Зміст
Введення
§ 1. Основні поняття і приклади
§ 2. Зв'язок систем замикань з операторами замикання
§ 3. Алгебраїчні системи замикань
§ 4. Відповідності Галуа
§ 5. Завдання
Бібліографічний список
Введення
Важливу роль в математиці грає безліч подалгебр даної алгебри щодо відношення включення . Воно утворює повну решітку з деякими характерними властивостями. Поняття замикання також грає важливу роль в алгебрі і топології. У даній дипломній роботі розглядаються основні властивості систем замикань на множинах, взаємозв'язок систем замикань з операторами замикання і відповідниками Галуа. Відповідності Галуа представляють собою досить цікавий клас об'єктів. Вони виникли й отримали свою назву з теорії Галуа, але через деякий час стали застосовуватися не тільки в самій теорії, а й у багатьох інших областях математики. У даній роботі відповідності Галуа будемо розглядати в якості одного з найбільш важливих прикладів систем замикань.
Метою кваліфікаційної роботи є вивчення абстрактних систем замикань на множині.
Завдання:
розглянути поняття системи замикання, проілюструвати це поняття на прикладах;
сформулювати і довести теорему про взаємозв'язок між системами замикань і операторами замикання;
розглянути поняття алгебраїчних систем замикань, сформулювати і довести теорему про опис структури алгебраїчних систем замикань;
розглянути поняття відповідності Галуа, приклади відповідностей Галуа. З'єднати відповідностей Галуа з системами замикань.
Виходячи з мети і завдань, дипломна робота складається з п'яти параграфів. В якості першого кроку введемо необхідні визначення і доведемо ряд простих речень. Цьому приділяється параграф 1.
У пункті 2 доведемо основну теорему про оператора замикань, яка дає прямий вихід на відповідності Галуа.
У частині 3 сформулюємо і доведемо одну з найбільш важливих теорем про структуру алгебраїчних систем замикань.
Параграф 4 буде повністю присвячений відповідностям Галуа: визначення, основні приклади та їх зв'язок з системами замикань.
Останній параграф присвячений вирішенню завдань.
Основний літературою при написанні кваліфікаційної роботи стали монографії Кона П. ([1]) і Куроша А. Г. ([2], [3]). Інші джерела ([4], [5], [6], [7]) використовувалися як додаткова довідкова література.
Для зручності в даній роботі використані такі позначення:
Δ - початок докази;
▲ - кінець докази.
У роботі прийнята наскрізна подвійна нумерація прикладів, де перше число - номер параграфа, а друге - номер прикладу в параграфі.
Основними результатами роботи є:
доказ теореми про взаємозв'язок між системами замикань і операторами замикання: Кожна система замикань D на безлічі A визначає оператор замикання на A за правилом (X) = ∩ {Y
D | Y
X}. Зворотно, кожен оператор замикання на A визначає систему замикань D = {X
A | (X) = X}.
доказ теореми про структуру алгебраїчних систем замикань: Система S (A) подалгебр універсальної алгебри A є алгебраїчною системою замикань. Зворотно, якщо дана алгебраїчна система замикань D на безлічі A, то для відповідного безлічі алгебраїчних операцій Ω можна визначити таку структуру універсальної алгебри на A, що S (A) = D.
встановлення зв'язку відповідностей Галуа з системами замикань на конкретних прикладах.
рішення задач.
§ 1. Основні поняття і приклади
Поняття упорядкованої множини є фундаментальним для сучасної теоретико-множинної математики, тому першим ділом ведемо саме це поняття і поняття з ним пов'язані.
Визначення 1. Нехай L - непорожня множина з бінарним відношенням , Яке є рефлексивним, транзитивним і антисиметричною. Тоді введене відношення - відношення порядку. Безліч L - упорядкований безліч.
Визначення 2. Впорядковане безліч, в якому два елементи порівнянні, називається лінійно-впорядкованим безліччю чи ланцюгом.
Визначення 3. Гратами називається упорядкований безліч, в якому будь-які два елементи мають точну верхню і нижню точну грані.
В якості другого кроку введемо ті визначення та пропозиції, які безпосередньо пов'язані з темою дипломної роботи і якими будемо користуватися надалі.
Визначення 4. Нехай A - довільна безліч і B (A) - його булеан, то є безліч всіх його підмножин. Будемо розглядати деякі підмножини булеан B (A), або системи підмножин безлічі A. Система D підмножин множини A називається системою замикань, якщо саме безліч A належить D і система D замкнута щодо перетинів, тобто
∩ Y D для будь непорожній підсистеми Y
D.
