Аналітичні властивості рішень системи двох диференціальних рівнянь третього порядку

РЕФЕРАТ
Аналітичні властивості рішень системи двох диференціальних рівнянь
третього порядку
Автор: Бичков В'ячеслав Вікторович,
студент групи 220601
Фіту АСОІ 3 курс
Науковий керівник:
Цегельник Володимир Володимирович,
Доктор фізико-математичних наук, доцент
Зав. кафедрою вищої математики БДУІР
Мінськ 2004

Реферат
14 стор; 8 джерел
Ключові слова: автомодельного рішення, рівняння Кортевега де Фріза, рівняння Пенлеве, раціональні рішення, вищі аналоги рівнянь Кортевега де Фріза і Пенлеве, двох - татрипараметричної сімейства полярних рішень, перетворення Беклунда.
Об'єктом дослідження є система двох нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, породжена прямим і зворотним перетвореннями Беклунда вищого аналога другого рівняння Пенлеве . Метою роботи є дослідження деяких аналітичних властивостей рішень зазначеної системи. Використовуючи метод виключення, отримані два нелінійних диференціальних рівняння шостого порядку, пов'язані між собою простим масштабним перетворенням. Основним результатом роботи є доказ наявності у системи чотирипараметричного сімейств рішень, породжуваних спільним рішенням вищого аналога другого рівняння Пенлеве. Розглянута система і отримані результати є новими.

Відгук наукового керівника
У роботі розглядається актуальна задача дослідження аналітичних властивостей розв'язків системи двох нелінійних диференціальних рівнянь третього порядку, породженої прямим і зворотним перетвореннями Беклунда вищого аналога другого рівняння Пенлеве. Теорія вищих аналогів рівнянь Пенлеве інтенсивно розвивається, так як останні є точними автомодельного редукції добре відомих вищих аналогів рівнянь в приватних похідних. У роботі показано існування у системи чотирипараметричного сімейств рішень, породжуваних спільним рішенням вищого аналога другого рівняння Пенлеве. На підставі цього показано існування раціональних, а також двох - татрипараметричної сімейств полярних рішень у розглянутої системи. Робота виконана самостійно з залученням досить великого обсягу бібліографічних джерел.

Зміст
Введення
Основна частина
Висновок
Список використаних джерел

INDEX \ e "" "" \ c "1" "1049"
Введеніеref X E "Вступ" \ b

Серед рішень рівнянь в приватних похідних зустрічаються рішення, що залежать від якої-небудь однієї комбінації незалежних змінних і, отже, що задовольняють деякому звичайному диференційному рівнянню (ОДУ). Рішення, що володіють зазначеним властивістю, називаються автомодельного рішеннями. Відзначимо, що під ОДУ розуміється як одне звичайне диференціальне рівняння, так і система таких рівнянь.
Наприклад, відоме рівняння Кортевега де Фріза (KdV)

допускає як стаціонарні рішення (рішення типу "хвиля, що біжить") (При цьому , задовольняють ОДУ
,
), Так і автомодельного рішення
,
де , задовольняють рівнянню
.
Відзначимо, що термін "автомодельного рішення" відноситься, взагалі кажучи, до вирішення, залежному (нетривіальним чином) від меншого числа незалежних змінних, ніж повне рішення.
Явище, яке в часу, називається автомодельний, якщо розподілу його характеристик у різні моменти часу виходять одне з іншого перетворенням подібності. Встановлення автомодельності завжди є успіхом для дослідника: автомодельності спрощує обчислення та подання характеристик явища. Автомодельності дозволяє в багатьох випадках звести задачу математичної фізики до вирішення ОДУ, що істотно, у багатьох випадках, спрощує дослідження.
Крім того, автомодельний рішення використовуються як еталони при оцінці наближених методів вирішення більш складних завдань.
Широка комп'ютеризація наукових досліджень і відкриття методу оберненої задачі (ОЗР) викликали ще більший інтерес до автомодельний рішенням [1-3].
По-перше, автомодельності як і раніше продовжує залучати як глибокий фізичний факт, який свідчить про наявність певного типу стабілізації досліджуваних об'єктів, і має місце для досить широкого кола умов [4].
По-друге, автомодельний рішення грають важливу роль при вивченні поводжень рішень рівнянь в приватних похідних після закінчення тривалого часу (в області, де не можна знехтувати внеском фону).
По-третє, відкриття методу ОЗР дозволило встановити тісний зв'язок між автомодельного рішеннями нелінійних рівнянь в приватних похідних, інтегровних методом ОЗР, і рішеннями ОДУ P-типу, тобто ОДУ, загальний інтеграл яких не містить багатозначних рухливих особливих точок.
Слід зазначити, що аналітичні властивості рішень ОДУ P-типу першого і другого порядку досить добре вивчені. Найбільший інтерес в даний час привертають так звані вищі аналоги рівнянь P-типу.
З усіх цих причин пошук автомодельності останнім часом починається відразу, як тільки відкривається нова галузь дослідження.
У даній роботі досліджуються деякі аналітичні властивості розв'язків системи двох звичайних диференціальних рівнянь третього порядку. Характерною особливістю рівнянь даної системи є те, що вони визначають перетворення (пряме і зворотне) Беклунда вищого аналога другого рівняння Пенлеве.
Добре відомо, що вищий аналог другого рівняння Пенлеве є точна автомодельний редукція вищого аналога рівняння Кортевега де Фріза, що має широкий спектр додатків в нелінійній фізиці. Метод дослідження аналітичних властивостей рішень зазначеної вище системи полягає в дослідженні еквівалентних їй двох нелінійних диференціальних рівнянь шостого порядку з урахуванням аналітичних властивостей рішень вищого аналога другого рівняння Пенлеве. Отримані в роботі результати є новими.

