Вивчення матриць

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

1. Дайте визначення алгебраїчного доповнення елемента визначника. Наведіть приклад обчислення алгебраїчного доповнення елемента а 12 визначника 3-го порядку

Алгебраїчним доповненням А ij елемента а ij визначника n го порядку називається мінор цього елемента, узятий зі знаком (-1) i + j, де i + j - сума номерів рядка та стовпця, яким належить елемент а ij. Тобто за визначенням А ij = (-1) i + j М ij.

Для визначника знайти алгебраїчні доповнення елементів а 12.

Для елемента а12 i = 1, j = 2 і i + j = 3 число непарне, звідси

2. Розкладіть по теоремі Лапласа визначник третього порядку, записаний в загальному вигляді за елементами другого рядка

Обчислюємо визначник шляхом розкладання його за 2-їй рядку

3. Яка система лінійних алгебраїчних рівнянь називається неоднорідною? Яке рішення має система неоднорідних лінійних рівнянь, якщо головний визначник не дорівнює нулю?

Система рівнянь називається неоднорідною, якщо хоч би один вільний член рівняння не дорівнює нулю.

Якщо головний визначник системи n рівнянь з n невідомими не дорівнює нулю, то система має єдине рішення, коріння якого визначаються за формулами:

, , ...,

4. Дайте визначення матриці та її розміру. Наведіть приклад матриць розмірів: 1х3, 3х4, 1х1.

Матрицею називається таблиця чисел або яких-небудь інших елементів, що містить m рядків і n стовпців.

Загальний вигляд матриці

Матриця має розмір, що визначається її кількістю рядків і стовпців, що записується так - А m 'n.

Наприклад, числова матриця розміром 1 '1 має вигляд , Розміром 1 '3 має вигляд , Розміром 3 '4 має вигляд .

5. Що таке союзна або приєднана матриця? Наведіть приклад обчислення союзної матриці для заданої.

Якщо для заданої квадратної матриці А визначити алгебраїчні доповнення всіх її елементів і потім транспонувати їх, то отримана таким чином матриця буде називатися союзної чи приєднаної по відношенню до матриці А і позначатися символом Ã

Для матриці знайти Ã.

Складаємо визначник матриці А

Визначаємо алгебраїчні доповнення всіх елементів визначника за формулою

; ;

.

; ;

.

; ;

.

Транспоніруя отримані алгебраїчні доповнення, одержуємо союзну або приєднану матрицю Ã по відношенню заданої матриці А.

6. Обчислити визначник 3 го порядку, розклавши його по 1 му рядку

7. Визначити алгебраїчні доповнення елементів 2 го рядка визначника 3-го порядку

Для елемента а 21 i = 2, j = 1 і i + j = 3 число непарне, звідси

Для елемента а 22 i = 2, j = 2 і i + j = 4 число парне, звідси

Для елемента а 23 i = 2, j = 3 і i + j = 5 число непарне, звідси

8. Знайти рішення системи рівнянь методом Крамера

Дана система рівнянь буде мати єдине рішення тільки тоді, коли визначник складений з коефіцієнтів при X 1 - n не буде дорівнює нулю. Позначимо цей визначник знаком - Δ. Якщо цей визначник не дорівнює нулю, то вирішуємо далі. Тоді кожен X i = Δ i / Δ, де Δ i - це визначник складений з коефіцієнтів при X 1 - n, лише значення коефіцієнтів у i - му стольбце замінені на значення за знаком рівності в сісетеме рівнянь, а Δ - це головний визначник

Рішення

Запишемо систему у вигляді:

