1. Елементи варіаційного обчислення
1.1 Поняття функціонала і оператора
В курсі вищої математики вводилося поняття функції. Якщо певному числу x з області D ставиться у відповідність за певним правилом чи законом число y, то кажуть, що задана функція y = f (x). Область D називають областю визначення функції f (x).
Якщо ж функції y (x) ставиться у відповідність за певним правилом чи законом число J, то говорять, що заданий функціонал J = J (y). Прикладом функціоналу може бути визначений інтеграл від функції y (x) або від деякого виразу, що залежить від y (x),
Якщо тепер функції y (x) ставиться у відповідність за певним правилом чи законом знову функція z (x), то говорять, що задано оператор z = L (y), або z = Ly.
Прикладами диференціальних операторів можуть служити:
Дамо більш суворе визначення функціоналу. Нехай A - безліч елементів довільної природи, і нехай кожному елементу u є A приведено у відповідність одне і тільки одне число J (u). У цьому випадку говорять, що на безлічі A заданий функціонал J. Безліч A називається областю визначення функціоналу J і позначається через D (J); число J (u) називається значенням функціонала J на елементі u. Функціонал J називається речовим, якщо всі його значення речовинні. Функціонал J називається лінійним, якщо його область визначення є лінійне безліч і якщо
J (α u + β v) = α J (u) + β J (v).
1.2 Завдання, що призводять до екстремуму функціонала
Рис. 1.1
Задача про брахістохроне
Зародження варіаційного обчислення відносять зазвичай до 1696 р., коли І. Бернуллі поставив так звану задачу про брахістохроне: точки А (0,0) і В (а, b) розташовані у вертикальній площині (xy) (рис. 1). Яка повинна бути крива, що в площині (xy) і з'єднує точки А і В, щоб матеріальна точка, рухаючись без тертя, скочувалася по цій кривій з точки А в точку В в найкоротший час?
Шукана крива і була названа брахістохроной.
Нехай рівняння кривої АВ є y = u (x). Розглянемо деякий момент часу t, і нехай в цей момент рухома точка знаходиться на відстані y від осі x. Тоді , Де v - швидкість рухомої точки, g - прискорення сили тяжіння. У той же час
Звідси
.
Позначимо через Т час, протягом якого матеріальна точка досягає точки В. Інтегруючи, знаходимо
(1.1)
Завдання зводиться до наступного: треба знайти функцію y = u (x), що задовольняє умові
u (0) = 0; u (а) = b (1.2)
і сообщающую інтегралу (1.1) найменше значення. Умови (1.2) означають, що шукана крива повинна проходити через задані точки А і В. Такого типу умови прийнято називати граничними, або крайовими, так як вони ставляться до кінців проміжку, на якому повинна бути визначена шукана функція.
Прикладом застосування кривої у вигляді брахістохрони служить утворює циліндричних поверхонь, що використовуються на дитячих майданчиках, в атракціонах для спуску з піднесення, на трамплінах.
Завдання про найбільшу площі
Сформулюємо цю задачу так: серед всіх плоских кривих, що мають дану довжину і закінчуються в точках А (а, 0) і В (b, 0), знайти криву, що обмежує разом з відрізком [а, b] осі x область із найбільшою площею.
Нехай рівняння кривої буде y = u (x). Завдання полягає в тому, щоб знайти функцію u (x), що задовольняє крайовим умовам
u (а) = u (b) = 0 (1.3)
і тотожності
(1.4)
і сообщающую інтегралу
(1.5)
найбільше значення.
Загальним для розглянутих завдань є те, що кожного разу шукається функція, яка задовольняє тим чи іншим поставленим умовам і що повідомляє екстремальне значення заданому функціоналу.
Наведені тут завдання ставляться до гілки математичного аналізу, званої варіаційним численням.
1.3 Постановка завдання варіаційного обчислення
Завдання варіаційного обчислення полягає в наступному: дан функціонал J з областю визначення D (J); потрібно знайти елемент u0 є D (J), що повідомляє функціоналу або мінімальне значення
, (1.6)
або максимальне значення
. (1.7)
Завдання про максимум функціоналу J тотожна із завданням про мінімум функціоналу - J, тому надалі будемо розглядати тільки завдання про мінімум функціоналу J.
