Алгебра та початок аналізу

1. Функція задана формулою y = kx + b, де k і b - деякі числа, називається лінійною.

2. Областю визначення лінійної функції служить безліч R всіх дійсних чисел, тому що вираз kx + b має сенс при будь-яких значеннях х.

3. Графік лінійної функції y = kx + b є пряма. Для побудови графіка, очевидно, достатньо двох точок, якщо k 0.

4. Коефіцієнт k характеризує кут, який утворює пряма y = kx з позитивним напрямом осі Ох, тому k називається кутовим коефіцієнтом. Якщо k> 0, то цей кут гострий, якщо k <0 - тупий, якщо k = 0, то пряма збігається з віссю Ох.

5. Графік функції y = kx + b може бути постпоен за допомогою паралельного перенесення графіка функції y = kx.

Відповідь № 2. Опр. Квадратичною функцією називається функція, яку можна задати формулою виду y = ax ² + bx + c, де х - незалежна змінна, а, b і з - деякі числа, причому а 0.

Графіком квадратичної функції є парабола.

Властивості функції y = ax ^{2 (окремий випадок)} при а> 0.

1. Якщо х = 0, то y = 0. Графік функції проходить через початок координат.
2. Якщо х 0, то y> 0. Графік функції розташований у верхній півплощині.
3. Графік функції симетричний відносно осі Oy.
4. Функція убуває в проміжку (- ; 0] і зростає в проміжку [0; + ).
5. Найменше значення функція приймає при х = 0. Область значень функції [0; + ).

Властивості функції y = ax ² при а <0.

1. Якщо х = 0, то y = 0. Графік функції проходить через початок координат.
2. Якщо х 0, то y <0. Графік функції розташований у нижній півплощині.
3. Графік функції симетричний відносно осі Oy.
4. Функція убуває в проміжку [0; + ) І зростає в проміжку (- ; 0].
5. Найменше значення функція приймає при х = 0. Область значень функції (- ; 0].

І, так, графік функції y = ax ² + bx + c є парабола, вершиною якої є точка (m; n), де m = , N = . Віссю симетрії параболи служить пряма х = m, паралельна осі y. При а> 0 гілки параболи спрямовані вгору, при a <0 - вниз.

Відповідь 3

Якщо змінна у зворотно пропорційна змінної х, то ця залежність виражається формулою , Де - Коефіцієнт зворотної пропорційності.

1. Область визначення функції - Є безліч всіх чисел, відмінних від нуля, тобто .

2. Графіком зворотної пропорційності у = k / x є крива, що складається з двох гілок, симетричних щодо початку координат. Така крива називається гіперболою. Якщо k> 0, то галузі гіперболи розташовані в I і III координатних чвертях, а якщо k <.0, то у II і IV координатних чвертях.

3. Зауважимо, що гіпербола не має спільних точок з осями координат, а лише як завгодно близько до них наближається.

№ 4. Опр. Функція, задана формулою y = a ^x, де а - деяке позитивне число, нерівний еденице, називається показовою.

1. Функція y = a ^x при а> 1
а) область визначення - множина всіх дійсних чисел;
б) безліч значень - безліч всіх позитивних чисел;
в) функція зростає;
г) при х = 0 значення функції дорівнює 1;
д) якщо х> 0, то a ^x> 1;
е) якщо х <0, то 0 <a ^x <1;

2. Функція y = a ^x при 0 <а <1
а) область визначення - множина всіх дійсних чисел;
б) безліч значень - безліч всіх позитивних чисел;
в) функція убуває;
г) при х = 0 значення функції дорівнює 1;
д) якщо х> 0, то 0 <a ^x <1;
е) якщо х <0, то a ^x> 1.

№ 5.Опр. Функцію, задану формулою y = log _a x називають логарифмічною функцією з основою а.
Властивості функції y = log _a x при a> 1:
а) D (f) = R +;
б) E (f) = R;
в) функція зростає;
г) якщо x = 1, то log _a x = 0;
д) якщо 0 <x <1, то log _a x <0;
е) якщо x> 1, то log _a x> 0.
Властивості функції y = log _a x при 0 <a <1:
а) D (f) = R +;
б) E (f) = R;
в) функція убуває;
г) якщо x = 1, то log _a x = 0;
д) якщо 0 <x <1, то log _a x> 0;
е) якщо x> 1, то log _a x <0.

