Інтерполяція функції однієї змінної методом Ньютона

[ виправити ] текст може містити помилки, будь ласка перевіряйте перш ніж використовувати.

скачати

Анотація

Пояснювальна записка курсової роботи "Інтерполяція функції однієї змінної методом Ньютона" містить у собі вступ, аналіз завдання описом вхідних і вихідних даних, огляд літературних джерел, опис математичної моделі і методів обчислювальної математики, пояснення до алгоритму, текст програми, інструкцію. При вивченні дисципліни "Інформатика" для написання курсової роботи використовувалися різні літературні джерела, які перераховані в цьому документі. У цій роботі наведена програма, яка застосовується для інтерполяції таблично заданої функції методом Ньютона. У ній був використаний метод структурного програмування для полегшення написання та налагодження програми, а також підвищення її наочності і читаності. Метою написання даної роботи було отримання та закріплення практичних навичок розробки алгоритмів різними методами. Представлена ​​програма реалізована на мові програмування Pascal. Пояснювальна записка містить 25 аркушів, на яких розміщено два малюнки, текст програми та опис програми і алгоритму.

Зміст

Введення

Аналіз завдання

Математична модель задачі

Програмування функції формули Ньютона

Огляд літературних джерел

Розробка програми за схемою алгоритму

Інструкція користування програмою

Текст програми

Вихідні дані і результат рішення контрольного прикладу

Висновок

Список використаних джерел

Введення

Сучасний розвиток фізики та техніки тісно пов'язане з використанням електронних обчислювальних машин (ЕОМ). В даний час ЕОМ стали звичайним обладнанням багатьох інститутів і конструкторських бюро. Це дозволило від найпростіших розрахунків і оцінок різних конструкцій або процесів перейти до нової стадії роботи - детального математичного моделювання (обчислювальному експерименту), яке істотно скорочує потребу в натурних експериментах, а в ряді випадків може їх замінити.

Складні обчислювальні задачі, що виникають при дослідженні фізичних та технічних проблем, можна розбити на ряд елементарних-таких як обчислення інтеграла, рішення диференціального рівняння і т. п. Багато елементарні завдання є нескладними і добре вивчені. Для цих завдань вже розроблені методи чисельного рішення, і нерідко є стандартні програми вирішення їх на ЕОМ. Є й досить складні елементарні завдання, методи вирішення таких завдань зараз інтенсивно розробляються.

У зв'язку з цим сучасний фахівець з вищою освітою має володіти не тільки високим рівнем підготовки за профілем своєї спеціальності, а й добре знати математичні методи розв'язання інженерних задач, орієнтуватися на використання обчислювальної техніки, практично освоїти принципи роботи на ЕОМ.

Аналіз завдання

В якості вхідних даних використані:

  1. Кількість вузлів.

  2. Табличні значення функції.

Вихідними даними, тобто результатом програми є:

  1. Значення таблично заданої функції в проміжних значеннях.

  2. Графік полінома.

Математична модель задачі

При виконанні курсової роботи була обрана наступна математична модель:

Інтерполяція і наближення функцій.

1. Постановка завдання.

Однією з основних задач чисельного аналізу є задача про інтерполяції функцій. Часто потрібно відновити функцію для всіх значень на відрізку якщо відомі її значення в деякому кінцевому числі точок цього відрізка. Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень (вимірювань) в якомусь натурному експерименті, або в результаті обчислень. Крім того, може виявитися, що функція задається формулою і обчислення її значень за цією формулою дуже трудомісткі, тому бажано мати для функції більш просту (менш трудомістку для обчисленні) формулу, яка дозволяла б знаходити наближене значення аналізованої функції з необхідною точністю в будь-якій точці відрізка. У результаті виникає наступна математична задача.

Нехай і »відрізку задана сітка зі

і в її вузлах задані значення функції , Рівні

.

Потрібно побудувати інтерполянту - функцію , Збігається з функцією у вузлах сітки:

.

Основна мета інтерполяції - одержати швидкий (економічний) алгоритм обчислення значень для значень , Які не містяться в таблиці даних.

2. Інтерполяція за Ньютоном

Дана таблична функція:

i

0

1

2

..

..

