Біографія і праці Колмогорова АН

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

ФГТУ ВПО

Балтійська державна академія рибопромислового флоту

Кафедра вищої математики

Реферат

з вищої математики

Тема:

Біографія і праці Колмогорова А.М.

Виконав:

Крупнова А.С.

Калінінград 2008

Зміст

Вступ

Основна частина

1. Біографія

1.1 Ранні роки

1.2 Університет

1.3 Професор

1.4 Післявоєнна робота

2. Роботи Колмагорова А.Н

2.1 Колмогоровскіе аксіоми елементарної теорії ймовірностей

2.2 Колмогоровская емпірична дедукція аксіом

2.3 Аксіома безперервності і нескінченні імовірнісні простору

2.4 Нескінченні імовірнісні простору і «ідеальні події»

2.5 Двоїстість Колмогорова

2.6 Гносеологічний принцип

2.7 Середні Колмогорова

2.8 Колмогорова теореми

Висновок.

Список використаної літератури.

Вступ

Я обрала дану тему, бо для мене цікава не тільки біографія відомого радянського математика, але і його праці. Це тема досить обширна. В даному рефераті я почну з розгляду біографії А. Н. Колмогорова. Далі будемо розглядати праці цього великого математика: аксіоми, теореми.

Основна частина

1. Біографія

Андрій Миколайович Колмогоров (12 (25) квітня 1903, Тамбов - 20 жовтня 1987, Москва) - видатний вітчизняний математик, доктор фізико-математичних наук, професор Московського Державного Університету (1931), академік Академії Наук СРСР (1939). Колмогоров - один з основоположників сучасної теорії ймовірностей, їм отримані фундаментальні результати в топології, математичної логіки, теорії турбулентності, теорії складності алгоритмів і ряді інших областей математики і її додатків.

1.1 Ранні роки

Мати Колмогорова - Марія Яківна Колмогорова (1871-1903) померла при пологах. Батько - Микола Матвійович Катаєв, за освітою агроном (закінчив Петровську (Тімірязєвську) академію), загинув в 1919 році під час денікінського наступу. Хлопчик був усиновлений і виховувався сестрою матері, Вірою Яківною Колмогорова. Тітоньки Андрія в своєму будинку організували школу для дітей різного віку, які жили поблизу, займалися з ними - десятком дітлахів - за рецептами новітньої педагогіки. Для хлопців видавався рукописний журнал «Весняні ластівки». У ньому публікувалися творчі роботи учнів - малюнки, вірші, оповідання. У ньому ж з'являлися і «наукові роботи» Андрія - придумані ним арифметичні задачі. Тут же хлопчик опублікував у п'ять років свою першу наукову роботу з математики. Правда, це була всього-на-всього відома алгебраїчна закономірність, але ж хлопчик сам її помітив, без сторонньої допомоги!

У сім років Колмогорова визначили в приватну гімназію. Вона була організована гуртком московської прогресивної інтелігенції і весь час перебувала під загрозою закриття.

Андрій вже в ті роки виявляє чудові математичні здібності, але все-таки ще рано говорити, що подальший шлях його вже визначився. Були ще захоплення історією, соціологією. Один час він мріяв стати лісничим. «У 1918-1920 роках життя в Москві була нелегкою, - згадував Андрій Миколайович. - У школах серйозно займалися тільки найбільш наполегливі. У цей час мені довелося виїхати на будівництво залізниці Казань-Єкатеринбург. Одночасно з роботою я продовжував займатися самостійно, готуючись здати екстерном за середню школу. Після повернення в Москву я випробував деяке розчарування: посвідчення про закінчення школи мені видали, навіть не потрудившись проекзаменувати ».

