МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ
Заклад освіти
"Гомельський державний університет
імені Франциска Скорини "
Математичний факультет
Кафедра алгебри та геометрії
Курсова робота
Алгебраїчна ГРУПИ МАТРИЦЬ
Виконавець:
студентка групи H.01.01.01 М-42
Мариненко В.В.
Науковий керівник:
доктор фізико-математичних наук,
професор Скиба С.В.
Гомель 2003
Зміст
Введення
1. Алгебраїчні групи матриць
1.1 Приклади алгебраїчних груп матриць
1.2 Про півгрупа
1.3 Компоненти алгебраїчної групи
1.4 О-групах
2 рангу матриці
2.1 Повернення до рівнянь
2.2 Ранг матриці
2.3 Критерій спільності
3 лінійних відображення. Дії з матрицями
3.1 Матриці і відображення
3.2 Твір матриць
3.3 Квадратні матриці
Висновок
Список використаних джерел
Введення
Безліч 
матриць 
-Го ступеня над 
будемо розглядати як Афінний простір 
з наявної на ній поліноміальної топологією. Алгебраїчні групи матриць визначаються як невироджені частини алгебраїчних множин з , Що є групами щодо звичайного матричного множення. Найпростіший приклад такої групи - загальна лінійна група 
. У цьому параграфі ми почнемо систематичне вивчення алгебраїчних матричних груп.
Всі топологічні поняття відносяться до поліноміальної топології; риса позначає замикання в , Дієз - замикання в , Бемоль - взяття невиродженої частини, тобто 
- Сукупність всіх невироджених матриць із 
. Іноді, допускаючи вільність, ми вживаємо для груп ті ж поняття, що і для підлягають алгебраїчних множин, - наприклад, говоримо про загальні точках груп; це не повинно викликати непорозумінь.
1. Алгебраїчні групи матриць
1.1 Приклади алгебраїчних груп матриць
Класичні матричні групи - загальна, спеціальна, сімплектіческая і ортогональна:
де 
- Одинична матриця і штрих позначає транспонування.
Діагональна група 
, Групи клітинно-діагональних матриць даного виду. Трикутна група 
(Для визначеності --- з нижнім нульовим кутом), унітреугольная група 
(Трикутні матриці з одиничною діагоналлю), групи клітинно-трикутних матриць даного виду.
Централизатор довільного безлічі з в алгебраїчній групі 
, Нормалізатор замкнутого безлічі з в .
Перетин всіх алгебраїчних груп, що містять дане безліч матриць 
з --- Алгебраїчна група. Вона позначається 
і називається алгебраїчної групою, породженою безліччю .
Кожну алгебраїчну лінійну групу з можна ізоморфно --- в сенсі множення і поліноміальної топології --- ототожнити із замкнутою підгрупою з 
в силу формули
Таке ототожнення дозволяє при бажанні обмежитися розглядом тільки таких груп матриць, які самі є алгебраїчними множинами (а не їх невиродженими частинами). Це дає інше виправдання тим вольностям в термінології, які згадувалися на початку параграфа.
Безліч всіх матриць із , Що залишають інваріантної задану невироджених білінійну форму 
на 
.
Нехай --- Алгебра над кінцевої розмірності (Байдуже, асоціативна чи ні), 
--- Група всіх її автоморфизмов. Фіксуючи в якусь базу 
і зіставляючи автоморфізмом алгебри їх матриці в цій базі, ми отримаємо на будова алгебраїчної групи. Дійсно, нехай
т. е. 
--- Структурні константи алгебри . Нехай далі
де 
. Тоді задається в матричних координатах 
очевидними поліноміальними рівняннями, що випливають з співвідношень
Вказати в наведених вище прикладах визначають рівняння, знайти спільну точку, якщо вона є.
Надалі нам зустрінеться ще багато прикладів і конструкцій алгебраїчних матричних груп.