Так як система замикань замкнута щодо довільних перетинів, то з пропозиції 1 випливає, що система замикань є повною решіткою (щодо впорядкованості по включенню). Але це не обов'язково підгратки в B (A), оскільки операція об'єднання в D, взагалі кажучи, відмінна від цієї операції в B (A).
Одним із прикладів системи замикань є наступний:
Приклад 1.1: Система всіх підгруп групи G є системою замикань, так як G є підгрупою в G і перетин будь-якого непорожнього сімейства підгруп групи G саме буде підгрупою в G.
Введемо ще одне важливе поняття - поняття оператора замикання на множині.
Визначення 5. Оператором замикання на безлічі A називається відображення безлічі B (A) в себе, яке підпорядковується наступним трьом аксіомам:
J. 1. X (X);
J. 2. Якщо , То (X)
(Y);
J. 3. (X) = (X)
для всіх X, Y B (A).
Для кожної системи замикань D на безлічі A можна визначити оператор замикання рівністю
(X) = ∩ {Y D | Y
X} для всіх X
A.
Зазначимо, що група аксіом J. 1 - J. 3 є незалежною. Покажемо це.
Наведемо приклад відображення, при якому виконуються аксіоми J. 2, J. 3, а аксіома J. 1 не виконується. Кожному підмножині X безлічі A поставимо у відповідність пусте безліч. Очевидно, що при такому завданні оператора не виконується лише перша аксіома.
Відображення , при якому виконуються тільки аксіоми J. 1, J. 2, визначимо так. Нехай A = {a, b, c}, опишемо оператор наступним чином: кожному елементу поставимо у відповідність безліч, що складається з самого цього елементу і елементу, що знаходиться поруч з ним. Пусте і саме безліч A при цьому відображенні переходять в себе:
, A
A;
{A} {A, b}, {b}
A, {c}
{B, c};
{A, b} A, {a, c}
A, {b, c}
A.
Очевидно, що перша і друга аксіоми виконуються, а третя не виконується, так як (a) = A ≠ {a, b} = (a).
Приклад відображення, при якому не виконується тільки аксіома J. 2 Наст. Нехай A = {a, b, c}. Відображення задамо так: пусте, все двоелементний підмножини і саме безліч A переходять в себе, а всім одноелементні підмножини поставимо у відповідність безліч A:
, A
A;
{A} A, {b}
A, {c}
A;
{A, b} {A, b}, {a, c}
{A, c}, {b, c}
{B, c}.
Очевидно, що аксіома J. 2 не виконується, так як {a} {A, b}, але ({a}) = A
{A, b} = ({a, b}).
Отже, ми показали, що система аксіом J. 1 - J. 3 буде незалежна.
Одним з видів операторів замикання є алгебраїчний оператор замикання. Дамо визначення.
Визначення 6. Оператор замикання на безлічі A називається алгебраїчним, якщо для будь-яких X A і a
A
а (X) тягне a
(F)
для деякого кінцевого підмножини F безлічі X.
З визначенням алгебраїчного оператора замикання тісно пов'язане поняття алгебри замикань.
Визначення 7. Система замикань D на безлічі A називається алгебраїчної, якщо відповідний оператор замикання є алгебраїчним, тобто для будь-якого X A
a {D
D: X
D} тягне a
{D
D: F
D}
для деякого кінцевого F X.
Наведемо один з найбільш важливих прикладів оператора замикання, який широко застосовується в топології. Цей оператор ставить у відповідність кожному підмножині X топологічного простору A його замикання.
Приклад 1.2: Нехай - Топологічний простір. Введемо на множині A відображення
, Задане таким чином: X
[X], де [X] - замикання множини X
A. Покажемо, що
- Оператор замикання на безлічі A.
Для цього перевіримо здійснимість властивостей J. 1 - J. 3.
Якщо X
Y, то [X]
Візьмемо x 0 [X]. Тоді будь-яка околицю точки x 0 містить точки безлічі X
в будь-який околиці точки x 0 містяться точки множини Y
x 0
[Y].
X
Кожна точка множини є його точкою дотику. Отже, кожна точка множини X лежить і в [X].
[[X]] = [X]. Доведемо методом подвійного включення.
[X]
x 0
Візьмемо
U (x 0), для неї
y 0
[X]
Приклад 1.3: Кожному безлічі X точок площини A = R 2 поставимо у відповідність його опуклу оболонку . Ясно, що X
оператор замикання на безлічі A.
