Вивчення тонких лінз і сферичних дзеркал
Введення
Мета роботи: вивчення методів визначення фокусних відстаней лінз і дзеркал; спостереження і оцінка їх аберацій
Широке застосування лінз і сферичних дзеркал пояснюється їх властивістю, за певних умов, перетворювати розходяться гомоцентріческіе пучки променів в гомоцентріческіе сходяться пучки, тобто давати зображення предмета, подібні об'єкту. Збирають (розсіюючі) властивості лінз і дзеркал кількісно описуються формулою дзеркала і формулою лінзи, які легко отримати з формули заломлюючої поверхні (1):
(1)
Тут а 1 - відстань від джерела світла L до вершини S сферичної поверхні радіусом R, що розділяє два середовища з показниками заломлення n 1 і n 2 (рис.1), а 2 - відстань від вершини до зображення джерела світла L ¢.
n 1 A n 2
i
r
LS j CL ¢
a 1 a 2
R
Рис.1
Видно, що положення зображення L ¢, тобто а 2 - однозначно визначається через а 1, n 1, n 2, R, тобто точка зображується точкою. При виведенні цієї формули прийнято наступне правило знаків: всі відстані відлічуються від вершини поверхні S і вважаються позитивними по ходу променя. Якщо джерело L розташований далеко від поверхні, тобто а 1 = ¥, промені падають на сферичну поверхню паралельним пучкам, то
тобто нескінченно віддалена точка зображується на постійній відстані f 2. Ця точка F 2 називається заднім фокусом заломлюючої поверхні.
Якщо а 2 = ¥,
то
F 1 - передній фокус, тобто якщо світна точка знаходиться в передньому фокусі (ліворуч на відстані f 1 від вершини), то спряжена їй точка - на нескінченності.
Формула сферичного дзеркала. Закон заломлення легко перетворити на закон відображення, якщо покласти формально n 2 = - n 1. У цьому випадку формула заломлюючої поверхні (1) перетворюється на формулу сферичного дзеркала (рис.2).
YY
CFY 'FC
Y '
Рис. 2
(2)
Видно, що передній і задній фокуси дзеркала збігаються, а фокусна відстань дорівнює половині радіуса. Якщо позначити , То формула сферичного дзеркала буде мати вигляд:
.
Для увігнутого дзеркала f> 0, для опуклого f <0 (фокус вдаваний).
Формула тонкої лінзи. Лінза - тіло з прозорого добре заломлюючого матеріалу, обмежений двома центрованими сферичними поверхнями. Нижче будемо розглядати лінзу з показником заломлення n, що знаходиться в середовищі з показником заломлення n 1.
При виведенні формули лінзи можна скористатися загальним прийомом, застосувавши формулу (1) заломлюючої поверхні по черзі до лівої, а потім до правої кордонів розділу середовищ, маючи на увазі, що зображення, що дається першим кордоном, можна розглядати як джерело для другої (рис.3) . Найбільш просто це завдання вирішується для тонкої лінзи, коли вершини S 1 і S 2 обох поверхонь можна вважати співпадаючими один з одним в точці S - оптичному центрі лінзи, від якого в тонких лінзах відлічуються всі відстані (а 1, а 2, а, R 1, R 2). Неважко бачити, що, записавши рівняння (1) для кордонів розділу (n 1, n; R 1) та (n, n 1; R 2), склавши їх, отримаємо формулу лінзи:
(3)
норм.
n 1
LC 2 S 1 SS 2 C 1 L ¢ L 2
R 2 R 1
a 1 a 2
a
Рис. 3
де - Відносний показник заломлення середовища і матеріалу лінзи.