№ 6. Опр. Ставлення катета прямокутного трикутника, протилежного гострому куту, до гіпотенузі називається синусом цього кута (позначається sin ).

1. область визначення - множина всіх дійсних чисел;

2. безліч значень - [-1, 1];

3. функція непарна: sin (-x) =-sin (x) для всіх ;

функція періодична з найменшою позитивним періодом ;

sin (x) = 0 при x = ;

sin (x)> 0 для всіх ;

sin (x) <0 для всіх ;

функція зростає на ;

функція убуває на .

№ 7.Опр. Ставлення катета прямокутного трикутника, прилеглого до гострого кута, до гіпотенузі називається косинусом цього кута (позначається cos )

1. область визначення - множина всіх дійсних чисел;

2. безліч значень - [-1, 1];

3. функція парна: cos (-x) = cos (x) для всіх ;

4. функція періодична з найменшою позитивним періодом ;

cos (x) = 0 при ;

cos (x)> 0 для всіх ;

cos (x)> 0 для всіх ;

5. функція зростає на ;

6. функція убуває на

№ 8.Опр. Ставлення катета, протилежного гострого кута прямокутного трикутника, до катету, прилеглій до цього розі, називається тангенсом (позначається tg ).

1. область визначення - множина всіх дійсних чисел, крім чисел виду ;

2. безліч значень - вся числова пряма;

3. функція непарна: tg (-x) =-tg (x) для всіх х з області визначення;

функція періодична з найменшою позитивним періодом ;

tg (x) = 0 при х = ;

tg (x)> 0 для всіх ;

tg (x) <0 для всіх ;

функція зростає на .

№ 9.Опр. Ставлення катета, прилеглого гострому куту прямокутного трикутника, до катету, протилежного до цього кута, називається котангенс (позначається ctg )

1. область визначення - множина всіх дійсних чисел, крім чисел виду ;

2. безліч значень - вся числова пряма;

3. функція непарна: ctg (-x) =-ctg (x) для всіх х з області визначення;

функція періодична з найменшою позитивним періодом ;

ctg (x) = 0 при x = ;

ctg (x)> 0 для всіх ;

ctg (x) <0 для всіх ;

функція убуває на .

Відповідь № 10

1. Числова послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, складеному з одним і тим же числом, називається арифметичною прогресією.

2. З визначення арифметичній прогресії випливає, що різниця між будь-якою її членом і йому попереднім дорівнює одному й тому ж числу, тобто а ₂ - а ₁ = а ₃ - а ₂ = ... = A _k - a _k-1 = ... . Це число називається різницею арифметичної прогресії і звичайно позначається літерою d.

3. Для того щоб задати арифметичну прогресію (а _n), досить знати її перший член а ₁ і різниця d.

4. Якщо різниця арифметичної прогресії - позитивне число, то така прогресія є зростаючою, якщо негативне число, то убутній. Якщо різниця арифметичної прогресії дорівнює нулю, то всі її члени рівні між собою і прогресія є постійною послідовністю.

Характеристичне властивість арифметичній прогресії. Послідовність (аn) є арифметичною прогресією тоді і тільки тоді, коли будь-який її член, починаючи з другого, є середнім арифметичним попереднього і наступного членів, т. е. (1)

Формула n-го члена арифметичної прогресії має вигляд: a _n = a ₁ + d (n-1). (2)

Формула суми n перших членів арифметичної прогресії має вигляд: (3)

Якщо в формулу (3) підставити замість а _n його вираз за формулою (2), то отримаємо співвідношення

З визначення різниці арифметичній прогресії випливає, що a ₁ + a _n = a ₂ + a _n-1 = ..., т. е. сума членів, рівновіддалених від кінців прогресії, є незмінною.

Відповідь № 11

1. Числова послідовність, перший член якої різниться від нуля, а кожен член, починаючи з другого, дорівнює попередньому члену, помноженому на одне і те ж не рівне нулю число, називається геометричною прогресією.

2. З визначення геометричній прогресії слід, причетне будь-якого її члена до попереднього дорівнює одному й тому числу, тобто b _2: b ₁ = b _3: b ₂ = ... = b _n: b _n-1 = b _{n +1:} b _n = ... . Це число називається знаменником геометричній прогресії і звичайно позначається буквою q.

