Введення
З невеликими числами мати справу дуже просто: набори з трьох-чотирьох предметів легко впізнати «в обличчя», так що вважати їх немає необхідності. Але як, наприклад, з'ясувати, чи не загубилася чи вівця з великого стада? Тут вже не обійтися без підрахунку. Аби перевести стадо, простіше за все використовувати камінці: один камінчик - один об'єкт, в даному випадку вівця.
Вважати за допомогою камінчиків зручно і просто, якщо об'єктів небагато. З великими числами вже складніше: і потрібної кількості камінців можна не заробити, і підняти такий мішок не кожному під силу. У деяких співтовариствах для рахунку використовувалися пальці рук і ніг, але все одно залишалася проблема з числами більше 20 ... [№ 3.1, стор 343]
Значення цифр і чисел у нашому житті важко переоцінити. Біологи стверджують, що у складі людського мозку є структури (кора лівої півкулі у правшів), що відповідають за формування усного та писемного мовлення. Таких структур немає ні у одного іншої тварини. Завдяки їм людина може писати, читати, говорити, вимовляти самі різноманітні звуки. Саме через такого складного будови головного мозку людина змогла в перший раз вимовити слово, написати літеру. Тепер ми не можемо собі уявити життя без алфавіту і слів.
У математиці таким алфавітом є цифри, а словами - числа. Є багато спільного: своєрідними мовами в математиці є системи числення. У таких абетках букви - цифри. Найчастіше математичну мову легше мови лінгвістичного, передусім обсягом інформації, яку несе один символ.
Винахід десяткової системи числення належить до головних досягнень людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, а тим більше виникнути сучасна техніка і наука взагалі.
Глава 1. Історія цифр. Числа і числення.
§ 1 На зорі появи цифр.
Давно, дуже давно це було. Людина сиділа біля водопою, сховавшись в кущах, і чекав звіра. До води підійшов олень з великими гіллястими рогами. Мисливець загнув палець на руці. Потім до водопою вийшов безрогі олень. Мисливець загнув ще один палець. Всю ніч просидів у засідці мисливець, але більше жодного звіра не побачив. Вранці він розповідав старшому одноплемінникові про свої спостереження:
- Сиджу, дивлюся, вийшов до водопою рогата олень (мисливець для підтвердження поклав на долоню незграбний камінчик), а потім вийшов безрогі олень (поклав поруч з першим овальний камінець). Більше звірів не було до ранку.
- Так до водопою спочатку підійшов один олень, а потім ще один? - Перепитав родич і підняв два пальці.
- Так, - відповів мисливець.
До наступної ночі старший зібрав велику групу чоловіків з списами. Він ретельно продумав, куди посадити одного мисливця, куди - двох, а куди й трьох. Всі були розміщені у водопою так, щоб підійшов олень потрапив в оточення. Полювання була вдалою.
Цей випадок показує, що вже на зорі розвитку людського суспільства люди помічали, що різні групи предметів - звірі, мисливці, камені - можуть мати одне і те ж число: два пальці, два звіра, два камені і т. д. У наші дні про це знає будь-який першокласник. Якщо розкласти навпроти один одного, наприклад, гуртки і палички, неважко переконатися, що гуртків виявиться стільки ж, скільки паличок. Цим ми встановлюємо взаємно-однозначна відповідність. Так і первісні люди, зіставляючи одну групу (безліч) предметів з іншого (іншим множиною), бачили схожість і відмінність обох груп (множин).
У той далекий час розуміння того, що одна група (безліч) може бути схожа на іншу (безліч), стало для людини величезним просуванням в його розвитку. Це було найбільшим відкриттям. Воно допомогло людям навчитися бачити взаємно-однозначна відповідність предметів двох множин, а потім і вважати ці предмети.
Поступове вдосконалення життєвого укладу первісних людей сприяло виникненню у них потреби вважати, але пройшли десятки століть, перш ніж люди придбали це вміння.
Спочатку людина навчилася виділяти одиничні предмети. Наприклад, зі зграї вовків, стада оленів він виділяв одного ватажка, з виводка пташенят - одного пташеняти і т. д Навчившись виділяти один предмет з безлічі інших, говорили: «один», а якщо їх було більше - «багато» Навіть для назви числа «один» часто користувалися словом, яким позначався одиничний предмет, наприклад: «місяць», «сонце». Такий збіг назви предмета і числа збереглася в мові деяких народів до наших днів.
Часті спостереження множин, що складаються з пари предметів (очі, вуха, крила, руки), призвели людини до уявлення про числі два. До цих пір слово «два» на деяких мовах звучить так само, як «очі» або «крила».
У деяких племенах Австралії довгий час користувалися тільки числами «один» і «два», а всі інші називали, повторюючи ці числа або кажучи «багато».
В одному з австралійських племен вважали інакше. Один називали «малий», два - «булан», три - «гуліба», тобто назви мали тільки три перші числа, а інші числа, наприклад 4, називали «булан-булан» і т. д. Ці історичні факти показують, як люди вчилися рахувати. Так як в далекі часи спілкування між різними народами було ускладнено, способи рахунку та назви чисел у різних місцях однієї країни були неоднакові. [№ 2, стор. 11-13]
З появою міст і кам'яних споруд все більше людей почали займатися писемністю і началами математики. Найбільш обізнані придумали спеціальні знаки для запису чисел. Ці знаки, що виконують роль цифр, були зручні для читання, але для їх запису було потрібно досить багато часу.
Перший спосіб позначення чисел, що приходить на думку, - паличками. Що може бути легше? Одна паличка значить один, два - два і так далі. Ось одна цікава історія про таку нумерації.
У березні 1917 р. жителі Ленінграда (тоді - Петрограда) були не мало спантеличені й навіть стривожені таємничими знаками, що з'явилися, невідомо як, біля дверей багатьох квартир. Поголос приписувала цим знакам різноманітні значення. Вони мали форму рисок, що чергуються з хрестами.
Пішли зловісні чутки про грабіжницьких зграйках, що позначають квартири майбутніх жертв. «Комісар тимчасового уряду по м. Петрограду», заспокоюючи населення, стверджував, що «таємничі знаки, які чиєїсь невидимою рукою робляться на дверях мирних обивателів у вигляді хрестів, букв, фігур, як з'ясувалося по зробленому дізнанню, робляться провокаторами та німецькими шпигунами »; він запрошував мешканців ці знаки прати і знищувати,« а у разі виявлення осіб, які займаються цією роботою, затримувати і спрямовувати за призначенням ».
Подібні знаки помічені в багатьох будинках на чорних сходах біля дверей квартир. Зазвичай знаки цього типу є у всіх хводних дверей даного будинку, причому в межах одного будинку двох однакових знаків не спостерігається. Їх похмуре накреслення, природно, внушаеат тривогу мешканцям. Між тим, сенс їх легко розкривається, якщо зіставити їх з номерами відповідних квартир. Неважко здогадатися тепер, що хрести означають десятки, а палички - одиниці; так виявилося у всіх без винятку випадках. Ця своєрідна нумерація, очевидно, належить двірникам-китайцям, не розумів наших цифр. [№ 1, стор 9-11]
§ 2 Старовинні способи нумерації.
Більш складний спосіб позначення чисел був придуманий римлянами. Вони записували числа черточкмі, і часу для цього було потрібно менше. Вчені припускають, що римська п'ятірка - це спрощене зображення руки з п'ятьма розчепіреними пальцями, а десять - це дві складені разом п'ятірні.
За старих часів на Русі цифри позначалися буквами. Для вказівки того, що знак є не буквою, а цифрою, зверху над ним ставилося спеціальний знак «~», званий «титло» (див. рис.). Тисячі позначалися тими ж літерами з «титлами», що і перші дев'ять цифр, але у них зліва внизу ставилося спеціальний знак. Десятки тисяч називалися «тьми», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками. Звідси походить вираз «Пітьма народу», тобто дуже багато народу. Сотні тисяч називалися «легіонами» («легеонамі»), їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з точок. Мільйони називалися «леодрамі». Їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з променів чи коми. Десятки мільйонів називалися «воронами» або «брехнею», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками їх хрестиків або ставлячи по обидві сторони букви букву К. Сотні мільйонів називалися «колодами». «Колода» мала спеціальне позначення: над буквою і під нею ставили квадратні дужки. Решта числа записувалися літерами зліва направо. При запису великих чисел, ніж тисячі, у практичній діяльності часто замість гуртків знак, що позначає тисячу, ставили перед буквами, що позначали десятки і сотні. У наведеній системі позначення чисел не йшли далі тисяч мільйонів. Такий рахунок називався «малий рахунок». У деяких рукописах авторами розглядався і «великий рахунок», що доходив до числа 10 50. Далі говорилося: «І більше від цього несть людському розуму разумети». [№ 4, стор 135-137]
У джерелі № 2 повідомляється, що темрявою називали 106, легеоном - 10 12, леодром - 10 24, вороному - 10 48, а колодою, найбільшим числом великого рахунку, - 10 49. У тому, що далі жовтня 1950 рахунок не вівся обидва джерела згодні.
Схожа нумерація існувала у греков.Для нумерації чисел грецькі математики придумали алфавітну нумерацію. Перша літера їх алфавіту - альфа позначала 1, друга - бета - 2 і т. д.
У дореволюційний час на речі, куплених у офенею або в приватних магазинах, особливо провінційних, можна було часто помітити незрозумілі літерні позначення на зразок
а ві в уо.
Це не що інше, як ціна речі без запиту, яку торговець позначав на товарі, але так, проте, щоб її не міг розгадати покупець. Кинувши погляд на ці букви, торговець відразу проникав у їх прихований зміст і, зробивши надбавку, називав покупцеві ціну із запитом.
Система позначень була дуже проста. Торговець вибирав якесь слово, складене з 10 різних букв; найчастіше зупиняли вибір на словах: працьовитість, правосуддя, ярославец', міролюбец', Міралюбов'. Перша літера слова позначала-1, друга - 2, третя - 3 і т д; десятою буквою позначався нуль За допомогою цих умовних літер-цифр торговець позначав на товарах їх ціну, зберігаючи в строгому секреті «ключ» до своєї системи прибутків.
Якщо наприклад, вибрано було слово
правосуддя
1234567890
то ціна 4 р. 75 к. позначалася так:
в уо.
Іноді ціна на товарі писалася у вигляді дробу, наприклад:
е
тро
Це значить при ключі «працьовитість», що треба запросити 1 карб. 25 коп, собі ж книжка коштувала 50 коп. [№ 1, стор 13-14]
«Нумерація» в той час давно вже була у широкому вжитку і зрозуміла була кожному, навіть неграмотному селянинові. Сходить вона, без сумніву, до глибокої давнини і споживані була не тільки у нас. Така нумерація називається «народної».
Цікаво, що ця народна нумерація була колись у нас навіть узаконена: за такий саме системі, тільки більш розвиненою, повинні були вестися збирачами податей записи в податковий зошити. «Складальник, - читаємо ми в старому« Зводі законів », - приймаючи від кого-небудь з домохозяєв вносяться до нього гроші, повинен сам, або через писаря, за-писати в податковий зошити проти імені того господаря, якого числа скільки отримано грошей, виставляючи кількість прийнятої суми цифрами і знаками. Знаки оці для зведення всіх і кожного ввести повсюдно однакові, а саме:
В іншому місці того ж тому «Зводу законів» знаходимо ще раз згадка про обов'язкове вживанні народних числових позначень. Наводяться особливі знаки для тисячі рублів-у вигляді шестикутної
зірки з хрестом в ній, і для ста рублів - у вигляді колеса з 8 спицями. Але позначення для рубля і десяти копійок тут встановлюються інші, ніж у попередньому законі.