Пропозиція 1. Якщо A - таке упорядкований безліч з найбільшим елементом, в якому кожна підмножина має точної нижньою гранню, то A є повною решіткою.
Доказ:
Δ Зауважимо, що якщо кожна підмножина точної нижньою гранню має, отже, їй має і порожня множина, тобто в A існує найбільший елемент.
Потрібно довести, що A - повна решітка, тобто будь непорожнє підмножина має найбільший і найменший елемент.
Розглянемо X A, Y - множина всіх верхніх граней множини X в A і покладемо y = inf Y. Тоді будь-який елемент з X буде нижньою межею множини Y і, отже, x
y для будь-якого x
X; якщо також x
z для будь-якого x
X, то z
Y і, отже, y
z. Тому y = sup X. ▲
Визначення 8. Впорядковане безліч (I, ) Називається спрямованим, якщо для будь-яких i, j
I існує такий елемент k
I, що i
k, j
k, тобто для будь-якого двоелементною безлічі з I існує верхня межа.
Пропозиція 2. Нехай A - упорядкований безліч, тоді наступні три умови еквівалентні:
Кожне непорожнє спрямоване підмножина множини A має точну верхню грань.
Кожна непорожній ланцюг безлічі A має точну верхню грань.
Доказ:
Δ Кожна цілком упорядкована ланцюг є ланцюгом, і кожна ланцюг спрямована, отже, (i) (Ii); щоб закінчити доказ, покажемо, що (ii)
(I). Візьмемо максимальну ланцюг, в ній існує точна верхня грань. Тоді по лемі Цорна і спрямоване підмножина множини A має точну верхню грань. ▲
Пропозиція 3 (лема Цорна). Непорожнє упорядкований безліч, в якому кожна ланцюг має верхньою межею, має максимальний елемент, точніше для будь-якого елемента a з A існує елемент b a, що є максимальним в A.
Лемма Цорна була запропонована в 1935 році. Вона часто замінює міркування, засновані на таких еквівалентних їй принципах, як принцип максимальності Хаусдорфа, аксіома вибору, теорема Цермело про цілком впорядкованості.
Можна показати еквівалентність цих тверджень лемі Цорна, але ми не будемо цього робити, оскільки це не є метою дипломної роботи. Лемма Цорна приймається нами як аксіоми.
§ 2. Зв'язок систем замикань з операторами замикання
В частині 1 було дано визначення систем замикань і операторів замикання. Між ними існує взаємозв'язок. Сформулюємо цей взаємозв'язок як теореми і доведемо її.
Теорема 1. Кожна система замикань D на безлічі A визначає оператор замикання на A за правилом
(X) = ∩ {Y D | Y
X}.
Назад, кожен оператор замикання на A визначає систему замикань
D = {X A | (X) = X}.
Доказ:
Δ 1) Нехай дана система замикань D і оператор , визначений за правилом (X) = ∩ {Y D | Y
X}. Доведемо, що - оператор замикання. Для цього перевіримо здійснимість умов J. 1 - J. 3. Цей оператор задовольняє умовам J. 1 - 2 по визначенню. За умовою, D - система замикань. Тоді
(X) = X X
D, (1)
так як (X) D, то звідси випливає J. 3.
2) Назад, нехай задано оператор замикання (задовольняє J. 1 - 3) і хай
D = {X A | (X) = X}. (2)
Доведемо, що D - система замикань. Якщо (X i) i I - довільне сімейство в D і ∩ X i = X, то X
X i, отже, за J. 1. (X)
(X i) = X i для всіх i, і тому
(X) ∩ X i = X.
Разом з умовою J. 2 це показує, що (X) = X, тобто X D. Таким чином, за допомогою ми побудували систему замикань D.
3) Покажемо, що відповідність D взаємно однозначно.
По-перше, нехай D - довільна система замикань, - оператор, визначений рівністю (X) = ∩ {Y D | Y
X} для всіх X
A, і D '- система замикань, визначена оператором за формулою (2). Тоді D ' = D в силу (1). Візьмемо потім довільний оператор замикання , і нехай D - система замикань, визначена оператором за формулою (2), а '- Оператор, визначений системою D за формулою (X) = ∩ {Y
D | Y
X}. Як тільки що було показано, D тоді також визначається оператором ', І, отже,
(X) = X '(X) = X. (3)
В силу J. 3, (X) = (X), тому з (3) випливає, що ' (X) = (X). Але X (X) і, застосовуючи 'Отримуємо ' (X)
' (X) = (X), а зворотне включення випливає з міркувань симетрії. ▲
Системи замикань і оператори замикання можуть бути визначені на будь повної решітці L і співвідношення між ними, встановлені в теоремі 1, зберігаються.
