Афінний перетворення евклідової площини в сполучених комплексних координатах

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Федеральне агентство з освіти

Державне загальноосвітній заклад вищої професійної освіти

Вятский державний гуманітарний університет

Математичний факультет

Кафедра алгебри та геометрії

Випускна кваліфікаційна робота

Афінний перетворення евклідової площини в сполучених комплексних координатах
















Виконала:

студентка V курсу

математичного факультету

Куршакова О.В.

__________________

Науковий керівник:

кандидат фіз.-мат. наук,

професор кафедри алгебри і геометрії

Понарін Я.П.

__________________

Рецензент:

ст. викладач кафедри алгебри і геометрії

Суворов О.М.

__________________

Допущена до захисту в ГАК

Зав. кафедрою ________________ Вечтомов Є.М.

« »_______________


Декан факультету ______________ Варанкіна В.І.

« »_______________



Кіров 2005


Зміст

Передмова

Глава i. Теорія афінних перетворень в сполучених комплексних координатах

§ 1. Визначення та формула аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах

1.1. Визначення аффинного перетворення

1.2. Формула аффинного перетворення

§ 2. Рівняння образу прямий при афінному перетворенні

§ 3. Формула зворотного перетворення

§ 4. Основна теорема теорії афінних перетворень

§ 5. Властивість площ трикутників

§ 6. Рід аффинного перетворення

6.1. Орієнтація плоских фігур

6.2. Орієнтація пар векторів

§ 7. Нерухомі точки і подвійні прямі афінних перетворень

7.1. Нерухомі точки афінних перетворень

7.2. Подвійні прямі афінних перетворень

глава ii. Приватні види афінних перетворень в сполучених комплексних координатах

§ 1. Перетворення подібності

§ 2. Перетворення спорідненості

2.1. Поняття перетворення спорідненості

2.2. Стиснення і його приватні види

2.3. Зрушення

§ 3. Еліптичний поворот

§ 4. Параболічний поворот

§ 5. Подання афінних перетворень композиціями їх приватних видів

Бібліографічний список


Передмова


Метою даної роботи є розгляд і вивчення афінних перетворень евклідової площини в сполучених комплексних координатах.

Теорія афінних перетворень вперше була розглянута Дарбу. У даній роботі ця теорія викладена методом комплексних чисел.

У роботі розглянута загальна теорія для всіх афінних перетворень евклідової площини в сполучених комплексних координатах, а також такі приватні види афінних перетворень, як подоба, спорідненість, еліптичний поворот, параболічний поворот. Перше з них має два різновиди - подоби першого і другого роду, і теорія для нього розроблена Скопець З.А. спільно з Понаріним Я.П. Спорідненість - Афінний перетворення, що має пряму нерухомих точок, у якого є приватні види, також розглянуті в роботі. Теорія цього аффинного перетворення для комплексних чисел розроблена Понаріним Я.П. Еліптичний та параболічний повороти - це еквіаффінние перетворення, що є композицією інших афінних перетворень. Вони також визначені науковим керівником.

Для кожного з чотирьох розглянутих афінних перетворень і приватних видів деяких з них отримані координатні формули в сполучених комплексних координатах, вивчені їх найпростіші властивості.












Глава I. Теорія афінних перетворень в сполучених комплексних координатах


§ 1. Визначення та формула аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах

1.1. Визначення аффинного перетворення

Введемо визначення аффинного перетворення евклідової площини в сполучених комплексних координатах.

Перетворення евклідової площини називається аффінним, якщо воно відображає кожну пряму на пряму. [1]


1.2. Формула аффинного перетворення

Ми хочемо побудувати теорію афінних перетворень за допомогою комплексних чисел. Але для цього потрібно мати формулу аффинного перетворення, тобто вираз комплексної координати z 'образу даної точки M (z) через координату z цієї точки М.

