Взаємодія тіл
Прикладів взаємодії тіла можна навести скільки завгодно. Коли ви, перебуваючи в човні, почнете за мотузку підтягувати іншу, то й ваш човен обов'язково просунеться вперед. Діючи на другу човен, ви змушуєте її діяти на вашу човен.
Якщо ви вдарите ногою по футбольному м'ячу, то негайно відчуєте зворотну дію на ногу. При зіткненні двох більярдних куль змінюють свою швидкість, тобто отримують прискорення обидві кулі. Все це прояв загального закону взаємодії тіл.
Дії тіл один на одного носять характер взаємодії не тільки при безпосередньому контакті тіл. Покладіть, наприклад, на гладкий стіл два сильних магніту з різними полюсами назустріч один одному, і ви тут же виявите, що почнуть рухатися назустріч один одному. Земля притягує Місяць (сила всесвітнього тяжіння) і змушує її рухатися по криволінійній траєкторії, у свою чергу Місяць також притягують Землю (теж сила всесвітнього тяжіння). Хоча, природно, в системі відліку, пов'язаної з Землею, прискорення землі, що викликається цією силою, не можна виявити безпосередньо, воно проявляється у вигляді припливів.
З'ясуємо за допомогою досвіду, як пов'язані між собою сили взаємодії двох тіл. Грубі вимірювання сил можна провести на наступних дослідах:
1 досвід. Візьмемо два динамометра, зачепимо один за одного їх гачки, і взявшись за кільця, будемо розтягувати їх, стежачи за показаннями, обох динамометрів.
Ми побачимо, що за будь-яких розтягненнях свідчення обох динамометрів будуть однакові, значить, сила, з якої перший динамометр діє на другий, дорівнює силі, з якої другий динамометр діє на перший.
2 досвід. Візьмемо досить сильний магніт і залізний брусок, і покладемо їх на ковзанки, щоб зменшити тертя об стіл. До магніту і бруска прикріпимо однакові м'які пружини, зачеплених іншими кінцями на столі. Магніт і брусок притягнуться один до одного і розтягнуть пружини.
Досвід показує, що до моменту припинення руху пружини виявляються розтягнутими однаково. Це означає, що на обидва тіла з боку пружин діють однакові по модулю і протилежні за напрямком сили.
Так як магніт покоїться, то сила дорівнює по модулю і протилежна за напрямом силі, з якою діє на нього брусок.
Точно також рівні по модулю і протилежні за напрямком сили, що діють на брусок з боку магніту і пружини.
Досвід показує, сили взаємодії між двома тілами рівні по модулю і протилежні за напрямком і в тих випадках, коли тіла рухаються.
3 досвід. На двох візках, які можуть котитися по рейках, стоять двоє А і В. Вони тримають в руках кінці мотузки. Легко виявити, що незалежно від того, хто натягує мотузку, А чи В або обидва разом, візки завжди приходять в рух одночасно і то в протилежних напрямках. Вимірюючи прискорення візків, можна переконатися, що прискорення обернено пропорційні масам кожної з візків (разом з людиною). Звідси випливає, що сили, що діють на візки, рівні по модулю.
Перший закон Ньютона. Інерціальні системи відліку
В якості першого закону динаміки Ньютон прийняв закон, встановлений ще Галілеєм: матеріальна точка зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху до тих пір, поки вплив з боку інших тіл не виведе її з цього стану.
Перший закон Ньютона показує, що спокою або рівномірного прямолінійного руху не вимагає для своєї підтримки будь-яких зовнішніх впливів. У цьому виявляється особливе динамічне властивість тіл, зване їх інертністю.
Відповідно перший закон Ньютона називають законом інерції, а рух тіла у відсутності дій з боку інших тіл - рухом по інерції.
Механічне рух щодо: його характер для одного і того ж тіла може бути різним у різних системах відліку, що рухаються один відносно одного. Наприклад, космонавт, що знаходиться на борту штучного супутника Землі, нерухомий в системі відліку, пов'язаної з супутником. У той же час по відношенню до Землі він рухається разом із супутником по еліптичній орбіті, тобто не рівномірно і не прямолінійно.
Природно тому, що перший закон Ньютона повинен виконуватися не у всякій системі відліку. Наприклад, куля, що лежить на гладкій підлозі каюти корабля, який йде прямолінійно і рівномірно, може прийти в рух по підлозі без будь-якого впливу на нього з боку будь-яких тіл. Для цього достатньо, щоб швидкість корабля почала змінюватися.
Система відліку, стосовно якої матеріальна точка, вільна від зовнішніх впливів, спочиває чи система рухається рівномірно і прямолінійно, називається інерціальній системою відліку. Зміст першого закону іржання першого закону Ньютона зводиться по суті до двох тверджень: по-перше, що всі тіла володіють властивістю інертності і, по друге, що існують інерціальні системи відліку.
