ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 1-2.

Ітераційних методів розв'язування нелінійних рівнянь.

Мета роботи: навчитися вирішувати нелінійні рівняння методом простих ітерацій, методом Ньютона і модифікованим методом Ньютона з допомогою ЕОМ.
Зміст роботи:
1. Вивчити метод простих ітерацій, метод Ньютона і модифікований метод Ньютона для розв'язування нелінійних рівнянь.
2. На конкретному прикладі засвоїти порядок вирішення нелінійних рівнянь за допомогою ЕОМ зазначеними методами.
3. Скласти програму (програми) на будь-якій мові програмування і з її допомогою вирішити рівняння з точністю і . Зробити висновок про швидкість збіжності всіх трьох методів.
4. Змінити і знову вирішити задачу. Зробити висновок про точність отриманих результатів.
5. Скласти звіт про виконану роботу.
ПРИКЛАД ВИКОНАННЯ РОБОТИ
Завдання.
1. Довести графічним та аналітичним методами існування єдиного кореня нелінійного рівняння
(1)
на відрізку .
2. Побудувати робочі формули методу простих ітерацій, методу Ньютона та модифікованого методу Ньютона, що реалізують процес пошуку кореня нелінійного рівняння (1) на зазначеному відрізку.
3. Скласти програму (програми) на будь-якій мові програмування, що реалізують побудовані ітераційні процеси.
Рішення.
1. Доведемо графічним методом єдиність кореня нелінійного рівняння (1). З графіка функції на Рис.1 видно, що функція перетинає вісь в одній точці, що є наближеним значенням кореня нелінійного рівняння (1). Але так як дана функція має складний аналітичний вигляд, то перетворимо рівняння (1) до виду і побудуємо два графіки і , Що мають більш простий аналітичний вигляд (Рис.2). Абсциса точки перетину графіків є наближеним значенням кореня. Зауважимо, що графічний метод показує кількість коренів вихідного рівняння, але не доводить єдиність кореня на відрізку.

Рис.2

Рис.1
Аналітичний метод. Функція неперервна на відрізку , Має на кінцях відрізка різні знаки ( ), А похідна функції не змінює знак на відрізку ( ). Отже, нелінійне рівняння (1) має на вказаному відрізку єдиний корінь.
2. Метод простих ітерацій. Для побудови робочої формули перепишемо рівняння (1) у вигляді: . Перевіримо, чи виконується достатня умова збіжності на відрізку:
(2)
Якщо умова виконується, то ітераційний процес будується за формулою

Зауважимо, що в точці з відрізка , Значення .
Побудуємо функцію . Константа вибирається з умови (2). Якщо похідна , То значення вибирається з інтервалу , Якщо похідна , То - з інтервалу . Так як всюди позитивна на відрізку, то, конкретизуючи значення похідної в будь-якій точці відрізка (наприклад ), Значення визначається з інтервалу . Вибравши значення , Запишемо робочу формулу методу простих ітерацій:
(3)
Ітераційний процес (3) можна почати, задавши довільне початкове наближення . Процес (3) закінчується при одночасному виконанні двох умов: і . У цьому випадку значення є наближеним значенням кореня нелінійного рівняння (1) на відрізку .
Метод Ньютона. В якості початкового наближення тут вибирається правий або лівий кінець відрізка, в залежності від того, в якому виконується достатня умова збіжності методу Ньютона види:
(4)
Зауважимо, що в точці умова (4) не виконується, а в точці - Виконується. Отже в якості початкового наближення вибирається точка . Робоча формула методу Ньютона для даної задачі запишеться так:
(5)
Умови виходу ітераційного процесу (5) аналогічні умовам методу простих ітерацій.
Модифікований метод Ньютона. Початкове наближення вибирається аналогічно методу Ньютона, тобто . Робоча формула модифікованого методу Ньютона для даної задачі запишеться так:
(6)
Умови виходу ітераційного процесу (6) аналогічні умовам методу простих ітерацій.
Зауваження: для того, щоб зробити висновок про швидкість збіжності методів, необхідно в кожному методі вибирати однакове початкове наближення.
3. Блок-схема методу простих ітерацій, методу Ньютона та модифікованого методу Ньютона наведена на рисунку 3.

1. Поставити параметри методу: .

2. Обчислити чергове наближення

3. Перевірити умови закінчення процесу: .

4. Оновити початкове наближення і .

немає

та

5. Роздрукувати наближене значення кореня .

6. Зупинка

Рис.3

Нижче наведено приклади програми на мовах програмування Паскаль і С, реалізують ітераційний процес методу простих ітерацій.
ПРИКЛАД ПРОГРАМИ НА МОВІ ПАСКАЛЬ
Program Pr_iter;
Uses Crt;
var n: integer;
x0, x, eps, d, y, z, c: real;
begin
clrscr;
n: = 0; x0: =- 1; c: =- 0.1; x: = x0; eps: = 0.001; d: = 0.01;
repeat
y: = x + c * (exp (x) + x); z: = x;
n: = n +1;
writeln (n: 3, x: 9:5, y: 9:5, abs (yx): 9:5, abs (exp (y) + y): 9:5);
x: = y;
until (abs (zx) <= eps) and (abs (exp (x) + x) <= d);
end.
ПРИКЛАД ПРОГРАМИ НА МОВІ З
# Include <stdio.h>
# Include <math.h>
main ()
{
int n = 0;
float x, y, z, x0 =- 1, c =- 0.1, eps = 0.001; d = 0.01;
x = x0;
clrscr ();
do
{
y = x + c * (exp (x) + x); z = x;
printf ("% d% .4 f% .4 f% .4 f% .4 f \ n", n + +, x, y, fabs (yx),
fabs (exp (y) + y));
x = y;
}
while (fabs (zx)> e | | fabs (exp (x) + x)> d;
getch ();
}
Рішення: в результаті рішення нелінійного рівняння (1) на зазначеному відрізку трьома методами при початковому наближенні з точністю і отримані наступні результати: методом простих ітерацій ; Методом Ньютона ; Модифікованим методом Ньютона .
4. Зміст звіту.
Звіт про виконану роботу повинен містити: номер і назва лабораторної роботи; мета роботи; зміст роботи; завдання на роботу; теоретичну частину роботи (висновок ітераційних формул); лістинг (і) програм (и); таблиці результатів (у разі, якщо кількість ітерацій у таблиці досить велика, до звіту занести два перших і два останніх ітерації); висновки про виконану роботу.
ПОРЯДОК ВИКОНАННЯ РОБОТИ
1. Визначити кількість коренів вихідного нелінійного рівняння графічним методом і побудувати графік (приклад наведено на малюнку 2).
2. Довести аналітичним методом єдиність кореня вихідного нелінійного рівняння на зазначеному відрізку.
3. Побудувати ітераційні формули, що реалізують процес пошуку кореня на відрізку методом простих ітерацій, методом Ньютона і модифікованим методом Ньютона.
4. Скласти програму (и) будь-якою мовою програмування, що реалізовує (і) побудовані ітераційні процеси, використовуючи алгоритм методів, наведений на малюнку. Друк результатів має здійснюватися на кожному кроці ітерацій у вигляді такої таблиці:
5. Провести обчислювальні експерименти.
6. Скласти звіт про виконану роботу.
ВАРІАНТИ ІНДИВІДУАЛЬНИХ ЗАВДАНЬ

№ варіанту	Нелінійне рівняння	Відрізок
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.