У наведеній загальної формулюванні завдання варіаційного обчислення вирішити навряд чи можливо, тому накладемо на функціонал J деякі обмеження.
Будемо вважати, що D (J) є частина деякого простору Х. Щоб сформулювати подальші обмеження, введемо поняття лінійного різноманіття. Нехай М - лінійне безліч елементів простору Х і ū - деякий фіксований елемент цього простору. Лінійним різноманіттям в просторі Х назвемо сукупність елементів, кожен з яких можна представити у вигляді
u = ū + η, η є М. (1.8)
Якщо ū єм, то, очевидно, так певне лінійне різноманіття збігається з М.
Вимога 1. Область визначення D (J) функціонала J є лінійне різноманіття.
Будемо вважати також, що простір Х безконечномірному. Тоді в Х лінійне безліч М також безконечномірному і, отже, з нього можна виділити конечномерное підпростір.
Вимога 2. Якщо η пробігає будь конечномерное підпростір, що міститься в М, то на цьому підпросторі функціонал J (u) = J (ū + η) безперервно диференціюємо достатню кількість разів.
Введемо поняття про абсолютному та відносному мінімумі функціонала. Функціонал J досягає на елементі u0 є D (J) абсолютного мінімуму, якщо нерівність
J (u 0) = J (u) (1.9)
Справедливо для будь-якого елементу u є D (J). Той же функціонал досягає на елементі u0 відносного мінімуму, якщо нерівність (9) справедливо для елементів u є D (J), досить близьких до u0.
Абсолютний мінімум називають ще сильним мінімумом, а відносний - слабким.
Існує аналогія між знаходженням мінімуму функції і мінімуму функціоналу. При знаходженні мінімуму функції перша похідна функції дорівнює нулю і знаходиться точка, підозрілою на екстремум. Потім за допомогою другої похідної перевіряється достатня умова екстремуму. При знаходженні мінімуму функціонала знаходиться перша варіація функціонала і прирівнюється до нуля. В результаті отримуємо необхідну умову екстремуму функціоналу. Для перевірки достатньої умови екстремуму функціонала знаходиться друга варіація функціонала.
1.4 Перша варіація і градієнт функціоналу
Будемо розглядати функціонал J, підлеглий вимогам 1, 2. Візьмемо довільний елемент u є D (J) і довільний елемент η є М. Позначимо через α довільне дійсне число. Неважко бачити, що елемент
u + αη є D (J). (1.10)
Складемо вираз J (u + αη). В силу вимоги 2 J (u + αη) є безперервно диференціюється функція від α. Обчислимо її похідну і візьмемо значення цієї похідної при α = 0
. (1.11)
В результаті отримаємо число, яке можна розглядати як значення функціоналу (11), залежить від двох елементів u і η.
Визначення. Функціонал
називається першою варіацією функціонала J на елементі u і позначається символом δ J (u, η):
. (1.12)
При цьому різниця двох функцій u є D (J) і u1 є D (J) називають варіацією функції u і позначають δ u = u (х) - u1 (х).
Приклад. Знайти першу варіацію функціонала
(1.13)
область визначення якого D (J) складається з функцій, що задовольняють таким умовам: u С (1) [a, b] і
u (а) = А, u (b) = В, (1.14)
де А і В-задані постійні. Умови (14) означають, що криві в = u (х), де u D (J), проходять через дві фіксовані точки (а, А) і (b, В).
Нескладно показати, що функціонал (13) задовольняє обумовленим вище двом вимогам, крім того, він задовольняє вимогу 3.
Вимога 3. Варіація δ J (u, η) - не тільки однорідний, а й адитивний функціонал від η.
Складемо варіацію функціонала (1.13)
(1.15)
Можна показати, що інтеграл:
(1.16)
є обмежений функціонал від η, при цьому вважаємо, що η (х) безупинно дифференцируема і задовольняє умовам:
η (а) = η (b) = 0. (1.17)
У цьому випадку інтеграл (1.16) можна взяти по частинах
Таким чином, інтеграл (1.15) можна записати у вигляді
. (1.18)
Тут u + αη - u = αη = δ uu можна записати
(1.19)
Варіацію δ J (u, η) можна записати у вигляді
δ J (u, η) = (Рu, η). (1.20)
Визначення. Оператор Р, визначений формулою (1.20), називається градієнтом функціонала J (u) і позначається символом
Р = grad J.