Відомо, що Афінний перетворення площини в афінних (і зокрема, в прямокутних декартових) координатах має формули:

де (1)

Так як хочемо отримати формулу аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах, то потрібно отримати вираз комплексної координати z '= x' + iy 'точки M' (z ') через комплексну координату її образу z = x + iy точки M (z): у вираз z 'підставимо замість x' і y 'їх вираження з формул (1): , Розкривши дужки і привівши подібні доданки в правій частині цієї рівності, одержимо . Тепер зробимо тотожне перетворення над коефіцієнтами при x і iy:

Згрупувавши коефіцієнти при x і iy, отримуємо наступне:

. Ввівши позначення , , і враховуючи, що і , Маємо вираз комплексної координати z 'точки M' через комплексну координату її образу z точки M: . Залишилось знайти визначник цього перетворення. Після деяких перетворень визначник прийме вигляд: , Звідки, скориставшись введеними позначеннями коефіцієнтів аффинного перетворення, маємо: . Таким чином, формула аффинного перетворення в сполучених комплексних координатах має вигляд:

, Де (2)


§ 2. Рівняння образу прямий при афінному перетворенні

Як відомо з визначення аффинного перетворення, пряма переходить на пряму. Візьмемо рівняння прямої , Де . (3)

Будь-яка точка M (z), що належить цій прямій, при афінному перетворенні (2) перейде в деяку точку M '(z'), комплексна координата якої . Висловимо з цього рівності і сполученого до нього : звідки отримуємо , Тобто

, Де . (4)

Це формула перетворення, зворотного афінної перетворення (2).

Але повернемося до наших міркувань і підставимо в (3) вираз z через z в результаті чого отримаємо наступне рівність:

. Тепер розкриємо дужки і згрупуємо множники перед z 'і , А решта складові будемо вважати вільним членом, отримаємо рівняння образу прямий:

. (5)

Очевидно, що це рівняння прямої: коефіцієнти при z 'і поєднані, а вільний член є дійсним числом. Таким чином, маємо рівняння образу прямий при афінному перетворенні (2).


§ 3. Формула зворотного перетворення

У попередньому параграфі нами була знайдена формула (4) перетворення, зворотного афінної перетворення (2). Покажемо, що дане перетворення також є аффінним. Для цього достатньо довести, що його визначник не дорівнює нулю.

Розглянемо визначник перетворення (4), він дорівнює: , Приведемо до спільного знаменника і скоротимо на загальний множник, одержимо: , Де , Отже, визначник зворотного перетворення (4) знаходиться в такій залежності з визначником перетворення (2): і він не дорівнює нулю. Отже, зворотне перетворення (4) також є аффінним, що потрібно було довести.

§ 4. Основна теорема теорії афінних перетворень

Доведемо наступну теорему:

Існує одне і тільки одне Афінний перетворення, що переводить довільні три точки А, В, С, не лежать на одній прямій, в три довільні точки А ', B', C ', також не лежать на одній прямій. [3]

Довести єдиність аффинного перетворення можна показавши, що коефіцієнти перетворення a, b, і c виражаються однозначно через координати точок А ( ), В ( ), С ( ) І A '(a'), B "(b '), C' (c ').

Оскільки точки A ', B', C 'є образами точок А, В і С, то їх координати можна виразити таким чином:

Вирішимо цю систему щодо коефіцієнтів перетворення a, b, c, отримаємо їх вираження через координати точок А, В, С і A ', B', C ':

Таким чином, коефіцієнти перетворення знаходяться однозначно. Опустивши громіздкі викладки, відзначимо, що визначник розглянутого аффинного перетворення не дорівнює нулю, таким чином, доведено існування і єдиність шуканого аффинного перетворення.