1.1.1 Якщо матрична група містить алгебраїчну підгрупу 
кінцевого індексу, то сама алгебраїчна.
Доказ. Нехай 
- Аннулятор групи в 
, 
- Його корінь у . Треба показати, що 
. Нехай, навпаки, 
. Нехай 
- Суміжні класи по . Для кожного 
виберемо многочлен
і покладемо
Очевидно, 
, 
. Отримали суперечність.
Нехай --- Алгебраїчна група, 
, 
--- Підмножина і замкнута підмножина з . Тоді безлічі
де 
, Замкнуті. Якщо теж замкнуто і 
--- Спільне поле квазіопределенія для , , , То 
, 
, 
квазіопределени над . Зокрема, якщо існує хоча б одне 
з умовою 
(Відповідно, 
, 
), То можна вважати, що 
(Див. 7.1.5).
Якщо на безлічі 
виконується теоретико-групове тотожність 
, То воно виконується і на його замиканні 
. Зокрема, комутативність, розв'язність, нільпотентні матричної групи зберігаються на її замиканні в поліноміальної топології.
1.2 Про півгрупа
Визначимо дію елементів з на раціональні функції з 
, 
, Вважаючи
Для кожного 
відображення 
(Зсув аргументу) є автоморфізм поля . Відображення 
є ізоморфізм повної лінійної групи до групи автоморфізмів розширення 
.
Має місце наступна пропозиція.
1.2.1 Всі замкнуті (в поліноміальної топології) напівгрупи з є групами. Більш общно: замикання довільній напівгрупи --- Група. Більш точно: якщо --- Аннулятор в , То збігається з
Тут замість 
можна написати 
.
Доказ. По-перше, 
і, значить, 
. Дійсно, якщо 
, і 
, То 
, Т. е. . Підпростір 
многочленів з ступеня 
відображається оператором 
на себе, так як воно скiнченновимiр-, а опрератор звернемо. Але тоді і все відображається на себе, як об'єднання всіх .
По-друге, 
, Т. е. 
для кожного . Дійсно, нехай . За вже доведеним, 
. Знайдемо 
з умовою 
. Тоді 
.
По-третє, 
, Т. е. 
для всіх , 
. Дійсно, 
. Пропозиція доведено.
Таким чином, теорія алгебраїчних напівгруп з вичерпується теорією алгебраїчних груп.
Відзначимо ще одну корисну пропозицію.
1.2.2 Нехай алгебраїчна група непріводімий, т. е. 
--- Різноманіття, --- Густе підмножина, щільне в . Тоді кожен елемент є твором двох елементів з ; Зокрема, якщо --- Підгрупа, то вона збігається з .
Доказ. Безлічі 
і 
теж густі і щільні, тому перетин 
непорожній (див. п. 8.2).
Якщо --- Півгрупа з , То 
.
1.3 Компоненти алгебраїчної групи
Нехай --- Алгебраїчна група матриць. Невироджені частини компонент її підлягає різноманіття називаеются компонентами групи . наявність в групової структури дозволяє висловити про компоненти ряд важливих тверджень, відсутніх у разі довільного різноманіття.
1.3.1 Теорема. Нехай --- Алгебраїчна група матриць. Її компонента 
, Що містить одиницю, єдина і є нормальною підгрупою. Інші компоненти --- суміжні класи по (Зокрема, вони є зв'язковими компонентами групи в поліноміальної топології). --- Єдина зв'язкова замкнута підгрупа кінцевого індексу в . Аннулятор 
компоненти пов'язаний з аннулятором всієї групи наступним чином:
для деякого 
, Що залежить від 
, Де --- Аннулятор одиниці в , 
--- Деякий многочлен з 
.
Доказ. а) Нехай --- Спільне поле визначення всіх компонент 
групи . Нехай , 
містять одиницю , 
, 
--- Їх незалежні загальні точки над і , 
. Маємо спеціалізації
над , Звідки 
, 
, 
. Цим доведено єдиність компоненти .