Якщо u D (Р), то варіацію функціонала J (u) можна записати у вигляді
δ J (u, η) = (grad J (u), η) (1.21)
Тут взяли α = 1, щоб не захаращувати запис. У виразі (1.18)
.
1.5 Необхідна умова мінімуму функціонала
Нехай функціонал J досягає на деякому елементі u 0 відносно мінімуму. Візьмемо довільний елемент η М і довільне дійсне число α. За визначенням відносного мінімуму при досить малих значеннях α
J (u 0 + αη) J (u 0) (1.22)
Ця нерівність означає, що функція однієї речової змінної α, що дорівнює J (u 0 + αη), має при α 0 = 0 відносний мінімум. Але тоді необхідно
або, що те ж
δ J (u 0, η) = 0 (1.23)
Якщо функціонал в деякій точці досягає мінімуму, то в цій крапки першої варіація функціонала дорівнює нулю. У цьому полягає необхідна умова екстремуму функціонала.
1.6 Рівняння Ейлера. Зв'язок між варіаційної і крайової завданнями
Розглянемо основну лему варіаційного числення.
Лемма Лагранжа.
Нехай f (х, у) - функція, безперервна в області D з контуром Г. Якщо
η (х, у) dxdy = 0 (1.24)
для будь-якої функції η (х, у), безперервної в області D разом зі своїми частними похідними до n-го порядку включно і звертається в нуль на кордоні Г (η (х, у) | Г = 0), то
f (х, у) = 0.
Для прикладу, розглянутого в 1.4, було отримано в точці мінімуму функціоналу (1.13) умова
(1.25)
Виходячи з леми Лагранжа, можемо записати
. (1.26)
Якщо умова (1.25) записати у вигляді
,
то очевидно, що δ u (варіація шуканої функції) - функція нерівна нулю на відрізку (а, b), тому повинна виконуватися умова (1.26).
Рівняння (1.26) можна ще записати у вигляді
Рівняння (1.26) називають рівнянням Ейлера. Якщо припустити існування безперервної другої похідної від u (х), то рівняння (1.26) можна записати у вигляді
.
Таким чином, умова мінімуму функціонала (1.13) за умови (1.14) приводить до крайової задачі для рівняння Ейлера (1.26) при тих же умовах (1.14), тобто Існує тісний зв'язок між варіаційної завданням про мінімум функціоналу і крайової завданням для рівняння Ейлера для цього функціоналу.
Рішення рівняння Ейлера (1.26), що задовольняють умовам (1.14) називають екстремалами функціоналу (1.13).
1.7 Шляхи вирішення варіаційних задач
Один із шляхів вирішення варіаційної задачі, тобто задачі знаходження мінімуму деякого функціонала J (u) при заданих крайових умовах, полягає у зведенні цього завдання до крайової задачі для диференціального рівняння при тих же крайових умовах, яке є рівнянням Ейлера для цього функціоналу, з подальшим вирішенням цього завдання.
Другий шлях вирішення варіаційної задачі полягає в застосуванні варіаційних методів, які дозволяють наближено знайти функцію u 0, що дає мінімум функціоналу J (u), і задовольняє заданим крайовим умовам.
Розглянемо кілька прикладів розв'язання задач варіаційного числення, заснованих на знаходженні рівнянь Ейлера з наступним їхнім рішенням.
Приклад 1.
Знайти функцію у = u (х), що задовольняє умові
u (0) = u (1) = 0 (1.27)
і дає мінімум функціоналу
(1.28)
Будемо вважати, що функція u (х) неперервна і має неперервні похідні до другого порядку включно.
Рівняння Ейлера для функціоналу (28) матиме вигляд
(1.29)
Таким чином, отримали крайову задачу для лінійного диференціального рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами. Загальне рішення рівняння (1.29) матиме вигляд
.
Для знаходження довільних постійних з 1 і з 2 скористаємося крайовими умовами (1.27). В результаті отримаємо
Звідки
Отже, функція, яка дає мінімум функціоналу (1.28) за умови (1.27), буде мати вигляд
. (1.30)
Приклад 2.
Як другий приклад розглянемо задачу про брахістохроне.