1.2 Університет

Коли в 1920 р. Андрій Колмогоров став думати про вступ до інституту, перед ним виникла вічне питання: чому себе присвятити, якій справі? Тягнуть його на математичне відділення університету, але є й сумнів: тут чиста наука, а техніка - справа, мабуть, більш серйозне. От, припустимо, металургійний факультет менделєєвськая інституту! Справжнє чоловіча справа, крім того, перспективне. Андрій вирішує поступати і туди і сюди. Але незабаром йому стає ясно, що чиста наука теж дуже актуальна, і він робить вибір на її користь.

У 1920 р. він вступив на математичне відділення Московського університету. «Задумавши займатися серйозною наукою, я, звичайно, прагнув вчитися у кращих математиків, - згадував пізніше вчений. - Мені пощастило займатися у П.С. Урисона, П.С. Александрова, В.В. Степанова і М.М. Лузіна, якого, мабуть, слід вважати переважно моїм учителем у математиці. Але вони "знаходили" мене лише в тому сенсі, що оцінювали принесені мною роботи. "Мета життя" підліток чи юнак повинен, мені здається, знайти собі сам. Старші можуть цьому лише допомогти ».

В перші ж місяці Андрій здав іспити за курс. А як студент другого курсу він отримує право на «стипендію»: «... я отримав право на 16 кілограмів хліба і 1 кілограм масла на місяць, що, за уявленнями того часу, означало вже повне матеріальне благополуччя." Тепер є і вільний час. Воно віддається спробам вирішити вже поставлені математичні завдання.

Лекції професора Московського університету Миколи Миколайовича Лузіна, за свідченням сучасників, були видатним явищем. У Лузіна ніколи не було заздалегідь запропонованої форми викладу. І його лекції в жодному разі не могли служити зразком для наслідування. У нього було рідкісне відчуття аудиторії. Він, як справжній актор, який виступає на театральній сцені і прекрасно відчуває реакцію глядачів, мав постійний контакт зі студентами. Професор умів приводити студентів в зіткнення з власної математичної думкою, відкриваючи таїнства своєї наукової лабораторії. Запрошував до спільної духовної діяльності, до співтворчості. А який це було свято, коли Лузін запрошував учнів до себе додому на знамениті «середовища»! Бесіди за чашкою чаю про наукові проблеми ... Втім, чому обов'язково про наукові? Тем для розмови було предостатньо. Він умів запалити молодь бажанням наукового подвигу, прищепити віру у власні сили, і через це почуття приходило інше - розуміння необхідності повної віддачі улюбленій справі.

Колмогоров вперше звернув на себе увагу професора на одній лекції. Лузін, як завжди, вів заняття, постійно звертаючись до слухачів з питаннями, завданнями. І коли він сказав: «Давайте будувати доказ теореми, виходячи з такого припущення ...» - в аудиторії піднялася рука Андрія Колмогорова: «Професор, це є хибним ...» За питанням «чому» пішов коротка відповідь першокурсника. Задоволений Лузін кивнув: «Що ж, приходьте на гурток, доповісте нам свої міркування більш розгорнуто». "Хоча моє досягнення було досить дитячим, воно зробило мене відомим в« Лузітанія », - згадував Андрій Миколайович.

Але через рік серйозні результати, отримані вісімнадцятирічним другокурсником Андрієм Колмогоровим, звернули на себе увагу даний «патріарха». З деякою урочистістю Микола Миколайович пропонує Колмогорова приходити в певний день і годину тижні, призначений для учнів його курсу. Подібне запрошення, за поняттями «Лузітанія», слід було розцінювати як присвоєння почесного звання учня. Як визнання здібностей.

З часом ставлення Колмогорова до Лузіну помінялося. Під впливом Павла Сергійовича Александрова, також колишнього учня Лузіна, він взяв участь в політичному переслідуванні їх загальної вчителя, так званій справі Лузіна, що ледь не закінчилося репресіями проти Лузіна. З самим Александровим Колмогоров був пов'язаний дружніми узами до кінця життя.