§ 5. Властивість площ трикутників

Доведемо, що площа трикутника пропорційна площі його образу при деякому афінному перетворенні (2) з коефіцієнтом пропорційності, рівним визначник цього аффинного перетворення. [1]

Нехай точки M, N і K неколінеарних, тоді точки M ', N' і K ', є образами точок M, N і K при деякому афінному перетворенні (2), також неколінеарних. Знайдемо співвідношення площ орієнтованих трикутників MNK і M 'N' K '. Скористаємося формулою площі позитивно орієнтованого трикутника: ,

. (6)

Для координат точок M ', N' і K 'виконуються рівності

Перетворимо формулу площі другого трикутника (6), підставивши замість координат його вершин їх вираження через координати вершин першого трикутника, отримаємо:

Після послідовних перетворень отриманого виразу маємо: , Тобто . Таким чином, площа трикутника пропорційна площі його прообразу з коефіцієнтом пропорційності, рівним определителю аффинного перетворення, що й потрібно було довести.

Слідство. Ставлення площі трикутника до площі його образу при афінному перетворенні є інваріантом цього аффинного перетворення.

Знайдене властивість площ трикутників можна узагальнити на довільні -Кутники.


§ 6. Рід аффинного перетворення

6.1. Орієнтація плоских фігур

Введемо поняття орієнтації плоских фігур, причому тут можна обмежитися лише розглядом орієнтації трикутників: кожен трикутник може бути орієнтований двома способами, тобто обхід його контуру може відбуватися в двох взаємно протилежних напрямах - «за годинниковою стрілкою» і «проти годинникової стрілки». Афінний перетворення першого роду зберігають орієнтацію всіх трикутників, а аффінниє перетворення другого роду міняють її на протилежну.


6.2. Орієнтація пар векторів

Якщо на площині задана система координат, то одну з двох орієнтацій плоских фігур називають зазвичай позитивною, а іншу - негативною. За позитивну приймається орієнтація, обумовлена ​​обходом координатного трикутника ОЕ 1 Е 2 (рис. 1) або, що те ж саме, напрямком обертання від вектора до вектора (На кут, менший 180 0). У зв'язку з цим введемо також поняття орієнтації пари векторів: будемо називати пару векторів і орієнтованої позитивно, якщо напрямок обертання (на найменший можливий кут) від до збігається з напрямком обертання від до , Інакше пару векторів і назвемо орієнтованої негативно.








Рис. 1


З'ясуємо тепер, як визначити орієнтацію пари векторів і , Заданих своїми координатами комплексними p і q відповідно. Очевидно, що якщо кут між векторами позитивно орієнтований, то його синус позитивний, в іншому випадку - від'ємний.

Використовуємо формулу синуса кута між векторами, заданими своїми комплексними координатами: . Знайдемо синус кута між векторами (P) і (Q): . Тут чисельник - чисто уявне число, отже, знак синуса кута залежить від знака числа .

Образом вектора (P) при афінному перетворенні (2) буде вектор з комплексною координатою , Вектор , Що є чином вектора (Q) при цьому ж афінному перетворенні буде мати комплексну координату . Знайдемо тепер синус кута між векторами і : . Спростивши праву частину рівності, отримаємо: . Знак синуса кута між векторами і залежить від знаків виразів і так як друге з них присутня у виразі , То саме від виразу залежить, чи буде знак синуса кута між векторами і відрізнятися від знак синуса кута між векторами і . Тобто якщо значення виразу позитивно, то орієнтація пари векторів і буде збігатися з орієнтацією пари векторів і . В іншому випадку при афінному перетворенні (2) орієнтація пари векторів зміниться на протилежну.

Таким чином, Афінний перетворення (2) зберігає орієнтацію пари векторів (і, відповідно, плоских фігур) у випадку, коли його визначник позитивний. У цьому випадку перетворення (2) є аффінним перетворенням першого роду. Інакше, Афінний перетворення змінює орієнтацію пари векторів (і, відповідно, плоских фігур) у випадку, коли його визначник від'ємний. І в такому випадку перетворення (2) є аффінним перетворенням другого роду.