3. Для того, щоб задати геометричну прогресію (b _n), досить знати її перший член b ₁ і знаменник q.

4. Якщо q> 0 ( ), То прогресія є монотонною послідовністю. Нехай, наприклад, b ₁ = -2, q = 3, тоді геометрична прогресія -2, -6, -18, ... є монотонно спадна послідовність. Якщо q = 1, то всі члени прогресії рівні між собою. У цьому випадку прогресія є постійною послідовністю.

Характеристичне властивість геометричної прогресії. Послідовність (b _n) є геометричною прогресією тоді і тільки тоді, коли кожен її член, починаючи з другого, є середнім геометричне сусідніх з ним членів, т. е. (1)

Формула n-го члена геометричної прогресії має вигляд: (2)

Формула суми п перших членів геометричної прогресії має вигляд: , (3)

Якщо в формулу (3) підставити замість b _n його вираз за формулою (2), то вийде соот-носіння. , (4)

З визначення знаменника геометричній прогресії випливає, що b ₁ b _n = b ₂ b _n-1 = ..., тобто твір членів, рівновіддалених від кінців прогресії, є незмінною.

Сума нескінченної геометричної прогресії при

Нехай (x _n) - геометрична прогресія зі знаменником q, де і . Сумою нескінченної геометричної прогресії, знаменник якої задовольняє умові , Називається межа суми n перших її членів при .

Позначимо суму нескінченної геометричної прогресії через S. Тоді вірна формула .

1. № 12

Рішення тригонометричних рівнянь виду sin (x) = a

формула для коренів рівняння sin (x) = a, де , Має вигляд:
Окремі випадки:

sin (x) = 0, x =

sin (x) = 1, x =

sin (x) = -1, x =

формула для коренів рівняння sin ² (x) = a, де , Має вигляд: x =

Рішення тригонометричних нерівностей виду sin (x)> a, sin (x) <a

1. Нерівності, що містять змінну тільки під знаком тригонометричної функції, називаються тригонометричними.

2. При вирішенні тригонометричних нерівностей використовують властивість монотонності триг-нометріческіх функцій, а також проміжки їх знакопостоянства.

Для вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей виду sin (x)> a (sin (x) <а) використовують одиничну окружність чи графік функції y = sin (x).
sin (x) = 0 якщо х = ;
sin (x) = -1, якщо x = >;
sin (x)> 0, якщо ;
sin (x) <0, якщо .

Відповідь № 13

Рішення тригонометричного рівняння cos (x) = a

Формула для коренів рівняння cos (x) = a, де , Має вигляд: .

Окремі випадки:
cos (x) = 1, x = ;
cos (x) = 0, ;
cos (x) = -1, x =

Формула для коренів рівняння cos ² (x) = a, де , Має вигляд: .

Рішення тригонометричних нерівностей виду cos (x)> a, cos (x) <a

1. Для вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей виду cos (x)> a, cos (x) <a використовують одиничну окружність чи графік функції y = cos (x);

Важливим моментом є знання, що:
cos (x) = 0, якщо ;
cos (x) = -1, якщо x = ;
cos (x) = 1, якщо x = ;
cos (x)> 0, якщо ;
cos (x)> 0, якщо .

№ 14

Рішення тригонометричного рівняння tg (x) = a

Формула для коренів рівняння tg (x) = a має вигляд: .

Окремі випадки:
tg (x) = 0, x = ;
tg (x) = 1, ;
tg (x) = -1, .

Формула для коренів рівняння tg ² (x) = a, де , Має вигляд:

Рішення тригонометричних нерівностей виду tg (x)> a, tg (x) <a

1. Для вирішення найпростіших тригонометричних нерівностей виду tg (x)> a, tg (x) <a використовують одиничну окружність чи графік функції y = tg (x).

Важливо знати, що:
tg (x)> 0, якщо ;
tg (x) <0, якщо ;
Тангенс не існує, якщо .

№ 15

Формулами приведення називаються співвідношення, за допомогою яких значення тригонометричних функцій аргументів , , , , Виражаються через значення sin , Cos , Tg і ctg .

