Вивчення методу координат у курсі геометрії основної школи

Федеральне агентство з освіти
Державна освітня установа вищої професійної освіти
Вятський державний гуманітарний університет
Математичний факультет
Кафедра математичного аналізу і методики викладання математики
Випускна кваліфікаційна робота
Вивчення методу координат
в курсі геометрії основної школи
Виконала:
студентка V курсу математичного факультету
Гольцева Ольга В'ячеславівна
Науковий керівник:
кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу і МПМ М.В. Крутіхін
Рецензент:
кандидат педагогічних наук, доцент кафедри математичного аналізу і МПМ І.В. Ситникова
Допущена до захисту в державної атестаційної комісії
«___» __________2005 Р. Зав. кафедрою М.В. Крутіхін
«___»___________ 2005 Декан факультету В.І. Варанкіна
Кіров 2005
Зміст
Введення ................................................. .................................................. ........ 3
Глава 1 Теоретичні основи використання методу координат в основній школі. 5
1.1 Основні положення вивчення методу координат у школі ................ 5
1.2 Аналіз шкільних підручників .............................................. ................. 7
1.3 Суть методу координат .............................................. ......................... 11
Глава 2 Методичні засади вивчення методу координат ....................... 14
2.1 Етапи вирішення завдань методом координат ........................................ 14
2.2 Завдання, навчальні координатного методу ..................................... 15
2.3 Види завдань, що вирішуються координатним методом .............................. 25
2.4 Дослідне викладання ............................................... ........................ 30
Висновок ................................................. .................................................. . 38
Бібліографічний список ................................................ ........................... 39

Введення
В геометрії застосовуються різні методи вирішення завдань - це синтетичний (чисто геометричний) метод, метод перетворень, векторний, метод координат та інші. Вони займають різне положення в школі. Основним методом вважається синтетичний, а з інших найбільш високе положення займає метод координат тому, що він тісно пов'язаний з алгеброю. Витонченість синтетичного методу досягається за допомогою інтуїції, здогадок, додаткових побудов. Координатний метод цього не вимагає: рішення завдань багато в чому алгоритмізованого, що в більшості випадків спрощує пошук і саме рішення задачі.
Можна з упевненістю говорити про те, що вивчення даного методу є невід'ємною частиною шкільного курсу геометрії. Але не можна забувати, що при вирішенні завдань координатним методом необхідний навик алгебраїчних обчислень і не потрібна висока ступінь кмітливості, а це в свою чергу негативно позначається на творчих здібностях учнів. Тому необхідна методика вивчення методу координат, що дозволяє учням навчитися вирішувати різноманітні завдання координатним методом, проте не показує цей метод як основний для розв'язку геометричних задач. Цим і визначається актуальність обраної теми: «Вивчення методу координат у шкільному курсі геометрії основної школи».
Об'єкт дослідження даної роботи - це процес вивчення учнями геометрії.
Предметом дослідження є вивчення методу координат у курсі геометрії основної школи.
Мета роботи - розробити методику вивчення та використання методу координат у шкільному курсі геометрії.
Гіпотеза: вивчення методу координат школі буде більш ефективно, якщо:
§ у 5-6 класі проведена Пропедевтична робота з формування основних умінь і навичок;
§ в системному курсі планіметрії учні знайомляться зі структурою цього методу;
§ використовується продумана система завдань для формування окремих компонентів методу.
Предмет, мета і гіпотеза дослідження визначають наступні завдання:
1.Аналіз варіантів вивчення методу координат у деяких з діючих підручників, а також зміст програми з математики по даній темі.
2.Опісаніе методу координат і способів його застосування на прикладі конкретних математичних задач.
3.Виделеніе умінь, необхідних для успішного оволодіння методом координат і підбір завдань, формують дані вміння.
4.Опитная перевірка.
Для досягнення цілей роботи, перевірки гіпотези та вирішення поставлених вище завдань були використані наступні методи:
· Аналіз програми з математики, навчальних посібників, методичних матеріалів, що стосуються методу координат;
· Спостереження за ходом освітнього процесу, за діяльністю учнів.
Основний дослідною базою була середня загальноосвітня школа № 51.

Глава I
Теоретичні основи використання методу координат в основній школі
1.1 Основні положення вивчення методу координат у школі
Надаючи геометричним дослідженням алгебраїчний характер, метод координат переносить в геометрію найбільш важливу особливість алгебри - однаковість способів вирішення завдань. Якщо в арифметиці й елементарної геометрії доводиться, як правило, шукати для кожного завдання особливий шлях розв'язання, в алгебрі та аналітичної геометрії рішення проводяться за загальним для всіх завдань плану, легко пристосовується до будь-якого завдання. Перенесення в геометрію властивих алгебри і тому володіють великою спільністю способів вирішення завдань становить головну цінність методу координат.
Інше достоїнство методу координат полягає в тому, що його застосування позбавляє від необхідності вдаватися до наочного поданням складних просторових зображень.
Можна виділити наступні цілі вивчення методу координат у шкільному курсі геометрії:
§ дати учням ефективний метод вирішення завдань і докази ряду теорем;
§ показати на основі цього методу тісний зв'язок алгебри і геометрії;
§ сприяти розвитку обчислювальної та графічної культури учнів.
У школі вивчення координатного методу і навчання його застосування для вирішення різних математичних задач відбувається в кілька етапів. На першому етапі вводиться основний понятійний апарат, який добре відпрацьовується в 5-6 класах і систематизується в курсі геометрії. У 5 класі учні знайомляться з координатним променем, який надалі, при вивченні негативних чисел, доповнюється до координатної прямої. І вже після введення раціональних чисел в 6 класі учні вивчають координатну площину. На другому етапі учні знайомляться з рівняннями прямої та кола. Дані поняття вивчаються ними як в алгебрі, так і в геометрії з різною змістовної метою, тому учні часто не бачать зв'язку між ними, а, значить, і погано засвоюють суть методу. Так, в курсі алгебри VII класу графіки основних функцій вводяться шляхом побудови низки точок, координати яких обчислюються по аналітичному завданням функції. У курсі геометрії рівняння прямої та кола вводиться на основі геометричних характеристичних властивостей, як безліч точок, які мають певною властивістю (рівновіддаленості від 2 точок - для прямої, від однієї точки - для кола). Навчання застосування самого методу координат для вирішення завдань відбувається в курсі геометрії 9 класу. Для цього спочатку розкриваються основні етапи застосування методу, а потім на прикладі низки завдань показується безпосереднє застосування методу координат.
Але не слід приймати координатний метод за основний метод вирішення завдань і докази теорем. Шаригін І. Ф. у своїй статті [19] каже про шкоду методу координат, як для сильних, так і для слабких учнів. Що стосується слабких учнів, то «здебільшого в цій групі знаходяться діти, які погано рахують, насилу розуміють і запам'ятовують формули. Для цих дітей Геометрія могла б стати предметом, за рахунок якого вони могли б компенсувати недоліки общематематическими розвитку. А замість цього вона лягає на них додатковим вантажем ... Координатний метод залишає осторонь геометричну суть досліджуваної геометричній ситуації. Виховується виконавець, вирішальний задану конкретне завдання. Не менше, але й не більше. Не розвивається геометрична, і навіть математична інтуїція, така необхідна математику-досліднику », що у свою чергу становить небезпеку для сильних учнів.