б) Очевидно, що відображення
є гомеоморфізмом простору . Так як інваріантна щодо них, то --- Нормальна підгрупа групи .
в) Нехай 
. Тоді 
при фіксованому 
--- Знову всі компоненти групи . Зокрема, 
, 
. Цим доведено, що --- Суміжні класи по і, значить, зв'язкові компоненти групи .
г) Якщо --- Зв'язкова замкнута підгрупа групи , То, попередньому, 
. Якщо, крім того, кінцевого індексу, то вона тієї ж розмірності, що й , Тому збігається з .
д) Для кожного 
візьмемо многочлен
Нехай 
--- Точка з , В якій 
. Розглянемо многочлен
Він шуканий. Справді, очевидно, 
. Обидва включення справа наліво очевидні (використовувати простоту ідеалу ). Залишається довести включення
Нехай 
, . Маємо:
Якщо 
, То 
, Якщо ж 
, , То 
. У будь-якому випадку 
. Отже, 
. Теорема доведена.
Ми бачимо, зокрема, що для алгебраїчної групи неприводимого і зв'язність у поліноміальної топології --- одне і те ж; надалі ми будемо користуватися лише другим терміном, щоб уникнути плутанини з поняттям матричної приводимості груп (до полураспавшейся формі).
Довести, що пов'язана компонента одиниці алгебраїчної групи міститься в будь-якої замкнутої підгрупі кінцевого індексу.
Підгрупа алгебраїчної групи тоді і тільки тоді замкнута, коли замкнуто її перетин із зв'язковою компонентою одиниці .
<<Тільки тоді>> очевидно. <<Тоді>> випливає з 9.1.9, якщо зауважити, що
Кінцева нормальна підгрупа зв'язковий алгебраїчної групи завжди лежить в центрі 
.
На закінчення відзначимо, що якщо в якості універсальної області вибрано поле комплексних чисел 
, То в алгебраїчній групі можна розглядати дві топології --- поліноміальну і евклидову. Ясно, що друга тонше першою, тому, зокрема, евклідова зв'язкова компонента одиниці міститься в поліноміальної зв'язковий компоненті. Можна було б довести і зворотне, тобто насправді зв'язкові компоненти комплексної алгебраїчної групи в обох топологіях одні й ті ж. Цей результат стає невірним, якщо розглядати 
-Порцію комплексної алгебраїчної групи (з приводу визначення див. наступний пункт).
1.4. Про -Групах
Нехай - Поле. За визначенням, алгебраїчна -Група --- це група матриць з 
, Що виділяється поліноміальними рівняннями з коефіцієнтами в . Інакше можна сказати, що це -Порція, тобто перетин з 
, Деякою алгебраїчної групи, квазіопределенной над . Звичайні алгебраїчні групи теж можна трактувати як -Групи по відношенню до деякої більшої універсальної області 
. У цьому розумінні поняття алгебраїчної -Групи є більш загальним, так як від не потрібно ні алгебраїчної замкнутості, ні нескінченної ступеня трансцендентності над простим полем.
У властивостях алгебраїчних груп і -Груп багато спільного. Є сандартний спосіб переходу від перших до других --- допомогою поля визначення (в чому і полягає основне значення цього поняття). Нам не раз випаде можливість продемонструвати цей спосіб. У цілому ж -Групи в нашому викладі залишаться на задньому плані, лише іноді виходячи на авансцену.
Багато результати про -Групах за формулюванням і доведенню цілком аналогічні результатам про абсолютні алгебраїчних групах (в ) І спираються на відомості з алгебраїчної геометрії для -Множин, (за визначенням, алгебраїчне -Безліч виділяється в 
рівняннями з коефіцієнтами з ).