Подібно до того, як це зроблено для заломлюючої поверхні, отримаємо фокусні відстані для лінзи
(4)
тобто фокуси тонкої лінзи лежать симетрично по обидві сторони від неї, якщо ліворуч і праворуч від лінзи середу одна і та ж. Користуючись співвідношенням (4) формулу лінзи (3) можна записати у вигляді (2). Фокусна відстань лінзи f, або величина йому зворотна , Звана оптичною силою, є головними величинами, що характеризують лінзу. Формула (3) показує, що тонка лінза, як і заломлююча, дає стігматіческое зображення, тобто є системою ідеальною.
До цих пір мова йшла про зображення точки, взятої на головній осі (оптичною). Зображення її теж лежить на головній оптичній осі. Тому і фокуси F 1 і F 2 називаються головними фокусами. На відміну від головних фокусів іноді говорять про побічні фокусах, коли джерело і його зображення лежать на побічної осі (побічна вісь - будь-яка пряма, що проходить через оптичний центр). У теорії тонких лінз вважається, що побічні фокуси розташовані в площинах, що проходять через головні фокуси перпендикулярно до головної оптичної осі.
Побудова зображень. Збільшення. Встановлені вище поняття головної та побічної оптичних осей, головних і побічних фокусів дозволяють просто знаходити зображення в сферичних дзеркалах і тонких лінзах. Розглянемо приклад (рис. 4):
Л
А
Y
B F S F B ¢
Y ¢
Рис. 4
Задано лінза, тобто її оптичний центр S та фокуси. Для побудови зображення точки А треба взяти розходиться з цієї точки пучок променів. Візьмемо його так, що один з променів піде паралельно головній оптичній осі, за лінзою він піде через задній фокус. Іншим променем може бути промінь, що йде через передній фокус, а за лінзою роблять паралельно головній оптичній осі. Перетин двох променів у точці А ¢ і буде зображенням точки А. Замість одного з цих променів можна взяти також побічну вісь А S А ¢. Оскільки зображення подібно предмету, то зображення точки В буде на головній оптичній осі в площині, що проходить через А ¢.
На практиці є важливим поняття поперечного збільшення V ^, тобто відносини величини зображення Y ¢ до величини предмета Y. З малюнка 4 видно, що
(5)
Нагадаємо, що при виведенні формули тонкої лінзи передбачалося, що крапка, що світиться випускає вузький пріосевой пучок променів (параксіального, близький до головної оптичної осі) і що показник заломлення речовини лінзи n постійний. У цих припущеннях тонка лінза описується формулою (3), з якої випливає однозначна залежність а 2 (а 1), тобто стігматічность зображення; зображення предметів виходять геометрично подібними предмету. Однак, вищевказані допущення практично здійснити не вдається хоча б тому, що вузькі параксіального пучки несуть мало світла, світлові точки можуть і не лежати поблизу головної оптичної осі (а для об'єктів кінцевих розмірів так буде завжди), речовина призми володіє дисперсією, предмети мають протяжність уздовж оптичної осі. Все це призводить до астігматічності зображень в тонкій лінзі: світна точка зображується не крапкою, а гуртком розсіювання; поперечний збільшення також не залишається постійним - в цілому зображення світяться предметів виходить геометрично не подібним предмету, а в білому світі ще і фарбованим. Кажуть, що лінзи мають абераціями (похибками). Розрізняють багато видів аберацій, які завжди, в загальному, погіршують якість зображень. Завданням практичної оптики, з моменту винаходу перших оптичних інструментів (телескопа і мікроскопа) є побудова безаберраціонних оптичних систем. Комбінаціями лінз з різними оптичними властивостями і використанням діафрагм вдається побудувати практично ідеальні оптичні системи.
Познайомимося з основними видами аберацій.
а) Сферична аберація - порушує правильність зображення точок предмета, що лежать на оптичній осі, при користуванні широким пучком променів, тобто при великому куті розкриття лінзи. Для дослідження сферичної аберації можна взяти віддалену точку S на оптичній осі, тобто розглянути паралельний (але широкий) пучок променів, падаючих на збиральну лінзу (мал. 5).