1. Всі формули приведення можна звести в наступну таблицю:

Для полегшення запам'ятовування наведених формул потрібно використовувати такі правила:
a) при переході від функцій кутів , до функцій кута назва функції змінюють: синус на косинус, тангенс на котангенс і навпаки;
при переході від функцій кутів , до функцій кута назва функції зберігають;
б) вважаючи гострим кутом (тобто ), Перед функцією кута ставлять такий знак, який має наведена функ-ція кутів , , .

Всі вищенаведені формули можна отримати, користуючись таким правилом:
Будь тригонометрическая функція кута 90 ° n + за абсолютною величиною дорівнює тієї ж функції кута , Якщо число n - парне, і додаткової функції, якщо число n - непарне. При цьому, якщо функція кута 90 ° n + . позитивна, коли - Гострий кут, то знаки обох функцій однакові, якщо негативна, то різні.

№ 16

Формули косинуса суми і різниці двох аргументів:

Рис.1 Рис.2
Повернемо радіус ОА, рівний R, близько точки О на кут і на кут (Рис.1). Отримаємо радіуси ВВ і ОС. Знайдемо скалярний добуток векторів і . Нехай координати точки У рівні _х1 і y _1, координати точки С рівні х ₂ і y _{2. Ці ж координати мають відповідно і вектори} і . За визначенням скалярного добутку векторів:
= Х ₁ х _{2 +} y ₁ y _2. (1)
Висловимо скалярний твір через тригонометричні функції кутів і . З визначення косинуса і синуса випливає, що
х ₁ = R cos , Y ₁ = R sin , Х ₂ = R cos , Y ₂ = R sin .
Підставивши значення х _1, х _2, y _1, y ₂ в праву частину рівності (1), отримаємо:
= R ² cos cos + R ² sin sin = R ² (cos cos + Sin sin ).
З іншого боку, по теоремі про скалярному творі векторовімеем:
= cos BOC = R ² cos BOC.
Кут ВОС між векторами і може бути рівний - (Рис.1), - ( - ) (Рис.2) або може відрізнятися від цих значень на ціле число оборотів. У будь-якому з цих випадків cos BOC = cos ( - ). Тому
= R ² cos ( - ).
Т. К. одно також R ² (cos cos + Sin sin ), То
cos ( - ) = Cos cos + Sin sin .

cos ( + ) = Cos ( - (- )) = Cos cos (- ) + Sin sin (- ) = Cos cos - Sin sin .
Значить,
cos ( + ) = Cos cos - Sin sin .

Формули синуса суми і різниці двох аргументів:

sin ( + ) = Cos ( / 2 - ( + )) = Cos (( / 2 - ) - ) = Cos ( / 2 - ) Cos + Sin ( / 2 - ) Sin = Sin cos + Cos sin .
Значить,
sin ( + ) = Sin cos + Cos sin .

sin ( - ) = Sin ( + (- )) = Sin cos (- ) + Cos sin (- ) = Sin cos - Cos sin .
Значить,
sin ( - ) = Sin cos - Cos sin .

№ 17

Формули подвійних кутів

Формули додавання дозволяють висловити sin 2 , Cos 2 , Tg 2 , Ctg 2 через тригонометричні функції кута .
Покладемо в формулах
sin ( + ) = Sin cos + Cos sin ,
cos ( + ) = Cos cos - Sin sin ,
,
.
рівним . Отримаємо тотожності:

sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = Cos ² - Sin ² = 1 - sin ² = 2 cos ² - 1;
; .

№ 18

Формули половинного аргументу

Висловивши праву частину формули cos 2 = Cos ² - Sin ² через одну тригонометричну функцію (синус або косинус), прийдемо до співвідношень
cos 2 = 1 - sin ² , Cos 2 = 2 cos ² - 1.
Якщо в даних співвідношеннях покласти = / 2, то отримаємо:
cos = 1 - 2 sin ² / 2, cos 2 = 2 cos ² / 2 - 1. (1)

З формул (1) випливає, що
(2), (3).

Розділивши почленно рівність (2) на рівність (3), отримаємо
(4).

У формулах (2), (3) і (4) знак перед радикалом залежить від того, в якій координатній чверті знаходиться кут / 2.

Корисно знати наступну формулу:
.