2 рангу матриці
2.1 Повернення до рівнянь
В арифметичному лінійному просторі 
стовпців висоти 
розглянемо векторів
та їх лінійну оболонку 
. Нехай дадуть ще один вектор 
. Питається, чи належить 
підпростір 
, А якщо належить, то яким чином його координати 
виражаються через координати векторів 
. У випадку 
друга частина питання відноситься до значень координат вектора в базисі 
. Ми беремо лінійну комбінацію векторів з довільними коефіцієнтами 
і складаємо рівняння 
. Наочний вигляд цього рівняння
??
є лише інша запис системи з лінійних рівнянь з невідомими:
??
Перше враження таке, що ми повернулися до вихідних позицій, втративши час і нічого не вигравши. Насправді ж ми маємо тепер поруч важливих понять. Залишилось придбати навички у поводженні з ними.
У цьому місці зручно домовитися в позначеннях. Надалі для скорочення запису ми часто будемо позначати суму 
значком 
. При цьому 
--- Величини довільної природи (числа, вектори-рядки і т. д.), для яких виконані всі закони додавання чисел або векторів. Правила
досить зрозумілі, щоб їх треба було роз'яснювати. Розглядатимуться також подвійні суми,
в яких порядок підсумовування (по першому і по другому індексом) можна вибирати за своїм бажанням. Це легко зрозуміти, якщо розташувати величини 
в прямокутну матрицю розміру 
: В нашій волі починати підсумовування елементів матриці по рядках або по стовпцях.
Інші можливі типи підсумовування будуть пояснюватися в потрібному місці.
2.2 Ранг матриці
Назвемо простором стовпців прямокутної матриці розміру введене вище простір , Яке ми будемо позначати тепер символом 
або просто 
(В --- вертикальний). Його розмірність 
назвемо рангом по стовпцях матриці . Аналогічно вводиться ранг по рядках матриці : 
, Де 
--- Підпростір в 
, Натягнуте на вектори-рядки 
, 
(Г --- горизонтальний). Іншими словами,
- Ранги систем векторів-стовпчиків і відповідно векторів-рядків. По теоремі про існування кінцевого базису у підпростору 
величини 
і 
визначені правильно.
Будемо говорити, що матриця 
отримана з за допомогою елементарного перетворення типу (I), якщо 
для якоїсь пари індексів 
і 
для 
. Якщо ж для всіх 
і 
, 
, То говоримо, що до застосовано елементарне перетворення типу (II).
Зауважимо, що елементарні перетворення обох типів оборотні, тобто матриця , Що виходить з за допомогою одного елементарного перетворення, переходить знову в шляхом застосування одного елементарного перетворення, причому того ж типу.
2.2.1 Лемма. Якщо матриця отримана з прямокутної матриці шляхом застосування кінцевої послідовності елементарних перетворень, то мають місце рівності:
(I) 
(Ii) 
Доказ. Досить розглянути той випадок, коли отримана з шляхом застосування одного елементарного перетворення (скорочено е.. п.).
(I) Так як, очевидно, 
, То е. п. типу (I) не змінює 
. Далі, 
і, отже, 
, Так що не змінюється і при е.. п. типу (II).
(Ii) Нехай 
--- Стовпці матриці . Нам потрібно довести, що
Тоді будь-якої, в тому числі і максимальною, незалежній системі стовпців однієї матриці буде відповідати незалежна система стовпців з тими ж номерами іншого матриці, чим і встановлюється рівність 
. Зауважимо ще, що в силу оборотності елементарних перетворень досить довести імплікації в одну сторону. Нехай, наприклад, 
. Тоді, замінюючи в (1) на 
і все 
на 0, ми бачимо, що 
--- Рішення однорідної системи ОС, асоційованої з лінійною системою (2). За відповідною теоремі це рішення буде також рішенням однорідної системи 
, Що виходить з ОС за допомогою е.. п. типу (I) або (II) і має за матрицею якраз матрицю . Так як система коротко записується у вигляді 
, То ми приходимо до співвідношення 
Основним результатом цього параграфа є наступне твердження:
2.2.2 Теорема. Для будь-якій прямокутній -Матриці справедливо рівність 
(Це число називається просто рангом матриці і позначається символом 
).