Насправді теорема 1 є окремим випадком відповідної теореми (при L = B (A)) для довільної повної решітки L.
Елементи системи D називаються замкненими множинами множини A, а (X) називається замиканням множини X в A ( (X) насправді замкнуто в силу J. 3). Як було відзначено, D є повною гратами щодо . Точніше, якщо задано деяке сімейство (X i) i
I в D, то безліч ∩ X i буде найбільшим замкнутим безліччю, що містяться у всіх множинах X i, а ∩ {Y
D | Y
X i для всіх i
I} - найменшим замкнутим безліччю, що містить всі множини X i.
§ 3. Алгебраїчні системи замикань
Почнемо з поняття алгебраїчної операції.
Нехай A - універсальна алгебра з безліччю алгебраїчних операцій Ω. Кожна операція ω з Ω має певну арность n, n N
{0}.
Для будь-якого натурального n n-арная операція ω - це відображення з A n в A, тобто кожній впорядкованої n-ке {a 1; ...; a n} A n операція ω ставить у відповідність однозначно певний елемент ω (a 1; ...; a n) з A.
У разі п = 1 це буде будь-яке перетворення безлічі A (відображення A в себе).
Якщо n = 0, то a 0 - це одноелементні безліч і 0-арная операція ω переводить елемент a 0 в певний елемент ω (a 0) = ω з A, тобто 0-арная операція ω фіксує певний елемент в A: є деяким виділеним елементом алгебри A.
Якщо дана універсальна алгебра A з безліччю алгебраїчних операцій Ω, то підмножина B A називається подалгеброй алгебри A, якщо воно замкнуто щодо всіх операцій з Ω. Іншими словами, для будь-якого ω
Ω, n
1, і будь-яких а 1, а 2, ..., а п
B повинно бути
ω (а 1, а 2, ..., А п) B.
З іншого боку, елементи, що відзначаються в A усіма 0-арнимі операціями з Ω (якщо такі існують), повинні міститися в подалгебре B.
Очевидно, що перетинання будь-якої системи подалгебр універсальної алгебри A, якщо воно не порожньо, буде подалгеброй цієї алгебри.
Звідси випливає, що якщо X - непорожня підмножина алгебри A, то в A існує найменша серед подалгебр, що містять цілком безліч X. Тобто існує найменша подалгебра в A, що містить X і вона дорівнює перетину всіх подалгебр алгебри A, що містять X. Позначимо її через і назвемо подалгеброй, породженою безліччю X.
Варто зазначити, що перетинання подалгебр може бути порожнім, якщо безліч алгебраїчних операцій Ω алгебри не містить 0-арних операцій.
Зауважимо, що система S (А) всіх подалгебр алгебри A є алгебраїчною системою замикань, то є відповідний оператор замикання X
є алгебраїчним.
Очевидно, що відповідність X
є оператором замикання. Перевіримо, чи є він алгебраїчним.
Візьмемо a
, Тоді a буде належати і
, Де
- Кінцеве підмножина безлічі X, так як елемент a виходить шляхом застосування кінцевого числа конечноместних n-арних операцій ω
Ω.
Справедливо і зворотне твердження:
Якщо D - довільна алгебраїчна система замикань на безлічі A, то для відповідного набору алгебраїчних операцій Ω і відповідної структури універсальної алгебри на A, маємо S (A) = D.
Для доказу позначимо через (X) оператор замикання для алгебри замикань D на безлічі A. Задамо алгебраїчні операції на A наступним чином. Кожній n-ке a 1, ..., a n A, де n
N, і безпідставного елементу b
({a 1, ..., a n}) поставимо у відповідність свою n-арную операцію ω, визначену таким правилом:
ω (x 1, ..., x n) = (4)
Це визначає структуру універсальної алгебри на A, де для кожного натурального числа n операції з Ω задані формулою (4). Таким чином визначено нескінченно багато алгебраїчних операцій на безлічі A, якщо A нескінченно.
Нехай Ω (X) = - Оператор замикання, відповідний системі S (A) подалгебр універсальної алгебри A. Перевіримо, що (X) = Ω (X).