..

n


Або

, (1)

Точки з координатами називаються вузловими точками або вузлами.

Кількість вузлів в табличній функції дорівнює N = n +1.

Необхідно знайти значення цієї функції в проміжній точці, наприклад, , Причому . Для вирішення завдання використовується інтерполяційний многочлен.

Інтерполяційний многочлен за формулою Ньютона має вигляд:

де n - ступінь многочлена,

Інтерполяціонная формула Ньютона формула дозволяє висловити інтерполяційний многочлен через значення в одному з вузлів і через розділені різниці функції , Побудовані по вузлах .

Спочатку наведемо необхідні відомості про розділених різницях.

Нехай у вузлах

,

відомі значення функції . Припустимо, що серед точок , , Немає співпадаючих. Розділеними різницями першого порядку називаються відносини

, , .

Будемо розглядати розділені різниці, складені за сусіднім вузлам, тобто вираження

.

За цим розділеним разностям першого порядку можна побудувати розділені різниці другого порядку:

,

,

Таким чином, розділена різниця -Го порядку на ділянці може бути визначена через розділені різниці -Го порядку по рекуррентной формулою:

. (3)

де , , - Ступінь многочлена.

Максимальне значення одно . Тоді і розділена різниця n-го порядку на ділянці дорівнює

,

тобто дорівнює різниці розділених різниць -Го порядку, розділеної на довжину ділянки .

Розділені різниці

є цілком визначеними числами, тому вираз (1) дійсно є алгебраїчним многочленом -Го ступеня. При цьому в многочлене (1) всі розділені різниці визначені для ділянок , .

При обчисленні розділених різниць прийнято записувати їх у вигляді таблиці




























Розділена різниця -Го порядку наступним чином виражається через значення функції у вузлах:

. (1)

Цю формулу можна довести методом індукції. Нам буде потрібно окремий випадок формули (1):

Інтерполяційним многочленом Ньютона називається многочлен

Розглянута форма полінома Ньютона носить назву першої інтерполяційної формули Ньютона, і використовується, зазвичай, при інтерполювання спочатку таблиці.

Зауважимо, що рішення задачі інтерполяції за Ньютоном має деякі переваги в порівнянні з рішенням задачі інтерполяції за Лагранжа. Кожне складова інтерполяційного многочлена Лагранжа залежить від усіх значень табличній функції y i, i = 0,1, ... n. Тому при зміні кількості вузлових точок N і ступеня многочлена n (n = N-1) інтерполяційний многочлен Лагранжа потрібно будувати заново. У многочлене Ньютона при зміні кількості вузлових точок N і ступеня многочлена n потрібно тільки додати або відкинути відповідну кількість стандартних доданків у формулі Ньютона (2). Це зручно на практиці і прискорює процес обчислень.

Програмування функції формули Ньютона

Для побудови многочлена Ньютона за формулою (1) організуємо циклічний обчислювальний процес за . При цьому на кожному кроці пошуку знаходимо розділені різниці k-го порядку. Будемо поміщати розділені різниці на кожному кроці в масив Y.

Тоді рекурентна формула (3) буде мати вигляд:

(4)

У формулі Ньютона (2) використовуються розділені різниці -Го порядку, підраховані тільки для ділянок тобто розділені різниці -Го порядку для . Позначимо ці розділені різниці k-го порядку як . А розділені різниці, підраховані для , Використовуються для розрахунків розділених різниць більш високих порядків.

Використовуючи (4), звернемо формулу (2). У результаті отримаємо

(5)

де

- Значення табличній функції (1) для .

- Поділена різниця -Го порядку для ділянки .

.

Для обчислення Р зручно використовувати рекуррентную формулу всередині циклу по .

