує, що косинус гострого кута залежить не від вибору прямокутного трикутника, а тільки від міри кута.
При вирішенні прямокутних трикутників необхідно звернути увагу учня на той факт, що з кожної з формул для cos, sin і tg α зв'язується ще дві формули:



Визначення cos, sin, tg кутів від ⁰ 0 до 180 ⁰ є генетичними, тому що в них зазначаються побудови та обчислення, що дозволяють знайти значення тригонометричної функції.
У посібник говориться наступне (стор. 132, 1, 2 абзац), зверніть увагу учнів на таку обставину. Раніше для гострих кутів були встановлені деякі тригонометричні тотожності. "Чи справедливі ці тотожності для кутів від ⁰ 0 до 180 ^0. Справедливі колишні докази цих тотожностей або необхідно привести нові?"
Порівняємо докази основного тригонометричного тотожності: для гострих кутів і для кутів від ⁰ 0 до 180 ^0:

0 0 <α <90 0	0 0 ≤ α ≤ 180 0
1	1
2	2
3	3

У курсі "Алгебра 9" узагальнюється визначення cos, tg і sin α на випадок довільного кута α і вводиться поняття ctg α. Можливість такого узагальнення - у введенні поняття кута повороту, позитивного і негативного кута, поняття повного обороту. Доводиться, що тригонометричні функції, їх значення, не залежить від довжини радіуса.
Тут же наведені з доказами основні тригонометричні формули, формули додавання і їх наслідки.

3. Методика вивчення тригонометричних функцій у курсі алгебри

Традиційна методична схема вивчення тригонометричних функцій:
· На початку визначаються тригонометричні функції для гострого кута прямокутного трикутника;
· Потім введені поняття узагальнюються для кутів від до ;
· Тригонометричні функції визначаються для довільних кутових величин та дійсних чисел.
У курсі алгебри і початки аналізу здійснюється заключний етап вивчення, який включає:
a) Закріплення уявлень учнів про радіанної мірою кута; відпрацювання навичок переходу від градусної міри до радіанної і навпаки;
b) Формування уявлень про кутах з градусної мірою, більшою ; Формування уявлень про кути з позитивною і негативною градусними заходами; переклад цих градусних заходів у радіани (позитивні і негативні дійсні числа);
c) Опис тригонометричних функцій на мові радіанної міри кута;
d) Затвердження функціональної точки зору на , , І (Трактування , , І як функцій дійсного аргументу, встановлення області визначення, області значень, побудова графіка функції, встановлення проміжків монотонності, знакопостоянства і т.д.);
e) Повторення відомих та ознайомлення з новими тригонометричними тотожністю, ключем яких є тотожність ;
f) Застосування тригонометричних тотожностей в тотожних перетвореннях і при вирішенні завдань по стереометрії.
У курсі "Алгебра 9" учні знайомляться з функціональної точкою зору. Вирази і определіми при , Т.к кута повороту можна знайти відповідне значення дробів і . Вираз має сенс при , Крім кутів повороту , , ..., Тому що має сенс дріб .
Кожному допустимого значення відповідає єдине значення , , і . Тому , , і є функціями кута . Їх називають тригонометричними функціями.
Учні знайомляться з наступними общефункціональнимі властивостями цих функцій:
1. область значення і - , Для і - Множина всіх дійсних чисел
2. проміжки знакопостоянства: , То значить залежить від знака і т.д.