2 лютого ¢
1 січня ¢
1 ¢ S 2 S 1 січня
2 ¢ 2
Рис. 5а.
Щоб зрозуміти походження цього виду аберації досить подумки розділити лінзу на прізмочкі перерізами перпендикулярними площині креслення. Видно, що преломляющие кути призм будуть збільшуватися від центру до периферії, а так як кутове зміщення променя при проходженні через призму зростає із збільшенням її заломлюючого кута, то ясно, що пріосевие промені 11 ¢ перетнуться в точці S 1, за визначенням званої фокусом лінзи, а промені 22 ¢ віддалені від осі, потрапляючи на призми з великим заломлюючим кутом, змістяться і перетнуть вісь у точці S 2. Зображення точки розтягується вздовж осі на відстань
Користуючись відомим правилом знаків, вважають аберацію збирають лінз негативною (точка сходження віддалених від осі променів знаходиться між фокусом і лінзою). Аналогічно можна бачити, що розсіюють лінзи (рис.5, б) дають позитивну сферичну аберацію
Звідси випливає, що комбінацією збирають і розсіюють лінз можна ліквідувати цей вид аберації.
S 1 S 2
Рис. 5, б.
б) Астигматизм похилих пучків. Навіть вузькі пучки променів, але виходять із точок, віддалених від оптичної осі, не збираються в точку - спостерігається астигматизм похилих пучків (рис.6).
l s
l m
L
Рис. 6
До заломлення промені виходять з точки L радіально, а хвильові поверхні суворо сферичні. За лінзою хвильові поверхні деформуються (різні промені пучка йдуть в лінзі не симетрично), стають поверхнями двоякої кривизни. Така поверхня буде сходитися з різною швидкістю у взаємно перпендикулярних напрямках і ніде за лінзою не зійдеться в точку. На деякій відстані від лінзи вона зійдеться у вузьку горизонтальну смужку l m, а далі у вертикальну смужку l s. Взагалі ж вузький похилий пучок зобразиться гуртком розсіювання. Кількісно аберація астигматизму характеризується астигматичних різницею d, тобто відстанню між зображеннями l m і l s.
в) дисторсію. Це спотворення зображення викликано неоднаковість поперечного збільшення в межах поля зору, воно призводить до викривлення ліній в площині зображення (рис. 7)
а б в
Рис. 7
Так, наприклад, квадрат "а" відіб'ється в вигляді «подушки» "б", якщо поперечний збільшення зростає із збільшенням відстані від осі системи, і у вигляді «бочки» "в", якщо збільшення зменшується з віддаленням від осі.
г) Хроматична аберація є наслідком дисперсії речовини лінзи. Збирають властивості лінзи, тобто її фокусна відстань, залежать від показника заломлення N по відомому закону (4)
.
Скла мають помітною дисперсією n = n (l) і зазвичай показник заломлення фіолетових променів значно більше показника для червоних променів. Тому фіолетові промені, навіть в лінзі з виправленою сферичною аберацією, зберуться за лінзою ближче, ніж червоні (рис.8)
F ф F до
Рис. 8
Зображення світної точки, що випускає білий світ, буде у вигляді пофарбованого гуртка розсіювання. Мірою хроматичної аберації є величина .
Експериментальна частина
Прилади і приладдя: оптична лава, лінзи, екран, діафрагма, дзеркало, предмет (скло з сіткою), електричні лампочки на 220 В і на 6 В.
Завдання 1. Визначення фокусної відстані збиральної лінзи.
Фокусна відстань збиральної лінзи, f> 0, можна визначити безпосередньо з формули
якщо відомі відстані а 1 і а 2. Тоді
(6)
Якщо до того ж невідомі розміри предмета Y і його зображення Y ¢, то з (5) і (6) отримаємо
(7)
а) На оптичній лаві зібрати схему (зліва на право): освітлювач (лампа на 220В), предмет, лінза, екран з міліметровою папером.