§ 7. Нерухомі точки і подвійні прямі афінних перетворень

7.1. Нерухомі точки афінних перетворень

Знайдемо координати нерухомих точок аффинного перетворення (2). Для нерухомих точок, тобто для точок, що переходять в себе при афінному перетворенні, повинна виконуватися така умова: z '= z, тобто

. (7)

Висловимо звідси z. Для цього вирішимо наступну систему

(Де ) (8)

Отримали координату точки, що є інваріантом аффинного перетворення з коефіцієнтами a, b, c.

Тоді для аффинного перетворення можливі три випадки [1]:

  1. нерухомих точок не існує;

  2. нерухома точка єдина;

  3. нерухомих точок нескінченно багато.

Розглянемо кожен з цих випадків.

1. Нерухомих точок не існує тоді і тільки тоді, коли для коефіцієнтів перетворення виконується умова: Перетворивши друга умова системи, отримаємо . (9)

Здійснимість цієї системи і є умовою того, що для даного аффинного перетворення нерухомих точок не існує.

2. Нерухома точка єдина тоді і тільки тоді, коли

, Тобто (10)


3. Нерухомих точок нескінченно багато тоді і тільки тоді, коли виконується умова що рівносильно системі

(11)

Візьмемо умова нерухомості точки: (12)

і розглянемо два випадки:

  1. Нехай з ≠ 0, тоді помножимо (12) на с, отримаємо: . Скориставшись системою (11), отримаємо рівність:

, (13)

де коефіцієнти при z і поєднані, а вільний член є дійсним числом, отже, рівність (13) за умови (11) задає пряму нерухомих точок.

2) Нехай тепер с = 0, тоді (12) представиться у вигляді . Висловимо звідси z: , Звідки Прирівняємо праві частини і отримаємо рівність , Що рівносильно умові . Поділимо на z ≠ 0, в результаті чого отримаємо . Тобто умова (11) задає пряму нерухомих точок (12), яка називається віссю аффинного перетворення. Якщо така пряма є, то Афінний перетворення називається спорідненістю.

Якщо а = 1, то - Єдина нерухома точка, і Афінний перетворення називається центроаффінним.

Якщо b = 0 і c ≠ 0, то Афінний перетворення є паралельним переносом.

Якщо b = 0 і c = 0, то Афінний перетворення є тотожним.


7.2. Подвійні прямі афінних перетворень

Знайдемо умову, за якої пряма при афінному перетворенні (2) перейде сама в себе, тобто буде інваріантом аффинного перетворення.

Візьмемо рівняння прямий (3), яка при афінному перетворенні перейде в пряму . Для того, щоб пряма (3) перейшла сама в себе, необхідне виконання наступних умов: де R. (14) Перетворимо перші два рівності системи (14) до виду Прирівняємо тепер перші два рівності і після перетворення отримаємо: представив перше рівність системи у вигляді сукупності двох умов тепер цю систему можна представити як сукупність двох систем (15) Розглянемо кожну систему отриманої сукупності окремо.

1) Перша система сукупності приводиться до вигляду і тепер вже вона може бути представлена ​​у вигляді сукупності двох систем Відзначимо, що якщо для прямого (3) виконується перша система, то немає і самої прямої (3). Вирішуючи другу систему, також отримаємо, що немає самої прямий (обидва коефіцієнти дорівнюють нулю). Таким чином отримали, що перша система сукупності (15) не має рішень.

2) Розглянемо другу систему сукупності (15) . Висловимо з другого рівності системи коефіцієнт q і скористаємося тим, що (З другого рівності (14)), тоді розглянута система буде виглядати наступним чином:

(16)

Перетворимо окремо кожне рівність системи (16).

А) Перше рівність системи після деяких перетворень набуде вигляду , Звідки і виконання цієї умови є очевидним, отже, перше рівність системи (16) нічого істотного нам не давало.