1.2 Аналіз шкільних підручників
Добре відомо, що, як би не будувався шкільний курс геометрії, в ньому обов'язково присутні різні методи доказу теорем і вирішення завдань. Серед таких методів важливе місце займають такі методи, як метод геометричних перетворень, метод координат, векторний метод. Самі ці методи тісно пов'язані між собою. Залежно від концепції, що розкривається авторами підручників геометрії для середньої школи, той чи інший метод може займати домінуюче значення. Так у підручнику [22] активну роль відіграє метод координат, який вельми плідний.
У шкільній програмі з математики методу координат приділяється порівняно мало уваги. У розділі «Мета вивчення курсу геометрії» говориться: «При доведенні теорем і розв'язанні задач ... застосовуються геометричні перетворення, вектори і координати». Отже, програма не ставить за мету вивчення методу координат як методу розв'язання задач. У програмі йдеться, що «в результаті вивчення курсу геометрії учні повинні вміти використовувати координати для вирішення нескладних стандартних завдань». Ні слова не говориться про оволодіння учнями методом координат для доказу теорем і розв'язанні задач. Наголос робиться на «нескладні стандартні завдання», тоді як метод координат краще проявляє свої переваги при вирішенні нестандартних і досить складних (якщо не вирішувати їх іншими способами) завдань.
Відповідно до програми з математики для середньої загальноосвітньої школи координати вперше з'являються в 5 класі. При цьому, хлопці знайомляться із зображенням чисел на прямій і координатами точок. Причому запровадження цих понять у підручниках різному. Так у підручнику [3] у п'ятому параграфі першого розділу розглядається координатний промінь, з його допомогою в подальшому відбувається порівняння натуральних і дробових чисел, а так само ілюстрація дій додавання і віднімання над натуральними числами. З поняттям координатної прямої автори підручника [4] знайомлять учнів у 6 класі. У підручнику ж [6] немає визначення «координатний промінь». Автори на початку 5 класу вводять поняття координатної прямої, хоча, до вивчення негативних чисел, яке відбувається в 6 класі, робота йде тільки з правою частиною координатної прямої, що представляє собою координатний промінь. Це не зовсім зручно, тому що можуть виникнути не потрібні поки питання про іншу частину цієї координатної прямої. У цілому, підручники [3], [4] містять більше завдань, пов'язаних з визначенням координатного променя, (координатної прямої, а потім і координатної площини) і частіше звертаються до нього для введення інших понять або розгляду дій над числами, ніж підручники [6 ], [7].
Згідно з програмою в геометрії координати вивчаються в такому обсязі: «Координатна площина. Формула відстані між двома точками площини з заданими координатами. Рівняння прямої та кола ». [24]
Так, в підручнику [2] координатами присвячена окрема глава в 9 класі. Причому цей матеріал вивчається після вивчення теми «Вектори», але до вивчення скалярного добутку векторів. На розгляд теми відводитися 18 годин. У цьому підручнику метод координат виділено в окрему главу, в якій вивчаються координати вектора, рівняння кола і прямої, вирішуються найпростіші завдання в координатах. У цьому розділі дається поняття методу координат як методу вивчення геометричних фігур за допомогою засобів алгебри. Школярі вчаться вирішувати задачі шляхом введення системи координат. Автор ставить за мету навчити школярів володіти методом координат не тільки в застосуванні до задач на побудову фігур по їх рівнянню, але і при вирішенні завдань на доказ, а також для виводу геометричних формул.
На відміну від інших шкільних підручників з геометрії в підручнику [22] координати зайняли одне з центральних місць. Вони вводяться починаючи з 8 класу після вивчення тем «Чотирикутники» і «Теореми Піфагора». На вивчення теми відводиться 19 годин. Відразу, після розгляду основних понятті, пов'язаних з введенням координат на площині, рівнянь окружності і прямої, з учнями вивчаються такі питання, як перетин двох кіл, перетин прямої та кола, визначення синуса, косинуса і тангенса будь-якого кута від 0 ° до 180 °. Це і є перші програми методу координат, з якими знайомляться учні.
У курсі алгебри, виходячи з рівняння y = f (x), де f (x) задана функція, будували криву, яка визначається цим рівнянням, тобто будували графік функції y = f (x). Таким чином, йшли як би «від алгебри до геометрії». При вивченні методу координат у геометрії ми вибираємо зворотний шлях: виходячи з геометричних властивостей деяких кривих, виводимо їх рівняння, тобто йдемо як би «від геометрії до алгебри». У 8 класі за підручником [22] та в 9 за підручником [2] розглядається рівняння прямої та кола. При цьому звертається увага на загальне поняття «рівняння фігури»: «Рівнянням фігури на площині в декартових координатах називається рівняння з двома невідомими х і у, яким задовольняють координати будь-якої точки фігури. І навпаки: будь-які два числа, що задовольняють даному рівнянню, є координатами деякої точки фігури »[22]. Рівняння фігури на площині в загальному вигляді можна записувати так: F (х, у) = 0, де F (х, у) функція двох змінних х та у.
Підручник [28] реалізує авторську концепцію побудови шкільного курсу геометрії, в ньому більше уваги, порівняно з традиційними підручниками приділяється методам рішення геометричних задач. Метод координат з даного підручника є передостанньою темою 9 класу. При його вивченні учні знайомляться з декартовими координатами на площині, розглядають два рівняння «плоских ліній: прямої та кола», які в подальшому будуть необхідні при вирішенні завдань. У процесі цього відпрацьовуються деякі вміння, необхідні для вирішення завдань координатним методом. Слід зазначити, що в підручнику порівняно невеликий теоретичний матеріал з даної теми. Так, наприклад, єдиною доведеною формулою (причому тільки для одного випадку коли х ₁ ≠ х ₂ і у ₁ ≠ у _2), якщо не вважати рівнянь ліній, є формула відстані між точками. На відміну від підручників [22] та [2] формула середини відрізка в теоретичному матеріалі не розглядається, хоча в практичних завданнях присутній завдання «Розглянемо на координатній прямій точки А (-2,5) і В (4,3). Знайти координати точки М, якщо М - середина АВ », таким чином учням пропонується самим вивести формулу координат середини відрізка, розглядаючи даний конкретний випадок і використовуючи поняття координат і формулу відстані між точками.
Автор не пропонує учням як такого поняття фігури, але докладно розглядає рівняння «плоских ліній», які знадобляться учням при вирішенні завдань. Це рівняння кола і прямої.
А після вивчення векторів розглядається параграф «Координатний метод», в якому на прикладі двох розібраних завдань, в одній з яких розглядається коло Аполлонія, а в іншій звертається увага на вибір системи координат, учням пропонується ряд задач, що вирішуються даним методом. Це досить складні завдання, в основному пов'язані з перебуванням геометричного місця точок.
Автор цього підручника визнає, що «координатний метод є одним з найбільш універсальних методів», але зазначає, що «методу на всі випадки життя немає».