Як було показано раніше (див. 1.2.1), завдання полягає в тому, щоб знайти функцію у = u (х), що задовольняє умовам:
u (0) = 0, u (а) = b
і сообщающую мінімум функціоналу
.
У цьому випадку
. (1.31)
Функція (31) при u = 0 терпить розрив. Шляхом нескладних міркувань показується, що все-таки можна скористатися рівнянням Ейлера у вигляді (1.26).
Рівняння (1.26) приводиться до виду
(1.32)
Звідси
.
Покладемо . Тоді
.
Диференціюючи це вираз, одержимо . Заміна
дає диференціальне рівняння відносно
Далі
.
Поклавши , Одержимо
.
Таким чином, якщо рішення задачі про брахістохроне має рішення, то це рішення є циклоїда.
1.8 Друга варіація функціонала. Достатня умова мінімуму функціонала
Розглянемо функцію від речової змінної
, Вважаючи
і
фіксованими.
Цю функцію розкладемо в ряд Тейлора:
(1.34)
де R 1 - залишковий член ряду.
Вираз
називається другою варіацією функціонала J на елементі u.
Розкладання (1.34) можна записати у вигляді
. (1.36)
Нехай функціонал J досягає мінімуму, відносного або абсолютного на елементі u 0. Тоді , І формула (1.36) дає
. (1.37)
З цього співвідношення випливає достатня умова того, що елемент u 0, задовольняє рівнянню Ейлера (екстремальних), повідомляє функціоналу мінімальне значення. Для абсолютного мінімуму ця умова має вигляд (враховуючи, що
(1.38)
для відносного мінімуму воно полягає в тому, що нерівність (1.38) виконується, коли елемент досить малий у нормі.
Умова (1.38) у конкретних завданнях важко перевірити, тому що величина зазвичай не відома, і безпосередньо ним, як правило, скористатися не вдається.
Тому для перевірки достатньої умови екстремуму функціонала користуються більш простими умовами.
Запишемо другої варіації для функціоналу (1.13)
користуючись визначенням другої варіації (1.35)
,
де .
Так як , То, припускаючи наявність відповідних похідних у Ф, інтегруючи по частинах і беручи до уваги, що
, Одержимо
, (1.39)
де .
Вважаємо, що необхідна умова екстремуму виконано, тобто і для визначеності будемо говорити про мінімум функціоналу (1.13). Функція
, Як функція змінної
при
повинна мати мінімум, отже, необхідною умовою мінімуму є той факт, щоб
при будь-якому виборі
. Можна показати, що звідси безпосередньо випливає, що вздовж екстремал повинно мати місце рівність
.
Умова
називають умовою Лежандра.
Сильніший умова
називають посиленим умовою Лежандра.
Розглянемо інтеграл, що входить в формулу (1.39), замінюючи букву буквою
, Одержимо
.
Рівняння Ейлера для цього інтеграла буде мати вигляд
, (1.40)
причому, в цьому рівнянні є коефіцієнт при
і в силу умови
, Ділячи обидві частини рівняння на R, отримаємо рівняння виду
з безперервними в [a, b] коефіцієнтами p (x) і q (x). Рівняння (1.40) називають рівнянням Якобі.
Нехай - Рішення рівняння (1.40), що задовольнить початковим умовам
.
Суттєвим для подальшого буде той факт, чи має рішення коріння всередині проміжку [a, b]. Виявляється, що якщо такі коріння є, то досліджувана екстремальних не може давати мінімум функціоналу (1.13).
Якщо при a <x <b, то говорять, що екстремальних u (x) в проміжку (a, b) задовольняє умові Якобі, а якщо
при
, То говорять, що екстремальних u (x) задовольняє посиленому умові Якобі. Слід зауважити, що коефіцієнти S і R рівняння (1.40) залежать від екстремал u (x) і, отже, висловлені вище умови є умовами, що накладаються на екстремальних u (x).
Має місце наступна теорема. Посилені умови Лежандра та Якобі достатні для того, щоб екстремальних давала слабкий (місцевий) екстремум функціоналу (1.13).
Можна показати, що якщо виконані посилені умови Лежандра та Якобі і, крім того, позитивно для всякого кінцевого p в деякій області, яка містить екстремальних u (x) всередині, то ця екстремальних дає сильний (абсолютний) мінімум.