Головний визначити

9. Виконайте операцію добутку двох матриць АхВ

Рішення

Знайти матрицю | C | = | A | x | B |

Обчислимо елементи матриці | C |:

c 1,1 = a 1,1 b 1,1 + a 1,2 b 2,1

c 1,2 = a 1,1 b 1,2 + a 1,2 b 2,2

c 2,1 = a 2,1 b 1,1 + a 2,2 b 2,1

c 2,2 = a 2,1 b 1,2 + a 2,2 b 2,2

c 1,1 =

2

*

1

+

1

*

4

=

2

+

4

=

6

c 1,2 =

2

*

-2

+

1

*

0

=

-4

+

0

=

-4

c 2,1 =

-3

*

1

+

4

*

4

=

-3

+

16

=

13

c 2,2 =

-3

*

-2

+

4

*

0

=

6

+

0

=

6

Результуюча матриця | З |:

6

-4

13

6

10. Які величини називаються скалярними і векторними? Наведіть приклади скалярних і векторних величин? Яке умова рівності векторів? Наведіть приклад складання двох векторів за правилом паралелограма і трикутника

Скалярною величиною або просто скаляром називається величина, яка при певному виборі одиниці виміру визначається числом (питома вага, щільність, робота, потужність, температура і т.д.)

Вектор - спрямований відрізок, що має певну величину (швидкість, прискорення, сила, напруженість магнітного та електричного поля і т.д.).

Скалярна величина - 10 хвилин, векторна - 100 км / ч.

Два вектора і рівні, якщо вони равнонаправлени і мають один і той же модуль.

Правило трикутника

Для того щоб скласти два вектора і потрібно перемістити вектор паралельно самому собі (рис. 1, б) так, щоб його початок (точка B на рис. 1, а) збігалося з кінцем вектора (Точка A на рис. 1, а). Тоді їх сумою буде вектор (Рис. 1, г), початок якого збігається з початком вектора (Точка D на рис. 1, в), а кінець - з кінцем вектора (Точка C на рис. 1, в).

а б

в м

Рис. 1.

Правило паралелограма

Для того щоб скласти два вектора і потрібно перемістити їх паралельно самим собі так, щоб почала векторів і знаходилися в одній точці (рис. 2, а). Потім побудувати паралелограм, сторонами якого будуть ці вектора (рис. 2, б). Тоді їх сумою буде вектор (Рис. 2, в), початок якого збігається із загальним початком векторів (точка A на рис. 2, б), а кінець - з протилежного вершиною паралелограма (точка В на рис. 2, б).



а

б в

Рис. 2.

11. Напишіть формулу розкладання вектора по трьох взаємно перпендикулярним осям координат

12. Як визначається вектор через координати його початку і кінця?

Нехай відомі координати початку вектора А (x 1, y 1, z 1) і його кінця В (x 2, y 2, z 2). Точки А і В визначають радіус вектора

і .

0

Рис. 3

З трикутника ОАВ випливає, що , Звідси .

Якщо позначити через X, Y, Z - координати вектора , Тобто = (X, Y, Z), то виходить, що

X = х 2-х 1

Y = у 2-у 1

Z = z 2 - z 1

Щоб знайти абсциссу вектора Х, необхідно з абсциси кінця вектора відняти абсциссу початку вектора.

12. Який вид має рівняння прямої в площині, що проходить через дві точки?

13. Який вид має рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом?

14. Напишіть розкладання вектора по трьох взаємно перпендикулярним осям координат

Координати вектора

X

-2


Y

4


Z

7

A (-2, 4, 7) означає, що абсциса точки A x =- 2, ордината у = 4, аппликата z = 7.

15. Чому дорівнює скалярний добуток векторів і ? Дані для варіанту взяти з таблиці 2.3

Координати вектора

X

-2


Y

4


Z

7

Координати вектора

X

3


Y

6


Z

4

Т.к. вектори задані в координатній формі, то за формулою маємо:

16. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих l 1 і l 2 і відтинає на осі абсцис відрізок, рівний d

Рівняння прямої l 1

Рівняння прямої l 2

d

Координати точки Р




x

y

3x 2y 7 = 0

x +3 y 6 = 0

3

2

5

Звідси знаходимо х = 6 - 3у

x = 3

Значить точка перетину двох прямих A (3; 1)

За умови відрізок дорівнює 3, значить координата точки B (3; 0).

Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки А і В.

Тут знаменник дорівнює нулю. Вважаємо чисельник лівій частині рівним нулю.

Отримуємо

1 7. Знайти рівняння прямої, відтинає на осі ординат відрізок, рівний d і проходить паралельно прямий l 1

Рівняння прямої l 1

Рівняння прямої l 2

d

Координати точки Р




x

y

3x 2y 7 = 0

x +3 y 6 = 0

3

2

5

Знайдемо дві точки прямої 3x 2y 7 = 0

Підставимо в рівняння х = 1 і х = 3 і отримаємо значення у відповідно -2 і 1.

A (1; - 2) і B (3; 1).

Координати направляючого вектора знайдемо за координатами кінця і початку вектора

Підставляючи в формулу координати точки O (0; 3) і координати вектора одержимо шукане рівняння прямої

або .

18. Як визначаються горизонтальні асимптоти функції?

У разі якщо похила асимптота розташована горизонтально, тобто при , Вона називається горизонтальною асимптотой. Таким чином, горизонтальна асимптота - окремий випадок похилій асимптоти; пряма y = с = const є горизонтальною асимптотой графіка y = f (x) при або , Якщо

або

відповідно.

19. Що таке приватне приріст функції декількох змінних?

Приватної похідною функції декількох змінних з якої-небудь змінної в даній точці називається звичайна похідна по цій змінній, вважаючи інші змінні фіксованими (постійними). Наприклад, для функції двох змінних в точці приватні похідні визначаються так:

,

,

якщо ці межі існують.

З визначення випливає геометричний сенс похідної функції двох змінних: приватна похідна - Кутовий коефіцієнт дотичної до лінії перетину поверхні і площини у відповідній точці.

20. Які вирази для приватних диференціалів функції z = f (x, y)?

Приватної похідною по x функції z = f (X, y) в точці M 0 (x 0, y 0) називається границя ,

якщо ця межа існує. Позначається ця приватна похідна будь-яким з наступних символів:

; ; .

Приватна похідна по x є звичайна похідна від функції z = f (x, y), що розглядається як функція тільки від змінної x при фіксованому значенні змінної y.

Абсолютно аналогічно можна визначити приватну похідну по y функції z = f (x, y) в точці M 0 (x 0, y 0):

= .

Наведемо приклади обчислення приватних похідних

21. Яке вираз для повного диференціала функції u = u (x, y, z)?

Повний диференціал du функції u = f (x, y, z) (якщо він існує) дорівнює сумі всіх її приватних диференціалів:

22. Напишіть приватні похідні третього порядку для функції z = f (x, y, z)

23. Знайти приватну похідну і приватний диференціал функції.

24. Обчислити значення приватних похідних f 'x (M 0), f' y (M 0), f 'z (M 0) для даної функції f (x, y, z) в точці M 0 (x 0, y 0, z 0) з точністю до двох знаків після коми

25. Обчислити значення приватних похідних функції z (x, y), заданої неявно, в даній точці M 0 (x 0, y 0, z 0) з точністю до двох знаків після коми

lnZ = x +2 y-z + ln3 M 0 (1,1,3)

26. Знайти рівняння дотичної площини і нормалі до заданої поверхні S у точці M 0 (x 0, y 0, z 0). S: z = x 2 + y 2 -4 xy +3 x 15, M 0 (-1,3, 4)

Отже, рівняння дотичній площині буде таким:

а рівняння нормалі таким:

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Контрольна робота
70.2кб. | скачати


Схожі роботи:
Рішення матриць
Генерація матриць
Калькулятор для матриць
Алгебраїчні групи матриць
Використання алгебри матриць
Алгебра матриць Системи лінійних рівнянь
Алгоритми пошуку найкоротших покриттів булевих матриць
Завдання лінійної алгебри Поняття матриці Види матриць Операції з матрицями Рішення задач на перетворення
Зірки та їх вивчення
© Усі права захищені
написати до нас