Схема алгоритму інтерполяції по Ньютону представлена ​​на малюнку:


Function POlinom (n: integer; d: real; x, y: per): real;

var

l: real;

k, i: integer;

p: real;

begin

L: = y [0];

P: = 1;

for k: = 1 to n do begin

P: = P * (DX [k-1]);

for i: = 0 to (nk) do begin

Y [i]: = (y [i +1]-y [i]) / (x [i + k]-x [i]);

end;

L: = L + P * y [0];

end;

P o linom: = l;

end;

де

n - кількість вузлів

x [i], y [i] - табличні значення функції

D - точка, в якій необхідно обчислити значення l

Огляд літературних джерел

1. Чисельні методи

Чисельні методи є одним з потужних математичних засобів вирішення завдання. Найпростіші чисельні методи ми використовуємо скрізь, наприклад »витягуючи квадратний корінь на листку паперу. Є завдання, де без досить складних чисельних методів не вдалося б отримати відповіді, класичний приклад-відкриття Нептуна по аномалій руху Урану.

У сучасній фізиці таких завдань багато-Більше того, часто потрібно виконати величезну кількість дій за короткий час, інакше відповідь буде не потрібен. Наприклад, добовий прогноз погоди повинен бути обчислений за кілька годин; корекцію траєкторії ракети треба розрахувати за кілька хвилин (нагадаємо, що для розрахунку орбіти Нептуна Леверьє знадобилося півроку); режим роботи прокатного стану повинен виправлятися за секунди. Це немислимо без потужних ЕОМ, що виконують тисячі або навіть мільйони операцій за секунду.

Сучасні чисельні методи і потужні ЕОМ дали можливість вирішувати такі завдання, про які півстоліття тому могли тільки мріяти. Але застосовувати чисельні методи далеко не просто. Цифрові ЕОМ вміють виконувати тільки арифметичні дії і логічні операції. Тому крім розробки математичної моделі, потрібно ще розробка алгоритму, що зводить всі обчислення до послідовності арифметичних і логічних дій. Вибирати модель і алгоритм треба з урахуванням швидкості й обсягу пам'яті ЕОМ: надто складна модель може виявитися машині не під силу, а занадто проста - не дасть фізичної точності.

Сам алгоритм і програма для ЕОМ повинні бути ретельно перевірені. Навіть перевірка програми нелегка, про що свідчить популярне твердження: «У будь-як завгодно малої програмі є, щонайменше, одна помилка». Перевірка алгоритму ще більш важка, бо для складних алгоритмів не часто вдається довести збіжність класичними методами. Доводиться використовувати більш-менш надійні «експериментальні» перевірки, проводячи пробні розрахунки на ЕОМ і аналізуючи їх.

Суворе математичне обгрунтування алгоритму рідко буває вичерпним дослідженням. Наприклад, більшість доказів збіжності ітераційних процесів справедливо тільки при точному виконанні всіх обчислень; практично ж число зберігаються десяткових знаків рідко відбувається 5 - 6 за «ручних» обчисленнях і 10-12 при обчисленнях на ЕОМ. Погано піддаються теоретичному дослідженню «маленькі хитрощі» - незначні на перший погляд деталі алгоритму, сильно впливають на його ефективність. Тому остаточну оцінку методу можна дати тільки після випробування його в практичних розрахунках.

До чого призводить нехтування цими правилами - видно з принципу некомпетентності Пітера: «ЕОМ багаторазово збільшує некомпетентність обчислювача».

Для складних завдань розробка чисельних методів та складання програм для ЕОМ дуже трудомісткі і займають від декількох тижнів до декількох років. Вартість комплексу налагоджених програм нерідко порівнянна з вартістю експериментальної фізичної установки. Зате проведення окремого розрахунку по такому комплексу багато швидше і дешевше, ніж проведення окремого експерименту. Такі комплекси дозволяють підбирати оптимальні параметри досліджуваних конструкцій, що не під силу експерименту.

Однак чисельні методи не всесильні. Вони не скасовують всі інші математичні методи. Починаючи дослідити проблему, доцільно використовувати прості моделі, аналітичні методи і прикидки. І тільки розібравшись в основних рисах явища, треба переходити до повної моделі і складним чисельних методів; навіть у цьому випадку чисельні методи вигідно застосовувати в комбінації з точними і наближеними аналітичними методами.

Сучасний фізик або інженер-конструктор для успішної роботи повинен однаково добре володіти і "класичними" методами, і чисельними методами математики.

2. Турбо Паскаль

Мова Паскаль з моменту свого створення Н. Віртом в 1971 році відіграє особливу роль і в практичному програмуванні, і в його вивченні. З неперевершеною чіткістю в ньому реалізовані принципи структурного програмування. Паскаль став першою мовою, з яким знайомитися більшість майбутніх програмістів.