Нехай X A і припустимо спочатку, що X звичайно, тобто X = {C 1, ..., c m}. Тоді (X)
Ω (X) з визначення (4) алгебраїчних операцій ω.
C іншого боку, так як (X) = (X), то для будь-n-ки a 1, ..., a n (X) і для будь-n-арної операції ω
Ω ω (a 1, ..., a n)
({a 1, ..., a n})
(X) = (X). Тому (X) є подалгеброй алгебри
і, значить, Ω (X)
(X).
Нехай тепер X - довільна підмножина множини A, тоді, так як обидва оператори замикання (X) і Ω (X) - алгебраїчні (перший за припущенням, а другий в силу доведеного вище), маємо
(X) = (X ') =
Ω (X ') = Ω (X),
де X 'пробігає кінцеві підмножини множини X.
Отже, доведено наступний результат:
Теорема 2. Система S (A) подалгебр універсальної алгебри A є алгебраїчною системою замикань. Зворотно, якщо дана алгебраїчна система замикань D на безлічі A, то для відповідного безлічі алгебраїчних операцій Ω можна визначити таку структуру універсальної алгебри на A, що S (A) = D.
Отриманий результат вище можна використовувати при побудові оператора замикання Ω (X), відповідного системі S (A) подалгебр універсальної алгебри A.
Зазначимо, що приклади 1 і 3 дають алгебраїчні системи замикань, а система замкнутих множин топологічного простору (приклад 2), як правило, не алгебраїчна.
§ 4. Відповідності Галуа
Відповідності Галуа можуть визначаться різними взаємозв'язками, що є між різними поняттями. Нам буде найбільш цікавий той факт, що відповідності Галуа є одним з найбільш важливих прикладів систем замикань.
Для початку сформулюємо поняття відповідності Галуа.
Нехай M і M 'впорядковані множини, в яких відношення порядку позначаються однаково . І нехай зазначені відображення
φ: M M 'і ψ: M'
M, задовольняють (для будь-яких a, b
M, a ', b'
M ') наступним вимогам:
якщо a
b, то aφ
bφ,
якщо a ' b ', то a 'ψ
b 'ψ,
aφψ
Тоді пара (φ, ψ) називається відповідністю Галуа між впорядкованими множинами M і M '.
Дане визначення найбільш загальне і формальне.
Розглянемо тепер більш конкретне завдання відповідності Галуа, переобозначив відображення φ і ψ однаково - символом *. Але при цьому будемо мати на увазі, що ці відображення все-таки різні.
Нехай A і B - деякі множини і Ф - відповідність з A в B, тобто підмножина прямого твори A B. Для будь-якої підмножини X безлічі A визначимо підмножина X * безлічі B рівністю
X * = {y B | (x, y)
Ф для всіх x
X}
і аналогічно для будь-якої підмножини Y множини B визначимо підмножина Y * безлічі A рівністю
Y * = {x A | (x, y)
Ф для всіх y
Y}.
Таким чином, маємо відображення
X X *, Y
Y * (5)
множин B (A), B (B) один в одного, що володіють такими властивостями:
якщо X 1 X 2, то X 1 *
X 2 *; (6)
якщо Y 1 Y 2, то Y 1 *
Y 2 *;
X X **, Y
Y **; (7)
X *** = X *, Y *** = Y *. (8)
Умови (6) і (7) випливають безпосередньо з визначень; якщо (6) застосувати до (7), отримуємо X * X ***, в той час як (7), застосоване до X *, дає протилежне нерівність. Таким чином, будь-які відображення (5), задовольняють (6) і (7), задовольняють також (8).
Пара відображень (5) між булеанамі B (A) і B (B) з відношенням включення , Або в більш загальному випадку між якими впорядкованими множинами, називається відповідністю Галуа, якщо виконуються умови (6), (7) (і, отже, (8)).
Наведемо найбільш цікаві приклади відповідностей Галуа.
Приклад 4.1: Нехай R - коммутативное кільце з одиницею. Визначимо відповідність в R правилом x y. Ця відповідність встановлює, зокрема, відповідність Галуа між простими ідеалами кільця R і деякими мультиплікативно замкнутими підмножинами кільця R.
Ідеал P кільця R назвемо простим, якщо для a, b
R: a ∙ b
P
a
P або b
P.
Візьмемо простий ідеал P кільця R. Поставимо йому у відповідність безліч P * = {y R: x
y для всіх x
P} = R \ P - замкнутий щодо множення.