Б) Розглянемо тепер друге рівність, перетворимо його праву частину , Тоді отримане співвідношення на коефіцієнти прямої (2): (17) є умовою того, що пряма (3) - подвійна пряма аффинного перетворення (2).

Доведемо, що якщо для коефіцієнтів прямої (3) p і q вірно рівність (17), то вона є подвійний прямий аффинного перетворення з коефіцієнтами a, b, c і визначником . Візьмемо пряму . При афінному перетворенні з коефіцієнтами a, b, c вона перейде на пряму . Покажемо, що будуть виконуватися рівності де k - коефіцієнт пропорційності. Знайдемо k з останнього рівності системи . Підставимо замість q його вираз через коефіцієнти аффинного перетворення і коефіцієнт р, спростимо вираз і отримаємо . Очевидно, що при такому k вірні і два перші рівняння системи, отже, пряма є подвійний, що потрібно було довести.


Глава II. Приватні види афінних перетворень в сполучених комплексних координатах


§ 1. Перетворення подібності

Перетворенням подібності (або подобою) називається перетворення, яке кожні дві точки P і Q відображає в такі дві точки P 'і Q ', що P' Q '= k · PQ, де k - постійне дійсне додатне число, зване коефіцієнтом подібності. [2]

Введемо в розгляд Афінний перетворення (2). Розглянемо неколінеарних точки M (z), P (p), Q (q) та їх образи M '(z'), P '(p'), Q '(q') при деякому афінному перетворенні (2). Перетворення подібності задається трьома парами точок M "M ', P" P ", Q" Q' так, що трикутник M 'P' Q 'подібний трикутнику MPQ.

Існує два роди перетворень подібності. Подоба першого роду зберігає орієнтацію кожного відображуваного трикутника, а подобу другого роду відображає кожен трикутник у трикутник, протилежно орієнтований з ним. Розглянемо тепер подобу кожного роду окремо.

  1. Нехай MPQ і M 'P' Q '- однаково орієнтовані подібні трикутники, тоді виконуються рівності , Де .

Розглянемо рівність , Звідки , Тоді . Позначимо другий доданок як , Отримаємо рівність, що задає перетворення подібності першого роду:

, Де . (18)

  1. Розглянемо тепер подібні і протилежно орієнтовані трикутники MPQ і M 'P' Q '. Для них вірні рівності: , Де . Розглянемо рівність , Перетворимо його до виду , Тоді можемо висловити z ': , Позначимо другий доданок за ρ, тоді отримаємо рівність, яким задається перетворення подібності другого роду , Де (19)



§ 2. Перетворення спорідненості

2.1. Поняття перетворення спорідненості

Спорідненість - Афінний перетворення, що має пряму нерухомих точок. Його задає формула:

, Де , , (20)


Віссю цього перетворення є пряма , Приймемо її за дійсну вісь Ох: [1]. Тоді очевидно, що з = 0 і b = 1 - a. Тому перетворення (20) з дійсною віссю записується формулою:

, Де (21)






Рис. 2


З'ясуємо особливості цього перетворення. Перепишемо його наступним чином (22) складемо з цього виразу і сполученого до нього вираження пропорцію . Звідки , А це є умовою того, що вектори з координатами і перпендикулярні. Так як а-1 - постійні вектор, а z і z '- координати відповідних точок М і М' при афінному перетворенні (рис. 2), то всі прямі, що з'єднують точки М і М 'будуть паралельні між собою і паралельні деякому вектору з координатою (а-1) i, званому напрямком аффинного перетворення, в даному випадку - спорідненості.