1.3 Суть методу координат
Дещо з історії координатного методу.
В даний час вже дуже велика кількість фахівців з різних галузей науки мають уявлення про прямокутних декартових координатах на площині, так як ці координати дають можливість наочно за допомогою графіка зобразити залежність однієї величини від іншої. Назва «декартові координати» наводить на хибну думку про те, що ці координати були відкриті Декартом. У дійсності прямокутні координати використовувалися в геометрії ще до нашої ери. Древній математик олександрійської школи Аполлоній Пергський (жив у III-II столітті до н. Е..) Вже фактично користувався прямокутними координатами. Він визначав і вивчав з їх допомогою добре відомі на той час криві: параболу, гіперболу і еліпс.
Аполлоній задавав їх рівняннями: у ² = рх (парабола)

(Гіпербола)

(Еліпс, де р і q позитивні)
Він, звичайно, не виписував рівняння в цій геометричній формі, так як в ті часи не існувало ще алгебраїчної символіки, а описував рівняння, користуючись геометричними поняттями; у ² у його термінології є площа квадрата зі стороною у; рх - площа прямокутника зі сторонами р і x і т.д. З цими рівняннями пов'язані назви кривих. Парабола по-грецьки означає рівність: квадрат має площу в ² рівну площі рх прямокутника. Гіпербола по-грецьки означає надлишок: площа квадрата у ² перевершує площу рх прямокутника. Еліпс по-грецьки означає недолік: площа квадрата менше площі прямокутника.
Декарт вніс в прямокутні координати дуже важливе вдосконалення, ввівши правила вибору знаків. Але головне, користуючись прямокутними координатами, він побудував аналітичну геометрію на площині, зв'язавши цим геометрію та алгебру. Потрібно сказати, однак, що одночасно з Декартом побудував аналітичну геометрію і інший французький математик, Ферма.
Значення аналітичної геометрії полягає, перш за все, в тому, що вона встановила тісний зв'язок між геометрією і алгеброю. Ці дві гілки математики до часу Декарта досягли вже високого ступеня досконалості. Але розвиток їх протягом тисячоліть йшло незалежно один від одного, і до часу появи аналітичної геометрії між ними намічалася лише досить слабкий зв'язок.

Координати дозволяють визначати за допомогою чисел положення будь-якої точки простору або площині. Це дає можливість «шифрувати» різного роду фігури, записуючи їх за допомогою чисел. Співвідношення між координатами найчастіше визначає не одну точку, а деяке безліч (сукупність) крапок. Наприклад, якщо відзначити всі крапки, у яких абсциса дорівнює ординаті, тобто точки, координати яких задовольняють рівняння х = у, то вийде пряма лінія - бісектриси першого і третього координатних кутів.

Рис.1

Іноді, замість «безліч точок», говорять «геометричне місце точок». Наприклад, геометричне місце точок, координати яких задовольняють співвідношенню х = у - це, як було сказано вище, бісектриси першого і третього координатного кута. Встановлення зв'язків між алгеброю, з одного боку, і геометрією - з іншого, було по суті, революцією в математиці. Воно відновило математику як єдину науку, в якій немає «китайської стіни» між окремими її частинами.
Суть методу координат
Суть методу координат як методу розв'язання завдань полягає в тому, що, ставлячи фігури рівняннями і висловлюючи в координатах різні геометричні співвідношення, ми можемо вирішувати геометричну задачу засобами алгебри. Зворотно, користуючись координатами, можна тлумачити алгебраїчні та аналітичні співвідношення і факти геометрично і таким чином застосовувати геометрію до вирішення алгебраїчних задач.
Метод координат - це універсальний метод. Він забезпечує тісний зв'язок між алгеброю і геометрією, які, з'єднуючись, дають «багаті плоди», які вони не могли б дати, залишаючись розділеними.
У відношенні шкільного курсу геометрії можна сказати, що в деяких випадках метод координат дає можливість будувати докази і вирішувати багато завдання більш раціонально, красиво, ніж суто геометричними способами. Метод координат зв'язаний, правда, з одного геометричній складністю. Одна і та ж завдання отримує різне аналітичне подання в залежності від того чи іншого вибору системи координат. І лише достатній досвід дозволяє вибирати систему координат найбільш доцільно.

Глава 2
Методичні основи навчання координатного методу
2.1.Етапи рішення задач методом координат
Щоб вирішувати завдання як алгебраїчні, так і геометричні методом координат необхідне виконання 3 етапів:
1) переклад завдання на координатний (аналітичний) мову;
2) перетворення аналітичного вираження;
3) зворотний переклад, тобто переклад з координатного мови на мову, в термінах якого сформульовано задачу.
Для прикладу розглянемо алгебраїчну і геометричну завдання і проілюструємо виконання даних 3 етапів при їх вирішенні координатним методом.
№ 1. Скільки рішень має система рівнянь.

Рішення:
1 етап: на геометричному мовою в даній задачі потрібно знайти, скільки точок перетину мають фігури, задані даними рівняннями. Перше з них є рівнянням кола з центром у початку координат і радіусом, рівним 1, а друге - рівнянням параболи.
2 етап: побудова кола і параболи; знаходження точок їх перетину.
3 етап: кількість точок перетину кола і параболи є відповіддю на поставлене питання.
№ 2. Знайдіть безліч точок, для кожної з яких відстані від двох даних точок рівні.
Рішення:
Позначимо дані точки через А і В. Виберемо систему координат так, щоб вісь Ох збігалася з прямою АВ, а початком координат служила точка А Припустимо далі, що АВ = а, тоді у вибраній системі координат А (0,0) і В (а , 0). Точка М (х, у) належить шуканого безлічі тоді і тільки тоді, коли АМ = МВ, або, що те ж саме, АМ ^{2 =} МВ ^2. Використовуючи формулу відстані від однієї точки координатної площини до іншої, отримуємо АМ ² = x ² + y ^2, MB ² = (x - a) ² + y ^2. Тоді х ² + у ² = (х-а) ² + у ²
Рівність х ² + у ² = (х-а) ² + у ² і є алгебраїчною моделлю ситуації, даної в задачі. На цьому закінчується перший етап її рішення (переклад завдання на координатний мова).
На другому етапі здійснюється перетворення отриманого виразу, в результаті якого отримуємо співвідношення

.
На третьому етапі здійснюється переклад мови рівняння на геометричний мову. Отримане рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі Оу і віддаленої від точки А на відстань

, Тобто серединного перпендикуляра до відрізка АВ.
2.2 Завдання, навчальні координатного методу
Для розробки методики формування вміння застосовувати координатний метод важливо виявити вимоги, які пред'являє логічна структура вирішення завдань мисленню вирішального. Координатний метод передбачає наявність в учнів умінь і навичок, що сприяють застосуванню цього методу на практиці. Проаналізуємо вирішення декількох завдань. У процесі цього аналізу виділимо вміння, які є компонентами уміння використовувати координатний метод при вирішенні завдань. Знання компонентів цього вміння дозволить здійснити його поелементне формування.
Завдання № 1. У трикутнику ABC: AC = b, AB = c, ВС = а, BD - медіана. Доведіть, що

.
Виберемо систему координат так, щоб точка А служила початком координат, а віссю Ох - пряма АС (рис. 2).

