Безперервність функції на інтервалі і на відрізку
Визначення 3.3 Нехай 
- Деяка функція, - Її область визначення і - Деякий (відкритий) інтервал (може бути, з та / або ) 7. Назвемо функцію безперервної на інтервалі якщо безупинна в будь-якій точці , Тобто для будь-якого існує (У скороченій запису:
Нехай тепер - (Замкнений) відрізок в . Назвемо функцію безперервної на відрізку , Якщо неперервна на інтервалі , Безперервна справа в точці і неперервна зліва в точці , Тобто
Теорема 3.5 Нехай і - Функції і - Інтервал або відрізок, що лежить в . Нехай і безупинні на . Тоді функції , , непpеpивни на . Якщо додатково пpи всіх , То функція також непpеpивна на .
З цієї теоpеми випливає наступне утвеpждение, точно так само, як з теоpеми 3.1 - пpедложение 3.3:
Пропозиція 3.4 Безліч всіх функцій, непpеpивних на інтеpвале або отpезке - Це лінійне пpостpанство:
Більш складна властивість неперервної функції висловлює наступна теорема.
Теорема 3.6 (про корінь безперервної функції) Нехай функція неперервна на відрізку , Причому і - Числа різних знаків. (Будемо для визначеності вважати, що , А .) Тоді існує хоча б одне таке значення , Що (Тобто існує хоча б один корінь рівняння ).
Доказ. Розглянемо середину відрізка . Тоді або , Або , Або . У першому випадку корінь знайдений: це . В інших двох випадках розглянемо ту частину відрізка, на кінцях якої функція приймає значення різних знаків: у разі або у разі . Обрану половину відрізка позначимо через і застосуємо до неї ту ж процедуру: розділимо на дві половини і , Де , І знайдемо . У випадку корінь знайдений; у разі розглядаємо далі відрізок у разі - Відрізок і т.д.
Ріс.3.16. Послідовні розподілу відрізка навпіл
Одержуємо, що або на деякому кроці буде знайдений корінь , Або буде побудована система вкладених відрізків
в якій кожен наступний відрізок вдвічі коротше попереднього. Послідовність - Неубутною і обмежена зверху (наприклад, числом ), Отже (по теоремі 2.13), вона має межу . Послідовність - Невозрастающая і обмежена знизу (наприклад, числом ); Значить, існує межа . Оскільки довжини відрізків утворюють спадаючу геометричну прогресію (зі знаменником ), То вони прагнуть до 0, і , Тобто . Покладемо, тепер . Тоді
і
оскільки функція неперервна. Однак, з побудови послідовностей і , і , Так що, по теоремі про перехід до межі в нерівності (теорема 2.7), і , Тобто і . Значить, , І - Корінь рівняння .
Приклад 3.14 Розглянемо функцію на відрізку . Оскільки і - Числа різних знаків, то функція звертається до 0 в деякій точці інтервалу . Це означає, що рівняння має корінь .
Рис.3.17. Графічне подання кореня рівняння
Доведена теорема фактично дає нам спосіб знаходження кореня , Хоча б наближеного, з будь-якої заданої наперед ступенем точності. Це-метод поділу відрізка навпіл, описаний при доказі теореми. Більш докладно з цим та іншими, більш ефективними, способами наближеного знаходження кореня ми познайомимося нижче, після того, як вивчимо поняття і властивості похідної.
Зауважимо, що теорема не стверджує, що якщо її умови виконані, то корінь - Єдиний. Як показує наступний малюнок, коренів може бути і більше одного (на малюнку їх 3).
Ріс.3.18. Кілька коренів функції, що приймає значення різних знаків в кінцях відрізка
Проте, якщо функція монотонно зростає або монотонно убуває на відрізку, в кінцях якого приймає значення різних знаків, то корінь-єдиний, так як строго монотонна функція кожне своє значення приймає рівно в одній точці, в тому числі і значення 0.
Ріс.3.19.Монотонная функція не може мати більше одного кореня
Безпосереднім наслідком теореми про корінь безперервної функції є наступна теорема, яка і сама по собі має дуже важливе значення в математичному аналізі.
Теорема 3.7 (про проміжному значенні безперервної функції) Нехай функція неперервна на відрізку і (Будемо для визначеності вважати, що ). Нехай - Деяке число, що лежить між і . Тоді існує така точка , Що .
Ріс.3.20.Непреривная функція приймає будь-яке проміжне значення
Доказ. Розглянемо допоміжну функцію , Де . Тоді і . Функція , Очевидно, безперервна, і за попередньою теоремою існує така точка , Що . Але ця рівність означає, що .
Зауважимо, що якщо функція не є безперервною, то вона може приймати не всі проміжні значення. Наприклад, функція Хевісайда (Див. приклад 3.13) приймає значення , , Але ніде, у тому числі і на інтервалі , Не приймає, скажімо, проміжного значення . Справа в тому, що функція Хевісайда має розрив в точці , Що лежить саме в інтервалі .
Для подальшого вивчення властивостей функцій, неперервних на відрізку, нам знадобиться наступне тонке властивість системи дійсних чисел (ми вже згадували його в розділі 2 у зв'язку з теоремою про межу монотонно зростаючою обмеженою функції): для будь-якого обмеженого знизу безлічі (Тобто такого, що при всіх і деякому ; Число називається нижньою межею безлічі ) Є точна нижня грань , Тобто найбільше з чисел , Таких що при всіх Аналогічно, якщо безліч обмежена зверху, то воно має точну верхню межу : Це найменша з верхніх граней (Для яких при всіх ).