Перші публікації Колмогорова були присвячені проблемам дескриптивної і метричної теорії функцій. Найбільш рання з них з'явилася в 1923 році. Питання, що обговорювалися в середині двадцятих років всюди, в тому числі в Москві, питання підстав математичного аналізу і тісно з ними пов'язані дослідження з математичної логіки привернули увагу Колмогорова майже на самому початку його творчості. Він взяв участь в дискусіях між двома основними протистояли тоді методологічними школами - формально-аксіоматичної (Д. Гільберт) і интуиционистской (Е. Я. Брауер і Г. Вейль). При цьому він отримав зовсім несподіваний першокласний результат, довівши в 1925 р., що всі відомі пропозиції класичної формальної логіки при певній інтерпретації переходять в пропозиції интуиционистской логіки. Глибокий інтерес до філософії математики Колмогоров зберіг назавжди.

Особливе значення для програми математичних методів до природознавства і практичним наукам мав закон великих чисел. Розшукати необхідні і достатні умови, за яких він має місце, - ось у чому полягав шуканий результат. Найбільші математики багатьох країн протягом десятиріч безуспішно намагалися його отримати. У 1926 році ці умови були отримані аспірантом Колмогоровим.

Багато років тісної та плідної співпраці пов'язували його з А.Я. Хінчіним, який на той час почав розробку питань теорії ймовірностей. Вона й стала областю спільної діяльності вчених. Наука «про випадок» ще з часів Чебишева була як би російської національної наукою. Її успіхи примножили багато радянських математики, але сучасний вид теорія ймовірностей отримала завдяки аксіоматизації, запропонованої Андрієм Миколайовичем в 1929 і остаточно в 1933.

Андрій Миколайович до кінця своїх днів вважав теорію ймовірностей головною своєю спеціальністю, хоча областей математики, в яких він працював, можна нарахувати добрих два десятки. Але тоді тільки починалася дорога Колмогорова і його друзів в науці. Вони багато працювали, але не втрачали почуття гумору. Жартома називали рівняння з приватними похідними «рівняннями з нещасними похідними», такий спеціальний термін, як кінцеві різниці, переінакшується в «різні кінцівки», а теорія ймовірностей - в «теорію неприємностей».

Норберт Вінер, «батько» кібернетики, свідчив: «... Хинчин і Колмогоров, два найбільш видатних росіян фахівця з теорії ймовірностей, довгий час працювали в тій же області, що і я. Понад двадцять років ми наступали один одному на п'яти: то вони доводили теорему, яку я ось-ось готувався довести, то мені вдавалося прийти до фінішу трохи раніше їх ».

І ще одне визнання Вінера, яке він одного разу зробив журналістам: «Ось вже протягом тридцяти років, коли я читаю праці академіка Колмогорова, я відчуваю, що це і мої думки. Це щоразу те, що я і сам хотів сказати ».

1.3 Професор

У 1930 р. Колмогоров став професором МГУ, з 1933 по 1939 рік був директором Інституту математики і механіки МГУ, багато років керував кафедрою теорії ймовірностей механіко-математичного факультету і міжфакультетський лабораторією статистичних методів. У 1935 році Колмогорова було присвоєно ступінь доктора фізико-математичних наук, в 1939 році він був обраний членом АН СРСР. Незадовго до початку Великої Вітчизняної війни Колмогорова і Хинчин за роботи з теорії ймовірностей була присуджена Сталінська премія (1941).

А 23 червня 1941 відбулося розширене засідання Президії Академії наук СРСР. Прийняте на ньому рішення кладе початок перебудови діяльності наукових установ. Тепер головне - військова тематика: всі сили, всі знання - перемозі. Радянські математики за завданням Головного артилерійського управління армії ведуть складні роботи в області балістики і механіки. Колмогоров, використовуючи свої дослідження з теорії ймовірностей, дає визначення найвигіднішого розсіювання снарядів при стрільбі.