Доказ. Т. к. кінцевим числом елементарних перетворень, що здійснюються над рядками 
, Матрицю можна привести до східчастого увазі:
??
з 
. Згідно лемі 
так що нам достатньо довести рівність 
.
Стовпці матриць і 
з номерами 
, Що відповідають головним невідомим 
лінійної системи (2), будемо називати базисними стовпчиками. Ця термінологія цілком виправдана. Припустивши наявність співвідношення
зв'язує вектори-стовпці 
, 
, 
матриці (3), отримаємо послідовно: 
, 
, 
, 
, 
, А так як , То 
. Значить, 
і 
. Але простір 
, Породжене стовпцями матриці , Ототожнюється з простором стовпців матриці, яка виходить з видаленням останніх 
нульових рядків. Тому 
. Зіставлення двох нерівностей показує, що 
(Нерівність 
випливає також з того очевидного міркування, що всі стовпці матриці є лінійними комбінаціями базисних; виконайте це самостійно як вправи).
З іншого боку, всі ненульові рядки матриці лінійно незалежні: будь гіпотетичне співвідношення
як і у випадку зі стовпцями, дає послідовно , 
, , 
. Звідки 
. Стало бути, 
2.3 Критерій спільності
Ступінчастий вигляд матриці , Що дає відповідь на ряд питань щодо лінійних систем, містить елементи сваволі, пов'язані, наприклад, з вибором базисних стовпців або, що еквівалентно, з вибором головних невідомих системи (2). У той же час з теореми 1 і з її докази витягується
Слідство. Число головних невідомих, лінійної системи (2) не залежить від способу приведення її до східчастого вигляду і одно , Де --- Матриця системи.
Дійсно, ми бачили, що число головних невідомих дорівнює числу ненульових рядків матриці (Див. (3)), збігається, як ми бачили, з рангом матриці . Ранг визначався нами зовсім інваріантним чином. Цими словами виражається той факт, що ранг матриці служить її внутрішньою характеристикою, що не залежить від будь-яких привхідних обставин. 
У наступному розділі ми отримаємо ефективний засіб для обчислення рангу матриці , Що усуває необхідність приведення до східчастого вигляду. Це, безсумнівно, підвищить цінність тверджень, заснованих на понятті рангу. Як простий, але корисного прикладу сформулюємо критерій розв'язності лінійної системи.
2.3.3 Теорема. (Кронекер - Капеллі) Система лінійних рівнянь (2) совместна тоді і тільки тоді, коли ранг її матриці співпадає з рангом розширеної матриці
Доказ. Спільність лінійної системи (2), записаної у вигляді (1), можна трактувати як питання про подання вектора-стовпця вільних членів у вигляді лінійної комбінації векторів-стовпчиків матриці . Якщо таке подання можливо (тобто система (2) совместна), то 
і 
, Звідки 
(Див. формулювання теореми 1).
Назад, якщо ранги матриць і 
збігаються і 
--- Якась максимальна лінійно незалежна система базисних стовпців матриці , То розширена система 
буде лінійно залежною, а це означає, що --- Лінійна комбінація базисних (і тим більше всіх) стовпців . Стало бути, система (2) совместна.
3. Лінійні відображення. Дії з матрицями
3.1 Матриці і відображення
Нехай і --- Арифметичні лінійні простори стовпців висоти і відповідно. Нехай, далі, 
--- Матриця розміру . Визначимо відображення 
, Вважаючи для будь-якого 
де --- Стовпці матриці . Так як вони мають висоту , То в правій частині (1) стоїть вектор-стовпець 
. Більш докладно (1) переписується у вигляді
Якщо 
,
то 
.