O (A)

Рис. 2

(Вміння оптимально вибирати систему координат, тобто так, щоб найбільш просто знаходити координати даних точок).
У вибраній системі координат точки А, С і D мають наступні координати: А (0,0), D (

, 0) і С (b, 0)
(Вміння обчислювати координати заданих точок). Позначимо координати точки В через х і у. Тоді використовуючи формулу для знаходження відстаней між двома точками, заданими своїми координатами, отримуємо:
х ² + у ² = с ^2, (x - b) ² + y ² = a ² (1)
(Вміння знаходити відстань між двома точками, заданими координатами)
За тією ж формулою

. (2)
Використовуючи формули (1) знаходимо х та у.
Вони рівні:

;

.
Далі, підставляючи х и в у формулу (2), знаходимо

.
(Вміння виконувати перетворення алгебраїчних виразів)
Завдання № 2. Знайти безліч точок, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок є величина постійна.
Позначимо дані точки через А і В. Виберемо систему координат так, щоб вісь Ох збігалася з прямою АВ, а початком координат служила точка А.
(Вміння оптимально вибирати систему координат).
Припустимо АВ = а, тоді у вибраній системі координат А (0,0), В (а, 0).
(Вміння знаходити координати заданих точок)
Точка М (х, у) належить шуканого безлічі тоді тільки тоді, коли AM ^{2-MB 2} = b ² де b - постійна величина
(Вміння переводити геометричний мову на аналітичний, складати рівняння фігур).
Використовуючи формулу відстаней між двома точками, отримуємо:

(Вміння обчислювати відстань між точками, заданими координатами), або

. Дане рівняння є рівнянням прямої, паралельної осі Оу і віддаленої від точки А на відстань

.
(Вміння бачити за рівнянням конкретний геометричний образ)
Неважко бачити, що і для вирішення цього завдання необхідно оволодіння перерахованими вище уміннями. Крім того, для вирішення наведеної задачі, а також і інших завдань важливо вміння «бачити за рівнянням» конкретний геометричний образ, яке є зворотним до вміння складати рівняння конкретних фігур.
Виділені вміння є основою при вирішенні і більш складних завдань.
Завдання № 3. У трапеції менша діагональ перпендикулярна підставах. Знайти велику діагональ, якщо сума протилежних кутів дорівнює

, А підстави рівні а і b.
Направимо осі координат по меншою діагоналі і однією з підстав (рис. 3).

О (А)

Рис. 3

(Вміння оптимально вибирати систему координат).
Тоді точка А має координати (0,0), точка В - (а, 0), точка С - (0, c), точка D - (b, c).
(Вміння знаходити координати заданих точок)
Нехай

гострі кути в трапеції АВСD, тоді їх сума дорівнює

. Для обчислення довжини більшої діагоналі BD треба знайти значення с. Його можна обчислити 2 способами. Перший - з прямокутного трикутника АВС за формулою

знаходимо

. Другий спосіб з прямокутного трикутника ACD:

. Звідси маємо, що

(1)
З рівності (1) знаходимо відношення

: Воно дорівнює -

, Так як

. Висловимо

. Він дорівнює

, Виходячи з цього, користуючись залежністю (1), отримуємо

.
(Уміння висловити відсутні координати через вже відомі величини)
Далі скориставшись координатної формулою відстані між двома точками, знайдемо довжину BD.
(Вміння обчислювати відстань між точками, заданими координатами)
Вона дорівнює

.
Отже, компонентами уміння застосовувати координатний метод в конкретних ситуаціях є такі вміння:
1. переводити геометричний мову на аналітичний для одного типу завдань і з аналітичного на геометричний для іншого;
2. коштувати точку за заданими координатами;
3. знаходити координати заданих точок;
4. обчислювати відстань між точками, заданими координатами;
5. оптимально вибирати систему координат;
6. складати рівняння заданих фігур;
7. бачити за рівнянням конкретний геометричний образ;
8. виконувати перетворення алгебраїчних співвідношень.
Дані вміння можна відпрацювати на прикладі таких завдань, формують координатний метод:
1) завдання на побудову точки за її координатами;
2) завдання на знаходження координат заданих точок;
3) завдання на обчислення відстані між точками, заданими координатами;
4) завдання на оптимальний вибір системи координат;
5) завдання на складання рівняння фігури по її характеристичними властивості;
6) завдання на визначення фігури по її рівнянню;
7) завдання на перетворення алгебраїчних рівностей;
Наведемо приклади таких завдань.
I. Побудова точок на площині.
З координатної прямої, а потім і з координатною площиною учні знайомляться в 5-6 класах при вивченні математичного матеріалу. При цьому зручно використовувати мультимедійні презентації, які дозволяють у динаміці викладати необхідний матеріал, використовувати всілякі ілюстрації та звукові ефекти, тим самим, зацікавлюючи учнів і будучи хорошим наочним засобом. Одним з прикладів є презентація «Метод координат», яка спирається на підручник [7]. (Див. додаток 1). Наведемо кілька прикладів завдань, які можна використовувати при вивченні координатної площини. Ці завдання можуть бути використані:
§ для відточування навичок побудови точок по їх координатами з усім класом;
§ для додаткових завдань відстаючим учням;
§ для розвитку інтересу до теми, що вивчається.
1) На координатній площині побудуйте точки А (7,2), B (-2,1), C (0,2).
2) Відзначте на площині кілька точок. Накресліть довільну систему координат і знайдіть у ній координати заданих точок.
3)

Відповідь

Рис. 4

Побудуйте фігури по координатам їх вузлових точок. Вказівка: вузловими будемо називати точки, службовці кінцями відрізків, що утворюють фігури. Точки, координати яких записані підряд через кому, сполучайте послідовно один з одним. Якщо ж координати розділяються знаком «;», то відповідні точки не слід з'єднувати. Вони потрібні для зображення допоміжних елементів.
А) Камбала (Мал. 4)
(3,7), (1,5), (2,4), (4,3),
(5,2), (6,2), (8,4), (8, -1),
(6,0), (0, -3), (2, -6), (-2, -3),
(-4, -2), (-5, -1), (-6,1), (-4,1);
(-6,1), (-6,2), (-3,5), (3,7);
(-4, -2), (-2,0), (-2,2), (-3,5); (-3,3).
Б) Знайдіть координати виділених на малюнку точок, рухаючись за годинниковою стрілкою від самої жирної крапки. (Мал. 5 і 6)

Рис. 5

Рис. 6

II. Завдання на вибір системи координат
Вибір системи координат має дуже важливе значення при застосуванні методу координат.
Для прикладу візьмемо завдання, яка розглянута в підручнику [2] «Середина гіпотенузи прямокутного трикутника рівновіддалена від його вершин».
Першим кроком при застосуванні методу координат є такий вибір осей і системи координат, при якому алгебраїчні викладки стають простішими. Для даної задачі вдалий вибір системи координат зображений на малюнку 7. Таким чином, початок координат поміщаємо в точку А, а осі проводимо через точки В і С так, щоб ці точки лежали на позитивних променях осей. Отже, В (а, 0) і С (0, b). Тому за формулою середини відрізка D (

). Тепер

.
Тому AD = BD. А так як за визначенням середини відрізка BC = CD, то теорема доведена.
Можна вибрати систему координат і по-іншому (рис.8, рис.9). Якщо вибрати осі зовсім випадково, то легку завдання можна перетворити на дуже важку. Щоб почати доказ виходячи з малюнка 10, потрібно знайти спосіб, що дозволяє висловити алгебраїчно, що трикутник ABC має при вершині А прямий кут. Зробити це можна, але буде це не дуже просто.