1.4 Післявоєнна робота

Війна завершилася, і Колмогоров повертається до мирних досліджень. Важко навіть коротко висвітлити внесок Колмогорова в інші області математики - загальну теорію операцій над множинами, теорію інтеграла, теорію інформації, гідродинаміку, небесну механіку і т. д. аж до лінгвістики. У всіх цих дисциплінах багато методи і теореми Колмогорова є, за загальним визнанням, класичними, а вплив його робіт, як і робіт його численних учнів, серед яких чимало видатних математиків, на загальний хід розвитку математики надзвичайно велике.

Коли одного з молодих колег Колмогорова запитали, які почуття він відчуває по відношенню до свого вчителя, той відповів: «Панічний повагу ... Знаєте, Андрій Миколайович обдаровує нас такою кількістю своїх блискучих ідей, що їх вистачило б на сотні прекрасних розробок».

Чудова закономірність: багато хто з учнів Колмогорова, знаходячи самостійність, починали грати провідну роль в обраному напрямку досліджень. І академік з гордістю підкреслює, що найбільш дорогі йому учні, що перевершили вчителя в наукових пошуках. Можна дивуватися колмогоровскому подвижництву, його здатності одночасно займатися - і небезуспішно! - Відразу безліччю справ. Це і керівництво університетською лабораторією статистичних методів дослідження, і турботи про фізико-математичній школі-інтернаті, ініціатором створення якої Андрій Миколайович був, і справи московського математичного товариства, і робота в редколегіях «Кванта» - журналу для школярів і «Математики в школі» - методичного журналу для вчителів, і наукова та викладацька діяльність, і підготовка статей, брошур, книг, підручників. Колмогорова ніколи не доводилося просити виступити на студентському диспуті, зустрітися зі школярами на вечорі. По суті справи, він завжди був в оточенні молодих. Його дуже любили, до його думки завжди прислухалися. Свою роль грав не тільки авторитет всесвітньо відомого вченого, але і простота, увага, духовна щедрість, яку він випромінював.

Коло життєвих інтересів Андрія Миколайовича не замикався чистою математикою, об'єднання окремих розділів якої в одне ціле він присвятив своє життя. Його захоплювали і філософські проблеми (наприклад, він сформулював новий гносеологічний принцип - Гносеологічний принцип А. Н. Колмогорова), і історія науки, і живопис, і література, і музика.

Академік Колмогоров - почесний член багатьох іноземних академій і наукових товариств. У березні 1963 року вчений був удостоєний міжнародної премії Бальцана (цією премією він був нагороджений разом з композитором Хіндеміта, біологом Фрішем, істориком Моррісоном і главою Римської католицької церкви Папою Іоанном XXIII). У тому ж році Андрію Миколайовичу було присвоєно звання Героя Соціалістичної Праці. У 1965 році йому присуджена Ленінська премія (спільно з В. І. Арнольдом). В останні роки Колмогоров завідував кафедрою математичної логіки.

«Я належу, - говорив учений, - до тих вкрай відчайдушним кібернетикам, які не бачать ніяких принципових обмежень у кібернетичному підході до проблеми життя і вважають, що можна аналізувати життя у всій її повноті, у тому числі і людську свідомість, методами кібернетики. Просування в розумінні механізму вищої нервової діяльності, включаючи і вищі прояви людської творчості, по-моєму, нічого не збавляє в цінності і красу творчих досягнень людини ».

За влучним висловом Стефана Банаха: «Математик - це той, хто вміє знаходити аналогії між твердженнями. Кращий математик - хто встановлює аналогії доказів. Більш сильний може помітити аналогії теорій. Але є й такі, хто між аналогіями бачить аналогії ». До цим рідкісним представникам останніх належить і Андрій Миколайович Колмогоров - один з найбільших математиків двадцятого століття.

Колмогоров помер 20 жовтня 1987 в Москві. Похований на Новодівичому кладовищі.