Будь-які дві інерціальні системи відліку можуть рухатися одне відносно одного тільки поступально і притому рівномірно і прямолінійно. Експериментально встановлено, що практично інерціальна геліоцентрична система відліку, початок координат якої знаходиться в центрі мас Сонячної системи (приблизно - в центрі Сонця), а осі проведені у напрямку трьох віддалених зірок, вибраних, наприклад, так, щоб осі координат були взаємно перпендикулярні.
Лабораторна система відліку, осі координат якої жорстко пов'язані з Землею, не інерціальна головним чином через добового обертання Землі. Проте Земля обертається настільки повільно, що максимальне нормальне прискорення точок її поверхні в добовому обертанні не перевершує 0,034 м / . Тому в більшості практичних завдань лабораторну систему відліку можна наближено вважати інерціальної.
Інерціальні системи відліку відіграють особливу роль не тільки в механіці, але також і у всіх інших розділах фізики. Це пов'язано з тим, що, згідно з принципом відносності Ейнштейна, математичне вираз будь-якого фізичного закону повинно мати один і той же вид у всіх інерціальних системах відліку.
Сила
Силою називається векторна величина, що є мірою механічного дію на дане тіло з боку інших тіл. Механічне взаємодія може здійснюватися як між безпосередньо контактуючими тілами (наприклад, при терті, при тиску тіл один на одного), так і між віддаленими тілами. Особлива форма матерії, що зв'язує частки речовини в єдині системи і передає з кінцевою швидкістю дії одних частинок на інші, називаються фізичним полем, або просто полем.
Взаємодія між віддаленими тілами здійснюється за допомогою створюваних ними гравітаційних і електромагнітних полів (наприклад, тяжінні планет до Сонця, взаємодія заряджених тіл, провідників зі струмом і т.п.). Механічна дія на дане тіло з боку інших тіл проявляється двояко. Воно здатне викликати, по-перше, зміна стану механічного руху розглянутого тіла, а по-друге, - його деформацію. Обидва ці прояви дії сили можуть служити основою для вимірювання сил. Наприклад, вимірювання сил за допомогою пружинного динамометра заснованого на законі Гука для поздовжнього розтягування. користуючись поняттям сили в механіці зазвичай говорять про рух і деформації тіла під дією прикладених до нього сил.
При цьому, звичайно, кожній силі завжди відповідає деяке тіло, діє на аналізоване з цією силою.
Сила F повністю визначена, якщо задані її модуль, напрямок у просторі і точка докладання. Пряма, уздовж якої спрямована сила, називається лінією дії сили.
Поле, що діє на матеріальну точку з силою F, називається стаціонарним полем, якщо воно не змінюється з плином часу t, тобто якщо в будь-якій точці поля сила F не залежить явно від часу:
Для стаціонарності поля необхідно, щоб створюють його тіла спочивали щодо інерціальної системи відліку, використовуваної при розгляді поля.
Одночасна дія на матеріальну точку M декількох сил еквівалентно дії однієї сили, званої рівнодіючої, або результуючої, силою і дорівнює їх геометричній сумі.
Вона являє собою замикаючу багатокутника сил
Маса. Імпульс
У класичній механіці масою матеріальної точки називається позитивна скалярна величина, що є мірою інертності цієї точки. Під дією сили матеріальна точка змінює свою швидкість не миттєво, поступово, тобто набуває кінцеве за величиною прискорення, яке тим менше, чим більше маса матеріальної точки. Для порівняння мас і
двох матеріальних точок достатньо виміряти модулі
і
прискорень, придбаних цими точками під дією однієї і тієї ж сили:
=
Зазвичай масу тіла знаходять шляхом зважування на важільних вагах.
У класичній механіці вважається, що:
а) Маса матеріальної точки не залежить від стану руху точки, будучи її незмінною характеристикою.
б) Маса - величина адитивна, тобто маса системи (наприклад, тіла) дорівнює сумі мас віх матеріальних точок, що входять до складу цієї системи.
в) Маса замкнутої системи залишається незмінною при будь-яких процесах, що відбуваються в цій системі (закон збереження маси).
Щільністю ρ тіла в даній його точці M називається відношення маси dm малого елемента тіла, що включає точку M, до величини dV обсягу цього елемента:
ρ =
Розміри аналізованого елемента повинні бути настільки малі, щоб зміною щільності в його межах можна було в багато разів більше міжмолекулярних відстаней.
Тіло називається однорідним, якщо у всіх його точках щільність однакова. Маса однорідного тіла дорівнює добутку його щільності на об'єм:
m = ρV
Маса неоднорідного тіла:
m = dV,
де ρ - функція координат, а інтегрування проводиться по всьому об'єму тіла. Середньою густиною (ρ) неоднорідного тіла називається відношення його маси до об'єму: (ρ) = m / V.
Центром мас системи матеріальних точок називається точка С, радіус-вектор якої дорівнює:
де і
- Маса і радіус-вектор i-й матеріальної точки, n - загальна кількість матеріальних точок у системі, а m =
- Маса всієї системи.