Аналогічно 
.
Назад, припустимо, що 
--- Відображення множин, що має такими двома властивостями:
(I) 
для всіх 
;
(Ii) 
для всіх 
.
Тоді, позначивши стандартні базисні стовпці просторів і 
відповідно символами 
і 
, Ми скористаємося властивостями (i), (ii) в застосуванні до довільного вектору
:
Співвідношення (2) показує, що відображення 
повністю визначається своїми значеннями на базисних векторах-стовпцях. Поклавши
ми виявляємо, що завдання рівносильно завданням прямокутної матриці розміру зі стовпцями , А співвідношення (1) і (2) фактично збігаються. Стало бути, можна покласти 
.
3.1.1. Визначення. Відображення 
, Що володіє властивостями (i), (ii), називається лінійним відображенням з в . Часто, особливо при 
, Говорять про лінійному перетворенні. Матриця називається матрицею лінійного відображення 
.
Нехай , 
--- Два лінійних відображення 
з матрицями і 
. Тоді рівність 
рівносильно збігом значень 
для всіх 
. Зокрема, 
, Звідки 
і 
.
Резюмуємо наші результати:
3.1.2 Теорема. Між лінійними відображеннями в і матрицями розміру існує взаємно однозначна відповідність.
Слід підкреслити, що безглуздо говорити про лінійних відображеннях 
довільних множин і 
. Умови (i), (ii) припускають, що і --- Підпростору арифметичних лінійних просторів , .
Звернемо увагу на спеціальний випадок 
, Коли лінійне відображення 
, Що зазвичай називають лінійною функцією від змінних, задається скалярами 
:
Лінійні функції (4), так само як і довільні лінійні відображення при фіксованих і можна складати і множити на скаляри. Справді, нехай 
--- Два лінійних відображення. Відображення
визначається своїми значеннями:
У правій частині стоїть звичайна лінійна комбінація векторів-стовпчиків.
Так як
то - Лінійне відображення. По теоремі 1 можна говорити про його матриці 
. Щоб знайти , Випишемо, слідуючи (3), стовпець з номером 
:
Матрицю 
з елементами 
природно назвати лінійною комбінацією матриць і з коефіцієнтами і 
:
Отже, 
.
Особливо часто нами буде використовуватися той факт, що лінійні комбінації лінійних функцій знову є лінійними функціями.
3.2 Твір матриць
Співвідношення (5) і (6) висловлюють узгодженість дій додавання і множення на скаляри в множинах матриць розміру і відображень . У випадку довільних множин є ще важливе поняття твору (композиції) відображень. Розумно очікувати, що композиція двох лінійних відображень повинна виражатися певним узгодженим чином в термінах матриць. Подивимося як це робиться.
Нехай 
, 
--- Лінійні відображення, 
--- Їх композиція.
Взагалі кажучи, нам слід було б заздалегідь перевірити, що 
--- Лінійне відображення, але це досить ясно:
(I) 
;
(Ii) 
;
тому за теоремою 1 с асоціюється цілком певна матриця .
Дія відображень на стовпці в ланцюжку запишемо в явному вигляді за формулою ( 
):
З іншого боку,
Порівнюючи отримані вирази і пам'ятаючи про те, що 
--- Довільні дійсні числа, ми приходимо до співвідношень
Будемо говорити, що матриця виходить в результаті множення матриці на матрицю . Прийнято писати 
. Таким чином, твором прямокутної матриці 
розміру 
і прямокутної матриці 
розміру 
називається прямокутна матриця 
розміру з елементами 
, Задається співвідношенням (7). Нами доведена
3.2.1 Теорема. Твір 
двох лінійних відображень з матрицями і є лінійним відображенням з матрицею . Іншими словами,
Співвідношення (8) - природне доповнення до співвідношення (6).