Перекладачі для програм, написаних на Паскалі, розроблені для різних комп'ютерів і в даний час мають безліч різновидів. Вони є компіляторами, обробні розроблені програмістами тексти програм.

Схематично програма представляється у вигляді послідовності восьми розділів:

  1. Тема програми

  2. Опис зовнішніх модулів, процедур і функцій

  3. Опис міток

  4. Опис констант

  5. Опис типів змінних

  6. Опис змінних

  7. Опис функцій і процедур

  8. Розділ операторів

Розробка програми за схемою алгоритму

При розробці програми в даній роботі використовуються наступні оператори і стандартні процедури:

Program - Заголовок програми

Uses - розділ підключення модулів

Begin - відкриває логічна дужка

End - закриває логічна дужка

: = - Оператор присвоювання

Crt - (Cathod ray tube - електронно-променева трубка) один з найбільш часто використовуваних модулів. Він містить процедури обслуговування процесів виведення інформації на екран, введення з клавіатури, а також процедури і функції виведення звукових сигналів, роботи з вікнами на екрані і виведення кольорових текстових рядків на екран.

Graph - графічний модуль для виведення базових графічних елементів, таких як точки, відрізки прямих ліній, дуги і цілі кола та інших графічних елементів, званих графічними примітивами

Var - розділ опису змінних

Writeln, Write - оператори виводу інформації

Readln, Read - оператори введення інформації

If <умова> then <оператор> - оператор умовного переходу

For <параметр>: = <нач.знач.> To <конечн.знач.> Do <оператор> - оператор циклу з параметром

Repeat <оператор> until <умова> - оператор циклу з постусловіем

Clrscr - очищення екрана

Initgraph - процедура ініціалізації графічного режиму

Closegraph - процедура закриття графічного режиму

Line (x 1, y 1, x 2, y 2) - з'єднання двох точок відрізком

Putpixel (x, y, c) - побудова точки (x, y) кольором з

Readkey - оператор зчитування коду клавіш

Outtextxy (x, y, st) - висновок рядка st, починаючи з точки (x, y)

Getmaxx - результатом цієї функції буде max значення x в даному відеорежимі

Goto - перейти до

+ - Арифметична операція додавання

- - Арифметична операція віднімання

* - Арифметична операція множення

/ - Арифметична операція ділення

Опис змінних і констант використовуються в алгоритмі

n - кількість вузлів у таблиці, не вважаючи початкову точку ;

i, j - лічильники;

- Значення вузлів записаних в одновимірні масиви;

D - змінна, яка використовується для знаходження значення полінома Ньютона в цій точці;

L - мінлива значення полінома Ньютона

k, step - константи використовуються для побудови графіка полінома;

u - мінлива кроку ділення графіка;

Для опису алгоритму в даній курсовій роботі були пронумеровані символи.

Інструкція користування програмою

Для запуску програми необхідно двічі клацнути на ярлику з іменем Niton. Exe. Після цього на екран буде виведений титульний лист. Щоб продовжити треба натиснути клавішу Enter.

Наступним кроком у вікні програми буде показана рядок з текстом «Показати пояснення до програми (1 / 0)?», Щоб побачити їх слід натиснути 1 і підтвердити введення натисканням клавіші Enter. Щоб продовжити треба натиснути клавішу Enter. Відразу після цього в діалоговому вікні з'явиться рядок «Введіть кількість у p лов n (N = n +1)», де потрібно вказати кількість (N -1) вузлів таблиці та натиснути Enter. Далі треба буде ввести значення з таблиці, по закінченню введення натиснути Enter.

На екран буде виведена введена таблиця значень. Потім вам буде запропоновано «Введіть x». Потрібно ввести x для якого необхідно знайти наближене значення. Після цього програма обчислить значення і запропонує знайти значення для іншого x.

Далі програма попросить ввести крок поділу графіка. Після введення кроку програма побудує графік полінома. Для продовження потрібно натиснути Enter.