A (a, 0)

D ( )

C (a, b)

Рис. 8

D ( )

Рис. 7

C (c, d)

A (a, b)

B (e, f)

Рис. 10

D (- )

C (0, b)

B (-a, 0)

Рис. 9

Тому необхідно виробляти в учнів, починаючи з 6 класу, уявлення про можливості довільного вибору системи координат. Цю роботу доцільно вести в процесі вирішення завдань. З метою пропедевтичної роботи можна рекомендувати в 6 класі завдання з підручника на знаходження координат точок по малюнку, урізноманітнюючи їх за допомогою зміни напрямку осей і початку координат. (Див. додаток 1)
1. Довжина відрізка АВ дорівнює 5см. а) Виберіть систему координат, в якій можна було б найбільш просто визначити координати кінців відрізка. б) Виберіть систему координат так, щоб координати кінців відрізка були б: А (-2.5,0), В (2.5,0).
2. Побудуйте квадрат ABCD зі стороною 2 см; відзначте точку М-центр квадрата. Помістіть початок координат послідовно в точки A, B, C, D і оберіть напрямок осей координат так, щоб точка М в кожній системі координат мала координати (1; 1). За одиничний прийміть відрізок довжиною 1 см.
3. Трикутник ABC рівносторонній (довжина сторони дорівнює 6 см.). Виберіть систему координат так, щоб можна простіше було б визначити координати його вершин.
III. Відстань між точками
1) Точка М (а, с) знаходиться від початку координат і точки А (4,0) відповідно на відстанях 3 та 4 см. Визначте координати точки М.
2) Дан прямокутник ABCD (АВ = 2 см., ВС = 4 см.). Як вибрати систему координат, щоб його вершини мали координати А (-1, -2), В (-1,2), С (1,2), D (l, -2)?
3) Довжини сторін трикутника ABC дорівнюють 3, 4 і 5 см. Виберете систему координат і визначте в ній координати вершин трикутника ABC.
4) Вершини чотирикутника ABCD мають наступні координати: А (-3,1), В (3,6), С (2,2) і D (-4,3). Встановіть вигляд чотирикутника.
IV. Складання рівняння фігур
Це вміння є одним з основних умінь, які необхідні при застосуванні методу координат до розв'язання задач.
1) Зобразіть систему координат. Відзначте на осі Ох точки А і В. Запишіть співвідношення, яким задовольняють координати точок, що належать: а) відрізку АВ; б) променю АВ; в) променю ВА;
2) Запишіть рівняння прямої, що містить початок координат і точку А (2,5).
3) Запишіть рівняння прямої, що містить точки А (2,7) і В (1,3).
4) Зобразіть на координатній площині довільну пряму і знайдіть її рівняння.
5) Запишіть співвідношення, яким задовольняю координати точок прямокутника з вершинами А (2,3), В (2,5), С (4,5), D (4,3).
6) Що представляють собою безлічі точок площини, координати яких задовольняють нерівності: а) х ≤ 3; b) -5 ≤ х ≤ 0; c) x> 1; d) x <-2; e)

≥ 2; f)

≥ 0?
7) Яку фігуру утворює безліч точок, координати яких задовольняють системі нерівностей 2 ≤ x ≤ 5 і 1 ≤ y ≤ 3?
8) Побудуйте точки, симетричні точкам А (2, -3), В (5,0), С (0,7) щодо: а) осі Ох, б) осі Оу; в) бісектриси I і III координатних кутів. Запишіть ці координати.
9) Поверніть, щодо якої з координатних осей симетричні точки А (1,2), У (-7,2).
10) Точки А (5, ...), В (..., 2) симетричні відносно осі Ох. Запишіть пропущені координати.
11) Побудуйте образи точок А (1,5), В (-2,3), С (3,0) при паралельному перенесенні а) Про (0,0) → До (3,0); 6) 0 (0 , 0) → М (2,3). Запишіть їх координати.
12) За допомогою якого паралельного перенесення можна відобразити точку М (-3,4) в точку M ₁ (2,4)?
13) Знайдіть на прямих у =- Зх +1 та у = 2х +3 точки, симетричні відносно осі Ох.
14) Запишіть рівняння прямої, на яку відображається пряма у = 4х-3 вектором з координатами (3,4).
15) На прямих у = Зх +2 і у =- 5х +5 знайдіть такі точки, які знаходяться одна від одної на відстані 5 см, і належать прямій, паралельній осі Ох.
2.3 Види завдань, що вирішуються методом координат
Застосовуючи метод координат, можна вирішувати задачі двох видів.
1. Користуючись координатами можна витлумачити рівняння і нерівності геометрично і таким чином застосовувати геометрію до алгебри та аналізу. Графічне зображення функції перший приклад такого застосування методу координат.
2. Задаючи фігури рівняннями і висловлюючи в координатах геометричні співвідношення, ми застосовуємо алгебру до геометрії. Наприклад, можна виразити через координати основну геометричну величину - відстань між точками.
У зв'язку з посиленням ролі координатного методу у вивченні геометрії особливо актуальною ставати проблема його формування. Найбільш поширеними серед планіметричних задач, розв'язуваних координатним методом, є завдання наступних 2 видів: 1) на обгрунтування залежностей між елементами фігур, особливо між довжинами цих елементів, 2) на знаходження безлічі точок, які відповідають певним властивостям.
Прикладом завдань першого виду може бути наступна:
«У трикутнику ABC, AB = c, AC = b, BC = a, BD - медіана.
Довести, що

»
Завдання: «Знайти безліч точок, для кожної з яких різниця квадратів відстаней від двох даних точок є величина постійна» - є прикладом завдань другого виду.
Рішення цих завдань були розібрані вище.
Незважаючи на недоліки методу координат такі як наявність великої кількості додаткових формул, що вимагають запам'ятовування, і відсутність передумов розвитку творчих здібностей учнів, деякі види завдань важко вирішити без застосування даного методу. Тому вивчення методу координат необхідно, однак більш детальне знайомство з цим методом доцільно проводити на факультативних заняттях. Далі наведемо ряд завдань для факультативів.