Ми можемо забути про лінійних відображеннях і знаходити твір 
двох довільних матриць , , Маючи на увазі, однак, що символ має сенс тільки в тому випадку, коли число стовпців в матриці збігається з числом рядків у матриці . Саме за цієї умови працює правило (7) "множення -Го рядка на -Й стовпець 
", Згідно з яким
Число рядків, матриці дорівнює числу рядків матриці , А число стовпців --- числу стовпців матриці . Зокрема, твір квадратних матриць однакових порядків завжди визначено, але навіть у цьому випадку, взагалі кажучи, 
, Як показує хоч би такий приклад:
Множення матриць, звичайно, можна було б вводити багатьма іншими способами (множити, наприклад, рядки на рядки), але жоден із цих способів не порівняти по важливості з розглянутим вище. Це й зрозуміло, оскільки ми прийшли до нього при вивченні природної композиції (суперпозиції) відображень, а саме поняття відображення відноситься до числа найбільш фундаментальних у математиці.
Слідство. Множення матриць асоціативно:
Дійсно, твір матриць відповідає твору лінійних відображень (теорема 2 і співвідношення (8)), а твір будь-яких відображень асоціативно. До того ж результату можна прийти обчислювальним шляхом, використовуючи безпосередньо співвідношення (7).
3.3 Квадратні матриці
Нехай 
(Або 
) --- Безліч всіх квадратних матриць ( ) Порядку з речовими коефіцієнтами ,
Одиничного перетворенню 
, Що переводить кожен стовпець в себе, відповідає, очевидно, одинична матриця
Можна записати 
, Де
- Символ Кронекера. Правило (7) множення матриць, в якому слід замінити 
на 
, Показує, що справедливі співвідношення
Матричні співвідношення (10), отримані обчислювальним шляхом, випливають, звичайно, з співвідношень 
для довільного відображення , Якщо скористатися теоремою 1 і рівністю (8) з 
.
Як ми знаємо (див. (5)), матриці з можна множити на числа, розуміючи під 
, Де , Матрицю 
.
Але множення на скаляр (число) зводиться до множення матриць:
- Відома нам скалярна матриця.
У рівності (11) відображений легко перевіряється факт перестановочного 
з будь-матрицею . Дуже важливим для додатків є наступне його звернення.
3.3.1 Теорема. Матриця з , З перестановки з усіма матрицями в , Повинна бути скалярной.
Доказ. Введемо матрицю 
, В якій на перетині -Го рядка і -Го стовпця коштує 1, а всі інші елементи --- нульові. Якщо 
--- Матриця, про яку йде мова в теоремі, то вона перестановки,
Перемножая матриці в лівій і правій частинах цього рівності, ми отримаємо матриці
з єдиним ненульовим -М стовпцем і відповідно з єдиною ненульовий -М рядком. Їх порівняння негайно приводить до співвідношень 
при 
і 
. Міняючи і , Отримуємо необхідну.
Відзначимо ще співвідношення 
, Які безпосередньо випливають з визначення множення матриць на скаляри або, якщо завгодно, з співвідношень (11) і з асоціативності множення матриць.
Для даної матриці 
можна спробувати знайти таку матрицю 
, Щоб виконувалася умова
Якщо матриця існує, то умові (12) у термінах лінійних перетворень відповідає умова
означає, що 
--- Перетворення, зворотне до . 
існує тоді і тільки тоді, коли --- Биективное перетворення. При цьому визначено однозначно. Так як 
, То биективное означає, зокрема, що
Нехай тепер --- Якесь биективное лінійне перетворення з в . Протилежне до нього перетворення існує, але, взагалі кажучи, не ясно, чи є воно лінійним. Щоб переконатися в лінійності , Ми введемо вектори-стовпці
і застосуємо до обох частин цих рівностей перетворення . В силу його лінійності отримаємо
Так як 
, То
звідки, відповідно до імплікацією (13), знаходимо, що 
, 
--- Нульові вектори. Таким чином, виконані властивості (i), (ii) з 3.1, визначають лінійні відображення. Маємо 
, Де --- Деяка матриця. Переписавши умова ( 
) У вигляді 
(Див. (8)) і знову скориставшись теоремою 1, ми прийдемо до рівності (12).