Візьмемо мультиплікативно замкнута підмножина Y. Поставимо йому у відповідність безліч Y * = {X R: x
y для всіх y
Y} = R \ Y - простий ідеал.
Покажемо здійснимість властивостей.
Якщо P 1 P 2, то R \ P 1
R \ P 2 - очевидно, тому що R \ P 1 є доповненням до P 1, а R \ P 2 - доповненням до P 2. Аналогічно для Y 1
Y 2.
Візьмемо підмножина P з безлічі простих ідеалів R. Поставимо йому у відповідність безліч P * = R \ P, а P * поставимо у відповідність P ** = R \ (R \ P) = P P
P **.
Аналогічно доводяться ці властивості для Y 1 Y 2.
Таким чином, побудоване відповідність є відповідність Галуа.
Приклад 4.2: У кільці A кожному його підмножині X відповідає (лівий) аннулятор, що складається з тих елементів a A, для яких a ∙ x = 0 для кожного x з X:
Ann Х = {a A |
x
X a ∙ x = 0}.
Для підмножини X безлічі A визначимо підмножина X * безлічі A рівністю
X * = {a A | a ∙ x = 0 для всіх x
X} = Ann Х
і аналогічно для будь-якого ідеалу I кільця A визначимо підмножина I * безлічі A рівністю
I * = {x A | a ∙ x = 0 для всіх a
I} = Ann I.
Зауважимо, що в цьому прикладі Ф = {(a, b) A 2 | a ∙ b = 0}.
Таким чином, побудовані відображення X X * = Ann Х, I
I * = Ann I. Перевіримо, чи є побудоване відповідність відповідністю Галуа.
Нехай X 1
Ann Х 1 = {a
Поставимо безлічі X у відповідність безліч X * = Ann Х = I, а X * поставимо у відповідність I * = Ann I = Ann (Ann Х). Якщо x
Аналогічно отримуємо I I **, якщо поставити безлічі I у відповідність безліч I * = Ann I = X, а I * Поставити у відповідність X * = Ann X = Ann (Ann I).
Таким чином, побудоване відповідність є відповідність Галуа.
Приклад 4.3: У групі G кожному підмножині A відповідає централизатор C, який складається з усіх елементів c, комутуючих з кожним елементом a з A:
C = {c G: для всіх a
A a · c = c · a}.
Приклад 4.4: У евклідовому просторі V кожному підмножині A безлічі V відповідає безліч, що складається з усіх векторів, ортогональних векторів з A:
A = {A
A: для всіх x
V x
a},
так що визначена зв'язок Галуа для підмножин V. Тут x a означає рівність 0 скалярного твору (x, a).
Останні два приклади обгрунтовуються аналогічно прикладу 4.2.
Щоб встановити зв'язок відповідностей Галуа з системами замикань, зауважимо, що за будь відповідно Галуа відображення X X ** буде оператором замикання в A, а Y
Y ** оператором замикання в B (в силу (7) - (9)). При цьому відображення X
X *, Y
Y * визначають взаємно однозначна відповідність між двома цими системами замикань.
Щоб мати більш безпосередній опис алгебраїчних систем замикань, нам необхідно ще одне визначення.
Визначення 8. Непорожній система D підмножин множини A називається індуктивним, якщо кожна ланцюг в D володіє точною верхньою межею в D.
В силу пропозиції 2 (застосованого до B (A)) слово «ланцюг» тут можна замінити словами «спрямоване безліч».
Таким чином, ми отримали наступну характеризацію алгебраїчних систем замикань:
Теорема 3. Система замикань є алгебраїчною тоді і тільки тоді, коли вона індуктивно.
Доказ:
Δ Нехай D - алгебраїчна система замикань на деякій множині, K - ланцюг в D і K = sup K. Для доказу включення K D потрібно тільки перевірити, що (H)
K для кожного кінцевого підмножини H безлічі K. Нехай H = {x 1, ..., x n}; тоді кожне x i належить деякому члену ланцюга K, а так як K - ланцюг, то можна знайти член L
K, що містить всі x i. Тоді H
L
K і L
D; отже, (H)
(L) = L
K, тобто (H)
K, що ми і хотіли показати.
Назад, нехай D - індуктивна система замикань на A і - відповідний оператор замикання. Потрібно показати, що для будь-якого X A
(X) = sup { (F) | F X, F звичайно}.