3. , і є непарними функціями, а є парною функцією
4. при зміні кута на ціле число оборотів значення , , , не зміниться (під зворотним розуміємо поворот на ).
Введення радіанної міри кута грунтується на тому факті, що відносини довжини кола до її радіусу постійно для даного центрального кута і не залежить від вибору концентричних кіл. З цієї причини міру центрального кута можна охарактеризувати дійсним числом . Якщо покласти рівним 1, то Радіанна міра центрального кута дорівнює 1, тобто .
Тоді для кожного кута, заданого в градусах, достатньо обчислити відповідну дугу одиничному колі. Довжина такої дуги буде висловлювати міру даного кута в радіанах.
Радіанна міра кута дозволяє будь-якому дійсному числу поставити у відповідність певну градусну міру кута за формулою: , Де .
Перехід від радіанної міри кута до дійсного числа здійснюється на підставі того, що . Учням слід показати зміну величин кутів по координатним кутках:
1 чверть: , ;
2 чверть: , ; і т.д.
Визначення тригонометричної функції виглядає так:
Опр. Окружність радіуса 1 з центром у початку координат називають одиничною
колом. Нехай точка одиничному колі отримана при повороті точки на кут в радіан. Ордината точки - Це синус кута . Числова функція, задана формулою , Називається синусом числа, кожному числу ставиться у відповідність число .
Встановлюються області визначення і значення функцій, нагадуються властивості:
; .

Побудуємо графік функції на .

Ділимо одиничну коло і відрізок на 16 рівних частин.

Через точку проводимо пряму, паралельну . Проводимо пряму до перетину з побудованою прямій. Отримаємо одну з точок графіка функції , Званого синусоїдою.

Відрізок осі , За допомогою якого знаходяться значення синуса, називається лінією синусів.

Для побудови графіка синуса поза цього відрізка зауважимо, що . Тому у всіх точках виду , Де , Значення синуса збігаються, і, отже, графік синуса на всій прямій виходить з побудованого графіка за допомогою паралельних переносів його вздовж осі .
Для побудови графіка косинуса слід згадати, що . Отже, значення косинуса в довільній точці дорівнює значенню синуса в точці . Це означає, що графік косинуса виходить з графіка синуса з допомогою паралельного перенесення на відстань в негативному напрямку осі . Тому графік функції також є синусоїдою.

Для функцій і визначається аналогічно. Область визначення - Множина всіх чисел, де .

Побудова графіка: проведемо дотичну до одиничної окружності в точці .

Нехай довільне число, для якого . Тоді точка не лежить на осі ординат, і, отже, пряма перетинає в деякій точці з абсцисою 1. Знайдемо ординату цієї точки. Для цього зауважимо, що пряма проходить через точки і . Тому вона має рівняння .
Абсциса точки , Що лежить на цій прямій, дорівнює 1. З рівняння прямої знаходимо, що ордината точки дорівнює . Отже, ордината точки перетину прямих і дорівнює . Тому пряму називають лінією тангенсів.
Неважко довести, що абсциса точки перетину прямої з дотичною m до одиничної окружності, проведеної через точку , Дорівнює при .


Тому пряму m називають лінією котангенс.

Область значень - Вся числова пряма. Доведемо це для функції . Нехай - Довільне дійсне число. Розглянемо точку . Як тільки що було показано, дорівнює . Отже, функція приймає будь-яке дійсне значення , Ч.т.д.

Побудова графіка аналогічно побудові .

Можна побудувати схему, що дозволяє зобразити графік тригонометричних функцій:
1) Накреслити одиничну окружність, горизонтальний діаметр якої служить продовженням осі . Розділити її на рівні частини (наприклад, 16).
2) Для функції вибираємо відрізок , Для функції - і ділимо їх на той же рівне число частин.
3) По колу знаходимо відповідне число значень цих функцій.
4) Точки перетину горизонтальних ліній, що відповідають значенням функцій і вертикальних ліній, що відповідають значенням аргументу, являють собою точки графіка.