Швидкість центру мас:
Векторна величина , Що дорівнює добутку маси
матеріальної точки на її швидкість
, Називається імпульсом, або кількістю руху, цієї матеріальної точки. Імпульсом системи матеріальних точок називається вектор p, рівний геометричній сумі імпульсів всіх матеріальних точок системи:
імпульс системи дорівнює добутку маси всієї системи на швидкість центру її мас:
Другий закон Ньютона
Основним законом динаміки матеріальної точки є другий закон Ньютона, який говорить про те, як змінюється механічний рух матеріальної точки під дією прикладених до неї сил. Другий закон Ньютона говорить: швидкість зміни імпульсу ρ матеріальної точки дорівнює діючій на неї силі F, тобто
, Або
де m і v - маса і швидкість матеріальної точки.
Якщо на матеріальну точку одночасно діють декілька сил, то під силою F у другому законі Ньютона потрібно розуміти геометричну суму всіх діючих сил - як активних, так і реакцій зв'язків, тобто рівнодіючу силу.
Векторна величина F dt називається елементарному імпульсом сили F за малий час dt її дії. Імпульс сили F за кінцевий проміжок часу від до
дорівнює певному інтегралу:
де F, в загальному випадку, залежить від часу t.
Згідно з другим законом Ньютона зміна імпульсу матеріальної точки одно імпульсу діє на неї сили:
d p = F dt і ,
де - Значення імпульсу матеріальної точки в кінці (
) І на початку (
) Розглянутого проміжку часу.
Оскільки в ньютонівської механіки маса m матеріальної точки не залежить від стану руху точки, то
Тому математичне вираз другого закону Ньютона можна також представити у формі
де - Прискорення матеріальної точки, r - її радіус-вектор. Відповідно формулювання другого закону Ньютона говорить: прискорення матеріальної точки збігається за напрямком з діючою на неї силою і дорівнює відношенню цієї сили до маси матеріальної точки.
Дотичне і нормальне прискорення матеріальної визначаються відповідними складовими сили F
,
де - Модуль вектора швидкості матеріальної точки, а R - радіус кривизни її траєкторії. Сила
, Що повідомляє матеріальної точці нормальне прискорення, спрямована до центру кривизни траєкторії точки і тому називається доцентровою силою.
Якщо на матеріальну точку одночасно діють декілька сил , То її прискорення
де . Отже, кожна з сил, одночасно діючих на матеріальну точку, повідомляє їй таке ж прискорення, як якщо б інших сил не було (принцип незалежності дії сил).
Диференціальним рівнянням руху матеріальної точки називається рівняння
У проекціях на осі прямокутної декартової системи координат це рівняння має вигляд
,
,
де x, y і z - координати рухомої точки.
Третій закон Ньютона. Рух центру мас
Механічна дія тіл один на одного проявляється у вигляді їх взаємодії. Про це говорить третій закон Ньютона: дві матеріальні точки діють один на одного з силами, які чисельно рівні і спрямовані в протилежні сторони вздовж прямої, що з'єднує ці точки.
Якщо - Сила, діюча на i - ю матеріальну точку з боку k - й, а
- Сила діє на k-у матеріальну точку з боку i-й, то, відповідно до третього закону Ньютона,
Сила включені до різних матеріальних точок і можуть і взаємно врівноважуватися тільки в тих випадках, коли ці точки належать одному і тому ж абсолютно твердого тіла.
Третій закон Ньютона є суттєвим доповненням до першого і другого законів. Він дозволяє перейти від динаміки окремої матеріальної точки до динаміки довільній механічної системи (системи матеріальних точок). З третього закону Ньютона випливає, що в будь-якій механічній системі геометрична сума всіх внутрішніх сил дорівнює нулю:
де n - число матеріальних точок, що входять до складу системи, а .
Вектор , Що дорівнює геометричній сумі всі зовнішніх сил, що діють на систему, називається головним вектором зовнішніх сил:
де - Результуюча зовнішніх сил, прикладених до i-й матеріальної точки.
З другого і третього законів Ньютона випливає, що перша похідна за часом t від імпульсу p механічної системи дорівнює головному вектору всіх зовнішніх сил, прикладених до системи,
.
Це рівняння виражає закон зміни імпульсу системи.
Так як , Де m - маса системи, а
- Швидкість її центра мас, то закон руху центру мас механічної системи має вигляд
, Або
,
де - Прискорення центра мас. Таким чином, центр мас механічної системи рухається як матеріальна точка, маса якої дорівнює масі всієї системи і на яку діє сила, рівна головному вектору зовнішніх сил, прикладених до системи.
Якщо розглянута система - тверде тіло, яке рухається поступально, то швидкості всіх точок тіла і його центру мас
однакові і рівні швидкості v тіла. Відповідно прискорення тіла
, І основне рівняння динаміки поступального руху твердого тіла має вигляд