Якщо (а-1) - чисто уявне число (тобто , Звідки ), То напрям споріднення буде колінеарні осі спорідненості. У цьому випадку Афінний перетворення називається зсувом уздовж прямої та умови, які його задають, мають вигляд , , (23)

Якщо ж напрям аффинного перетворення не співпадає з напрямком його осі, то воно називається стисненням до прямої і його ставлять такі умови: , , (24)


2.2. Стиснення і його приватні види

Знайдемо власні числа λ перетворення стиснення (24) з умови . Складемо систему з цієї умови і сполученого до нього вирази: . Щоб знайти власні числа, потрібно вирішити рівняння , Звідки одержимо і .

Приймемо без доведення наступну теорему [1]: якщо λ - власне дійсне число аффинного перетворення, то безліч точок, кожна з яких ділить щодо відрізок, що з'єднує точку з її прообразом, є подвійна пряма цього перетворення.







Рис. 3


Очевидно, що прямі MM 'і NN' (рис. 3) є подвійними прямими і λ 2 - дійсне число, то точка Р ділить відрізок MM 'щодо , Тобто . Число = Δ називається коефіцієнтом стиснення. Якщо а - дійсне число, то напрям стиснення перпендикулярно його осі і стиснення називається прямим (ортогональним) стиском.

Розглянемо окремий випадок стиснення - косу симетрію [1]. Це інволютивні перетворення, тобто воно тотожно перетворенню, зворотному йому. Перетворення, зворотне (24), має формулу:

(25)

Воно має ту ж вісь, що і (24). Рівність перетворень (24) і (25) має місце тоді і тільки тоді, коли , Звідки , Тобто а - чисто уявне число. Таким чином, формулою (24) за умови задається коса симетрія з дійсною віссю. У цьому випадку коефіцієнт стиснення дорівнює , Отже, вісь косою симетрії ділить навпіл кожен відрізок, що з'єднує відповідні точки. Коса симетрія - Афінний перетворення другого роду, так як його визначник від'ємний.

Якщо а = 0, отримуємо осьову симетрію щодо дійсної осі. Осьова симетрія - Афінний перетворення також другого роду ( ).


2.3. Зрушення

З'ясуймо, як переміщається по площині точка при зсуві (рис.4). Розглянемо рівність (22), візьмемо модулі обох частин цієї рівності

(26)

і подивимося, чим є кожен модуль в (26).














Рис. 4


- Це відстань від точки М (z) до її образу M '(z') при афінному перетворенні. - Це модуль постійного вектора, перпендикулярного напрямку зсуву, а - Це відстань від М (z) до точки з координатою, поєднаної z, рівне подвоєному відстані від точки M (z) до дійсної осі Ох.

Перетворимо праву частину (26): , (27) тоді з (22) і (27) випливає, що при зсуві кожна точка M (z) зміщується паралельно його осі на відстань , Пропорційне відстані від цієї точки до дійсної осі. Коефіцієнт пропорційності цих відстаней називається коефіцієнтом зсуву.

Знайдемо власні числа перетворення зсуву з рівняння, складеного аналогічно тому, як складали для стиснення: , Звідки знайдемо . Значить, перетворення зсуву має тільки один інваріантний пучок паралельних прямих, паралельних осі зсуву.

Визначник перетворення зсуву строго більше нуля, тому зрушення - Афінний перетворення першого роду.



§ 3. Еліптичний поворот

Еліпс - це образ кола при афінному перетворенні. [1]

Розглянемо ортогональное стиснення g до дійсної осі.


Його ставлять умови: (28)

а зворотне до нього Афінний перетворення g -1 має формулу: , Де , Звідки в силу (28) зворотне перетворення має вигляд: (29)

При ортогональному стисненні окружність перейде в еліпс (рис. 5). Коефіцієнт розглянутого стиснення дорівнює , Тоді . і називаються великої і малої осями еліпса при . Знайдемо рівняння цього еліпса. Для цього в рівнянні окружності замінимо z на праву частину (29), отримаємо: , Тоді . Перетворивши дане рівність, отримаємо: , Звідки отримуємо рівняння еліпса .