2. Роботи Колмагорова А.Н

Наукову діяльність розпочав у галузі теорії функцій дійсного змінного, де йому належать фундаментальні роботи з тригонометричних рядів, теорії міри, теорії множин, теорії інтеграла, теорії наближення функції. Надалі Колмогоров вніс істотний внесок у розробку конструктивної логіки, топології (де їм створена теорія верхніх гомологий), механіки (теорія турбулентності), теорії диференціальних рівнянь, функціонального аналізу. Основоположне значення мають роботи Колмогорова в галузі теорії ймовірностей, де він спільно з А.Я. Хінчіним почав застосовувати методи теорії функцій дійсного змінного (з 1925 р.). Це дозволило Колмогорова вирішити ряд важких проблем і побудувати широко відому систему аксіоматичного обгрунтування теорії ймовірностей (1933), закласти основи теорії Марковських випадкових процесів з неперервним часом. Пізніше він розвинув теорію стаціонарних випадкових процесів, процесів із стаціонарними перетвореннями, розгалужених процесів. Він вніс важливий внесок у теорію інформації. Йому належать дослідження з теорії стрільби, статистичним методам контролю масової продукції, застосуванням математичних методів в розробці питань математичної освіти в середній школі і університетах.

2.1 Колмогоровскіе аксіоми елементарної теорії ймовірностей

Елементарна теорія ймовірностей - та частина теорії ймовірностей, в якій доводиться мати справу з імовірностями лише кінцевого числа подій. Теорія ймовірностей, як математична дисципліна, може і повинна бути аксіоматізірована абсолютно в тому ж сенсі, як геометрія або алгебра. Це означає, що, після того як дані назви досліджуваних об'єктів та їх основним відносин, а також аксіоми, яким ці відносини повинні підкорятися, все подальший виклад повинно грунтуватися виключно лише на цих аксіомах, не спираючись на звичайне конкретне значення цих об'єктів і їх відносин. Аксіоматизації теорії ймовірностей може бути проведена різними способами як щодо вибору аксіом, так і вибору основних зрозумілий і основних співвідношень. Якщо мати на меті можливої ​​простоти як самої системи аксіом, так і побудови на ній подальшої теорії, то представляється найбільш доцільним аксіоматізірованіе понятті випадкової події і його ймовірності.

Нехай Ω - безліч елементів ω, які називаються елементарними подіями, а F - безліч підмножин Ω, званих випадковими подіями (або просто - подіями), а Ω - простором елементарних подію.

Аксіома I (алгебра подій). F є алгеброю подій.

Аксіома II (існування ймовірності подій). Кожному події x з F поставлено у відповідність невід'ємне дійсне число P (x), яке називається ймовірністю події x.

Аксіома III (нормування ймовірності). P (Ω) = 1.

Аксіома IV (адитивність ймовірності). Якщо події x та y не перетинаються, то P (x + y) = P (x) + P (y).

Сукупність об'єктів (Ω, F, P), що задовольняє аксіомам I-IV, називається вірогіднісним простором (у Колмогорова: поле ймовірностей).

Система аксіом I-IV несуперечлива. Це показує наступний приклад: Ω складається з єдиного елемента ω, F - з Ω і неможливого подій (порожнього безлічі) Ø, при цьому належить P (Ω) = 1, P (Ø) = 0. Однак ця система аксіом не є повною: у різних питаннях теорії ймовірностей розглядаються різні імовірнісні простору.

2.2 Колмогоровская емпірична дедукція аксіом

Звичайно можна припускати, що система F розглянутих подій x, y, z, яким приписані певні ймовірності, утворює алгебру подій, що містить в якості елемента безліч Ω (аксіома I, а також перша частина аксіоми II - існування ймовірності). Можна практично бути впевненим, що якщо експеримент повторений велике число n раз і якщо при цьому через m позначено число настання події x, то ставлення m / n буде мало відрізнятися від P (x). Далі ясно, що , Так що друга частина аксіоми II виявляється цілком природною. Для події Ω завжди m = n, завдяки чому природно покласти P (Ω) = 1 (аксіома III). Якщо, нарешті, x і y несумісні між собою (тобто події x та y не перетинаються як підмножини Ω), то m = m1 + m2, де m, m1, m2 позначають відповідно число експериментів, наслідками яких служать події x + y, x, y. Звідси випливає:

Отже, є доречним покласти P (x + y) = P (x) + P (y) (аксіома IV).

