Кафедра загальної та прикладної геофізики
Курсова робота
на тему:
Автокореляційні функції та енергетичні спектри похибок спостережень
Виконав: студент групи 3151
Клімов Ю. С.
Перевірив: професор
Серкеров С. А.
Дубна, 2005
Зміст
Введення
Теоретична частина
Розрахункова частина
Висновок
Список літератури
Введення
У даній роботі розглядаються елементи теорії випадкових функцій та їх застосування для інтерпретації гравітаційних і магнітних аномалій. Апарат теорії випадкових функцій і заснований на ньому статистичний підхід можна застосовувати в різних ситуаціях. По-перше, коли мало відомо про параметри аномалій або геологічних об'єктах, якими вони викликані. По-друге, коли поставлене завдання гравиразведки і магніторозвідки можна вирішити тільки з застосуванням апарату теорії випадкових функцій і, нарешті, по-третє, при вирішенні завдань різними детермінованими методами.
Одержані дані, кореляційні функції і пов'язані з ними енергетичні спектри аномалій мають такі властивості: мала чутливість до погрішностей спостережень; взаємозамінність; парність одержуваних виразів.
У роботі також наведені приклади застосування теоретичного матеріалу до практики. Представлені розрахунки для нескінченної горизонтальної матеріальної лінії, нескінченної вертикальної матеріальної смуги і нескінченної горизонтальної смуги .. Для досліджуваних функцій побудовані графіки при різних вихідних даних.
Теоретична частина
Автокореляційні функції та енергетичні спектри похибок спостережень
При вирішенні різних завдань гравію-і магніторозвідки майже завжди виникає необхідність врахування впливу похибок спостережень. Тому дуже важливо з'ясувати закони зміни їх автокореляційної функції та енергетичного спектру. Необхідно також з'ясувати чутливість обчислювальних схем до погрішностей спостережень і отримати формули, які дозволяють оцінити їх точність. Існуючі формули оцінки їх похибки дають тільки граничне, отже, в багатьох випадках і завищене значення похибки.
Не менш важливим є з'ясування можливості кореляції похибок спостережень з аномаліями. Зазвичай вважають, що вони не корелюються, але це не завжди так. У багатьох реальних випадках і, особливо, коли шукана аномалія невеликих розмірів, похибки спостережень можуть корелюватися з аномалією. І тоді неврахування корелюється може призвести до значних похибок у розв'язуваної задачі. У таких випадках необхідно користуватися способами, що враховують кореляцію.
Під похибками спостережень розуміються сума випадкових похибок спостережень і впливів самих верхніх густинних неоднорідностей. Розглянемо основні енергетичні характеристики похибок спостережень [38].
Високочастотні випадкові перешкоди можна апроксимувати білим шумом з обмеженою смугою частот, для якої
B п (τ) = B п (0) [sin (πτ / Δx)] (πτ / Δx), (3.70)
де Δx - відстань між пунктами спостережень; B п (0)-максимальне значення автокореляційної функції - середній квадрат помилок спостережень. Це для випадку, коли радіус кореляції похибок спостережень r = Δx. В інших випадках, тобто коли r> Δx, автокорреляционную функцію похибок спостережень можна висловити функціями
B п (x) = B п (0) exp [- (τ / d) 2], (3.71)
B п (x) = B п (0) exp [-τ / d 1], (3.72)
де d і d 1 - постійні, залежні від радіуса кореляції помилок спостережень r.
Якщо помилки між пунктами спостережень взаємонезалежні, то
r = Δ x.
Але зазвичай r> Δ x, і це відбувається з-за наявності в погрішності спостережень, крім некорельованих між сусідніми точками вимірювань перешкод (помилка у відліку, помилка в нівелювання і ін), випадкової складової, що корелюється між декількома пунктами спостережень. Остання може бути обумовлена нерівномірними протягом рейсу умовами транспортування, нерівномірним зміною температури, нерівномірними атмосферними умовами (вітер, дощ), помилками обліку нуль-пункту та іншими причинами. Для визначення більш правильних законів зміни автокореляційної функції, енергетичного спектру помилок спостережень та оцінки співвідношення між r і Δ x були отримані експериментальні дані похибок спостережень з гравіметрами (вибірка з 400 значень).
Аналіз цих даних показав, що їх найкращим чином можна апроксимувати виразом
B п (τ) = B п (0) exp (- ατ) cosβτ (3.73)
при значеннях постійних α = 0,80 / r, β = π / 2 r.