Ось текст закону про цих так званих «ясачних знаки»:
«Щоб на кожній квитанції, яка видається родовитому Старості, від якого внесено буде ясак, крім викладу словами, було показиваемо особливими знаками число внесених рублів і копійок так, щоб здають простим рахунком цього числа могли бути впевнені у справедливості свідчення *. Наведені у квитанції знаки означають: (зірка) тисяча рублів, (колесо) сто рублів, (квадрат) десять рублів, X один карбованець, ||||| | | | | десять коп., | Копійку.
«Щоб не можна було зробити тут ніяких додатків, всі такі знаки окреслювати колом прямими лініями». Наприклад, 1232 р. 24 к. зображають так, як показано на малюнку. [№ 1, стор 11-13]
Як бачите, що вживаються нами арабські і римські цифри - не єдиний спосіб позначення чисел. За старих часів застосовувалися у нас, та ще й тепер подекуди по селах застосовуються інші системи письмового числення, віддалено схожі з римськими і зовсім не схожі з арабськими цифрами.
§ 3 Системи числення.
Як вже було сказано, в деяких співтовариствах для рахунку використовувалися пальці рук, однак цей спосіб годився лише в межах 10. Де-не-де прогрес пішов далі: до рахунку долучали і пальці ніг, але все одно залишалася проблема з числами більше 20.
Вихід знайшовся: рахувати на пальцях до 10, а потім починати спочатку, окремо підраховуючи кількість десятків. Система числення на основі десяти виникла як природний розвиток пальцевого рахунку. Існувало, однак, кілька відхилень від цієї системи. Наприклад, 4000 років тому жителі Стародавнього Вавилону використовували систему рахунку до 60. Сліди шестидесятеричной системи в наш час збереглися в розподілі години і кутового градуса на 60 хвилин, а хвилини - на 60 секунд.
У міру розвитку мовлення люди почали використовувати слова для позначення чисел. Відпала необхідність показувати кому-то пальці, камінці або реальні предме-ш, щоб назвати їх кількість. Для зображення чисел стали застосовуватися малюнки, креслення або символи. Наприклад, для відповіді на питання «Скільки овець у стаді?» Досить намалювати чи накреслити групу тварин. Але вважати можна набагато швидше, застосовуючи для позначення чисел будь-які символи. Єгиптяни для чисел до 9 використовували послідовності простих штрихів і спеціальний символ - для 10. Вавілоняни мали аналогічну систему, а римляни ввели новий символ при досягненні 5. Існували і системи з окремими символами для кожної цифри до 9 включно, як в арабській системі числення, яку ми зараз використовуємо, а у греків був спеціальний символ і для 10. [№ 3.1, стор 343-344]
З'явилася десяткова система, ймовірно, в Індії. Вибір графічних зображень для цифр, зрозуміло, не є принциповим. Сучасні зображення цифр - проста стилізація древніх арабських цифр. Марокканський історик Абделькарім Боужібар вважає, що арабським цифрам у їх первісному варіанті було надано значення в суворій відповідності з числом кутів, які утворюють фігури.
У десятковій системі кожна цифра несе подвійну інформацію: своє власне значення і місце, яке вона займає в записі числа (розряд). Такі системи числення називаються позиційними. Римську систему числення можна швидше назвати адитивної, оскільки чосло утворюється при додаванні і відніманні значень спеціальних значків. У адитивних системах числення виконувати арифметичні дії безнадійно - не дивно, що такі системи не прижилися. [№ 5, стор.33-34]
Ось запис із щоденника одного математика:
«Я закінчив курс університету 44 років від роду. Через рік, 100-річним хлопцем, я одружився на 34-річній дівчині. Незначна різниця у віці - лише 11 років - сприяла тому, що ми жили спільними інтересами та мріями. Через трохи років у мене була вже й маленька сім'я з 10 дітей. Платні я отримував на місяць всього 200 рублів, з яких 1 / 10 мені доводилося віддавати сестрі, так що ми з дітьми жили на 130 руб. на місяць »і т. д.
На перший погляд дивна біографія, але тільки на перший. Розберемося в чому тут справа.
А вся справа в тому, що уривок написаний з використанням недесятерічной системи числення, такої звичної для більшості людей. Можна легко здогадатися, яку саме систему використовував автор. Секрет видається фразою: «Через рік (Полсен 44 років), 100-річним хлопцем ...» Якщо в від збільшення однієї одиниці числа 44 перетворюється в 100, значить цифра 4 - найбільша в цій системі числення, тобто основою системи є 5 . Трохи складніше перевести інші числа в «рідну» десяткову. Наприклад, нескладно здогадатися, що одна одиниця третього розряду дорівнює 5 в другому ступені, тобто 25 (так само в десятковій системі одна одиниця третього розряду дорівнює 100, тобто 10 2). А одиниця другого розряду дорівнює 5 1, третього - 5 0. Тепер нескладно відновити реальну біографію дивака-автора.
З невеликими числами мати справу дуже просто: набори з трьох-чотирьох предметів легко впізнати «в обличчя», так що вважати їх немає необхідності. Але як, наприклад, з'ясувати, чи не загубилася чи вівця з великого стада? Тут вже не обійтися без підрахунку. Аби перевести стадо, простіше за все використовувати камінці: один камінчик - один об'єкт, в даному випадку вівця.
Вважати за допомогою камінчиків зручно і просто, якщо об'єктів небагато. З великими числами вже складніше: і потрібної кількості камінців можна не заробити, і підняти такий мішок не кожному під силу. У деяких співтовариствах для рахунку використовувалися пальці рук і ніг, але все одно залишалася проблема з числами більше 20 ... [№ 3.1, стор 343]
Значення цифр і чисел у нашому житті важко переоцінити. Біологи стверджують, що у складі людського мозку є структури (кора лівої півкулі у правшів), що відповідають за формування усного та писемного мовлення. Таких структур немає ні у одного іншої тварини. Завдяки їм людина може писати, читати, говорити, вимовляти самі різноманітні звуки. Саме через такого складного будови головного мозку людина змогла в перший раз вимовити слово, написати літеру. Тепер ми не можемо собі уявити життя без алфавіту і слів.
У математиці таким алфавітом є цифри, а словами - числа. Є багато спільного: своєрідними мовами в математиці є системи числення. У таких абетках букви - цифри. Найчастіше математичну мову легше мови лінгвістичного, передусім обсягом інформації, яку несе один символ.
Винахід десяткової системи числення належить до головних досягнень людської думки. Без неї навряд чи могла існувати, а тим більше виникнути сучасна техніка і наука взагалі.
Глава 1. Історія цифр. Числа і числення.
§ 1 На зорі появи цифр.
Давно, дуже давно це було. Людина сиділа біля водопою, сховавшись в кущах, і чекав звіра. До води підійшов олень з великими гіллястими рогами. Мисливець загнув палець на руці. Потім до водопою вийшов безрогі олень. Мисливець загнув ще один палець. Всю ніч просидів у засідці мисливець, але більше жодного звіра не побачив. Вранці він розповідав старшому одноплемінникові про свої спостереження:
- Сиджу, дивлюся, вийшов до водопою рогата олень (мисливець для підтвердження поклав на долоню незграбний камінчик), а потім вийшов безрогі олень (поклав поруч з першим овальний камінець). Більше звірів не було до ранку.
- Так до водопою спочатку підійшов один олень, а потім ще один? - Перепитав родич і підняв два пальці.
- Так, - відповів мисливець.
До наступної ночі старший зібрав велику групу чоловіків з списами. Він ретельно продумав, куди посадити одного мисливця, куди - двох, а куди й трьох. Всі були розміщені у водопою так, щоб підійшов олень потрапив в оточення. Полювання була вдалою.
Цей випадок показує, що вже на зорі розвитку людського суспільства люди помічали, що різні групи предметів - звірі, мисливці, камені - можуть мати одне і те ж число: два пальці, два звіра, два камені і т. д. У наші дні про це знає будь-який першокласник. Якщо розкласти навпроти один одного, наприклад, гуртки і палички, неважко переконатися, що гуртків виявиться стільки ж, скільки паличок. Цим ми встановлюємо взаємно-однозначна відповідність. Так і первісні люди, зіставляючи одну групу (безліч) предметів з іншого (іншим множиною), бачили схожість і відмінність обох груп (множин).
У той далекий час розуміння того, що одна група (безліч) може бути схожа на іншу (безліч), стало для людини величезним просуванням в його розвитку. Це було найбільшим відкриттям. Воно допомогло людям навчитися бачити взаємно-однозначна відповідність предметів двох множин, а потім і вважати ці предмети.
Поступове вдосконалення життєвого укладу первісних людей сприяло виникненню у них потреби вважати, але пройшли десятки століть, перш ніж люди придбали це вміння.
Спочатку людина навчилася виділяти одиничні предмети. Наприклад, зі зграї вовків, стада оленів він виділяв одного ватажка, з виводка пташенят - одного пташеняти і т. д Навчившись виділяти один предмет з безлічі інших, говорили: «один», а якщо їх було більше - «багато» Навіть для назви числа «один» часто користувалися словом, яким позначався одиничний предмет, наприклад: «місяць», «сонце». Такий збіг назви предмета і числа збереглася в мові деяких народів до наших днів.
Часті спостереження множин, що складаються з пари предметів (очі, вуха, крила, руки), призвели людини до уявлення про числі два. До цих пір слово «два» на деяких мовах звучить так само, як «очі» або «крила».
У деяких племенах Австралії довгий час користувалися тільки числами «один» і «два», а всі інші називали, повторюючи ці числа або кажучи «багато».
В одному з австралійських племен вважали інакше. Один називали «малий», два - «булан», три - «гуліба», тобто назви мали тільки три перші числа, а інші числа, наприклад 4, називали «булан-булан» і т. д. Ці історичні факти показують, як люди вчилися рахувати. Так як в далекі часи спілкування між різними народами було ускладнено, способи рахунку та назви чисел у різних місцях однієї країни були неоднакові. [№ 2, стор. 11-13]
З появою міст і кам'яних споруд все більше людей почали займатися писемністю і началами математики. Найбільш обізнані придумали спеціальні знаки для запису чисел. Ці знаки, що виконують роль цифр, були зручні для читання, але для їх запису було потрібно досить багато часу.
Перший спосіб позначення чисел, що приходить на думку, - паличками. Що може бути легше? Одна паличка значить один, два - два і так далі. Ось одна цікава історія про таку нумерації.
У березні 1917 р. жителі Ленінграда (тоді - Петрограда) були не мало спантеличені й навіть стривожені таємничими знаками, що з'явилися, невідомо як, біля дверей багатьох квартир. Поголос приписувала цим знакам різноманітні значення. Вони мали форму рисок, що чергуються з хрестами.