2.3 Аксіома безперервності і нескінченні імовірнісні простору

На відміну від елементарної теорії ймовірностей, теореми, які виводяться в загальній математичної теорії ймовірностей, природно застосовуються також і до питань, пов'язаних з нескінченним числом випадкових подію, однак при вивченні цих останніх застосовуються істотно нові принципи. У більшій частині сучасної теорії ймовірностей передбачається, що крім аксіом елементарної теорії ймовірностей (I-IV) виконується ще аксіома V (аксіома безперервності). Для спадної послідовності подій з F такий, що Ø, має місце рівність .

Аксіома безперервності - це єдина аксіома сучасної теорії ймовірностей, що відноситься саме до ситуації нескінченного числа випадкових подій. Зазвичай в сучасній теорії ймовірностей імовірнісним простором називається тільки таке ймовірнісна простір (Ω, F, P), яке, крім того, задовольняє аксіомі V. Імовірнісні простору в сенсі аксіом I-IV Колмогоров пропонував називати імовірнісними просторами в розширеному сенсі (у Колмогорова поле ймовірностей в розширеному сенсі), в даний час цей термін вживається дуже рідко. Зауважимо, що якщо система подій F кінцева, аксіома V следуeт з аксіом I-IV. Всі моделі з імовірнісними просторами в розширеному сенсі задовольняють, отже, аксіомі V. Система аксіом I-V є, несуперечливою і неповною. Навпаки, для нескінченних імовірнісних просторів аксіома безперервності V є незалежною від аксіом I-IV.

Так як нова аксіома істотна лише для нескінченних імовірнісних просторів, то майже неможливо роз'яснити її емпіричне значення, наприклад, так, як це було зроблено з аксіомами елементарної теорії ймовірності (I-IV). При описі якого-небудь дійсно спостерігається випадкового процесу можна отримувати лише кінцеві поля - імовірнісні простору в розширеному сенсі. Нескінченні імовірнісні простору з'являються як ідеалізовані схеми дійсних випадкових явищ. Загальноприйнято мовчазно обмежуватися такими схемами, які задовольняють аксіомі V, що виявляється доцільним і ефективним в різних дослідженнях.

2.4 Нескінченні імовірнісні простору і «ідеальні події»

Алгебра F подій простору елементарних подій Ω називається борелевской алгеброю, якщо всі лічильні суми подій x n з F належать F. У сучасній теорії ймовірностей борелевскіе алгебри подій звичайно називають σ-алгебра подій (сигма-алгебри).

Нехай дано ймовірнісна простір у розширеному сенсі (Ω, F 0, P). Відомо, що існує найменша сигма-алгебра F = σ (F 0), що містить F 0.

Більше того, справедлива теорема (про продовження). Певну на (Ω, F 0) неотрицательную лічильно-адитивну функцію множин P = P (·) завжди можна продовжити з збереженням обох властивостей (неотрицательности та лічильної аддитивности) на всі множини з F і при цьому єдиним чином.

Таким чином, кожне ймовірнісна простір (Ω, F 0, P) в розширеному сенсі може бути математично коректно продовжено до нескінченного імовірнісного простору (Ω, F, P), яке в сучасній теорії ймовірностей прийнято називати просто імовірнісним простором.

Разом з тим безлічі з сигма-алгебри F нескінченного імовірнісного простору можна розглядати тільки як «ідеальні події», яким нічого не відповідає в реальному світі.

Якщо, проте, міркування, яке використовує ймовірності таких «ідеальних подій» призводить до визначення ймовірностей «реальної події» з F, то це визначення, очевидно, автоматично буде несуперечливим і з емпіричної точки зору.