Значення радіусу кореляції похибок спостережень r, знайдені за цими експериментальним даними, коливаються від l, 3 Δ x до 2,0 Δ x (при різних вибірках з 400 - за 50, 100, 200 і 400 значеннях). При цьому середнє і найбільш ймовірне значення r = 1,6 Δ x (це значення відповідає кривої автокореляційної функції, побудованої по всіх 400 значенням похибок спостережень). Тому тут і надалі як радіуса кореляції помилок спостережень р буде прийнято це уточнене значення r = 1,6 Δ x. Що ж стосується систематичних помилок, то для визначення їх радіусу кореляції можна скористатися формулою для визначення радіуса кореляції сумарного поля, вважаючи, що
f п (x) = f с (x) + f о (x),
де індекси "c" і "о" вказують відповідно на випадки систематичних помилок та інструментальних помилок, не корелюють між двома сусідніми пунктами спостережень. При значеннях їх середніх квадратів B з (0), B про (0) значення r п можна визначити з рівності
Дані аналізу спостережених похибок показують, що B c (0) ≈ B o (0). Тому
r п = (r c + Δx) / 2.
Звідси r c = 2 r п - Δ x.
Підставляючи в цю рівність замість r п граничні значення r п = 1, З Δx і r п = 2 Δx, знайдемо r c = 1,6 Δx і r c = З Δx, тобто можна прийняти, округляючи до цілих, що r c змінюється приблизно від 2 Δx до З Δx.
Деякі автори вважають, що r c повинен мінятися від Δx до 2 Δx. Більш уточнені дані показують, що r c змінюється від 2 Δx до З Δx (значенню r п = 1,6 Δx відповідає величина r c = 2,2 Δx). Ці ж дані, як більш обгрунтовані, можна прийняти за основу при дослідженнях надалі.
Враховуючи викладене вище, в подальшому, залежно від розв'язуваної задачі в якості автокореляційної функції помилок спостережень будемо приймати вирази, які визначаються рівностями (3.70) і (3.73). Їм відповідають такі вирази енергетичних спектрів.
Для рівності (3.70)
(3.74)
Для рівності (3.73)
(3.75)
Можна також користуватися виразами (3.71) і (3.72), але тільки для отримання окремих приблизних оцінок або з метою отримання менш громіздких виразів з інтегралів.
Для тривимірних аномалій, припускаючи значення помилок спостережень симетричними відносно вертикальної осі, Автокореляційні функції помилок спостережень для законів, аналогічних равенствам (3.70) і (3.73) двомірного випадку, опишемо відповідно формулами
B п (τ) н = 2 J 1 (eτ) / eτ, (3.76)
B п (τ) н = exp (- pτ) J 0 (tτ) (3.77)
при наступних найбільш ймовірних значеннях постійних [38]:
e = 2,4 / Δ x, p = 0,5 / Δ x, t = 1,5 / Δ x.
Для енергетичних спектрів помилок спостережень, визначених равенствами (3.76), (3.77), отримаємо відповідно наступні висловлювання [для рівності (3.77) через громіздкість вираження наводимо значення Q п (0)]:
(3 78)
(3.79)
Зв'язок між енергетичними характеристиками вихідних і трансформованих аномалій
Висловимо енергетичний (взаємний енергетичний) спектр або кореляційну функцію трансформованому аномалії через енергетичний (взаємний енергетічекій) спектр або кореляційну функцію вихідної аномалії.
Так як спектр трансформованому аномалії ST виражається через спектр S [см. рівність (2.5)], то на підставі формули (3.16) для енергетичного спектру трансформованому аномалії отримаємо
Q T (u, v) = Q (u, v) | Ф (u, v) | 2, (3.80)
де Q - спектр вихідної аномалії, а Ф - частотна характеристика перетворення. З цієї формули можна отримати енергетичний спектр трансформованому аномалії, знаючи енергетичний спектр вихідної і частотну характеристику перетворення. Користуючись равенствами (2.5), (3.17), таке ж співвідношення можна написати і для взаємних енергетичних спектрів:
Q T (u, v) 12 = Q (u, v) 12 | Ф (u, v) | 2. (3.81)
Що ж стосується кореляційних функцій (автокореляційною і взаємної кореляційної), то, як видно з рівності (3.12), (3.15), (3.20), (3.80), (3.81), для отримання кореляційної функції трансформованому аномалії за відомою кореляційної функції вихідної необхідно останню піддавати трансформації з частотною характеристикою | Ф (u, v) | 2. Все це вірно і для двомірного випадку. Розглянемо кілька окремих випадків.