Приклад. Доведемо, що екстремальних (1.30) (см Приклад 1 в 1.8) дає функціоналу (1.28) сильний мінімум. З (1.28) маємо
,
,
,
Рівняння (1.40) набуває вигляду
його рішення за умови ,
має вигляд
.
Функція на відрізку
задовольняє посиленому умові Якобі, так як на цьому відрізку вона позитивна. Так як
то й посилене умова Лежандра виконується. Отже, екстремальних (1.30) дає функціоналу (1.28) сильний (абсолютний) мінімум.
1.9 изопериметрическая завдання
Изопериметрическая завдання ставиться так: Дано функціонали і постійні
; Серед елементів області визначення D (J) функціонала J, що задовольняє рівнянням
(1.41)
потрібно знайти елемент, який доставляє функціоналу J найменше значення.
Вважається, що область
не порожня.
Окремим випадком изопериметрической задачі є задача про найбільшу площі, поставлена в 2.2.
Тут n = 1.
(1.42)
За D (J) можна прийняти безліч тих функцій з С [a, b], які звертаються в нуль при x = a і x = b (умова 3), а за - Безліч функцій з С [1] [a, b], що задовольняють тим же умовам (1.3). Очевидно
перетин
не порожньо. Будемо вважати, що функціонали
задовольняють вимогам 1,2,3. Перетин лінійних різноманіть саме є лінійне розмаїття, тому існує елемент
і лінійне розмаїття
таке, що будь-який елемент
має вигляд
.
Будемо вважати, що безліч щільно в розглянутому просторі.
Справедлива теорема, що належить Ейлера і відома під назвою правила множників для изопериметрической завдання.
Теорема Ейлера: Нехай елемент вирішує изопериметрической завдання. Якщо існують такі елементи
, Що визначник
(1.43)
відмінний від нуля, то знайдуться такі постійні , Що
(1.44)
Розглянута теорема дає тільки необхідна умова мінімуму для изопериметрической завдання.
Техніка рішення изопериметрической завдання така: складаючи функціонал
, (1.45)
де - Невідомі постійні, і складаємо для цього функціоналу рівняння Ейлера. Воно містить як невідомих елемент u 0 і постійні
. Ці невідомі визначаються з рівняння Ейлера (1.41) і изопериметрических рівностей (1.41).
Як приклад розглянемо задачу про найбільшу площі (див. 2.2). Відповідно до теореми Ейлера введемо постійний множник і складемо функціонал
Рівняння Ейлера для функціоналу Е прийме вигляд
Інтегрування дає
.
Звідси
.
Інтегруючи ще раз, прийдемо до рівняння кола радіуса
. (1.46)
Таким чином, якщо рішення існує, то це - дуга кола. Для визначення її радіуса та центру
маємо три рівняння
|
Рис. 1.2. |
.
Нехай буде кут, під яким видно відрізок AB з центру кола (рис. 2):
.
Для визначення маємо рівняння
,
рішення якого завжди можливо при вказаному вище умови. Підставляючи умови (1.3) в рівняння (1.46) знаходимо . Знайшовши
з рівняння (1.46) знайдемо
.
1.10 мінімізує послідовність
Нехай J-довільний обмежений знизу функціонал. У цьому випадку існує нижня грань його значень
.
Послідовність елементів з D (J) називається мінімалізує для функціоналу J, якщо існує межа J (un), рівний m.
Теорема 1: Функціонал, обмежений знизу, має принаймні одну минимизирующую послідовність.
З визначення нижньої межі випливає, що: 1) для будь-якого елементу справедливо рівність
; 2) для будь-якого
існує такий елемент
з D (J), що
. Покладемо
і позначимо
. Тоді
, Звідки випливає, що
.
Теорема 2: Нехай D (J) - лінійне розмаїття деякого банаховому просторі X. Якщо функціонал J безперервний у D (J) і існує межа мінімалізує послідовності , То елемент
повідомляє функціоналу J мінімальне значення.
Доказ випливає з безперервності функціоналу
.
Теореми 1, 2 створюють можливість вирішувати задачу про мінімум функціоналу, минаючи рівняння Ейлера. Для цього треба насамперед занурити безліч D (J) у таке банаховому просторі X, в якому функціонал J був би безперервний. Далі слід побудувати минимизирующую послідовність. Якщо вона сходиться, то її межа вирішує варіаційну задачу.