Пішли зловісні чутки про грабіжницьких зграйках, що позначають квартири майбутніх жертв. «Комісар тимчасового уряду по м. Петрограду», заспокоюючи населення, стверджував, що «таємничі знаки, які чиєїсь невидимою рукою робляться на дверях мирних обивателів у вигляді хрестів, букв, фігур, як з'ясувалося по зробленому дізнанню, робляться провокаторами та німецькими шпигунами »; він запрошував мешканців ці знаки прати і знищувати,« а у разі виявлення осіб, які займаються цією роботою, затримувати і спрямовувати за призначенням ».
Подібні знаки помічені в багатьох будинках на чорних сходах біля дверей квартир. Зазвичай знаки цього типу є у всіх хводних дверей даного будинку, причому в межах одного будинку двох однакових знаків не спостерігається. Їх похмуре накреслення, природно, внушаеат тривогу мешканцям. Між тим, сенс їх легко розкривається, якщо зіставити їх з номерами відповідних квартир. Неважко здогадатися тепер, що хрести означають десятки, а палички - одиниці; так виявилося у всіх без винятку випадках. Ця своєрідна нумерація, очевидно, належить двірникам-китайцям, не розумів наших цифр. [№ 1, стор 9-11]
§ 2 Старовинні способи нумерації.
Більш складний спосіб позначення чисел був придуманий римлянами. Вони записували числа черточкмі, і часу для цього було потрібно менше. Вчені припускають, що римська п'ятірка - це спрощене зображення руки з п'ятьма розчепіреними пальцями, а десять - це дві складені разом п'ятірні.
За старих часів на Русі цифри позначалися буквами. Для вказівки того, що знак є не буквою, а цифрою, зверху над ним ставилося спеціальний знак «~», званий «титло» (див. рис.). Тисячі позначалися тими ж літерами з «титлами», що і перші дев'ять цифр, але у них зліва внизу ставилося спеціальний знак. Десятки тисяч називалися «тьми», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками. Звідси походить вираз «Пітьма народу», тобто дуже багато народу. Сотні тисяч називалися «легіонами» («легеонамі»), їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з точок. Мільйони називалися «леодрамі». Їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками з променів чи коми. Десятки мільйонів називалися «воронами» або «брехнею», і їх позначали, обводячи знаки одиниць гуртками їх хрестиків або ставлячи по обидві сторони букви букву К. Сотні мільйонів називалися «колодами». «Колода» мала спеціальне позначення: над буквою і під нею ставили квадратні дужки. Решта числа записувалися літерами зліва направо. При запису великих чисел, ніж тисячі, у практичній діяльності часто замість гуртків знак, що позначає тисячу, ставили перед буквами, що позначали десятки і сотні. У наведеній системі позначення чисел не йшли далі тисяч мільйонів. Такий рахунок називався «малий рахунок». У деяких рукописах авторами розглядався і «великий рахунок», що доходив до числа 10 50. Далі говорилося: «І більше від цього несть людському розуму разумети». [№ 4, стор 135-137]
У джерелі № 2 повідомляється, що темрявою називали 106, легеоном - 10 12, леодром - 10 24, вороному - 10 48, а колодою, найбільшим числом великого рахунку, - 10 49. У тому, що далі жовтня 1950 рахунок не вівся обидва джерела згодні.
Схожа нумерація існувала у греков.Для нумерації чисел грецькі математики придумали алфавітну нумерацію. Перша літера їх алфавіту - альфа позначала 1, друга - бета - 2 і т. д.
У дореволюційний час на речі, куплених у офенею або в приватних магазинах, особливо провінційних, можна було часто помітити незрозумілі літерні позначення на зразок
а ві в уо.
Це не що інше, як ціна речі без запиту, яку торговець позначав на товарі, але так, проте, щоб її не міг розгадати покупець. Кинувши погляд на ці букви, торговець відразу проникав у їх прихований зміст і, зробивши надбавку, називав покупцеві ціну із запитом.
Система позначень була дуже проста. Торговець вибирав якесь слово, складене з 10 різних букв; найчастіше зупиняли вибір на словах: працьовитість, правосуддя, ярославец', міролюбец', Міралюбов'. Перша літера слова позначала-1, друга - 2, третя - 3 і т д; десятою буквою позначався нуль За допомогою цих умовних літер-цифр торговець позначав на товарах їх ціну, зберігаючи в строгому секреті «ключ» до своєї системи прибутків.
Якщо наприклад, вибрано було слово
правосуддя
1234567890
то ціна 4 р. 75 к. позначалася так:
в уо.
Іноді ціна на товарі писалася у вигляді дробу, наприклад:
тро
Це значить при ключі «працьовитість», що треба запросити 1 карб. 25 коп, собі ж книжка коштувала 50 коп. [№ 1, стор 13-14]
«Нумерація» в той час давно вже була у широкому вжитку і зрозуміла була кожному, навіть неграмотному селянинові. Сходить вона, без сумніву, до глибокої давнини і споживані була не тільки у нас. Така нумерація називається «народної».
Цікаво, що ця народна нумерація була колись у нас навіть узаконена: за такий саме системі, тільки більш розвиненою, повинні були вестися збирачами податей записи в податковий зошити. «Складальник, - читаємо ми в старому« Зводі законів », - приймаючи від кого-небудь з домохозяєв вносяться до нього гроші, повинен сам, або через писаря, за-писати в податковий зошити проти імені того господаря, якого числа скільки отримано грошей, виставляючи кількість прийнятої суми цифрами і знаками. Знаки оці для зведення всіх і кожного ввести повсюдно однакові, а саме:
В іншому місці того ж тому «Зводу законів» знаходимо ще раз згадка про обов'язкове вживанні народних числових позначень. Наводяться особливі знаки для тисячі рублів-у вигляді шестикутної
зірки з хрестом в ній, і для ста рублів - у вигляді колеса з 8 спицями. Але позначення для рубля і десяти копійок тут встановлюються інші, ніж у попередньому законі.
Ось текст закону про цих так званих «ясачних знаки»:
«Щоб на кожній квитанції, яка видається родовитому Старості, від якого внесено буде ясак, крім викладу словами, було показиваемо особливими знаками число внесених рублів і копійок так, щоб здають простим рахунком цього числа могли бути впевнені у справедливості свідчення *. Наведені у квитанції знаки означають: (зірка) тисяча рублів, (колесо) сто рублів, (квадрат) десять рублів, X один карбованець, ||||| | | | | десять коп., | Копійку.
«Щоб не можна було зробити тут ніяких додатків, всі такі знаки окреслювати колом прямими лініями». Наприклад, 1232 р. 24 к. зображають так, як показано на малюнку. [№ 1, стор 11-13]
Як бачите, що вживаються нами арабські і римські цифри - не єдиний спосіб позначення чисел. За старих часів застосовувалися у нас, та ще й тепер подекуди по селах застосовуються інші системи письмового числення, віддалено схожі з римськими і зовсім не схожі з арабськими цифрами.
§ 3 Системи числення.
Як вже було сказано, в деяких співтовариствах для рахунку використовувалися пальці рук, однак цей спосіб годився лише в межах 10. Де-не-де прогрес пішов далі: до рахунку долучали і пальці ніг, але все одно залишалася проблема з числами більше 20.
Вихід знайшовся: рахувати на пальцях до 10, а потім починати спочатку, окремо підраховуючи кількість десятків. Система числення на основі десяти виникла як природний розвиток пальцевого рахунку. Існувало, однак, кілька відхилень від цієї системи. Наприклад, 4000 років тому жителі Стародавнього Вавилону використовували систему рахунку до 60. Сліди шестидесятеричной системи в наш час збереглися в розподілі години і кутового градуса на 60 хвилин, а хвилини - на 60 секунд.
У міру розвитку мовлення люди почали використовувати слова для позначення чисел. Відпала необхідність показувати кому-то пальці, камінці або реальні предме-ш, щоб назвати їх кількість. Для зображення чисел стали застосовуватися малюнки, креслення або символи. Наприклад, для відповіді на питання «Скільки овець у стаді?» Досить намалювати чи накреслити групу тварин. Але вважати можна набагато швидше, застосовуючи для позначення чисел будь-які символи. Єгиптяни для чисел до 9 використовували послідовності простих штрихів і спеціальний символ - для 10. Вавілоняни мали аналогічну систему, а римляни ввели новий символ при досягненні 5. Існували і системи з окремими символами для кожної цифри до 9 включно, як в арабській системі числення, яку ми зараз використовуємо, а у греків був спеціальний символ і для 10. [№ 3.1, стор 343-344]
З'явилася десяткова система, ймовірно, в Індії. Вибір графічних зображень для цифр, зрозуміло, не є принциповим. Сучасні зображення цифр - проста стилізація древніх арабських цифр. Марокканський історик Абделькарім Боужібар вважає, що арабським цифрам у їх первісному варіанті було надано значення в суворій відповідності з числом кутів, які утворюють фігури.
У десятковій системі кожна цифра несе подвійну інформацію: своє власне значення і місце, яке вона займає в записі числа (розряд). Такі системи числення називаються позиційними. Римську систему числення можна швидше назвати адитивної, оскільки чосло утворюється при додаванні і відніманні значень спеціальних значків. У адитивних системах числення виконувати арифметичні дії безнадійно - не дивно, що такі системи не прижилися. [№ 5, стор.33-34]
Ось запис із щоденника одного математика:
«Я закінчив курс університету 44 років від роду. Через рік, 100-річним хлопцем, я одружився на 34-річній дівчині. Незначна різниця у віці - лише 11 років - сприяла тому, що ми жили спільними інтересами та мріями. Через трохи років у мене була вже й маленька сім'я з 10 дітей. Платні я отримував на місяць всього 200 рублів, з яких 1 / 10 мені доводилося віддавати сестрі, так що ми з дітьми жили на 130 руб. на місяць »і т. д.
На перший погляд дивна біографія, але тільки на перший. Розберемося в чому тут справа.
А вся справа в тому, що уривок написаний з використанням недесятерічной системи числення, такої звичної для більшості людей. Можна легко здогадатися, яку саме систему використовував автор. Секрет видається фразою: «Через рік (Полсен 44 років), 100-річним хлопцем ...» Якщо в від збільшення однієї одиниці числа 44 перетворюється в 100, значить цифра 4 - найбільша в цій системі числення, тобто основою системи є 5 . Трохи складніше перевести інші числа в «рідну» десяткову. Наприклад, нескладно здогадатися, що одна одиниця третього розряду дорівнює 5 в другому ступені, тобто 25 (так само в десятковій системі одна одиниця третього розряду дорівнює 100, тобто 10 2). А одиниця другого розряду дорівнює 5 1, третього - 5 0. Тепер нескладно відновити реальну біографію дивака-автора.
При бажанні можна створити власну біографію в такому ж роді. Скажімо, вам 17 років. Скористаємося для запису віку четвертинної системою числення. Розділимо 17 на 4:
17: 4 = 4, залишок 1
Залишок - це і є число одиниць першого розряду. Результат цілочисельного ділення знову поділимо на 4:
4: 4 = 1, залишок 0
Тепер залишок - число одиниць другого розряду. Ну а останнє приватне - одиниці третього розряду. Тепер складемо з наших відповідей число. Отримали 101, тобто 17 жовтня = 101 4.