Про

Рис. 11

Приклад 1. Доведіть, що сума квадратів відстаней від точки, взятої на діаметрі кола, до кінців будь з паралельних йому хорд постійна.
Рішення:
Введемо прямокутну систему координат з початком у центрі кола. Нехай хорда МР паралельна осі Ох, а точка А належить діаметру (рис. 11). Позначимо відстань ОА через а, а відстань від точки Р до осі Ох через b. Тоді точка А має координати (а, 0). Точки Р і М належать кола з центром у початку координат і радіусом рівним 1, отже їх координати задовольняють рівняння даної окружності

. Використовуючи це рівняння знаходимо координати точок Р (

) І М (

). Необхідно довести, що АМ ² + АР ² не залежить від змінної b. Знайдемо АМ ² і АР ² використовуючи формулу знаходження відстані між двома точками по їх координатами:

. Вони відповідно рівні

, А їх сума після приведення подібних дорівнює 2а ² +2. Це число не залежить від змінної b, що й потрібно було довести.
Приклад 2. Довести, що сума квадратів довжин сторін чотирикутника дорівнює сумі квадратів довжин його діагоналей, складеної з почетвереній квадратом відстані між серединами діагоналей. (Теорема Ейлера)
Рішення: Введемо прямокутну систему координат як показано на малюнку 12.

Рис. 12

Хай крапки А, В, С і D мають координати (0,0), (d, 0), (c, d) і (0, d) відповідно. Отже, координати точок L і P є (

) І (

). Знайдемо квадрати довжин відрізків, за допомогою формули знаходження відстані між точками по їх координатами.
AD ² =

; BC ² = ; DC ² = ; AB ² = ;
AC ² =

; BD ² =

; LP ² =

.
Запишемо вираз, який необхідно довести, використовуючи знайдені нами значення.
AD ² + BC ² + DC ² + AB ² = AC ² + BD ² +4 LP ²

До

Про

Рис. 13

Розкриємо дужки, наведемо подібні і отримаємо правильне рівність 0 = 0. Значить, сума квадратів довжин сторін чотирикутника дорівнює сумі квадратів довжин його діагоналей, складеної з почетвереній квадратом відстані між серединами діагоналей.
Приклад 3. Діаметри AB і CD кола перпендикулярні. Хорда ЕА перетинає діаметр СD в точці К, хорда ЄС перетинає діаметр АВ в точці L. Доведіть, що якщо СК: KD так само як 2:1, то AL: LB так само як 3:1.
Рішення: Введемо прямокутну систему координат, направивши осі за даними діаметрам AB і CD (рис. 13).
Радіус кола будемо вважати рівним 1. Тоді точки А, В, С, D матимуть координати (-1,0), (1,0), (0, -1), (0,1) відповідно. Так як СК: KD = 2:1, то точка К має координати (0,

). Знайдемо координати точки Е як точки перетину прямої АК, що має рівняння

та кола, заданої рівнянням

. Отримуємо, що точка Е має координати (

). Точка L - це точка перетину прямих РЄ та осі абсцис, значить ординати точки L дорівнює 0.
Знайдемо абсцису точки L. Пряма РЄ задана рівнянням

. Вона перетинає вісь Ох у точці (

, 0). Звідси координати точки L (

, 0). Знайдемо відношення AL: LB. Воно дорівнює трьом, що й потрібно було довести.
Завдання
1. Довести, що якщо у трикутнику дві медіани конгруентності, то трикутник рівнобедрений.
2. Знайти безліч таких точок Р, що ставлення відстаней від кожної з них до двох даних точок одно а.
3. Доведіть, що рівняння кола з центром в точці С (а, с) і радіусом r має вигляд: (х-а) ² + (у-з) ² = r ²
4. Знайти кут між прямими Зх-4у +6 = 0 і 12х +5 у +8 = 0
5. Визначте відстань від точки А (-3,4) до прямої у = х +2.
6. Обчисліть площу трикутника, вершини якого мають наступні координати: А (0, -2), В (6,2) і С (2,4).
7. На пряме з дано три точки А, В, С так, що точка В лежить між точками А і С. В одній півплощині з кордоном а побудовані рівносторонні трикутники АМВ і ВРС. Довести, що середина відрізка РА, середина відрізка МС і крапка В є вершинами рівностороннього трикутника.
8. Довести, що для будь-якої точки Р лежить між вершинами В і трикутника ABC, справедливо рівність:
АВ ² * РС + АС * ВР-АР ² * ВС = ВС * ВР * РС.
9. Дан прямокутник. Доведіть, що сума квадратів відстаней від довільної точки, що належить площині цього прямокутника до його вершин, у два рази більше суми квадратів відстаней від цієї точки до сторін прямокутника.
10. Довести, що якщо через деяку точку М провести пряму, що перетинає коло в точках А і В, то твір МА * МВ постійно і не залежить від положення прямій.
11. Дан прямокутник ABCD. Знайти безліч точок М, для яких MA ² + MC ² = MB ² + MD ^2. (Відповідь: безліч точок М є площину)
12. Дан прямокутник ABCD. Знайти безліч точок М, для яких MA + MC = MB + MD. (Відповідь: пара прямих)
13. Дан прямокутний трикутник ABC (ÐC = 90 °). Знайти безліч точок Р, для яких 2РС ² = РА ² + РВ ^2. (Відповідь: безліч точок Р є пряма, яка містить середину М гіпотенузи АВ і перпендикулярна до медіані СМ).

2. 4 Дослідне викладання
Дослідне викладання проводилося в 9 класі середньої загальноосвітньої школи № 51. Перед його проведенням була вивчена математична і методична література і розроблена методика проведення факультативу. Було проведено 2 заняття. У цьому класі вивчення геометрії ведеться за підручником [2], тому в якості основного теоретичного і практичного джерела я вибрала цей методичний комплект.
I. Заняття проводилися за темою «Найпростіші задачі в координатах», до ознайомлення з якими учні вивчали тему «Вектори», познайомилися з поняттям «координати вектора», а також дізналися формулу середини відрізка.
1 заняття: «Найпростіші задачі в координатах»
Освітня мета уроку - розглянути задачі про обчислення довжини вектора по його координатах і за координатами його початку і кінця; показати, як вони використовуються при вирішенні інших завдань.
Зміст уроку:
Ø Спочатку уроку був проведений усний рахунок для перевірки засвоєння матеріалу, розібраного на минулому уроці, а також для проведення пропедевтичної роботи з повторення тих понять і фактів, які будуть використані при поясненні нового матеріалу.
Усний рахунок:
1. Координати точок А (-2, 3) і В (2, -4). Знайдіть координати векторів

.
2. Координати точок М (5, -8) і Р (-3, 4). Знайдіть координати точки О (О - середина відрізка МР).
3. СР - діагональ кола; З (-2, -1), Р (5, 7). Знайдіть координати центру кола - точки Є.
4. ABCD - прямокутник, АD = 7, АВ = 5. Знайдіть АС.
Ø Новий матеріал:
1) Обчислення довжини вектора по його координатах.