Розглянемо дві довільні точки окружності N і N 1. Крапку N можна перевести в точку N 1 поворотом h на деякий кут навколо точки В: , Де , , .



Y

P N 1

N

M

K M 1



C O D X


Т


Q

Рис. 5


Нехай точки М і М 1 - образи точок відповідно N і N 1 при ортогональному стисненні g. Тоді точку М можемо перевести в точку М 1 наступним чином:

1) (Перетворення, зворотне ортогональному стисненню);

2) (Поворот навколо точки О на кут );

3) (Ортогональное стиснення).

Тоді , Де . Знайдемо формулу перетворення f.

  1. Спочатку знайдемо формулу перетворення : .

2. Знайдемо формулу для перетворення f: , Звідки отримуємо - Це формула еліптичного повороту.

Перевіримо, чи буде визначник розглянутого перетворення не дорівнює нулю. Перетворимо вираз визначника

, Використовуючи рівність , Тоді отримаємо, що . Отже, визначник перетворення не дорівнює нулю, і f є аффінним перетворенням, що потрібно було довести.

Так як визначник розглянутого аффинного перетворення позитивний, то еліптичний поворот - це Афінний перетворення першого роду.

Це перетворення має єдину нерухому точку О, значить воно є центроаффінним. При цьому перетворенні кожна точка М площині О) переходить в іншу точку, яка належить відповідній еліпсу. Цей еліпс при розглянутому перетворенні переходить сам в себе. Перетворення з оголошеними властивостями називається еліптичним поворотом.

З'ясуємо, чи має еліптичний поворот інваріантні пучки паралельних прямих. Для цього знайдемо дискриминант характеристичного рівняння цього перетворення. Комплексні координати векторів при афінному перетворенні (2) переходять в Колінеарні їм вектори за формулою , Звідки отримуємо рівняння . Вирішуючи його, отримаємо характеристичне рівняння . Знайдемо ( ), Його значення дорівнює , Тоді характеристичне рівняння запишеться у вигляді: . Його дискриминант від'ємний (так як ). Отже, f - Афінний перетворення з єдиною нерухомою точкою О і не має інваріантних пучків паралельних прямих, тобто еліптичний поворот - еквіцентроаффінное перетворення.

Формулу (29) еліптичного повороту можна записати у вигляді системи умов: Цю формулу можна представити інакше: , Тобто еліптичний поворот є композицією стиснення до дійсної осі і подоби першого роду з центром в точці О.


§ 4. Параболічний поворот

Покажемо, що параболу можна перевести в себе при перетворенні її за допомогою композиції зсуву та паралельного переносу, не паралельного осі зсуву. Нехай М - довільна точка параболи П з віссю l (Рис. 6), приймемо цю вісь за дійсну. Зробимо зрушення з цією ж віссю l: , Де , . Це зрушення переведе точку М в точку М 1 і параболу П - в параболу П 1. Параболи П і П 1 рівні з точністю до зсуву.












Рис. 6


Тепер зробимо паралельний перенос параболи П 1: ( ), Де . Тим самим, парабола П 1 перейде в параболу П, а точка М 1 перейде в точку М 'параболи П.

Таким чином отримали, що парабола переходить в себе при перетворенні її за допомогою композиції зсуву та паралельного переносу, не паралельного осі зсуву [1,3]. Це перетворення називається параболічним поворотом і має формулу , Де , , (30)

Визначник знайденого перетворення . Так як визначник відмінний від нуля, параболічний поворот є аффінним перетворенням, а так як він більше нуля, - аффінним перетворенням першого роду.

Знайдемо власні числа параболічного повороту аналогічно тому, як робили це для інших розглянутих афінних перетворень. Знайдемо власні числа λ з умови . Під час знаходження доходимо характеристическому рівнянню , Але так як , Характеристичне рівняння прийме вигляд , Звідки . Отже параболічний поворот має тільки один інваріантний пучок паралельних прямих, паралельних осі зсуву.