Перешкода може виникнути внаслідок того, що в деяких випадках не буде діставати позначень цифр. При зображенні чисел в системах з підставами більше 10 може з'явитися потреба в цифрах «десять», «одинадцять» і т. д. [№ 1, стор 56-57]
Зазвичай для позначення їх застосовують латинський алфавіт: «десять» позначають буквою «А», «одинадцять» - буквою «В». Коли літери закінчуються, нічого не поробиш - доведеться позначати двома, трьома буквами відразу, та ще й обводити, скажімо, кружечком, щоб було видно, що це цифра, а не двозначне число.
Неважко виробляти арифметичні дії в різних системах числення. Тільки треба пам'ятати, що переходити через розряд треба, коли цифра перевищує максимально допустиму в даній системі. Легко здогадатися, що для будь-якої системи така цифра на одиницю менше підстави. Зауважимо, що в самій «маленькою» із систем - двійковій - виконувати різноманітні арифметичні дії з точки зору розумового навантаження легше за все, хоча для цього знадобиться багато часу і паперу (якщо вважати стовпчиком). Ну а в цілому це справа звички.
Легко довести, що в будь-якій системі числення виконуються такі положення (якщо в системі є відповідні цифри):
121: 11 = 11
144: 12 = 12
21 • 21 = 441. [№ 1, стор 67]
Глава 2. Способи запам'ятовування чисел.
§ 1 Різні пристосування для запам'ятовування чисел.
Ймовірно, самий древній спосіб запам'ятовування чисел - камінчиками. Скільки камінчиків - стільки речей треба запам'ятати. Коли камінців не стало вистачати, людина придумала розрядність (системи числення). Число в такому вигляді записати легше, наприклад, за допомогою вузликів. Так робили стародавні перуанці, зав'язуючи вузлики на кількох сплетених разом мотузках. Такий «прилад» називався «квіпос». Він був у принципі еквівалентний наших рахунків і, без сумніву, пов'язаний з ними спільністю походження. На таких рахунках одноразово зав'язаний вузол означав 10, дворазово - 100 і т. д. Однак користуватися таким приладом нелегко: на зав'язування - перев'язування вузликів йде багато часу. Вихід знайшовся - зробити систему рухомого.
Стародавні народи - єгиптяни, греки, римляни - вживали при обчисленнях рахунковий прилад «абак». Це була дошка (стіл), розграфлений на смуги, по яких пересували особливі шашки, що грали роль кісточок наших рахунків Такий вигляд мав грецький абак Абак римський мав форму мідної дошки з жолобами (прорізами), в яких пересувалися кнопки. Споріднений абаку перуанський «квіпос» - ряд ременів або мотузок з зав'язаними на них вузлами цей рахунковий прилад отримає особливе поширення серед перших мешканців Південної Америки, але, без сумніву, був у вжитку також і в Європі. У середині століття, аж до XVI століття, подібні пристосування були широко поширені в Європі. Але тепер видозмінений абак - рахунки - зберігся, здається, тільки у нас, та в Китаї (семікосгочковие рахунки - «Суан-пан» *) і Японії (теж семікосточковие рахунки - «соробан»). Кожен грамотна людина вміє там виконувати на таких рахунках чотири арифметичних дії Між тим Захід майже не знає рахунків, - ви не знайдете їх ні в одному магазині Європи, і лише в початкових школах є величезні рахунки - наочне класне допомога при навчанні нумерації. Бути може, тому-то ми і не цінуємо цього рахункового приладу так високо, як він заслуговує, а дивимося на нього як на наївну кустарну самодельщіну в області лічильних приладів Японці цінують свої рахунки високо. Ось як відгукується про соробане один японський учений «Незважаючи на свою старовину, соробан перевершує всі сучасні лічильні прилади легкістю поводження з ним, простота пристрою і дешевизна»
Ми теж вправі були б пишатися нашими конторськими рахунками, так як при дивовижної простоті пристрою вони по досягається на них результатами можуть змагатися в деяких відносинах навіть зі складними, дорого стоять рахунковими машинами. [№ 1, стор.34-36, 39-40]
Про арифметичних діях на рахунках буде написано в розділі 3.
§ 2 Сучасні способи запам'ятовування чисел.
Найпростіша система числення - двійкова, так як вона використовує тільки дві цифри: нуль і один. Саме таку систему числення використовують сучасні комп'ютери. В основному через те, що такий «мова» легкий для «розуміння» електронних пристроїв: наявність електричного сигналу означає одиницю, його відсутність - нуль. А далі відкриваються воістину безмежні можливості для запам'ятовування самої різної інформації - адже будь-який її вид, будь то текст, зображення, звук або відео, можна представити у вигляді набору чисел. Ввели навіть одиницю інформації: інформація, що говорить про одне з 256 рівноймовірно подій, має об'єм в один байт.
Інформацію у вигляді двійкового коду можна розміщувати на різноманітних носіях. Наприклад, на гнучких магнітних стрічках - у вигляді намагнічених і ненамагніченим областей, на поверхні лазерного диска - у вигляді заглиблень (пітів) і виступів, в інтегральних мікросхемах - складним поєднанням напівпровідникових приладів, виконаним на єдиній підкладці з діелектрика.
В даний час розібравши калькулятор, не побачите там нічого з електроніки, крім маленької інтегральної мікросхеми, залитої невеликою краплею епоксидної смоли. Це наочно ілюструє той факт, що майбутнє сучасної техніки в її мініатюрності. Такий прилад полагодити не представляється можливим: узор з тисяч плоских транзисторів величиною в частки мікрона неможливо змінити краще фахівця. Так і роблять сучасні мікросхеми, захищаючи їх раз і назавжди міцною оболонкою.
Така складність обчислювальної техніки є результатом багатовікового розвитку. Перфокарти (картонні картки в отворами) вперше були застосовані в 1787 р., коли французький ткач Робер Фалькон використовував їх для управління механічним ткацьким верстатом. Пізніше ця система була вдосконалена іншим Ткачем, Жозефом Жаккара. Ряди отворів (перфорація) в наборі карт використовувалися для зберігання деталей узору. При заміні карток ткацький верстат ткав інший візерунок.
«Жакардовий верстат виконає будь-який візерунок, який в змозі уявити собі уяву», - говорив англіцскій математик Чарльз Беббідж. Його настільки вразило розмаїття, яке давали перфокарти, що в 1832 р. він почав проектувати те, що назвав «аналітичної машиною», однак, у той час побудувати такий механізм було неможливо через його складність. Але з цього почалася ера електронної інформації. [№ 3.2, стор 99-100]
Принцип роботи перфокарт дуже простий: у тому місці, де в карті зроблено отвір, можуть стикатися два електроди, і через них потече струм. Зрозуміло, що струм при відносно малій напрузі не зможе пробити картонну картку - сигналу не буде. Виходить, що перфокарта теж використовувала двійковий код для запису інформації в позиційній системі числення - кожен отвір або його відсутність несуть двояку інформацію - про своє місцезнаходження і про одного з цих двох фактів - є дірка або ж її немає.
§ 3 Пам'ять на числа.
Вражаюча сила образів (або ейдосів, як їх називали стародавні греки) була відома людству з найдавніших часів. В даний час ейдетизму розглядається як різновид образної пам'яті, вираженої в збереженні яскравих, наочних образів предметів. Володіє ейдетизму людина не відтворює в пам'яті сприймалися їм предмети, а продовжує як би бачити їх.
У різних осіб буває і різна пам'ять по відношенню до чисел, рокам, цінами; відмінність це залежить від неоднаковою мірою розвитку математичних здібностей. Особа, широко розвинути ці здібності, буде незмінно зберігати ясне і пряме враження про числа і про все, що з ними, тоді як особа зі слабо розвиненими здібностями знайде скрутним пам'ятати що-небудь подібне, навіть посилено займаючись розумовими обчисленнями, але останні, однак, можуть розвинути цю здатність. [№ 6, В. В. Аткінсон]
Є, на мою думку, різниця між запам'ятовуванням, скажімо, дат, цін і формул, що вийшли при вирішенні арифметичних завдань. Незважаючи на те, що у всіх трьох випадках об'єктом запам'ятовування служить число, деяким людям досить складно зіставити кілька запомненних дат цін з певними подіями або товарами. У той же час ця людина може безпомилково розповісти всі подробиці своїх обчислень на недавній контрольної роботи з математики. Тут, на мій погляд, досить суттєвим фактором є зацікавленість особи у запам'ятовуванні числа. Якщо історію вчити нецікаво, то й дати не зможуть укластися в мозку. Хоча я погоджуюся з В. Аткінсоном у тому, що пам'ять можна розвивати, вважаю, що при крайній незацікавленістю предметом це зробити досить складно.
Числа можуть об'єднуватися з усяким предметом, з яким вони природно пов'язані. Але якщо такий відповідний предмет, з яким можна було б пов'язати число, відсутня, то потрібно обмежитися лише способом "простого споглядання". Цей спосіб полягає в тому, що дане число фотографується в розумі, поки останній не відтворить всі деталі і вид числа, як деталі і загальний вид якої-небудь картини. Вам слід уявити собі числа, написані жирним білим шрифтом на чорному полі. Не втрачайте розумової картини, поки ви не будете повністю бачити її своїм уявним поглядом. Мистецтво це зростає з практикою. Але, проте, було б краще пов'язувати числа з якими-небудь підходящими предметами. Теорія такого "споглядального" способу зі зв'язуванням або без нього заснована на тому факті, по-перше, що багато уми сприймають і утримують зорові враження набагато швидше і краще, ніж просту абстрактну ідею без конкретного зображення, і, по-друге, що закон асоціації дає розумової картині з великим числом можливостей легко повертатися в поле свідомості, коли цю картину зажадає думка про предмет. . [№ 6, В. В. Аткінсон, стор 436]
Глава 3. Числення.
§ 1 Множення і ділення на рахунках.
Є багато корисних речей, які ми не цінуємо тільки тому, що, перебуваючи постійно у нас під руками, вони перетворилися в дуже повсякденний предмет домашнього вжитку. До числа таких недостатньо цінують речей належать і наші конторські рахунки - російська народна лічильна машина, що представляє собою видозміну знаменитого «абака» або «лічильної дошки» наших далеких предків.
Напевно, дуже багато вміють складати, віднімати і ділити на два на рахунках.
Ось декілька прийомів, (користуючись якими, всякий вміє швидко складати на рахунках зможе швидко виконувати зустрічаються на практиці приклади множення.
Множення на 2 і на 3 замінюється дворазовим і триразовим складанням.
При множенні на 4 множать спочатку на 2 і складають цей результат з самим собою.
Множення числа на 5 виконується на рахунках так: переносять всі число однієї дротом вище, тобто множать його на 10, а потім ділять цю 10-кратне число навпіл (як ділити на 2 допомогою рахунків - ми вже пояснили вище, на стор 33) .
Замість множення на 6 множать на 5 і додають множиться. Замість множення на 7, множать на 10 і віднімають множимо три рази.
Множення «а 8 замінюють множенням на 10 мінус два.
Точно так само множать на 9: заміняють множенням на 10 мінус один.
При множенні на 10 переносять, як ми вже сказали, все число однієї дротом вище.
Читач, мабуть, вже сам зрозуміє, як треба поступати при множенні на числа, більше 10, і якого роду заміни тут виявляться найбільш зручними. Множник 11 треба, звичайно, замінити 10 + 1. Множник 12 замінюють 10 + 2, або практично 2 +10, тобто спочатку відкладають подвійну кількість, а потім додають подесятереною. Множник 13 замінюється 10 + 3 і т. д.