№ 19

Формули суми і різниці синусів, косинусів

Суму і різниця синусів або косинусів можна представити у вигляді добутку тригонометричних функцій. Формули, на яких грунтується таке перетворення, можуть бути отримані з формул додавання.
Щоб уявити у вигляді добутку суму sin + Sin , Покладемо = X + y і = X - y і скористаємося формулами синуса суми і синуса різниці. Отримаємо:
sin + Sin = Sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny = 2sinx cosy.
Вирішивши тепер систему рівнянь = X + y, = X - y щодо x і y, одержимо х = , Y = .
Отже,
sin + Sin = 2 sin cos .
Аналогічним чином виводять формули:
sin -Sin = 2 cos sin ;
cos + Cos = 2 cos cos ;
cos + Cos = -2 Sin sin .

№ 20

Щоб знайти рішення наведеного квадратного рівняння x ² + p x + q = 0, де , Досить перенести вільний член в праву частину і до обеем частинам рівності додати . Тоді ліва частина стане повним квадратом, і ми отримуємо равносильное рівняння = - Q.
Воно відрізняється від найпростішого рівняння x ² = m тільки зовнішнім виглядом: варто замість x і - Q - замість m. Знаходимо = . Отсюба х = - . Ця формула показує, що всяке квадратне рівняння має два корені. Але ці корені можуть бути і уявними, якщо <Q. Може також виявитися, що обидва кореня квадратного рівняння рівні між собою, якщо = Q. Повертається до звичайного вигляду .
1. Сума коренів наведеного квадратного рівняння x ² + p x + q = 0 дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а твір коренів одно вільному члену, тобто х ₁ + х ₂ = - р, а х ₁ х ₂ = q.
2. Теорема, обернена теореми Вієта. Якщо р, q, х _1, х ₂ такі, що х ₁ + х ₂ = - р і х ₁ х ₂ = q, то х _{1 і} х ₂ - корені рівняння x ² + p x + q = 0.

№ 21

Опр. Логарифмом числа b за основою а називається показник ступеня, в яку потрібно звести підставу а, чтобиполучіть число b.
Формулу (Де b> 0, a> 0 і a 1) називають основним логарифмічним тотожністю.
Властивості логарифмів:

1. ;

2. ;

Логарифм твори дорівнює сумі логарифмів співмножників:
.
Для доказу скористаємося основним логарифмічним тотожністю:
x = , Y = .
Перемножимо почленно ці рівності, отримуємо:
xy = = .
Отже, за визначенням логарифма (п.3) доведений.

Логарифм приватного дорівнює логарифму діленого без логарифма дільника:
.
Хід докази аналогічний доведенню п.3

Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм її заснування:
.
При доказі, також необхідно скористатися основним логарифмічним тотожністю.

№ 22

Похідною функції f (x) в точці х ₀ називається границя відношення приросту функції в точці х ₀ до збільшенню аргументу, коли останнє прагне до нуля. Це можна записати так: .

1. З визначення похідної випливає, що функція може мати похідну в точці х ₀ тільки в тому випадку, якщо вона визначена в деякій околиці точки х _0, включаючи цю точку.

2. Необхідною умовою існування похідної функції в даній точці є безперервність функції в цій точці.

3. Існування похідної функції f в точці х ₀ еквівалентно існуванню (невертикальною) дотичної в точці (х _0; f (х ₀₎₎ графіка, при цьому кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . У цьому полягає геометричний зміст похідної.

4. Механічний зміст похідної f '(x) функції у = f (x) - це швидкість зміни функції в точці х. Тому при вирішенні прикладних задач слід пам'ятати, що який би процес ні описувався досліджуваної функцією у = f (x) похідну з фізичної точки зору можна представити як швидкість, з якою протікає процес.

№ 23

1. Похідна суми дорівнює сумі похідних, якщо вони існують:
   .

Якщо функція u і v діфференцируєми в точці х ₀ то їх похідні діфференцируєми в цій точці і
.

Якщо функція u і v діфференцируєми в точці х _0, а С - постійна, то функція Cu дифференцируема у цій точці і
.

Якщо функція u і v діфференцируєми в точці х ₀ і функція v не дорівнює нулю в цій точці, то приватне двох функцій теж диференціюється в точці х ₀ і
.