§ 5. Подання афінних перетворень композиціями їх приватних видів

Вище ми мали цілий ряд прикладів афінних перетворень. Ми знаємо також ряд властивостей, якими володіють всі аффінниє перетворення. Знайдемо загальну конструкцію, що дозволяє отримати будь-яке Афінний перетворення. Така конструкція вказується наступною теоремою:

Будь-яке Афінний перетворення може бути представлено у вигляді композиції споріднення і подібності.

Доведемо це твердження. Будь-яке Афінний перетворення має формулу (2) виду , Де . Згадаймо формули споріднення і подібності. Спорідненість задається рівністю , Де , А подоба - або . Перетворимо формулу (2) аффинного перетворення наступним чином: , Її можна представити як:

. (31)

Очевидно, що вираз в дужках задає спорідненість, а коефіцієнти (a + b) і c є коефіцієнтами перетворення подібності.

З'ясуємо, чи зберігає Афінний перетворення виду (31) орієнтацію плоских фігур. Зовнішнє перетворення (31) зберігає орієнтацію, тому знайдемо визначник внутрішнього перетворення: . Очевидно, що якщо перетворення (2) зберігало орієнтацію плоских фігур, то його визначник позитивний і визначник внутрішнього перетворення композиції також позитивний (тоді і композиція перетворень (31) зберігає орієнтацію плоских фігур). В іншому випадку-якщо негативний, то і перетворення (31) також змінює орієнтацію плоских фігур на протилежну.

Таким чином, ми представили довільне Афінний перетворення (2) у вигляді композиції споріднення і подібності першого роду. Але можливо уявити (2) і у вигляді композиції споріднення і подібності другого роду, тоді (2) набуде вигляду

. (32)

Зовнішнє перетворення отриманої композиції - подоба другого роду - змінює орієнтацію плоских фігур на протилежну. Розглянемо внутрішнє перетворення. Його визначник дорівнює . Якщо вихідне перетворення (2) зберігало орієнтацію плоских фігур, то його визначник позитивний, тоді визначник внутрішнього перетворення композиції (32) негативний і воно міняє орієнтацію плоских фігур, але так як зовнішнє перетворення також змінює орієнтацію, то все перетворення (32) зберігає орієнтацію плоских фігур. В іншому випадку, якщо вихідне перетворення (2) змінювало орієнтацію, тобто мало негативний визначник, внутрішнє перетворення має позитивний визначник і орієнтації не міняє, а в композиції з подобою другого роду змінює орієнтацію плоских фігур.

Отже, будь Афінний перетворення можна представити у вигляді композиції споріднення і подібності, що потрібно було довести.

Бібліографічний список


  1. Понарін Я.П. Алгебра комплексних чисел у геометричних задачах: Книга для учнів математичних класів шкіл, вчителів та студентів педагогічних вузів. - М.: МЦНМО, 2004

  2. Скопець З.А. Геометричні мініатюри / Сост. Г.Д. Глейзер. - М.: Просвещение, 1990

  3. Яглом І.М., Ашкінузе В.Г. Ідеї ​​та методи афінної і проективної геометрії. Частина 1. Афінна геометрія. М.: - Учпедгиз, 1962

Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Математика | Диплом
134.1кб. | скачати


Схожі роботи:
Аффінниє перетворення евклідової площини в му спряженнi нних комплексних координатах
Інверсія площини в комплексно спряжених координатах
Анатомічна номенклатура Основні осі і площини людського
Анатомічна номенклатура Основні осі і площини людського тіла
Комп`ютерна модель СГ в координатах dq 0 в режимі ХХ
Довжина дуги кривої в прямокутних координатах
Модель синхронного генератора в фазних координатах
Обчислення подвійного інтеграла в декартових і полярних координатах
Методи і аналіз нелінійного режиму роботи системи ПАП Метод фазової площини
© Усі права захищені
написати до нас