Легко бачити, між іншим, що з допомогою рахунків дуже зручно множити на такі числа, як на 22, 33, 44, 55 і т. п.; тому треба прагнути при розбитті множників користуватися подібними числами з однаковими цифрами.
До подібним прийомів вдаються і при множенні на числа, більше 100. Якщо подібні штучні прийоми утомливі, ми завжди, звичайно, можемо примножити за допомогою рахунків за загальним правилом, помножуючи кожну цифру множника і записуючи приватні твори - це все ж дає деяке скорочення часу,
Виконувати за допомогою конторських рахунків поділ набагато важче, ніж множити: для цього потрібно запам'ятати цілий ряд особливих прийомів, часом досить хитромудрих.
Ділити на 2 дуже просто.
Набагато складніше прийом розподілу на 3: він полягає в заміні поділу множенням на нескінченну періодичну дріб 0,333 ... (Відомо, що 0,333 .. =
Поділ на 4, звичайно, замінюється дворазовим діленням на 2.
Ще простіше поділ на 5: його замінюють поділом на 10 і подвоєнням результату.
На 6 ділять у два прийоми: спочатку ділять на 2, потім отримане ділять на 3.
Поділ на 7 виконується за допомогою рахунків надто складно, і тому тут викладати його не буду.
На 8 ділять у три прийоми: спочатку на 2, потім отримане знову на 2 і потім ще раз на 2.
Дуже цікавий прийом розподілу на 9. Він заснований на тому, що
Усього простіше, як бачимо, ділити на 2, 10 і 5 і, звичайно, на такі кратні їм числа, як 4, 8, 16, 20, 26, 40, 50, 75, 80, 100. Ці випадки поділки не представляють труднощі і для малодосвідченого лічильника. [№ 1, стор.36-38]
Спробувавши на своєму досвіді нехитрі обчислення на рахунках, я усвідомив всю легкість такого рахунку. Звичайно, мені не вистачало довгострокової практики, але я впевнений, що у досвідченого майстра рахунки в руках - відмінна заміна кишенькового калькулятора. Спостерігати за роботою досвідченого «лічильника» я пішов в найближчий овочевий магазин. Там працює продавець, якого я пам'ятав з тих пір, як переїхав на свою останню квартиру. Вже літній торговець, як часто буває, не міг кинути старий метод і на початку 21-го століття все рахував на рахунках. Та не просто вважав, а вважав мало не швидше «просунутих» з електронними калькуляторами. Чи це не доказ того, що рахунки - винахід на віки?
§ 2 Множення і ділення без приладів.
Тривалий час рахунок чисел виконували тільки усно за допомогою будь-яких предметів - пальців, камінчиків, черепашок та ін, а пізніше на спеціальних приладах - абаці, рахунках. Тільки після того, як була винайдена позиційна система числення і числа стали записувати цифрами індійські мудреці знайшли спосіб додавання чисел в письмовому вигляді. При обчисленнях вони записували числа татком на піску, насипаному на спеціально приготовлену дошку. Цифри, зображені на піску, легко було прати, а на їх місці записувати інші. Ймовірно, цим можна пояснити деякі особливості індійського прийому складання чисел.
У Стародавній Індії було прийнято записувати доданки в стовпчик - одне під іншим; суму ж записували над складовими, складання починали з найвищого розряду, тобто зліва направо. Якщо записана в сумі цифра при додаванні подальшого нижчого розряду змінювалася, то раніше записану цифру прали, а на її місце вписували нову.
З XV століття спосіб письмового додавання чисел прийняв сучасний вид. [№ 2, стор 81-82]
Наводжу коротку довідку про те, коли вперше з'явилися загальновживані тепер знаки арифметичних дій та інші математичні оператори:
+ І - в рукописах Леонардо-да-Вінчі (1452-1519). На початку XV століття дію додавання стали позначати початковою літерою слова «плюс» (по латині Р), що означало «скласти». До цього тривалий час складові просто записували один проти одного без усякого знака. Стародавні єгиптяни позначали складання особливим знаком - малюнком крокуючих ніг. Назва «доданок» вперше зустрічається в роботах математиків XIII ст., А поняття «сума» до XV століття означало результат будь-якого з чотирьох арифметичних дій. Для позначення вирахування в III ст. до Н. е.. У Греції використовували перевернуту літеру пси (Ψ). Італійські математики пользвалісь для позначення вирахування буквою μ, початковою в слові «мінус». Торговці XVI ст., Переливаючись для продажу вино з бочок, рискою крейдою позначали числа заходів проданого вина (ймовірно, так стався знак -). Щоб відрізнити знак мінус від тире, Л. Ф. Магніцький позначав віднімання знаком год.
Х у творі Утреда (1631). Для позначення дії множення в XVI ст. в Європі вживали букву М, яка була початковою в латинському слові, позначається збільшення - «мультиплікація». В кінці XVIII ст. більшість математиків стали вживати для позначення множення точку, але допускали і вживання косого хреста.
. І: у творі Лейбніца (1646-1716). Протягом тисячоліть дію поділки не позначали будь-яким знаком - його просто називали і записували словом. Індійські математики першими стали позначати поділ першої буквою цього слова. До знака: у деяких математиків зустрічався знак год для позначення ділення.
а n у творі Шюке (1484)
= В творі Р. Рекорду (Ріккорда) (1557). Сам Ріккорд пояснював цей знак так: «Ніякі два предмети не можуть більшою мірою бути рівні між собою, як дві паралельні лінії». Знак = став загальновизнаним завдяки авторитету знаменитого німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца.
() І [] в творі Жирара. [№ 1, стор 54; № 2, стор 80-87]
Предки наші користувалися набагато більш громіздкими й повільними прийомами числення. І якби школяр XX століття міг перенестися за чотири, за три століття тому, він побив би наших предків швидкістю і безпомилково своїх арифметичних викладок. Чутка про нього облетіла б навколишні школи і монастирі, затьмаривши славу майстерних лічильників тієї епохи, і з усіх сторін приїздили б навчатися у нового великого майстра рахункового справи.
Прийнято думати, що арифметичні знаки до певної міри інтернаціональні, що вони однакові у всіх народів європейської культури. Це вірно лише по відношенню до більшості знаків, але не до всіх. Знаки + і -, знаки х і: вживаються в однаковому розумінні і німцями, і французами, і англійцями. Але точка, як знак множення, застосовується не цілком тотожний різними народами Одні пишуть 7. 8, інші - 7 • 8, піднімаючи крапку на середину висоти цифри. Те ж доводиться сказати про знак дробности, тобто про знак, що відокремлює десяткову дріб від цілого числа. Одні пишуть як ми, 4,5, інші 4.5, треті 4 · 5, поміщаючи крапку вище середини. Англійці і американці зовсім опускають нуль перед десятковим дробом, чого на континенті Європи ніхто не робить. В американській книзі ви зустрічаєте такі позначення, як .725 або • 725, або навіть, 725 - замість нашого 0,725.
Розчленування числа на класи позначається також не одноманітно. В одних країнах поділяють класи точками (15.000.000), в інших - комами (15,000,000). У нас прищепився розумний звичай не поміщати між класами ніякого знаку, а залишати лише пробіл (15 млн).
Повчально простежити за тим, як змінюється спосіб найменування одного і того ж числа з переходом від однієї мови до іншої. Число 18, наприклад, ми називаємо «вісімнадцять», тобто вимовляємо спочатку одиниці (8), потім десятки (10). У такій же послідовності читає це число німець: achtzehn, т. е. 8-10. Але француз вимовляє інакше: 10-8 (dix - huit). Наскільки різноманітні в різних народів способи найменування того ж числа 18, показує наступне витяг з таблиці, складеної одним дослідником:
по-російськи .... ... .. 8-10
по-німецьки ..... 8-10
по-французьки ... 10-8
по-вірменськи ... ... 10 +8
по-грецьки ... .... 8 +10
по-латині .... ... .. без лютий 1920
по-новозеландська 11 +7
по-валлійська ... .. 3 +5-10
по-литовськи ... ... .. 8 понад 10
по-айносскі ... ... .10 - 2 понад 10
по-коряцкі ... ... .. 3-5 понад 10
Курйозно найменування для того ж числа 18 у одного гренландського племені: «з іншої ноги 3». При всій своїй незвичності ця назва, природно, пояснюється способом рахунку по пальцях рук і ніг. Подібним чином пояснюється карибський найменування числа 18: «всі мої руки, 3, моя рука». [№ 1, стор 26-28]
Особливо складні і важкі були за старих часів дії множення і ділення - особливо останнє, «Множення - моє муки, а з поділом - біда», - казали у давнину. Тоді не існувало ще, як тепер, одного виробленого практикою прийому для кожної дії. Навпаки, в ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і ділення - прийоми один одного заплутаніше, твердо запам'ятати які не в силах була людина середніх здібностей. Кожен вчитель рахункового справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр розподілу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.
У книзі В. Беллюстин «Як поступово дійшли люди до цієї арифметики» (1914) викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «цілком можливо, що є і ще (способи), приховані в тайниках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках ». Наш сучасний спосіб множення описаний там під назвою «шахового». Був також і дуже цікавий, точний, легкий, але громіздкий спосіб «галерою» або «човном», названий так внаслідок того, що пріделеніі чисел цим способом виходить фігура, схожа на човен або галеру. У нас такий спосіб вживався до середини XVIII століття. Протягом своєї книги в 640 сторінок Леонтій Магніцький («Арифметика» - старовинний російський підручник математики, яку Ломоносов називав «вратами своєї вченості») користується виключно способом «галери», не вживаючи, втім, цієї назви.
Згадуються такі способи, як «загинанням», «гратами», «задом наперед», «ромбом», «трикутником» та багато багато інших. Багато такі прийоми для множення чисел довгі і вимагають обов'язкової перевірки.
Улюбленим прийомом перевірки був так званий «спосіб дев'ятки». Цей витончений прийом нерідко описується і в сучасних арифметичних підручниках, особливо іноземних.
Перевірка дев'яткою заснована на "правилі залишків», що стверджує: залишок від ділення суми на будь-яке число дорівнює сумі залишків від ділення кожного доданка на те ж число. Точно так же залишок твори дорівнює добутку залишків множників. З іншого боку, відомо також, що при розподілі числа на 9 виходить той же залишок, що і при розподілі на 9 суми цифр цього числа; наприклад, 758 при діленні на 9 дає залишок 2, і то ж виходить у залишку від ділення (7 + 5 + 8) на 9. Зіставивши обидва зазначених властивості, ми і приходимо до прийому перевірки дев'яткою, тобто поділом на 9.
Цікаво, що і наш спосіб множення не є досконалим; можна придумати ще більш швидкі і ще більш надійні. Одне з таких удосконалень збільшує надійність виконання множення. Воно полягає в тому, що при багатозначному множник починають з множення не на останню, а на першу цифру множника. Виглядає це так:
8713
Х 264
17426
52278
34852
2300232
Останню цифру кожного приватного твори підписують під тією ж цифрою множника, на яку множать.
Перевага подібного розташування в тому, що цифри приватних творів, від яких залежать перші, найбільш відповідальні цифри результату, виходять на початку дії, коли увага ще не втомлена і, отже, ймовірність зробити помилку - менша.