Нехай K = { (F) | F X, F звичайно} для фіксованого X
A; тоді потрібно показати, що sup K
D. Звідси буде випливати, що sup K = (X), оскільки sup K є найменшим замкнутим безліччю, що містить всі елементи множини X. Тепер для будь-яких Y, Z
A маємо
(Y) (Z)
(Y
Z),
і якщо Y, Z - кінцеві підмножини множини X, то Y Z також звичайно. Це показує, що K направлено, і, отже, sup K
D, що і стверджувалося. ▲
Використовуючи пропозицію 2, отримуємо
Слідство 1. Якщо D - алгебраїчна система замикань на A і K - спрямована підсистема системи D, то sup K D.
Доказ:
Δ З леми Цорна випливає, що кожна непорожній індуктивна система підмножин множини A містить максимальну підмножину.
Це призводить до слідства 2 з теореми 2, в якому містяться найбільш важливі застосування леми Цорна до алгебри.
Наслідок 2. Нехай D - алгебраїчна система замикань в A, і нехай A 0, A 1, B - такі підмножини множини A, що B D і B
A 1 = A 0. Тоді D містить елемент C, який є максимальним в D щодо властивостей C
B, C
A 1 = A 0.
Доказ:
Δ Для доказу цього твердження візьмемо систему D 'всіх таких множин X D, що X
B і X
A 1 = A 0, і покажемо, що D 'володіє максимальним елементом. По-перше, D '≠
, Так як B
D '. Нехай тепер (X i) - деяка ланцюг в D 'і покладемо X = sup X i. Тоді X
D, так як система D індуктивно. Далі X
B і X
A 1 = A 0; тому X
D '. Таким чином, система D 'індуктивності, і по лемі Цорна D' володіє максимальним елементом. ▲
§ 5. Завдання
Завдання 1. Установити, що при відповідності Галуа X X *, Y
Y * виконується тотожність (
X i) * =
X i *, для довільних сімейств підмножин (X i) i
I.
Рішення:
Без обмеження спільності візьмемо дві множини X 1 і X 2 і покажемо, що (X 1 X 2) * = X 1 *
X 2 *.
Безлічі X 1 поставимо у відповідність безліч X 1 *:
X 1 * = {y 1 B | (x 1, y 1)
Ф для всіх x 1
X 1}.
Аналогічно для безлічі X 2:
X 2 * = {y 2 B | (x 2, y 2)
Ф для всіх x 2
X 2}.
Нехай X 3 = X 1 X 2. Тоді (X 1
X 2) * або X 3 * буде мати наступну структуру: X 3 * = {y 3
B | (x 3, y 3)
Ф для всіх x 3
X 3} або іншими словами це такі y 3 з B, що пари (x 1, y 3) і (x 2, y 3) повинні належати відповідності Ф одночасно для всіх x 1 і x 2 з X 1
X 2. Тобто безліч елементів y 3 з B це безліч, що складається з елементів y 1
X 1 * і y 2
X 2 *, які одночасно повинні задовольняти співвідношенням (x 1, y 1)
Ф, (x 1, y 2)
Ф, (x 2, y 1)
Ф, (x 2, y 2)
Ф. Тобто елементи y 3 належать перетинанню множин X 1 * і X 2 *, що потрібно було показати.
Завдання 2. Нехай X H (X) - довільне відображення множини B (A) в себе. Показати, що (X) = H (X)
X визначає оператор замикання тоді і тільки тоді, коли X
(Y) тягне (X)
(Y).
Рішення:
доведемо пряме твердження: якщо (X) = H (X)
X визначає оператор замикання тоді X
Нехай X (Y), тобто X
H (Y)
Y. Оскільки за умовою (Y) = H (Y)
Y - оператор замикання, то для нього виконуються аксіоми J. 1 - J. 3. Застосуємо аксіому J. 1 до X
H (Y)
Y і аксіому J. 3 до ( (Y)):
X H (Y)
Y
H (X)
X
H (H (Y)
Y)
(H (Y)
Y)
H (X)
X
H (Y)
Y. Тобто (X)
(Y).
доведемо зворотне твердження: якщо X
Для доказу зворотного твердження, необхідно перевірити здійснимість аксіом J. 1 - J. 3 оператори замикання.
Для початку доведемо допоміжне твердження про те, що Y X * тоді і тільки тоді, коли X
Y *.
Доказ:
Δ Доведемо пряме твердження.