2.5 Двоїстість Колмогорова

Двоїстість Колмогорова - подвійність в алгебраїчній топології, що складається у двох ізоморфізму:

Нехай A є замкнутий безліч хаусдорфових локально компактного простору R.

Двоїстість Колмогорова для груп гомологий дає ізоморфізм

,

якщо H r (R, G) = 0 і H r + 1 (R, G) = 0.

Двоїстість Колмогорова для груп когомологий дає ізоморфізм

,

якщо H r (R, G) = 0 і H r + 1 (R, G) = 0.

2.6 Гносеологічний принцип

Гносеологічний принцип - твердження, що в мисленні і творчості людини проявляється тільки тенденція до пошуків більш простих (оптимальних) рішень. Досягнення кращих рішень, побудованих зовсім інакше, таких рішень, які не можуть бути отримані із запропонованого шляхом дрібних поліпшень, лежить за межами того, що може вловити найвитонченіша інтуїція.

Цей принцип був викладений в листі А. Н. Колмогорова від 27 серпня 1963 р. (опубліковано в 2005 р.). У 2005 р. Експериментальна перевірка самонавчання людини на моделях підтвердила істинність цього принципу. Поведінка людини в таких умовах подібно пошуку виходу з трясовини: людина робить пробні кроки в різних напрямках. При невдачі він зазвичай повертається у вихідну позицію (елементарна 0-евристика). Рідше використовується й інша тактика: при невдачі робиться лише ще один крок (елементарна 1-евристика). Оскільки в експериментальних лабіринтах зі змінною структурою спостерігається явище інваріантності (при впливі на вхід «чорного ящика» значення виходу не змінюється), то знаходження оптимуму блокується. Дослідження показали, що цей принцип дійсний для еволюції будь-яких систем.

2.7 Середні Колмогорова

Середні Колмогорова (вони ж - середні за Колмогорова) для дійсних чисел x 1, ..., x n - величини ряду (*)

,

де φ - безперервна строго монотонна функція, а φ -1 - функція, обернена до φ. При φ (x) = x одержують середнє арифметичне, при φ (x) = log x - середнє геометричне, при φ (x) = x -1 - середнє гармонійне, при φ (x) = x 2 - середнє квадратичне, при φ (x) = x α , Α ≠ 0 - середнього ступеня.

У 1930 році А.Н. Колмогоров показав, що будь-яка середня величина - функція M (x 1, ..., x n), яка є:

  • безперервної,

  • монотонної по кожному x i, i = 1, ..., n

  • симетричної (значення не змінюється при перестановці аргументів)

  • середнє від однакових чисел одно їх загального значення,

  • деяку групу значень можна замінити їх власним середнім, не змінюючи загальної середньої,

- Має вигляд (*).

Середні Колмогорова використовують у прикладній статистиці та економетрики. Відповідно до теорії вимірювань для усереднення даних, виміряних в шкалі інтервалів, з усіх середніх Колмогорова можна використовувати тільки середнє арифметичне, а для усереднення даних, виміряних в шкалі відносин, з усіх середніх Колмогорова можна використовувати тільки статечні середні і середнє геометричне.

2.8 Колмогорова теореми

Колмогорова теореми:

  1. Теорема про нормованих просторах (1934);

  2. Теорема про застосовність великих чисел закону (1928);

  3. Теорема про застосовність великих чисел посиленого закону (1930, 1933).

2.8.1 Теорема про нормованих просторах

Нормоване простір - векторний простір X, наділене нормою | | x | |, x X. Норма індукує на Х метрику ρ (x, y) = | | x - y | | і, отже, топологію, сумісну з цією метрикою. Повні щодо вказаної метрики простору називаються банаховому просторі. Нормоване простір тоді і тільки тоді є гільбертовому, коли

| | X + y | | + | | x - y | | = 2 * | | x | | 2 + 2 * | | y | | 2 для x, y X.

Віддільні топологічний векторний простір нормованої, якщо його топологія сумісна з деякою нормою. Нормоване рівносильна існуванню опуклою обмеженою околиці нуля.