б) Отримавши на екрані зображення предмета, знайти величини а 1, а 2, Y, Y ¢ і записати в таблицю 1.
в) Розрахувати значення f.
Таблиця 1
№ досвіду | а 1 | а 2 | Y | Y ¢ | ||
г) Повторити вимірювання для зменшеного зображення.
д) Оцінити похибку вимірювань.
Завдання 2. Визначення фокусної відстані увігнутого сферичного дзеркала
а) Так як формула дзеркала і формула лінзи тотожні, то можна визначити фокусну відстань увігнутого дзеркала аналогічно попередньому способу.
Завдання 3. Вивчення основних похибок формування зображень лінз
Прилади і приладдя: оптична лава, джерела світла (лампи розжарювання на 8 В), досліджувана (плосковипуклих) і коліматорная лінзи, набір кільцевих діафрагм з діаметрами D 1 = 22мм, D 2 = 70мм, D 3 = 85мм, екран, предмети у вигляді сіток і хреста, світлофільтри.
а) Сферична аберація.
На оптичній лаві зібрати установку, що складається з джерела світла (лампочка 8В), предмета (сітка), діафрагми, досліджуваної лінза і екрану.
Помістити в утримувач перший діафрагму з D 1 = 22мм і добитися різкого зображення предмета на екрані. Відзначити відстань а 1 від предмета до лінзи і від лінзи до екрана а 2. Дані записати в таблицю 2.
Таблиця 2
Діаметр діафрагми | а 1 | а 2 | |
Не змінюючи відстань а 1 повторити вимірювання з діафрагмами великих діаметрів.
Знайти величину поздовжньої сферичної аберації
для даної відстані предмета до лінзи (i = 2, 3, 4, ... - означає номер діафрагми).
Побудувати графік залежності d від діаметрів кільцевих зон, d (D).
б) Хроматична аберація
Зібрати установку, що складається з джерела світла (лампочка 8В), світлофільтрів, круглих діафрагм, досліджуваної плосковипуклих лінзи, зверненої до діафрагми плоскою стороною, екрану.
Отримати на екрані різке зображення нитки лампочки при найменшому отворі діафрагми.
Відзначити положення екрану а 2 на оптичній лаві.
Повторити вимірювання пунктів 2 і 3 для різних світлофільтрів на тримачі б. Дані занести в таблицю 3.
Таблиця 3
Світлофільтр | Положення екрану, а 2 | d |
Червоний Зелений Блакитний Фіолетовий |
Проаналізувати результати експерименту, зробити висновок
в) Астигматизм.
Зібрати установку, що складається з джерела світла (лампочка 8В), колліматорної лінзи (F = 12 см), предмета у вигляді хреста, досліджуваної лінзи і екрану.
Отримати на екрані різке зображення хреста.
Повернути лінзу навколо вертикальної осі на кут 30 0 - 45 0. Переміщуючи екран, домогтися різкого зображення спочатку горизонтальній, а потім вертикальної лінії хреста. Відзначити обидва положення екрану а 2 (міських) і а 2 (верт.).
Знайти астигматичних різниця
d = а 2 (міський) - а 2 (верт.).
г) дисторсия
На оптичній лаві послідовно розмістити: джерело світла (лампочка 8В), предмет у вигляді дрібної сітки, досліджувану лінзу (повернути до предмета плоскою стороною) і екран.
Пересуванням лінзи і екрану отримати чітке подушкообразной зображення сітки. Замалювати.
Взяти в якості предмета ту ж сітку.
Поміняти місцями предмет і лінзу.
Пересуванням лінзи і екрану отримати чітке бочкоподібне зображення предмета. Замалювати.
Список рекомендованої літератури
Фізичний практикум. Електрика і оптика / під ред. В.І. Івероновой. М.: Наука. 1968.
Сорокіна О.О., Лєдяєва Г.А., Шевелкіна Л.Д. Практикум з оптики та фізики атома. Іваново.1974.