Ріс.3.21.Ніжняя і верхня межі обмеженої множини
Якщо , То існує невозрастающая послідовність точок , Яка прагне до . Точно так само якщо , То існує неубутною послідовність точок , Яка прагне до .
Якщо точка належить безлічі , То є найменшим елементом цієї множини: ; Аналогічно, якщо , То .
Крім того, для подальшого нам знадобиться наступна
Лемма 3.1 Нехай - Безперервна функція на відрізку , І безліч тих точок , В яких (Або , Або ) Не порожньо. Тоді в множині є найменше значення , Таке що при всіх .
Ріс.3.22. Найменший аргумент, при якому функція приймає задане значення
Доказ. Оскільки - Обмежена кількість (це частина відрізка ), То воно має точну нижню грань . Тоді існує невозрастающая послідовність , , Така що при . При цьому , За визначенням безлічі . Тому, переходячи до межі, отримуємо, з одного боку,
а з іншого боку, внаслідок безперервності функції ,
Значить, , Так що точка належить безлічі і .
У випадку, коли безліч задано нерівністю , Ми маємо при всіх і по теоремі про перехід до межі в нерівності отримуємо
звідки , Що означає, що і . Точно так само в разі нерівності перехід до межі в нерівності дає
звідки , і .
Теорема 3.8 (про обмеженість безперервної функції) Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді обмежена на , Тобто існує така постійна , Що при всіх .
Ріс.3.23. Безперервна на відрізку функція обмежена
Доказ. Припустимо протилежне: нехай не обмежена, наприклад, зверху. Тоді всі множини , , , Не порожні. За попередньою лемі в кожному з цих множин є найменше значення , . Покажемо, що
Дійсно, . Якщо будь-яка точка з , Наприклад , Лежить між і , То
тобто - Проміжне значення між і . Значить, за теоремою про проміжне значення неперервної функції, існує точка , Така що , І . Але , Всупереч припущенням про те, що - Найменше значення з безлічі . Звідси випливає, що при всіх .
Точно так само далі доводиться, що при всіх , при всіх , Ит.д. Отже, - Зростаюча послідовність, обмежена зверху числом . Тому існує . З безперервності функції випливає, що існує , Але при , Так що межі не існує. Отримане протиріччя доводить, що функція обмежена зверху.
Аналогічно доводиться, що обмежена знизу, звідки слід твердження теореми.
Очевидно, що послабити умови теореми можна: якщо функція не є безперервною, то вона не зобов'язана бути обмеженою на відрізку (наведемо як приклад функцію
на відрізку . Ця функція не обмежена на відрізку, так як при має точку розриву другого роду, таку що при . Також не можна замінити в умові теореми відрізок інтервалом або полуінтервалом: як приклад розглянемо ту ж функцію на полуінтервале . Функція неперервна на цьому полуінтервале, але необмежена, внаслідок того що при .
Пошук найкращих постійних, якими можна обмежити функцію зверху і знизу на заданому відрізку, природним чином приводить нас до задачі про відшукання мінімуму і максимуму безперервної функції на цьому відрізку. Можливість вирішення цього завдання описується наступною теоремою.
Теорема 3.9 (про досягнення екстремуму безперервною функцією) Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді існує точка , Така що при всіх (Тобто - Точка мінімуму: ), Й існує точка , Така що при всіх (Тобто - Точка максимуму: ). Іншими словами, мінімальне і максимальне 8 значень неперервної функції на відрізку існують і досягаються в деяких точках і цього відрізка.
Ріс.3.24. Безперервна на відрізку функція досягає максимуму і мінімуму
Доказ. Так як за попередньою теоремою функція обмежена на зверху, то існує точна верхня грань значень функції на - Число . Тим самим, безлічі , ,..., ,..., Не порожні, і за попередньою лемі в них є найменші значення : , . Ці не зменшуються (доводиться це твердження точно так само, як в попередній теоремі):
і обмежені зверху числом . Тому, за теоремою про межу монотонної обмеженої послідовності, існує межа Так як , То і
по теоремі про перехід до межі в нерівності, тобто . Але при всіх , І в тому числі . Звідси виходить, що , Тобто максимум функції досягається у точці .
Аналогічно доводиться існування точки мінімуму.
У цій теоремі, як і в попередній, не можна послабити умови: якщо функція не є безперервною, то вона може не досягати свого максимального чи мінімального значення на відрізку, навіть будучи обмеженою. Для прикладу візьмемо функцію
на відрізку . Ця функція обмежена на відрізку (очевидно, що ) І , Проте значення1 вона не приймає ні в одній точці відрізка (зауважимо, що , А не 1). Справа в тому, що ця функція має розрив першого роду в точці , Так що при межа не дорівнює значенню функції в точке0. Далі, безперервна функція, задана на інтервалі або іншій безлічі, що не є замкнутим відрізком (на полуінтервале, півосі) також може не брати екстремального значення. Як приклад розглянемо функцію на інтервалі . Очевидно, що функція неперервна і що і , Проте ні значенія0, ні значенія1 функція не приймає ні в якій точці інтервалу . Розглянемо також функцію на півосі . Ця функція неперервна на , Зростає, приймає своє мінімальне значеніе0 в точці , Але не приймає ні в якій точці максимального значення (хоча обмежена зверху числом і