Найбільш, на мій погляд, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який був уживаний у російських селян. Цей прийом взагалі не вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Остання подвійну кількість і дає позитивний результат. У випадку непарного числа треба відкинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до останнього числа правого стовпця потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде потрібним твором. [№ 1, стор 50] Наприклад:
23 х 17 ·
11 х 34 ·
5 х 68 ·
2 х 136
1 х 272; результат 272 + 68 + 34 + 17 = 391.
§ 3 Усний рахунок.
Життя для уважного людини не тільки дивно різноманітна, але і геніально проста. Повною мірою ця фраза належить і до усного рахунку. Часто при арифметичних діях над числами можна полегшити свою працю, якщо знати основи арифметики і володіти деякою кмітливістю. Д. Р. Гончар розповідає про наступні особливості чисел, які допомагають спростити рахунок:
Проміжне приведення до «круглим» числах. Якщо хоча б один доданок близько до «круглого» числу десятків, сотень і ін, тобто А * 10 n - z, де z - порівняно мале число, то обчислення можна спростити, привівши одна з складових до найближчого «круглого» числу і виконавши більш легке обчислення (потім, зрозуміло, врахувавши поправку).
Наведу приклад, так як зрозуміти «з ходу» такий спосіб нелегко. (Далі на кожен спосіб також будуть приводитися приклади)
54 + 95 = 50 + 4 + 100 - 5 = 150 + 4 - 5 = 150 - 1 = 149.
Як видно з прикладу, корисно приводити складові і до чисел, кратним 50, 25 і т. д. Все залежить від конкретного випадку і, повторюся, від вашої кмітливості. Такий спосіб здається мені найпоширенішим, причому багато проробляють такі обчислення автоматично, зовсім не замислюючись над математичним змістом і логічністю способу і вже тим більше не здогадуючись як він називається. Такому прийому навіть не треба вчити, люди самі освоюють його в процесі вивчення математики, постійно стикаючись з такого роду обчисленнями і шукаючи шляхи легше.
Використання зміни порядку рахунку. Цікавий спосіб, що дозволяє працювати з великими числами. Полягає він у тому, що при додаванні чисел нерідко буває корисно складати їх, починаючи зі старших розрядів. Це істотно полегшує усне обчислення.
3264 + 2861 + 4100 =? Складаємо старший розряд доданків: 3 + 2 + 4 = 9; домножаем суму на 10 (приписуємо 0): 9 * 10 = 90; продовжуємо додавати цифри наступного розряду:
90 + 2 + 8 + 1 = 101; повторюємо операцію: 101 * 10 +6 +6 + 0 = 1010 + 12 = 1022; і ще раз:
1022 * 10 + 4 + 1 +0 = 10220 + 5 = 10225.
Ці ж способи, злегка з змінивши, можна застосовувати і до вирахуванню. Д. Р. Гончар пропонує і інші методи, але мені вони здаються надто надуманими, так як застосовані вони або в дуже обмеженій кількості випадків (наприклад спосіб, в якому сума кількох доданків шукається за формулою суми членом арифметичної прогресії), або занадто складні (як , наприклад, складання шестизначних чисел за розрядами попарно). [№ 6, стор.58, 61, Гончар Д.Р.]
Запропоную ще один спосіб, яким завжди користуюся, коли ясно, що при вирахуванні вийде негативне число. Принцип елементарен. Витікає він з справедливості рівності
a - b = - (b - a).
Приклад: 3627 - 9849 =? Набагато легше порахувати різницю 9849 - 3627 = 6222. Результат (з мінусом) і буде відповіддю: 3627 - 9849 = - 6222.
Можна полегшити і множення, якщо, наприклад, числа множника діляться один на одного:
32 * 36 = (32 * 3) * 10 + (32 * 3) * 2 = 96 * 10 +96 * 2 = 960 + 192 = 1152.
Полегшити множення можна, використавши принцип «російського» способу множення, про який уже писалося в параграфі «Множення і ділення без приладів». Так, поступово збільшуючи один із множників в n разів, а інший зменшуючи в n разів, можна навести один із множників до «круглого» увазі:
75 * 24 = 75 *
Є і ще способи, засновані на самих основних законах арифметики (розподільний і сполучним). Про них писати не має сенсу.
Список літератури:
1. "Цікава арифметика", Я. І. Перельман, видавництво і рік видавництва не з'ясовані;
2. "Подорож в історію математики", А. А. Свєчніков, вид. "Педагогіка-Прес", 1995 р.;
3. Тижневик "Древо пізнання", вид. "МС ІСТ ЛІМІТЕД",
1. № 43 у Росії за 2003 р.;
2. № 73 в Росії за 2004 р.;
4. "Старовинні цікаві завдання", С. М. Олехнік, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов, вид. "Віта-Пресс", 1994 р.;
5. "Вікно у дивовижний світ інформатики", М. Г. Коляда, вид. "Сталкер", 1997 р.;
6. "Усний рахунок і пам'ять", Д. Р. Гончар, А. Р. Лурія, В. В. Аткінсон, вид. "Сталкер", 1998 р.;
17: 4 = 4, залишок 1
Залишок - це і є число одиниць першого розряду. Результат цілочисельного ділення знову поділимо на 4:
4: 4 = 1, залишок 0
Тепер залишок - число одиниць другого розряду. Ну а останнє приватне - одиниці третього розряду. Тепер складемо з наших відповідей число. Отримали 101, тобто 17 жовтня = 101 4.
Перешкода може виникнути внаслідок того, що в деяких випадках не буде діставати позначень цифр. При зображенні чисел в системах з підставами більше 10 може з'явитися потреба в цифрах «десять», «одинадцять» і т. д. [№ 1, стор 56-57]
Зазвичай для позначення їх застосовують латинський алфавіт: «десять» позначають буквою «А», «одинадцять» - буквою «В». Коли літери закінчуються, нічого не поробиш - доведеться позначати двома, трьома буквами відразу, та ще й обводити, скажімо, кружечком, щоб було видно, що це цифра, а не двозначне число.
Неважко виробляти арифметичні дії в різних системах числення. Тільки треба пам'ятати, що переходити через розряд треба, коли цифра перевищує максимально допустиму в даній системі. Легко здогадатися, що для будь-якої системи така цифра на одиницю менше підстави. Зауважимо, що в самій «маленькою» із систем - двійковій - виконувати різноманітні арифметичні дії з точки зору розумового навантаження легше за все, хоча для цього знадобиться багато часу і паперу (якщо вважати стовпчиком). Ну а в цілому це справа звички.
Легко довести, що в будь-якій системі числення виконуються такі положення (якщо в системі є відповідні цифри):
121: 11 = 11
144: 12 = 12
21 • 21 = 441. [№ 1, стор 67]
Глава 2. Способи запам'ятовування чисел.
§ 1 Різні пристосування для запам'ятовування чисел.
Ймовірно, самий древній спосіб запам'ятовування чисел - камінчиками. Скільки камінчиків - стільки речей треба запам'ятати. Коли камінців не стало вистачати, людина придумала розрядність (системи числення). Число в такому вигляді записати легше, наприклад, за допомогою вузликів. Так робили стародавні перуанці, зав'язуючи вузлики на кількох сплетених разом мотузках. Такий «прилад» називався «квіпос». Він був у принципі еквівалентний наших рахунків і, без сумніву, пов'язаний з ними спільністю походження. На таких рахунках одноразово зав'язаний вузол означав 10, дворазово - 100 і т. д. Однак користуватися таким приладом нелегко: на зав'язування - перев'язування вузликів йде багато часу. Вихід знайшовся - зробити систему рухомого.
Стародавні народи - єгиптяни, греки, римляни - вживали при обчисленнях рахунковий прилад «абак». Це була дошка (стіл), розграфлений на смуги, по яких пересували особливі шашки, що грали роль кісточок наших рахунків Такий вигляд мав грецький абак Абак римський мав форму мідної дошки з жолобами (прорізами), в яких пересувалися кнопки. Споріднений абаку перуанський «квіпос» - ряд ременів або мотузок з зав'язаними на них вузлами цей рахунковий прилад отримає особливе поширення серед перших мешканців Південної Америки, але, без сумніву, був у вжитку також і в Європі. У середині століття, аж до XVI століття, подібні пристосування були широко поширені в Європі. Але тепер видозмінений абак - рахунки - зберігся, здається, тільки у нас, та в Китаї (семікосгочковие рахунки - «Суан-пан» *) і Японії (теж семікосточковие рахунки - «соробан»). Кожен грамотна людина вміє там виконувати на таких рахунках чотири арифметичних дії Між тим Захід майже не знає рахунків, - ви не знайдете їх ні в одному магазині Європи, і лише в початкових школах є величезні рахунки - наочне класне допомога при навчанні нумерації. Бути може, тому-то ми і не цінуємо цього рахункового приладу так високо, як він заслуговує, а дивимося на нього як на наївну кустарну самодельщіну в області лічильних приладів Японці цінують свої рахунки високо. Ось як відгукується про соробане один японський учений «Незважаючи на свою старовину, соробан перевершує всі сучасні лічильні прилади легкістю поводження з ним, простота пристрою і дешевизна»
Ми теж вправі були б пишатися нашими конторськими рахунками, так як при дивовижної простоті пристрою вони по досягається на них результатами можуть змагатися в деяких відносинах навіть зі складними, дорого стоять рахунковими машинами. [№ 1, стор.34-36, 39-40]
Про арифметичних діях на рахунках буде написано в розділі 3.
§ 2 Сучасні способи запам'ятовування чисел.
Найпростіша система числення - двійкова, так як вона використовує тільки дві цифри: нуль і один. Саме таку систему числення використовують сучасні комп'ютери. В основному через те, що такий «мова» легкий для «розуміння» електронних пристроїв: наявність електричного сигналу означає одиницю, його відсутність - нуль. А далі відкриваються воістину безмежні можливості для запам'ятовування самої різної інформації - адже будь-який її вид, будь то текст, зображення, звук або відео, можна представити у вигляді набору чисел. Ввели навіть одиницю інформації: інформація, що говорить про одне з 256 рівноймовірно подій, має об'єм в один байт.
Інформацію у вигляді двійкового коду можна розміщувати на різноманітних носіях. Наприклад, на гнучких магнітних стрічках - у вигляді намагнічених і ненамагніченим областей, на поверхні лазерного диска - у вигляді заглиблень (пітів) і виступів, в інтегральних мікросхемах - складним поєднанням напівпровідникових приладів, виконаним на єдиній підкладці з діелектрика.
В даний час розібравши калькулятор, не побачите там нічого з електроніки, крім маленької інтегральної мікросхеми, залитої невеликою краплею епоксидної смоли. Це наочно ілюструє той факт, що майбутнє сучасної техніки в її мініатюрності. Такий прилад полагодити не представляється можливим: узор з тисяч плоских транзисторів величиною в частки мікрона неможливо змінити краще фахівця. Так і роблять сучасні мікросхеми, захищаючи їх раз і назавжди міцною оболонкою.
Така складність обчислювальної техніки є результатом багатовікового розвитку. Перфокарти (картонні картки в отворами) вперше були застосовані в 1787 р., коли французький ткач Робер Фалькон використовував їх для управління механічним ткацьким верстатом. Пізніше ця система була вдосконалена іншим Ткачем, Жозефом Жаккара. Ряди отворів (перфорація) в наборі карт використовувалися для зберігання деталей узору. При заміні карток ткацький верстат ткав інший візерунок.