2.8.2 Теорема про застосовність великих чисел закону

Дана теорема Колмогорова дає відповідь на запитання: за яких умов суми Y n гранично постійні?

Не обмежуючи спільності, можна припустити, що медіани величин Х n, k дорівнюють нулю, і нехай  Х n, k = Х n, k при | Х n, k | ≤ 1 і  Х n, k = 0 при | Х n, k |> 1, тоді одночасне виконання двох умов

при

і

при

Необхідно і достатньо для граничного сталості сум Y n . Як З n можна взяти . Якщо математичні очікування існують, то легко вказати додаткові умови, при яких можна вибрати З n = EY n , Що призводить до необхідним і достатнім умовам великих чисел закону в класичній формулюванні, тобто

.

Для послідовності незалежних однаково розподілених величин {X n} ці умови зводяться, відповідно до теореми Хинчина, до існування математичного сподівання. У той же час для граничного сталості середніх арифметичних Y n в цьому випадку необхідно і достатньо умова при .

2.8.3 Теорема про застосовність великих чисел посиленого закону

У разі незалежних доданків найбільш відомими є умови приложимости великих чисел посиленого закону, встановлені А. Н. Колмогоровим: достатня (1930) - для величин з кінцевими дисперсіями і необхідне і достатнє (1933) - для однаково розподілених величин (закріплюється в існуванні математичного сподівання величин X i). Теорема Колмогорова для випадкових величин X 1, X 2, ..., X n, ... з кінцевими дисперсіями стверджує, що з умови

випливає приложимость до послідовності X 1, X 2, ..., X n, ... великих чисел посиленого закону

.

У термінах дисперсій умова

виявляється найкращим в тому сенсі, що для будь-якій послідовності позитивних чисел b n з розбіжним поруч

можна побудувати послідовність незалежних випадкових величин X n з DX n = b n , Не задовольняє великих чисел посиленому закону. Область застосування умови

може бути розширена на основі наступного зауваження. Нехай mX n - медіана X n. Збіжність ряду

необхідна для великих чисел посиленого закону. З леми Бореля-Кантелло випливає, що

з імовірністю 1, починаючи з деякого номера. Тому при вивченні умов приложимости великих чисел посиленого закону можна відразу обмежитися випадковими величинами, що задовольняють останньому умові.

У доказах А.Я. Хинчина і А.Н. Колмогорова замість збіжності ряду

встановлюється відповідність низки

,

де n k = 2 k. При цьому А.Н. Колмогоров використовував носить його ім'я нерівність для максимумів сум випадкових величин.

Висновок

І на завершення можна сказати, що А.Н. Колмогоров дуже талановита людина і розвинений в усіх напрямках. Його праці привнесли багато нового в розвиток науки і техніки. Він дав нові напрями на вивчення ще не відкритих областей знань.

Його досягнення не пройшли безслідно - за життя він був почесним членом Інститутів і університетів, а також мав величезну кількість нагород: премій, медалей, орденів і т.п.

Список використаної літератури

  1. А.М. Прохоров, І.В. Абашидзе Математичний енциклопедичний словник Москва Наукове видавництво «Велика російська енциклопедія» 1995

  2. А.В. Прохоров Введення в теорію ймовірностей Москва 1982

  3. www.5ballov.ru

Посилання (links):
  • http://www.5ballov.ru/
  • Додати в блог або на сайт

    Цей текст може містити помилки.

    Математика | Реферат
    84.9кб. | скачати


    Схожі роботи:
    Біографія і праці Колмогорова А Н
    Вклад АН Колмогорова у розвиток теорії ймовірностей
    Теорія ймовірностей Від Паскаля до Колмогорова
    Теорема Бернуллі Закон розподілу Пуассона Критерій Колмогорова
    Біографія Котляревського І П
    Біографія П Сагайдачного
    Біографія Некрасова
    Біографія Будди
    Біографія ВІЛеніна
    © Усі права захищені
    написати до нас