А (х, у)

А ₁

А ₂

Рис. 14

Виведення формули спирається на теорему Піфагора і на те, що відстань між двома точками осі координат знаходиться за формулами

(Для точок

;

осі х) і

(Для точок

;

осі у). Покажемо, що довжина вектора

дорівнює

. Дана формула доводиться тільки для випадку, коли х ≠ 0 і у ≠ 0, в достовірності інших випадків учням надається переконатися самостійно. Для доказу задаємо координатну площину і розглядаємо вектор

з початком на початку координат (по теоремі: від будь-якої точки можна відкласти вектор, рівний даному і притому єдиний). Використовуючи формулу для знаходження координат вектора за координатами його початку і кінця, можемо знайти координати точки А. Далі за допомогою теореми Піфагора знаходимо довжину відрізка ОА =

отже, їх довжини рани, таким чином

.
Далі показується застосування даної формули.
2) Відстань між двома точками.
Знаходження даної формули спирається на використання попередньої. Нехай є точки М ₁ (х _1, у ₁₎ і М ₂ (х _2, у _2), необхідно знайти відстань між цими точками. Розглянемо вектор М ₁ М _2. Його координати рівні

. Знаходимо довжину вектора по його координатами:

, А відстань між М ₁ і М ₂ це довжина вектора

. Після виведення цієї формули можна записати формулу

і показати, що вони еквівалентні.
Ø Закріплення: для закріплення використовується ряд завдань на застосування даних формул.
1. Знайдіть довжини векторів: а)

; B)

[2: № 938]
2. Знайдіть медіану АМ трикутника АВС, вершини якого мають координати: А (0,1), В (1, -4), С (5,2). [2: № 942]
3. Вершина А паралелограма ОАСВ лежить на позитивній півосі Ох, вершина В має координати (b, c), а ОА = а. Знайдіть а) координати вершини С; b) сторону АС і діагональ СО. [2: № 944].
Ø Домашнє завдання № 939, 941 [2]
2 заняття: «Найпростіші задачі в координатах». (Урок - закріплення)
Загальноосвітня мета уроку: показати, як «найпростіші завдання» використовуються при вирішенні більш складних і перевірити засвоєння знань, отриманих на попередньому уроці.
Зміст уроку:
Ø На початку уроку був проведений усний рахунок для перевірки засвоєння матеріалу, розібраного на минулому уроці.
Усний рахунок: записати координати
● Середини відрізка ●

Координати вектора

N (х _2, у ₂₎

А ₁

M (х _1, у ₁₎

N (х _2, у ₂₎

А ₁

M (х _1, у ₁₎

F (х, у)

y =

Рис. 16

x =

Рис. 15

· Довжини вектора

· Відстань між точками М і N.
Ø Рішення задач.
1. Доведіть, що трикутник АВС рівнобедрений, і знайдіть його площа, якщо А (0,1), В (1, -4), С (5,2).
2. Доведіть, що чотирикутник MNPQ є параллелограммом, і знайдіть його діагоналі, якщо N (6,1), P (7,4), Q (2,4), М (1,1). [2: № 950 (а)]
Ø Самостійна робота.

I. Варіант

1. Знайдіть координати і довжину вектора

, Якщо

2. Дано координати вершин трикутника АВС А (-6,1), В (2,4), С (2, -2). Доведіть, що трикутник АВС рівнобедрений і знайдіть висоту проведену з вершини А.

Додатково для обох варіантів: Дано координати вершин трикутника АВС А (-4,3), В (2,7), С (8, -2). Довести, що трикутник прямокутний.

II. Варіант

1. Знайдіть координати і довжину вектора

, Якщо

2. Дано А (-6,1), В (0,5), С (-6,4), Р (0, -8). Доведіть, що АВСР прямокутник і знайдіть координату точки перетину його діагоналей.

Ø Домашнє завдання № 945, 948 (а)
II. Факультатив.
Для проведення факультативу пропонується ряд більш складних нестандартних завдань, при вирішенні яких використовується метод координат.
Завдання 1. Два підприємства А і В виробляють продукцію з однією і тією ж ціною m за один виріб. Однак автопарк, що обслуговує підприємство А, оснащений більш сучасними і більш потужними вантажними автомобілями. У результаті транспортні витрати на перевезення одного виробу становлять для підприємства А 10 р. на 1 км, а для підприємства У 20 р. на 1 км. Відстань між підприємствами 300 км. Як територіально повинен бути розташований ринок збуту між двома підприємствами для того, щоб витрати споживачів при покупці виробів були мінімальними.
Рішення:

s ₂

s ₁

Рис. 17

Для вирішення даної задачі скористаємося методом координат. Систему координат виберемо так, щоб вісь Ох проходила через пункти А і В, а вісь Оу через точку А. Нехай Р довільна точка, s ₁ і s ₂ відстані від точки до підприємств А і В (рис.17). Тоді А (0, 0), В (300, 0), Р (х, у).
При доставці вантажу з пункту А витрати дорівнюють m +10 s _1. При доставці вантажу з пункту В витрати дорівнюють m +20 s _2. Якщо для пункту Р вигідніше доставляти вантаж з підприємства А, то m +10 s ₁ <m +20 s _2, звідки s ₁ <2 s _2, у зворотному випадку отримаємо s _1> 2 s _2.
Таким чином, межею області для кожної точки, до якої витрати на перевезення вантажу з пунктів А і В рівні, буде безліч точок площини, що задовольняють рівнянню
s ₁ = 2 s ₂ (1)
Висловимо s ₁ і 2s ₂ через координати:

.
Маючи на увазі (1), отримаємо

.
Це і є рівняння кола. Отже, для всіх пунктів, які потрапляють у внутрішню область кола, вигідніше привозити вантаж з пункту В, а для всіх пунктів, які потрапляють під зовнішню частину кола, - з пункту А.
Завдання 2. На площині дано точки А і В; знайти геометричне місце точок М, віддалених від А в двічі більше, ніж від В.
Рішення:

Рис. 18

О ₁

Виберемо систему координат на площині так, щоб початок координат потрапила в точку А, а позитивна піввісь абсцис пішла по АВ. За одиницю масштабу візьмемо відрізок АВ. Точка А буде мати координати (0,0), точка В координати (1,0). Координати точки М позначимо через (х, у). Умова

записується в координатах так:

.
Ми отримали рівняння шуканого геометричного місця точок. Щоб зрозуміти, яке безліч описується цим рівнянням, ми перетворимо його так, щоб воно прийняло знайомий нам вигляд. Звівши обидві застій у квадрат, розкриваючи дужки і приводячи подібні члени, отримуємо рівність: Зх ^2-8х +4 + Зу ² = 0.
Це рівність можна переписати так:

або так:

. Це рівняння кола з центром у точці (

, 0) і радіусом, рівним

. Це значить, що наше геометричне місце точок є колом.
Завдання 3.Дан трикутник ABC; знайти центр кола, описаного біля цього трикутника.
Рішення:
Приймемо точку А за початок координат, вісь абсцис направимо від А до В. Тоді точка У буде мати координати (з, 0), де с - довжина відрізка АВ. Нехай точка С має координати (q, h), а центр шуканої окружності - (а, b). Радіус цього кола позначимо через R. Запишемо в координатах приналежність точок А (0,0), В (з, 0) і C (q, h) шуканої окружності:
a ² + b ² = R ^2,
(Ca) ² + b ² = R ^2,
(Qa) ² + (hb) ² = R ^2.
Кожна з цих умов виражає той факт, що відстань точок А (0,0), В (з, 0), C (q, h) від центру кола (а, b) дорівнює радіусу. Ці умови легко отримати, якщо записати рівняння шуканої кола (кола з центром (а, b) і радіусом R), тобто (xa) ² + (yb) ² = R ^2, а потім у це рівняння замість х і у підставити координати точок А, В і С, що лежать на цій окружності. Ця система трьох рівнянь з трьома невідомими легко вирішується, і ми отримуємо:

.
Завдання вирішена, тому що ми знайшли координати центра та радіус. Причому слід зауважити, що ми при вирішенні завдання не вдавалися до побудови креслення.
Домашнє завдання:
1. Сходи, що стоїть на гладкій підлозі біля стіни зісковзує вниз. За якою лінії рухається кошеня, що сидить на середині сходів?
2. Квадрат вписане коло. Довести, що сума квадратів відстаней будь-якої точки кола до сторін квадрата постійна.
Короткий аналіз проведених занять: Учні на уроках активно брали участь, особливо на першому при виведенні формул, тому що матеріал не складний і використовує факти і поняття, які були вивчені не так давно і повторені на усному рахунку. Також на 1 уроці вдалося прорешать всі заплановані завдання на закріплення, особливу складність викликала завдання № 3, в якій учні довго не могли зробити креслення та плуталися в формулах знаходження довжини і координат вектора. Проведена на наступному уроці самостійна робота показала, що практично всі учні засвоїли матеріал (з роботою не впоралися 2 особи з 26 учнів цього класу). Найбільша кількість помилок було зроблено в задачі № 2, при використанні формули знаходження відстані між 2 точками. Таким чином, можна припустити, що тема «Найпростіші задачі в координатах» була успішно засвоєна більшістю учнів даного класу.

Висновок
Досить простий у застосуванні, метод координат є необхідною складовою рішення задач різного рівня. Використання даного методу, дозволяє учням значно спростити і скоротити процес вирішення завдань, що допомагає їм при подальшому вивченні, як шкільного курсу математики, так і при вивченні математики у вищих навчальних закладах.
У даній дипломній роботі:
o проаналізовано кілька діючих шкільних підручників щодо теми «Метод координат»;
o описаний сам метод координат, види і етапи рішення задач методом координат;
o виділені основні вміння, необхідні для оволодіння даним методом і наведено ряд завдань, які формують їх.
Також було проведено дослідне викладання, яке підтвердило гіпотезу про те, що вивчення методу координат у шкільному курсі геометрії необхідно. Воно буде більш ефективно, якщо в 5-6 класі проведена Пропедевтична робота з формування основних умінь і навичок, в системному курсі планіметрії учні знайомляться зі структурою даного методу, і використовується продумана система завдань для формування окремих компонентів методу.

Бібліографічний список
1. Автономова, Т. В. Основні поняття і методи шкільного курсу геометрії: Книга для вчителя [Текст] / Б. І. Аргунов - М. Освіта, 1988р. - 127с.
2. Атанасян, Л. С. Геометрія для 7-9 класів середньої школи [Текст] / В. Ф. Бутузов, С. Д. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна - М. Освіта, 1992 .- 335с .
3. Віленкін, Н. Я. Математика: Учеб. для 5 кл. середовищ. шк. [Текст] / А. С. Чесноков, С. І Шварцбурд .- М. Освіта, 1989р. - 304с.
4. Віленкін, Н. Я. Математика: Учеб. для 6 кл. загаль. установ [Текст] / В. І. Жохів, А. С. Чесноков, С. І Шварцбурд. - М. Мнемозина, 2001р. - 304с.
5. Гельфанд, І. М. Метод координат [Текст] - М. Наука, 1973. -87с.
6. Дорофєєв, Г. В. Математика: Учеб. для 5 кл. загаль. установ [Текст] / І. Ф. Шаригін, С. Б. Суворова - М. Освіта, 2000р. - 368с.
7. Дорофєєв, Г. В. Математика: Учеб. для 6 кл. загаль. навч. закладів [Текст] / І. Ф. Шаригін, С. Б. Суворова - М. Дрофа, 1998. - 416с.
8. Вивчення координат в III - IV кл. / Л. Г. Петерсон / / Математика в школі - 1983г .- № 4
9. Індивідуальні картки з геометрії для 7-9 кл. / Т. М. Міщенко / / Математика в школі - 2001г. - № 8
10. Підсумки роботи в 7 кл. за підручником Шаригіна І. Ф. 7-9 / О.В. Бощенко / / Математика в школі - 2002г. № 5
11. До вивчення переміщень на координатній площині / Г.Б. Лудин / / Математика в школі - 1983г .- № 2
12. До початку навчання геометрії 1-7 кл. / / Математика в школі 1983р. - № 6
13. Лускин М. Г. Факультативні заняття з математики у школі: Методичні рекомендації [Текст] / В. І. Зубарєва - Кіров ВДПУ, 1995.
14. Лященко, Є. І. Лабораторні та практичні роботи з методики викладання математики: Учеб. посібник для студентів фіз.-мат. спец. пед. ін-тів [Текст] / К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко - М. Освіта, 1988р. - 233с.
15. Метод координат / А. Савін / / Квант-1977р. - № 9
16. Мішин, В. І. Методика викладання математики в середній школі: Приватна методика: Учеб посібник для студентів пед. ін-тів по фіз.-мат. спец. [Текст] / А. Я. Блох, В. А. Гусєв, Г. В. Дорофєєв - М. Освіта 1987р. - 416с.
17. Нікольська, І. Л. Факультативний курс з математики: Учеб. посібник для 7-9 кл. СР шк. [Текст] - М. Освіта, 1991р. - 383с.
18. Нові комп'ютерні технології. Координатна площина / / Математика - Додаток до газ. «Перше вересня» - 2004р. № 29
19. Чи потрібна школі XXI століття геометрія / І. Шаригін / / Математика - Додаток до газ. «1 вересня» - 2004р. № 12
20. Про конкретний підручнику геометрії для 7-9 кл. / Л.С. Атанасян / / Математика в школі - 1989г. - № 1
21. Обговорення одного підручника / І.Ю Феоктистов / / Математика в школі-2001г. № 5
22. Погорєлов, А. В. Геометрія для 7-11 класів середньої школи - М: Освіта, 1990. - 384с.
23. Понтрягин, Л. С. Ознайомлення з вищою математикою. Метод координат [Текст] - М. Наука, 1987. - 128с.
24. Програма з математики для середньої школи - М. Освіта, 1998р. -205с.
25. Саранцев, Г. І. Вправи в навчанні математиці [Текст] - М. Освіта, 1995. - 240с.
26. Сікорський, К. П. Додаткові голови з курсу математики. Навчальний посібник з факультативного курсу для учнів 7-8 класів [Текст] - М. Освіта, 1974р .- 315с.
27. Вправи з теми «Координатна площина» / О.А. Леонова / / Математика в школі - 2001г. - № 10
28. Шаригін, І. Ф. Геометрія 7-9 кл.: Учеб для общеоразоват. навч. закладів [Текст] - М. Дрофа, 2000р. -368с.