«Жакардовий верстат виконає будь-який візерунок, який в змозі уявити собі уяву», - говорив англіцскій математик Чарльз Беббідж. Його настільки вразило розмаїття, яке давали перфокарти, що в 1832 р. він почав проектувати те, що назвав «аналітичної машиною», однак, у той час побудувати такий механізм було неможливо через його складність. Але з цього почалася ера електронної інформації. [№ 3.2, стор 99-100]
Принцип роботи перфокарт дуже простий: у тому місці, де в карті зроблено отвір, можуть стикатися два електроди, і через них потече струм. Зрозуміло, що струм при відносно малій напрузі не зможе пробити картонну картку - сигналу не буде. Виходить, що перфокарта теж використовувала двійковий код для запису інформації в позиційній системі числення - кожен отвір або його відсутність несуть двояку інформацію - про своє місцезнаходження і про одного з цих двох фактів - є дірка або ж її немає.
§ 3 Пам'ять на числа.
Вражаюча сила образів (або ейдосів, як їх називали стародавні греки) була відома людству з найдавніших часів. В даний час ейдетизму розглядається як різновид образної пам'яті, вираженої в збереженні яскравих, наочних образів предметів. Володіє ейдетизму людина не відтворює в пам'яті сприймалися їм предмети, а продовжує як би бачити їх.
У різних осіб буває і різна пам'ять по відношенню до чисел, рокам, цінами; відмінність це залежить від неоднаковою мірою розвитку математичних здібностей. Особа, широко розвинути ці здібності, буде незмінно зберігати ясне і пряме враження про числа і про все, що з ними, тоді як особа зі слабо розвиненими здібностями знайде скрутним пам'ятати що-небудь подібне, навіть посилено займаючись розумовими обчисленнями, але останні, однак, можуть розвинути цю здатність. [№ 6, В. В. Аткінсон]
Є, на мою думку, різниця між запам'ятовуванням, скажімо, дат, цін і формул, що вийшли при вирішенні арифметичних завдань. Незважаючи на те, що у всіх трьох випадках об'єктом запам'ятовування служить число, деяким людям досить складно зіставити кілька запомненних дат цін з певними подіями або товарами. У той же час ця людина може безпомилково розповісти всі подробиці своїх обчислень на недавній контрольної роботи з математики. Тут, на мій погляд, досить суттєвим фактором є зацікавленість особи у запам'ятовуванні числа. Якщо історію вчити нецікаво, то й дати не зможуть укластися в мозку. Хоча я погоджуюся з В. Аткінсоном у тому, що пам'ять можна розвивати, вважаю, що при крайній незацікавленістю предметом це зробити досить складно.
Числа можуть об'єднуватися з усяким предметом, з яким вони природно пов'язані. Але якщо такий відповідний предмет, з яким можна було б пов'язати число, відсутня, то потрібно обмежитися лише способом "простого споглядання". Цей спосіб полягає в тому, що дане число фотографується в розумі, поки останній не відтворить всі деталі і вид числа, як деталі і загальний вид якої-небудь картини. Вам слід уявити собі числа, написані жирним білим шрифтом на чорному полі. Не втрачайте розумової картини, поки ви не будете повністю бачити її своїм уявним поглядом. Мистецтво це зростає з практикою. Але, проте, було б краще пов'язувати числа з якими-небудь підходящими предметами. Теорія такого "споглядального" способу зі зв'язуванням або без нього заснована на тому факті, по-перше, що багато уми сприймають і утримують зорові враження набагато швидше і краще, ніж просту абстрактну ідею без конкретного зображення, і, по-друге, що закон асоціації дає розумової картині з великим числом можливостей легко повертатися в поле свідомості, коли цю картину зажадає думка про предмет. . [№ 6, В. В. Аткінсон, стор 436]
Глава 3. Числення.
§ 1 Множення і ділення на рахунках.
Є багато корисних речей, які ми не цінуємо тільки тому, що, перебуваючи постійно у нас під руками, вони перетворилися в дуже повсякденний предмет домашнього вжитку. До числа таких недостатньо цінують речей належать і наші конторські рахунки - російська народна лічильна машина, що представляє собою видозміну знаменитого «абака» або «лічильної дошки» наших далеких предків.
Напевно, дуже багато вміють складати, віднімати і ділити на два на рахунках.
Ось декілька прийомів, (користуючись якими, всякий вміє швидко складати на рахунках зможе швидко виконувати зустрічаються на практиці приклади множення.
Множення на 2 і на 3 замінюється дворазовим і триразовим складанням.
При множенні на 4 множать спочатку на 2 і складають цей результат з самим собою.
Множення числа на 5 виконується на рахунках так: переносять всі число однієї дротом вище, тобто множать його на 10, а потім ділять цю 10-кратне число навпіл (як ділити на 2 допомогою рахунків - ми вже пояснили вище, на стор 33) .
Замість множення на 6 множать на 5 і додають множиться. Замість множення на 7, множать на 10 і віднімають множимо три рази.
Множення «а 8 замінюють множенням на 10 мінус два.
Точно так само множать на 9: заміняють множенням на 10 мінус один.
При множенні на 10 переносять, як ми вже сказали, все число однієї дротом вище.
Читач, мабуть, вже сам зрозуміє, як треба поступати при множенні на числа, більше 10, і якого роду заміни тут виявляться найбільш зручними. Множник 11 треба, звичайно, замінити 10 + 1. Множник 12 замінюють 10 + 2, або практично 2 +10, тобто спочатку відкладають подвійну кількість, а потім додають подесятереною. Множник 13 замінюється 10 + 3 і т. д.
Легко бачити, між іншим, що з допомогою рахунків дуже зручно множити на такі числа, як на 22, 33, 44, 55 і т. п.; тому треба прагнути при розбитті множників користуватися подібними числами з однаковими цифрами.
До подібним прийомів вдаються і при множенні на числа, більше 100. Якщо подібні штучні прийоми утомливі, ми завжди, звичайно, можемо примножити за допомогою рахунків за загальним правилом, помножуючи кожну цифру множника і записуючи приватні твори - це все ж дає деяке скорочення часу,
Виконувати за допомогою конторських рахунків поділ набагато важче, ніж множити: для цього потрібно запам'ятати цілий ряд особливих прийомів, часом досить хитромудрих.
Ділити на 2 дуже просто.
Набагато складніше прийом розподілу на 3: він полягає в заміні поділу множенням на нескінченну періодичну дріб 0,333 ... (Відомо, що 0,333 .. =
Поділ на 4, звичайно, замінюється дворазовим діленням на 2.
Ще простіше поділ на 5: його замінюють поділом на 10 і подвоєнням результату.
На 6 ділять у два прийоми: спочатку ділять на 2, потім отримане ділять на 3.
Поділ на 7 виконується за допомогою рахунків надто складно, і тому тут викладати його не буду.
На 8 ділять у три прийоми: спочатку на 2, потім отримане знову на 2 і потім ще раз на 2.
Дуже цікавий прийом розподілу на 9. Він заснований на тому, що
Усього простіше, як бачимо, ділити на 2, 10 і 5 і, звичайно, на такі кратні їм числа, як 4, 8, 16, 20, 26, 40, 50, 75, 80, 100. Ці випадки поділки не представляють труднощі і для малодосвідченого лічильника. [№ 1, стор.36-38]
Спробувавши на своєму досвіді нехитрі обчислення на рахунках, я усвідомив всю легкість такого рахунку. Звичайно, мені не вистачало довгострокової практики, але я впевнений, що у досвідченого майстра рахунки в руках - відмінна заміна кишенькового калькулятора. Спостерігати за роботою досвідченого «лічильника» я пішов в найближчий овочевий магазин. Там працює продавець, якого я пам'ятав з тих пір, як переїхав на свою останню квартиру. Вже літній торговець, як часто буває, не міг кинути старий метод і на початку 21-го століття все рахував на рахунках. Та не просто вважав, а вважав мало не швидше «просунутих» з електронними калькуляторами. Чи це не доказ того, що рахунки - винахід на віки?
§ 2 Множення і ділення без приладів.
Тривалий час рахунок чисел виконували тільки усно за допомогою будь-яких предметів - пальців, камінчиків, черепашок та ін, а пізніше на спеціальних приладах - абаці, рахунках. Тільки після того, як була винайдена позиційна система числення і числа стали записувати цифрами індійські мудреці знайшли спосіб додавання чисел в письмовому вигляді. При обчисленнях вони записували числа татком на піску, насипаному на спеціально приготовлену дошку. Цифри, зображені на піску, легко було прати, а на їх місці записувати інші. Ймовірно, цим можна пояснити деякі особливості індійського прийому складання чисел.
У Стародавній Індії було прийнято записувати доданки в стовпчик - одне під іншим; суму ж записували над складовими, складання починали з найвищого розряду, тобто зліва направо. Якщо записана в сумі цифра при додаванні подальшого нижчого розряду змінювалася, то раніше записану цифру прали, а на її місце вписували нову.
З XV століття спосіб письмового додавання чисел прийняв сучасний вид. [№ 2, стор 81-82]
Наводжу коротку довідку про те, коли вперше з'явилися загальновживані тепер знаки арифметичних дій та інші математичні оператори:
+ І - в рукописах Леонардо-да-Вінчі (1452-1519). На початку XV століття дію додавання стали позначати початковою літерою слова «плюс» (по латині Р), що означало «скласти». До цього тривалий час складові просто записували один проти одного без усякого знака. Стародавні єгиптяни позначали складання особливим знаком - малюнком крокуючих ніг. Назва «доданок» вперше зустрічається в роботах математиків XIII ст., А поняття «сума» до XV століття означало результат будь-якого з чотирьох арифметичних дій. Для позначення вирахування в III ст. до Н. е.. У Греції використовували перевернуту літеру пси (Ψ). Італійські математики пользвалісь для позначення вирахування буквою μ, початковою в слові «мінус». Торговці XVI ст., Переливаючись для продажу вино з бочок, рискою крейдою позначали числа заходів проданого вина (ймовірно, так стався знак -). Щоб відрізнити знак мінус від тире, Л. Ф. Магніцький позначав віднімання знаком год.
Х у творі Утреда (1631). Для позначення дії множення в XVI ст. в Європі вживали букву М, яка була початковою в латинському слові, позначається збільшення - «мультиплікація». В кінці XVIII ст. більшість математиків стали вживати для позначення множення точку, але допускали і вживання косого хреста.
. І: у творі Лейбніца (1646-1716). Протягом тисячоліть дію поділки не позначали будь-яким знаком - його просто називали і записували словом. Індійські математики першими стали позначати поділ першої буквою цього слова. До знака: у деяких математиків зустрічався знак год для позначення ділення.
а n у творі Шюке (1484)
= В творі Р. Рекорду (Ріккорда) (1557). Сам Ріккорд пояснював цей знак так: «Ніякі два предмети не можуть більшою мірою бути рівні між собою, як дві паралельні лінії». Знак = став загальновизнаним завдяки авторитету знаменитого німецького математика Готфріда Вільгельма Лейбніца.