4. Тотожні перетворення тригонометричних виразів. Тригонометричні рівняння і нерівності та методика навчання розв'язуванню

Тригонометричний матеріал вивчається в шкільному курсі в кілька етапів.
1) Функції тригонометричних функцій для кутів від до
(Прямокутний трикутник, планіметрія);
2) Тригонометричні функції для кутів від до (Тема: "Декартові координати на площині; геометрія");
3) Тригонометричні функції для будь-якого дійсного числа.
Паралельно вивчення теоретичного матеріалу учні знайомляться з тригонометричними формулами, обсяг яких буде поступово рассшіряться. Уміння "виділити" ці формули надалі допоможе в перетворенні тригонометричних виразів.
До обов'язкових результатами навчання за курс геометрії в 7-9 класах ставитися вміння вирішувати типові завдання на обчислення значень геометричних величин (довжин, кутів, площ) із залученням властивостей фігур, апарату алгебри і тригонометрії.
Наприклад:
1) У прямокутному трикутнику знайдіть катети, якщо його гіпотенуза дорівнює 5 см, а один з кутів дорівнює .
2) У прямокутному трикутнику катет дорівнює 4 см, а прилегла до нього кут дорівнює . Знайдіть інший катет і гіпотенузу.
3) У трикутнику ABC: AB = 3см, BC = 6 см, . Визначте .
4) У трикутнику ABC відомі боку: AB = 4 см; BC = 5 см; AC = 6 см.
Знайдіть кут B.


Існують різні докази формули косинуса суми двох аргументів.
Одне з найбільш простих доказів засноване на застосуванні системи координат і формули відстань між двома точками. Відтворити доказ по опорному конспекту:
1. ;
2. ;
3. ;
4. ;
5. .
6. ;
, Ч.т.д.
; è .


З іншого боку:
è
è è
- Теорема додавання.

і по доведеною формулою.
Для доказу суми і різниці двох кутів використовуються формула приведення, які допомагають перетворити функції від аргументів види:

, , , .
Проведемо радіус , Довжина якого дорівнює , На кут : І отримали радіус , Де і на кут і отримаємо радіус , Де .
, : , .

- Прямокутник. Повернемо його на кут навколо точки :
; ; , Тобто
; , Тобто:
; , По
Аналогічно:

Тоді:



і т.д.

До функцій від кутів можна прийти і з геометричних міркувань.
Формули приведення для і виводиться з визначення цих функцій і раніше отриманих формул приведення для синуса і косинуса. Після цього отримані результати зводяться в одну таблицю, за допомогою якої можна сформулювати мнемонічне правило. Бажано учням запропонувати алгоритм застосування формул приведення. Пояснимо його на прикладі:
{Визначаємо парність, в якій закінчується кут - II чверть; визначаємо знак даної функції в цій чверті - "-". Чи змінюється назва функції - ні, тому:} = - Cos .
Повернемося до висновку формули синуса суми і різниці двох кутів.
,
а потім застосовується вже відома формула.
Формули подвійного кута виводяться з формули синуса і косинуса суми і різниці двох кутів, поклавши .
Суму і різницю тригонометричних функцій можна перетворити на твір, використовуючи наступний приклад:
= { , } =
= ,
але:


Таким чином:

Зауваження: при ознайомленні учнів з формулами слід домагатися від них промовляння словесних формулювань доказуваних формул.
Наприклад: сума синусів двох кутів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми цих кутів на косинус полуразность.
У курсі алгебри 9 класу вивчається тема: "Елементи тригонометрії" (30 годин):
1) радіанне вимір кутів, sin, cos, tg довільного кута, їх знаходження за допомогою калькулятора;
2) основні тригонометричні тотожності:

Їх застосування для обчислення значень sin, cos, tg;
3) формули приведення; sin, cos суми і різниці двох кутів; sin і cos подвійного кута;
4) тотожні перетворення тригонометричних виразів; основна мета - сформувати вміння виконувати тотожні перетворення нескладних тригонометричних виразів з використанням формул, зазначених у програмі:
Розглянемо деякі приклади перетворень тригонометричних виразів:
Завдання № 1.
Довести тотожність:

Перетворимо ліву частину і отримаємо, застосувавши формули приведення:
8 cos4 + Sin8 = 2sin8 cos4 +2 Sin4 cos4 = 2cos4 (Sin8 + Sin4 ) = 4cos4 sin6 cos2 , І т.д.
Завдання № 2.
Спростити вираз
а)
Можна застосувати формули пониження степеня:
=
{Скористаємося перетворенням різниці косинусів у твір за формулою: } =