На цьому побудовані чисельні варіаційні методи (см 15) і обгрунтування їх збіжності.
1.11 Функціонал від функцій, кількох незалежних змінних
Розглянемо кінцеву область в m-мірному евклідовому просторі. Будемо вважати, що кордон Г області
складається з кінцевого числа кусочно-гладких (m -1) - мірних поверхонь.
Розглянемо функціонал
(1.47)
за умови , Де g (x) - задана безперервна функція на поверхні Г. Вважаємо, що виконані вимоги 1, 2, 3.
Знайдемо перші варіацію функціонала (1.47)
(1.48)
Тут позначено
.
Нехай функція така, що існують узагальнені похідні
.
Тоді маємо
і, отже
(1.49)
У цьому випадку рівняння Ейлера для функціоналу (1.47) набуває вигляду
,
(1.50)
і називається рівнянням Остроградського.
Приклад.
Знайти рівняння Ейлера для функціоналу
при крайовому умови .
Нехай функція підпорядковується всім обумовленим вище умовам, тоді рівняння (1.50) набуває вигляду
. (1.51)
1.12 Функціонал від функцій, що мають похідні вищих порядків
Розглянемо функціонал виду
. (1.52)
Будемо вважати, що функція визначена в області
і в цій галузі k раз безупинно дифференцируема.
Функціонал (1.52) задамо на функціях , Що задовольняють крайовим умовам
(1.53)
де Ai, Bi - задані постійні. Візьмемо функцію у вигляді
, Щоб задовольнялися вимоги 1,2,3 і складемо функціонал
(1.54)
Нехай функція така, що має узагальнену похідну j-го порядку, тоді
і, отже,
(1.55)
Звідки отримаємо рівняння Ейлера
(1.56)
з крайовими умовами (1.53).
Сказане вище переноситься на випадок функції багатьох незалежних змінних. Для функціонала
(1.57)
при крайових умовах
(1.58)
де - Нормаль до Г.
Рівняння Остроградського буде мати вигляд
(1.59)
Це рівняння має вирішуватися при крайових умовах (1.58)
Приклад.
Вираз повної енергії деформації жорсткої пластинки (плити) при малих переміщеннях, що знаходиться під дією поперечної навантаження , Являє собою функціонал виду
(1.60)
де W (x, y) - прогин пластинки; ;
E,
- Механічні характеристики матеріалу пластинки; h - товщина пластинки.
Функція W (x, y) є неперервною функцією, що має безперервну похідну до четвертого порядку включно і всі вимоги 1,2,3 будуть виконані.
При шарнірно-нерухомому закріпленні країв пластинки повинні виконуватися умови
При x = 0, x = a
(1.61)
При y = 0, y = b
(1.62)
Отримаємо рівняння Ейлера (Остроградського) для функціонала (1.60) при крайових умовах (1.61), (1.62). Так як
то рівняння Остроградського приймає вид
(1.63)
При цьому
Поставивши ці вирази в (1.63), отримаємо рівняння Остроградського для функціоналу (1.60)
. (1.64)
Рівняння (1.64) є рівнянням рівноваги розглянутої пластини і повинно вирішуватися при граничних умовах (1.61), (1.62).
1.13 функціонали, які залежать від декількох функцій
Розглянемо функціонал
(1.65)
Задамо його на парах функцій з
(Безперервних разом зі своєю першою похідною), що задовольняють крайовим умовам
(1.66)
де - Постійні. Безліч таких пар позначимо через D (J). Кожну таку пару будемо називати вектором. За
і
візьмемо функцію зі
, Що задовольняють умовам
Безліч векторів , Очевидно лінійне, і D (J) є лінійне різноманіття. Таким чином функціонал (1.65) задовольняє вимогам 1,2,3.
Будуємо дві функції, близькі до u (x) і v (x):
і
.
Підставивши їх у функціонал (1.65), отримаємо функцію від
і
. Знайдемо приватні похідні від
по
і
при
:
Перша варіація функціонала (1.65) виражається формулою
де .
Звідки отримуємо рівняння Ейлера для функціоналу (1.65) у вигляді системи двох диференціальних рівнянь
;
(1.67)
Ці рівняння повинні вирішуватися при крайових умовах (1.66).