() І [] в творі Жирара. [№ 1, стор 54; № 2, стор 80-87]
Предки наші користувалися набагато більш громіздкими й повільними прийомами числення. І якби школяр XX століття міг перенестися за чотири, за три століття тому, він побив би наших предків швидкістю і безпомилково своїх арифметичних викладок. Чутка про нього облетіла б навколишні школи і монастирі, затьмаривши славу майстерних лічильників тієї епохи, і з усіх сторін приїздили б навчатися у нового великого майстра рахункового справи.
Прийнято думати, що арифметичні знаки до певної міри інтернаціональні, що вони однакові у всіх народів європейської культури. Це вірно лише по відношенню до більшості знаків, але не до всіх. Знаки + і -, знаки х і: вживаються в однаковому розумінні і німцями, і французами, і англійцями. Але точка, як знак множення, застосовується не цілком тотожний різними народами Одні пишуть 7. 8, інші - 7 • 8, піднімаючи крапку на середину висоти цифри. Те ж доводиться сказати про знак дробности, тобто про знак, що відокремлює десяткову дріб від цілого числа. Одні пишуть як ми, 4,5, інші 4.5, треті 4 · 5, поміщаючи крапку вище середини. Англійці і американці зовсім опускають нуль перед десятковим дробом, чого на континенті Європи ніхто не робить. В американській книзі ви зустрічаєте такі позначення, як .725 або • 725, або навіть, 725 - замість нашого 0,725.
Розчленування числа на класи позначається також не одноманітно. В одних країнах поділяють класи точками (15.000.000), в інших - комами (15,000,000). У нас прищепився розумний звичай не поміщати між класами ніякого знаку, а залишати лише пробіл (15 млн).
Повчально простежити за тим, як змінюється спосіб найменування одного і того ж числа з переходом від однієї мови до іншої. Число 18, наприклад, ми називаємо «вісімнадцять», тобто вимовляємо спочатку одиниці (8), потім десятки (10). У такій же послідовності читає це число німець: achtzehn, т. е. 8-10. Але француз вимовляє інакше: 10-8 (dix - huit). Наскільки різноманітні в різних народів способи найменування того ж числа 18, показує наступне витяг з таблиці, складеної одним дослідником:
по-російськи .... ... .. 8-10
по-німецьки ..... 8-10
по-французьки ... 10-8
по-вірменськи ... ... 10 +8
по-грецьки ... .... 8 +10
по-латині .... ... .. без лютий 1920
по-новозеландська 11 +7
по-валлійська ... .. 3 +5-10
по-литовськи ... ... .. 8 понад 10
по-айносскі ... ... .10 - 2 понад 10
по-коряцкі ... ... .. 3-5 понад 10
Курйозно найменування для того ж числа 18 у одного гренландського племені: «з іншої ноги 3». При всій своїй незвичності ця назва, природно, пояснюється способом рахунку по пальцях рук і ніг. Подібним чином пояснюється карибський найменування числа 18: «всі мої руки, 3, моя рука». [№ 1, стор 26-28]
Особливо складні і важкі були за старих часів дії множення і ділення - особливо останнє, «Множення - моє муки, а з поділом - біда», - казали у давнину. Тоді не існувало ще, як тепер, одного виробленого практикою прийому для кожної дії. Навпаки, в ходу була одночасно мало не дюжина різних способів множення і ділення - прийоми один одного заплутаніше, твердо запам'ятати які не в силах була людина середніх здібностей. Кожен вчитель рахункового справи тримався свого улюбленого прийому, кожен «магістр розподілу» (були такі фахівці) вихваляв власний спосіб виконання цієї дії.
У книзі В. Беллюстин «Як поступово дійшли люди до цієї арифметики» (1914) викладено 27 способів множення, причому автор зауважує: «цілком можливо, що є і ще (способи), приховані в тайниках книгосховищ, розкидані в численних, головним чином, рукописних збірниках ». Наш сучасний спосіб множення описаний там під назвою «шахового». Був також і дуже цікавий, точний, легкий, але громіздкий спосіб «галерою» або «човном», названий так внаслідок того, що пріделеніі чисел цим способом виходить фігура, схожа на човен або галеру. У нас такий спосіб вживався до середини XVIII століття. Протягом своєї книги в 640 сторінок Леонтій Магніцький («Арифметика» - старовинний російський підручник математики, яку Ломоносов називав «вратами своєї вченості») користується виключно способом «галери», не вживаючи, втім, цієї назви.
Згадуються такі способи, як «загинанням», «гратами», «задом наперед», «ромбом», «трикутником» та багато багато інших. Багато такі прийоми для множення чисел довгі і вимагають обов'язкової перевірки.
Улюбленим прийомом перевірки був так званий «спосіб дев'ятки». Цей витончений прийом нерідко описується і в сучасних арифметичних підручниках, особливо іноземних.
Перевірка дев'яткою заснована на "правилі залишків», що стверджує: залишок від ділення суми на будь-яке число дорівнює сумі залишків від ділення кожного доданка на те ж число. Точно так же залишок твори дорівнює добутку залишків множників. З іншого боку, відомо також, що при розподілі числа на 9 виходить той же залишок, що і при розподілі на 9 суми цифр цього числа; наприклад, 758 при діленні на 9 дає залишок 2, і то ж виходить у залишку від ділення (7 + 5 + 8) на 9. Зіставивши обидва зазначених властивості, ми і приходимо до прийому перевірки дев'яткою, тобто поділом на 9.
Цікаво, що і наш спосіб множення не є досконалим; можна придумати ще більш швидкі і ще більш надійні. Одне з таких удосконалень збільшує надійність виконання множення. Воно полягає в тому, що при багатозначному множник починають з множення не на останню, а на першу цифру множника. Виглядає це так:
8713
Х 264
52278
2300232
Останню цифру кожного приватного твори підписують під тією ж цифрою множника, на яку множать.
Перевага подібного розташування в тому, що цифри приватних творів, від яких залежать перші, найбільш відповідальні цифри результату, виходять на початку дії, коли увага ще не втомлена і, отже, ймовірність зробити помилку - менша.
Найбільш, на мій погляд, «рідним» і легким способом множення є спосіб, який був уживаний у російських селян. Цей прийом взагалі не вимагає знання таблиці множення далі числа 2. Сутність його в тому, що множення будь-яких двох чисел зводиться до ряду послідовних поділів одного числа навпіл при одночасному подвоєнні іншого числа. Розподіл навпіл продовжують до тих пір, поки в приватному не вийде 1, паралельно подвоюючи інше число. Остання подвійну кількість і дає позитивний результат. У випадку непарного числа треба відкинути одиницю і ділити залишок навпіл; але зате до останнього числа правого стовпця потрібно буде додати всі ті числа цього стовпця, які стоять проти непарних чисел лівого стовпця: сума і буде потрібним твором. [№ 1, стор 50] Наприклад:
23 х 17 ·
11 х 34 ·
5 х 68 ·
2 х 136
1 х 272; результат 272 + 68 + 34 + 17 = 391.
§ 3 Усний рахунок.
Життя для уважного людини не тільки дивно різноманітна, але і геніально проста. Повною мірою ця фраза належить і до усного рахунку. Часто при арифметичних діях над числами можна полегшити свою працю, якщо знати основи арифметики і володіти деякою кмітливістю. Д. Р. Гончар розповідає про наступні особливості чисел, які допомагають спростити рахунок:
Проміжне приведення до «круглим» числах. Якщо хоча б один доданок близько до «круглого» числу десятків, сотень і ін, тобто А * 10 n - z, де z - порівняно мале число, то обчислення можна спростити, привівши одна з складових до найближчого «круглого» числу і виконавши більш легке обчислення (потім, зрозуміло, врахувавши поправку).
Наведу приклад, так як зрозуміти «з ходу» такий спосіб нелегко. (Далі на кожен спосіб також будуть приводитися приклади)
54 + 95 = 50 + 4 + 100 - 5 = 150 + 4 - 5 = 150 - 1 = 149.
Як видно з прикладу, корисно приводити складові і до чисел, кратним 50, 25 і т. д. Все залежить від конкретного випадку і, повторюся, від вашої кмітливості. Такий спосіб здається мені найпоширенішим, причому багато проробляють такі обчислення автоматично, зовсім не замислюючись над математичним змістом і логічністю способу і вже тим більше не здогадуючись як він називається. Такому прийому навіть не треба вчити, люди самі освоюють його в процесі вивчення математики, постійно стикаючись з такого роду обчисленнями і шукаючи шляхи легше.
Використання зміни порядку рахунку. Цікавий спосіб, що дозволяє працювати з великими числами. Полягає він у тому, що при додаванні чисел нерідко буває корисно складати їх, починаючи зі старших розрядів. Це істотно полегшує усне обчислення.
3264 + 2861 + 4100 =? Складаємо старший розряд доданків: 3 + 2 + 4 = 9; домножаем суму на 10 (приписуємо 0): 9 * 10 = 90; продовжуємо додавати цифри наступного розряду:
90 + 2 + 8 + 1 = 101; повторюємо операцію: 101 * 10 +6 +6 + 0 = 1010 + 12 = 1022; і ще раз:
1022 * 10 + 4 + 1 +0 = 10220 + 5 = 10225.
Ці ж способи, злегка з змінивши, можна застосовувати і до вирахуванню. Д. Р. Гончар пропонує і інші методи, але мені вони здаються надто надуманими, так як застосовані вони або в дуже обмеженій кількості випадків (наприклад спосіб, в якому сума кількох доданків шукається за формулою суми членом арифметичної прогресії), або занадто складні (як , наприклад, складання шестизначних чисел за розрядами попарно). [№ 6, стор.58, 61, Гончар Д.Р.]
Запропоную ще один спосіб, яким завжди користуюся, коли ясно, що при вирахуванні вийде негативне число. Принцип елементарен. Витікає він з справедливості рівності
a - b = - (b - a).
Приклад: 3627 - 9849 =? Набагато легше порахувати різницю 9849 - 3627 = 6222. Результат (з мінусом) і буде відповіддю: 3627 - 9849 = - 6222.
Можна полегшити і множення, якщо, наприклад, числа множника діляться один на одного:
32 * 36 = (32 * 3) * 10 + (32 * 3) * 2 = 96 * 10 +96 * 2 = 960 + 192 = 1152.
Полегшити множення можна, використавши принцип «російського» способу множення, про який уже писалося в параграфі «Множення і ділення без приладів». Так, поступово збільшуючи один із множників в n разів, а інший зменшуючи в n разів, можна навести один із множників до «круглого» увазі:
75 * 24 = 75 *
Є і ще способи, засновані на самих основних законах арифметики (розподільний і сполучним). Про них писати не має сенсу.
Список літератури:
1. "Цікава арифметика", Я. І. Перельман, видавництво і рік видавництва не з'ясовані;
2. "Подорож в історію математики", А. А. Свєчніков, вид. "Педагогіка-Прес", 1995 р.;
3. Тижневик "Древо пізнання", вид. "МС ІСТ ЛІМІТЕД",
1. № 43 у Росії за 2003 р.;
2. № 73 в Росії за 2004 р.;
4. "Старовинні цікаві завдання", С. М. Олехнік, Ю. В. Нестеренко, М. К. Потапов, вид. "Віта-Пресс", 1994 р.;
5. "Вікно у дивовижний світ інформатики", М. Г. Коляда, вид. "Сталкер", 1997 р.;
6. "Усний рахунок і пам'ять", Д. Р. Гончар, А. Р. Лурія, В. В. Аткінсон, вид. "Сталкер", 1998 р.;