б)


Завдання № 3
Перетворити на твір:
а) cos5 + Sin8 + Cos9 + Cos12 = (Cos5 + Cos12 ) + (Cos8 + Cos9 ) =
= 2cos17 / 2 cos7 / 2 +2 Cos17 / 2 cos / 2 = 2cos17 / 2 (Cos7 / 2 + Cos / 2) =
= 4cos17 / 2 cos2 cos3 / 2 = 4cos3 / 2 cos2 cos17 / 2
б) 3 +4 cos4 + Cos8 = 3 (1 + cos4 ) + (Cos4 + Cos8 ) = 6cos ^{2 лютого} +
+2 Cos6 cos2 = 2 cos2 (3cos2 + Cos6 ) = 2cos2 ((Cos2 + | Cos6 ) +
+2 Cos2 ) = 2cos2 (2cos4 cos2 +2 Cos2 ) = 4cos ^{2 лютого} (Cos4 + Cos2 ) =
= 4cos ^{2 лютого} cos ^{2 лютого} = 8cos ^{4 лютого}
Завдання № 4
Знайти sin ⁴ + Cos ⁴ , Якщо відомо, що:
sin -Cos = 1 / 2
sin ⁴ + Cos ⁴ = (Sin ² + Cos ² ) ^{2-2sin 2} cos ² = 1-2sin ² cos ² =
= 1-1/2sin ^{2 лютого} = {Sin4 -Cos = 1 / 2 (Sin -Cos ) ² =
= 1-2sin cos = 1 / 4 sin2 = 3 / 4} =
Завдання № 5
Обчислити:

sin =- Cos (2arctg4 / 3) = {позначимо arctg4 / 3 через y, тоді отримаємо cos2y, який потрібно перетворити в тангенс половинного кута. Застосуємо формулу і отримаємо} =

Висновок

Певні труднощі у вивчення елементів тригонометрії (за Піфагором) породжує теорема: "Косинус кута α залежить тільки від градусної міри кута". Необхідність вивчення даної теореми можна роз'яснити учневі так: Нехай потрібно на підставі визначення знайти cos 37 ^0. Припустимо, що це завдання виконують окремо один від одного кілька чоловік. Щоб знайти cos 37 ^0, вони побудують прямокутний трикутник (кожен свій) з кутом в 37 ^0, виміряють прилежащий катет і гіпотенузу, знайдуть ставлення прилеглого катета до гіпотенузі. Отримане число і буде cos 37 ^0. Чи є гарантія, що кожен учень отримає один і той же відповідь? Це питання виникає з тієї причини, що кожен будує свій трикутник, отримує свої значення довжин прилеглого катета і гіпотенузи. Так, може бути, і шукане відношення у кожного учня буде якесь своє? Зрозуміло, що якщо б значення cos 37 ⁰ при переході від одного прямокутного трикутника до іншого змінювалося, то цінність такого поняття в математиці була б не велика. Досліджувана терема є відповіддю на поставлені питання. Вона стверджує, що косинус гострого кута залежить не від вибору прямокутного трикутника, а тільки від міри кута.

Література

1. К.О. Ананченко "Загальна методика викладання математики в школі", Мн., "Унiверсiтецкае", 1997р.
2.Н.М.Рогановскій "Методика викладання в середній школі", Мн., "Вища школа", 1990р.
3.Г.Фройденталь "Математика як педагогічна задача", М., "Просвіта", 1998р.
4.Н.Н. "Математична лабораторія", М., "Просвіта", 1997р.
5.Ю.М.Колягін "Методика викладання математики в середній школі", М., "Просвіта", 1999р.
6.А.А.Столяр "Логічні проблеми викладання математики", Мн., "Вища школа", 2000р.