Основна частина

Добре відомо, що вищий аналог другого рівняння Пенлеве [5]

має перетворення Беклунда і зворотне до нього, визначаються формулами
, (1)
, (2)
відповідно з довільним параметром .
Це означає, що якщо відоме рішення рівняння
(3)
при деякому фіксованому значенні параметра , То формула (2) дозволяє отримати рішення рівняння при фіксованому значенні параметра .
І навпаки, якщо відомо рішення рівняння при фіксованому значенні параметра , То за допомогою (1) можна отримати рішення рівняння (3).
При цьому передбачається, що знаменники дробів у (1) і (2) за будь-яких значеннях z відмінні від нуля.
Система (1), (2) еквівалентна по рівнянню:
, (4)
де


Щодо система (1), (2) також еквівалентна рівнянню шостого порядку
, (5)
де



Неважко перевірити, що рівняння (5) виходить з (4) за допомогою перетворень , .
Справедливо наступне твердження.
Теорема 1. Всі рішення рівняння є одночасно рішеннями рівняння (4).
У справедливості цієї теореми можна переконатися, якщо з знайти , і разом з підставити в рівняння (4).
Зупинимося на деяких властивостях рішень рівняння . Лема. Рівняння можна записати у вигляді системи
(6)
Справедливість цього твердження встановлюється винятком з системи (6).
Зауважимо, що з (6) також слід існування трипараметричного сімейства рішень рівняння при , Яке визначається спільним рішенням рівняння
(7)
Дійсно, якщо в (6) покласти , , То ми отримуємо рівняння (7).
Для інтегрування рівняння (7) введемо функцію . Тоді і система (6) перепишеться у вигляді
(8)
а рівняння (7) - у вигляді
. (9)
Ясно, що рівняння (9) інтегрується допомогою першого трансцендентна Пенлеве заміною , , Де , . Таким чином, справедлива [5]
Теорема 2. Довільне рішення рівняння Риккати , Де q - довільне рішення першого рівняння Пенлеве, є рішенням рівняння .
Відомо також [5], що рівняння має раціональні рішення тоді і тільки тоді, коли . Вони легко виходять з тривіального рішення при за допомогою формул (1), (2). Зокрема, при маємо рішення , А при рішення .
Характерною особливістю рівняння є те, що воно є окремим випадком рівняння
,
де , , ,
получающегося з вищої ієрархії Кортевега де Фріза
, (10)
де , ,
за допомогою редукції
, .
При рівняння і (10) є [6] класичними рівняннями Кортевега де Фріза і другим рівнянням Пенлеве пов'язаними перетворенням
, .
Для в отримуємо рівняння . Ще однією важливою особливістю рівняння є те, що воно має трипараметричного і двопараметрична сімейства полярних рішень [7]. У силу теореми 1 таким ж властивістю володіє і рівняння (5).
Детальний опис різних властивостей рішень рівняння у зв'язку з їх численними додатками міститься в навчальному посібнику [8].

Висновок

Дослідження аналітичних властивостей розв'язків системи двох нелінійних диференціальних рівнянь третього порядку, породжуваної прямим і зворотним перетвореннями Беклунда вищого аналога другого рівняння Пенлеве дозволило довести існування в неї чотирипараметричного сімейства рішень, породжуваного спільним рішенням вищого аналога другого рівняння Пенлеве. На підставі цього доведено існування у системи раціональних, а також двох - татрипараметричної сімейств полярних рішень. Робота (в рамках поставленої задачі) є завершеною.
У процесі досліджень використовувався пакет символьних обчислень МАТЕМАТИКА.

Список використаних джерел

1. Абловіц М., Сигур Х. Солітони і метод оберненої задачі. - М.: Мир. 1987. - 479 с.
2. Ньюелл А. Солітони в математиці й фізиці. - М.: Мир. 1989. - 328 с.
3. Калоджеро Ф., Дегасперіс А. Спектральні перетворення і солітони. - М.: Мир. 1985. - 472 с.
4. Язки Г.І. Подоба, автомодельності, проміжна асимптотика. - Л.: 1982. - 255 с.
5. Gromak VI Backlund transformations of Painleve 'equations and their applications / / The Painleve' property, one century later. CRM series in Mathematical Physics /. Ed. R. Conte. - New York: Springer-Verlag, 1999. - P.687-734.
6. Airault H. Rational solutions of Painleve 'equations / / Stud. Appl. Math. - 1979. - Vol.61. - P.31-53.
7. Громак В.І., Голубєва Л.Л. Узагальнене другий управління Пенлеве четвертого порядку / / Весцi НАН Беларусi. Сірки фiз. - Мат. Навук. - 2004 (у друку).
8. Кудряшов Н.А. Аналітична теорія нелінійних диференціальних рівнянь. - М. 2002. - 304 с.