Нехай Y X *. Тоді, застосувавши до нього властивість (7), отримаємо Y *
X **. За властивості (7) маємо включення X
X **. Отже, отримуємо X
X **
Y * або X
Y *.
Доведемо зворотне твердження.
Нехай X Y *. Тоді X *
Y **
Y ▲
J. 1: нехай X Y і Y
(X), тоді по доведеному вище твердженням включення Y
(X) рівносильним чином можна замінити на X
(Y). Отримаємо, що X
X
(Y) або X
(Y). Тоді за умовою пункту b) завдання X
(Y) тягне (X)
(Y). Отже, якщо X
Y, то (X)
(Y).
J. 2: нехай X Y і Y
(X) за твердженням, значить, X
(X).
J. 3: по J. 2 X (X). Застосуємо до нього властивість (7), отримаємо (X)
(X). Застосуємо це ж властивість до X
(Y)
(X)
(Y), отримаємо (X)
(Y)
(X)
(Y). Далі за твердженням Y
(X)
(Y)
(X). Отримали (Y)
(X)
(Y). При цьому (Y)
(X) (за твердженням). Отже, ми отримуємо зворотне включення (X)
(X). Тим самим отримали, що (X) = (X).
Отже, (X) = H (X) X - оператор замикання.
Завдання 3. Показати, що багато всіх предупорядоченностей ρ на безлічі A є алгебраїчною системою замикань. Чи вірно це для безлічі всіх впорядкованості?
Рішення:
Непорожня множина назвемо предупорядоченним, якщо введене на ньому бінарне відношення ρ рефлексивно і транзитивній. Таке ставлення ρ називається відношенням предпорядка на A.
Нехай X A
A, або X
B (A
A). Позначимо через J (X) перетин всіх предпорядков на A, що містять X:
J (X) = {Ρ - предпорядок на A: X
ρ}.
Так як при перетині бінарних відносин на безлічі властивості рефлексивності і транзитивності зберігаються, то J (X) - найменший предпорядок на A, що містить X. Ясно, що A A є предпорядком на A. Тому система всіх предпорядков на A є системою замикань на цій множині.
Залишається перевірити, чи буде система предпорядков алгебраїчній. Для цього візьмемо довільну пару (a, b) J (X), де X
A
A. Предпорядок J (X) виходить з безлічі пар X додаванням пар виду (c, c), де c
A, і його розширенням за транзитивності: якщо вже отримані пари (d, e) та (e, f), то додаємо і пару (d, f). При цьому пара (a, b) в результаті послідовного застосування розширень по рефлексивності і транзитивності належить кінцевому безлічі пар F
X. Отже, (a, b)
J (F).
Для безлічі всіх впорядкованості вірно лише в тому випадку, коли множина A містить один елемент. Інакше, не виконується властивість антисиметричність.
Задача 4. Показати, що сукупність всіх алгебраїчних систем замикань на даній безлічі A є системою замикань на B (A). Чи завжди ця система замикань буде алгебраїчній?
Рішення:
Очевидно, що багато всіх алгебраїчних систем замикання на даній безлічі A є системою замикання на булеане B (A). Щоб показати, чи є ця система алгебраїчній, скористаємося теоремою 2.
Будемо вважати, що є сімейство алгебр , I
I. Кожній з них поставлена система подалгебр S (
). Перетинанню відповідних систем замикань відповідає алгебра
, При Ω =
. Для довільного підмножини X в A розглянемо подалгебру
алгебри
. І візьмемо елемент a з
. Елемент a виражається через кінцеве безліч
елементів з
за допомогою послідовного застосування кінцевого числа операцій з Ω. Отже, a належить замиканню
.
Бібліографічний список
Кон П. Універсальна алгебра - М.: Мир, 1968. - 352 с.
Курош А. Г. Лекції з загальної алгебри - М.: Наука, 1973. - 400 с.
Курош А. Г. Курс вищої алгебри - СПб.: Лань, 2006. - 432 с.
Оре О. Теорія графів - М.: Наука, 1968. - 336 с.
Загальна алгебра. Т. 1 / під заг. ред. Л. А. Скорнякова - М.: Наука, 1990. - 592 с.
Постніков М. М. Теорія Галуа - М.: Видавництво фізико-математичної літератури, 1963. - 220 с.
Ризі Ж., Бінарні відносини, замикання, відповідності Галуа / / Кібернетичний збірник / під ред. А. А. Ляпунова, О. Б. Лупанова. - Вип. 7. - М.: Видавництво іноземної літератури, 1963. - С. 129-185.