2. Варіаційні задачі з рухомими границями
2.1 Найпростіша задача з рухомими границями
У гол. 1 при дослідженні функціоналу
предополагается, що граничні точки задані.
Припустимо тепер, що одна або обидві граничні точки можуть переміщатися, тоді клас допустимих кривих розширюється. Тому, якщо на якій-небудь кривої досягається екстремум в задачі з рухомими граничними точками, то екстремум тим більше досягається по відношенню до більш вузького класу кривих, що мають спільні граничні точки з кривою
, І, отже, має бути виконана основна, необхідне для досягнення екстремуму в задачі з нерухомими кордонами умова - функція
повинна бути рішенням рівняння Ейлера:
.
Отже, криві , На яких реалізується екстремум в задачі з рухомими межами, повинні бути екстремалами.
Загальне рішення рівняння Ейлера містить дві довільні постійні, для визначення яких необхідно мати дві умови. У задачі з нерухомими граничними точками такими умовами були
,
.
У задачі з рухомими границями одну або обидві ці умови відсутні і відсутні умови для визначення довільних постійних спільного рішення рівняння Ейлера повинні бути отримані з основного необхідної умови екстремуму , Так як в задачі з рухомими границями екстремум досягається лише на рішеннях
рівняння Ейлера, то в подальшому можна розглядати значення функціоналу лише на функціях цього сімейства. При цьому функціонал
перетворюється у функцію параметрів
і
і меж інтегрування
,
, А варіація функціонала збігається з диференціалом цієї функції. Для спрощення будемо вважати, що одна з цих точок, наприклад
, Закріплена, а інша
може переміщатися і переходити в точку
, Або, як зазвичай позначають у варіаційному численні,
.
Допустимі криві і
будемо вважати близькими, якщо модулі варіацій
і
малі і малі модулі збільшень
і
.
Екстремал, що проходять через точку , Утворюють пучок екстремальний
. Функціонал
на кривих цього пучка перетворюється на функцію
і
. Якщо криві пучка не перетинаються, то цей функціонал можна розглядати як однозначну функцію
і
(Рис. 3.1).
2.2 Умова трансверсально
|
Обчислимо варіацію функціонала на екстремалів пучка
при переміщенні граничної точки з положення
в положення
. Так як функціонал
на кривих пучка перетворився у функцію
і
, То його варіація збігається з диференціалом цієї функції. Виділимо з приросту
головну лінійну по відношенню до
і
частина:
(3.1)
Перший доданок правої частини перетворює за допомогою теореми про середнє значення:
, Де
.
В силу неперервності функції будемо мати:
,
де при
,
.
Отже,
.
Другий доданок (3.1) перетворимо шляхом розкладання підінтегральної функції за формулою Тейлора
де є нескінченно малою вищого порядку, ніж
або
. У свою чергу лінійна частина
може бути перетворена шляхом інтегрування по частинах другого доданка підінтегральної функції до виду
.
Значення функціоналу береться лише на екстремалів, отже
. Так як гранична точка
закріплена, то
. Отже,
.
Отже, остаточно маємо:
де наближені рівності також справедливі з точністю до членів порядку вище першого щодо і
.
Таким чином
Основне необхідна умова екстремуму набуває вигляду
(3.2)
Якщо варіації і
незалежні, то отримуємо
і
Проте найчастіше варіації і
бувають залежні. Нехай, наприклад, права гранична точка
може переміщатися по деякій кривій
Тоді і умова (3.2) приймає вигляд
або, так як змінюється довільно, то
. (3.3)
Ця умова встановлює залежність між кутовими коефіцієнтами і
в граничної точці. Воно називається умовою трансверсально.
Умова трансверсально спільно з умовою дозволяє визначити одну або кілька екстремалів пучка
, На яких може досягатися екстремум.
Приклад. Знайти умова трансверсально для функціоналів виду
Умова трансверсально (3.3) має в даному випадку вид
або
Вважаючи, що в граничної точці, отримаємо
або
.
Умова трансверсально в даному випадку звелося до умови ортогональності.