1. Аналітичне продовження на рівень Н аномалій в області верхнього або нижнього півпростору
Як відомо, в цьому випадку
Ф (u, v) = ехр (± ρH),
де знак "мінус" відноситься до аналітичного продовження в області верхнього півпростору, знак "плюс" - в області нижнього. Тоді
| Ф (u, v) | 2 = ехр (± 2 ρH).
Звідси видно, що для отримання кореляційної функції, аналітично продовженою на рівень Н в області верхнього або нижнього півпростору аномалії, необхідно кореляційну функцію вихідної аналітично продовжити на рівень 2Н. На підставі цього положення для кореляційних функцій можна записати інтеграл Пуассона, замінивши в ньому значення Н на значення 2Н.
2. Обчислення n-й горизонтальної похідної
У цьому випадку (розглядаємо довільну по осі x)
Ф (u, v) = (iu) n. (3.82)
Отже,
| Ф (u, v) | 2 = u 2 n = (-1) n (iu) 2 n. (3.83)
Аналогічний результат отримаємо й при диференціюванні у напрямку осі у. З останніх двох рівностей видно, що для отримання кореляційної функції аномалії n-й горизонтальної похідної необхідно продиференціювати кореляційну функцію вихідної аномалії у напрямку відповідної осі 2 n раз і помножити отриманий результат на (-1) n. Наприклад, для осі x вірно рівність
(3.84)
де B (ξ, η) і B n (ξ, η) - Автокореляційні функції вихідної аномалії і аномалії n-й похідної за напрямом осі х.
3. Обчислення n-й вертикальної похідної
Так як для даного випадку
Ф (ρ) = (-ρ) n, (3.85)
то
| Ф (ρ) | 2 = (-ρ) 2 n. (3.86)
Звідси видно, що висновок такий же, як і в попередньому випадку, тільки результат не потрібно множити на (-1) n. На підставі цього положення у двомірному і тривимірному випадках для автокореляційних функцій отримаємо
(3.87)
де B (τ) і B n (τ) - Автокореляційні функції вихідної аномалії і аномалії n-й вертикальної похідної (тут враховано, що у вираз B (τ) глибина залягання аномального тіла входить у вигляді 2 h).
У двомірному випадку через рівності автокореляційних функцій аномалій горизонтальних і вертикальних похідних випливає, що
(3.88)
Усереднення і застосування обчислювальних схем
При усередненні (наприклад, по двох точках, на відрізку профілю, по колу, по площі кола) також вірно рівність
| Ф (u, v) | 2 = Ф 2 (u, v).
Тому у всіх цих випадках для отримання кореляційної функції усередненої відповідним чином аномалії необхідно кореляційну функцію вихідної аномалії усереднити двічі.
Висновок про застосування трансформації двічі відноситься і до перетворень за допомогою різних обчислювальних схем, заснованих на усередненні по точках або по колу. Отримані співвідношення в двомірному і тривимірному випадках дозволяють визначити Автокореляційні функції та енергетичні спектри трансформованих аномалій через автокорреляционную функцію і енергетичний спектр однієї вихідної аномалії, минаючи процес самої трансформації. Наведеними равенствами широко користуються на практиці (див., наприклад, роботи К. В. Гладкого, В. М. Глазнева, В. М. Луговий-ко та інших дослідників).
Розрахункова частина
Візьмемо нормовану автокорреляционную функцію похибок спостережень. Розглянемо її поведінка для радіуса кореляції похибок спостережень r = Δ x, для r> Δ x.
1. Радіус кореляції похибок r = Δ x.
B н (t) = exp [- (t / d) 2],
Розглядаємо для значень d = 1, 5, 10.
Графік зміни автокореляційної функції при різних d
B н (t) = exp [- t / d 1],
Розглядаємо для значень d = 1, 5, 10.
Графік зміни автокореляційної функції при різних d
2. Радіус кореляції похибок r> Δ x.
B н (t) = exp (- αt) cosβt; де α = 0,80 / r, β = π / 2 r;
Розглядаємо для значень r = 1, 5, 10.
Графік зміни автокореляційної функції при різних r
Висновок
За допомогою графіків можна судити про поведінку значень автокореляційної функції. Очевидно, що при малих d функції для аномалій більш пологі. Видно, що при τ = 0 функції мають усі спільну точку рівну 1. Графіки функцій для вибраних тел мають відносне схожість.
Список літератури
1. Серкеров С. А. Спектральний аналіз гравітаційних і магнітних аномалій. - М.: Надра, 2002.