Отже, матриця, обернена до , Існує в точності тоді, коли перетворення 
биективное. При цьому перетворення 
лінійно. Биективное 
рівносильна умові, що будь-який вектор-стовпець 
записується єдиним чином у вигляді (1)
де --- Стовпці матриці (Сюр'ектівность призводить до існування , Для якого 
, А ін'ектівность дає єдиність : Якщо 
, То 
, Звідки, згідно (12), 
). Значить, збігається з простором стовпців 
матриці , Так що 
.
Якщо матриця, обернена до , Існує, то, згідно вищесказаного, вона єдина. Її прийнято позначати символом 
. У такому випадку (див. ( ))
Квадратну матрицю , Для якої існує зворотна матриця , Називають невиродженої (або неособенно). Невиродженим називають і відповідне лінійне перетворення . В іншому випадку матрицю і лінійне перетворення називають виродженими (або особливими).
Резюмуємо отримані нами результати.
3.3.2 Теорема. Квадратна матриця порядку є невиродженої тоді і тільки тоді, коли її ранг дорівнює . Перетворення , Зворотне до , Лінійно і задається рівністю (14).
Слідство. Невиродженого тягне невиродженого 
і 
. Якщо 
--- Невироджені 
--- Матриці, то твір 
також невирождено і 
.
Для доказу досить послатися на симетричність умови 
.
Нами отримано досить багато правил дій з квадратними матрицями порядку . Маються на увазі, асоціативність (наслідок теореми 2), (10) і теорема 4. Звернемо ще увагу на так звані закони дистрибутивності:
де , , --- Довільні матриці з .
Дійсно, вважаючи 
, Ми отримаємо для будь-яких 
рівність (використовується дистрибутивність в 
):
ліва частина якого дає елемент матриці 
, А права --- елементи 
і 
матриць 
і відповідно 
. Другий закон дистрибутивності (16) перевіряється абсолютно аналогічно. Необхідність в ньому обумовлена некомутативних множення в . Закони дистрибутивности
для лінійних відображень , 
, 
з в можна не доводити, посилаючись на відповідність між відображеннями і матрицями, але можна, в свою чергу, виводити (16) з ( 
), Оскільки в разі відображень, міркування настільки ж просто.
Висновок
Таким чином, в цій роботі ми довели, що пов'язана компонента одиниці алгебраїчної групи міститься в будь-якої замкнутої підгрупі кінцевого індексу. В роботі була доведена теорема: Для будь-якій прямокутній -Матриці справедливо рівність (Це число називається просто рангом матриці і позначається символом ). А також було отримано ефективний засіб для обчислення рангу матриці , Що усуває необхідність приведення до східчастого увазі, доведена теорема: Квадратна матриця порядку є невиродженої тоді і тільки тоді, коли її ранг дорівнює . Перетворення , Зворотне до , Лінійно і задається рівністю (14) і наслідок цієї теореми: невиродженого тягне невиродженого і . Якщо --- Невироджені --- Матриці, то твір також невирождено і .
Список використаних джерел
Шеметков Л.А., Скиба А.Н., Формації алгебраїчних систем. - М.: Наука, 1989. - 256с.
Русаков С.А., Алгебраїчні -Арні системи. Мінськ, 1987. - 120с.
Кон П., Універсальна алгебра. М.: Мир, 1968 .-- 351с.
Ходалевіч А.Д., Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр / / Питання алгебри.-1996.-Вип.10 с.144-152
Mонaxов В.С. Твір кінцевих груп, близьких до нільпотентні .- В кн.: Кінцеві групи. Мн.: Наука і техніка, 1975, с. 70 - 100.