2.3 Завдання з рухомими границями для функціоналів від декількох функцій
Якщо при дослідженні на екстремум функціонала
(3.4)
одна з граничних точок, наприклад переміщається (
,
), А інша,
, Нерухома, то екстремум може досягатися лише на інтегральних кривих системи рівнянь Ейлера
,
(3.5)
Загальне рішення системи рівнянь Ейлера містить чотири довільні постійні. Знаючи координати граничної точки , Яку вважаємо нерухомою, можна виключити дві довільні постійні. Для визначення двох інших довільних постійних необхідно мати ще два рівняння, які можуть бути отримані з умови
, За умови, що функціонал задається лише на рішеннях системи рівнянь Ейлера (3.5). При цьому функціонал
перетворюється у функцію координат
точки
і варіація функціонала перетворюється на диференціал цієї функції. Якщо екстремал пучка з центром в точці
не перетинаються, то ця функція буде однозначною.
Обчислення варіації проводиться аналогічно тому, як це робилося в 3.2:
Застосовуючи теорему про середнє значення до першого інтегралу і враховуючи неперервність функції , Виділивши головну лінійну частину за допомогою формули Тейлора у другому інтегралі і використовуючи рівності (3.5), отримаємо
(3.6)
Звідки, враховуючи залежність ,
,
, Одержимо
,
і
.
Якщо гранична точка може переміщатися по деякій кривій
,
, То
,
, І умова
(3.6)
переходить в умову (рахуючи довільним).
(3.7)
Ця умова має назву умови трансверсально в задачі про дослідження на екстремум функціоналу (3.4).
Умова (3.7) спільно з рівняннями ,
дає відсутні рівняння для визначення довільних постійних у спільному вирішенні системи рівнянь Ейлера.
Якщо гранична точка може переміщатися по деякій поверхні
, То
, Причому варіації
і
довільні. Отже, умова (3.6) в силу незалежності
і
дає
,
(3.8)
Якщо розглядати функціонал
,
то у випадку одного рухомий точки в цій точці
Приклад. Знайти умова трансверсально для функціонала
,
якщо .
Умови трансверсально (3.8) в даному випадку мають вигляд
і
при
або
при
тобто є умовами паралельності вектора дотичної
до шуканої екстремала в точці
і вектора нормалі
до поверхні
в тій же точці. Отже, услівіе трансверсально стає в даному випадку умовою ортоганальності екстремал до поверхні
.
Приклади
1. Знайти екстремальних функціоналу при заданих крайових умовах на кінцях відрізка
. Вважається, що
.
Приклад 1.
,
,
.
Рішення:
Обчислимо першу варіацію функціонала
.
Після перетворення цього функціоналу отримаємо
.
Довільні функції і задовольняють умові
.
У точці передбачуваного екстремуму функціонала
повинно виконуватися необхідна умова
, Тому рівняння Ейлера буде мати вигляд
Це рівняння приводиться до виду
і повинно вирішуватися за умови ,
.
Маємо
,
,
,
;
,
,
,
,
.
звідки ,
.
Таким чином, отримуємо рішення .
Дослідити функціонал , Заданий на відрізку
, На екстремум. При заданих крайових умовах вважається, що
.
Приклад 2.
,
,
.
Рішення. Знайдемо перші варіацію функціонала
Необхідна умова екстремуму функціонала в точці дає рівняння Ейлера
.
Це рівняння при крайових умовах ,
дає рішення
.
Так як в даному прикладі
, То
,
,
,
і посилене умова Лежандра
виконується.
Рівняння Ейлера для інтеграла (1.39) (див. 1.8.) Буде мати вигляд (після заміни на
)
або
Звідки
,
.
Для знаходження ,
маємо умови
,
.
Звідки
,
.
Перевіримо умову Якобі. Рішення на інтервалі
позитивно. Отже, посилене умова Якобі виконується. Звідси робимо висновок, що екстремальних
дає функціоналу
сильний (абсолютний) мінімум.
Список використаної літератури
Гельфанд І.М., Фомін С.В. Варіаційне числення. М.: Наука. 1961.
Коршунов Ю.М., «Математичні основи кібернетики», Москва, 1987 р.;
Таха Х., «Введення в дослідження операцій», Москва, 1985 р.;
Д. Сю., А. Мейер, «Сучасна теорія автоматичного управління та її застосування», Машинобудування, 1972 р.;