Потім програма запитає «повторити обчислення і побудови графіка полінома для іншої функції?» Щоб почати заново потрібно натиснути 1, щоб закінчити роботу з програмою натиснути 0 і після введення підтвердити вибір клавішею Enter.

Текст програми

program interpol;

uses crt, graph;

const

MAXCOUNT = 30;

type

per = array [0 .. MAXCOUNT] of real;

var

X, y: per;

n, i: integer;

l, D, f: real;

label Lp, Lt;

{Процедура виведення титульного аркуша}

Procedure Titul;

begin

Clrscr;

GoToXY (23,2);

Writeln ('Федеральне агентство з освіти');

GoToXY (22,3);

Writeln ('Тульський державний університет');

GoToXY (28,4);

Writeln ('КАФЕДРА РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ');

GoToXY (14,8);

Writeln ('Інтерполяція функції однієї змінної методом Ньютона.');

GoToXY (27,9);

Writeln ('Побудова графіка полінома.');

GoToXY (34,12);

Writeln ('Варіант # 7');

GoToXY (24,17);

Writeln ('Студент гр. 220371 Поляков A. M.');

GoToXY (20,19);

Writeln ('Керівник доцент, K. T. H. Давидов B. B.');

GoToXY (33,23);

Writeln ('Тула, 2008 g.');

readkey;

clrscr;

end;

{Процедура виведення пояснення до програми}

Procedure help;

begin

clrscr;

writeln (Ця програма за значеннями функції f (x) заданої таблично в декількох точках відрізка знаходить її значення в '+

+ Інших точках даного відрізка. Точки з координатами (x i, y i) називаються вузловими точками або вузлами. ');

writeln ('Кількість вузлів в табличній функції має бути дорівнює N = n +1.');

writeln ('Після введення кількості вузлів n (початкова точка (x [0], y [0]) не є вузлом) потрібно вводити вузлові точки +

+ 'Функції. Після цього програма зможе знаходити значення даної функції в інших точках відрізка (x [0] .. x [n ]).');

writeln (Після цього на екран будуть виведений графік полінома. ');

readkey;

clrscr;

end;

{Процедура введення табличних значень}

procedure Enter (var X, y: per);

var

i: integer;

label mp;

begin

mp: for i: = 0 to n do

begin

write ('X [', i, '] ='); readln (x [i]);

write ('y [', i, '] ='); readln (y [i]);

end;

for i: = 0 to n-1 do

if x [i +1]-x [i] <= 0 then

begin

writeln ('Помилка. Повторіть введення.');

goto mp

end;

end;

{Процедура виведення табличних значень}

procedure Print (n: integer; X, y: per); var

i: integer;

begin

for i: = 0 to n do

begin

write (x [i]: 12:6);

end;

writeln;

for i: = 0 to n do

begin

write (y [i]: 12:6);

end;

writeln;

end;

{Функція формули Ньютона}

Function Polinom (n: integer; d: real; X, y: per): real;

var

l: real;

k, i: integer;

p: real;

begin

L: = y [0];

P: = 1;

for k: = 1 to n do begin

P: = P * (DX [k-1]);

for i: = 0 to (nk) do begin

Y [i]: = (y [i +1]-y [i]) / (x [i + k]-x [i]);

end;

L: = L + P * y [0];

end;

POlinom: = l;

end;

{Процедура побудова графіка}

procedure Grafik (n: integer; D: real; X, Y: per; L: real);

const

step = 10;

var

driver, mode: integer;

i: longint;

st: string;

u, k: integer;

begin

writeln ('Введіть крок поділу графіка ");

readln (u);

k: = 26;

driver: = detect;

initgraph (driver, mode ,'');

setcolor (1);

line (320,0,320,480);

line (0,240,640,240);

for i: = 0 to 32 do begin

setlineStyle (1,0,0);

line (0, i * k +6,640, i * k +6);

line (i * k +8,0, i * k +8,480);

end;

setcolor (3);

outtextxy (310,15, 'y');

outtextxy (620,240, 'x');

for i: = 0 to getmaxx div (2 * k) do

begin

str (i * u, st);

outtextxy (getmaxx div 2 + i * (k), getmaxy div 2 + step, st);

str (-i * u, st);

outtextxy (getmaxx div 2-i * k, getmaxy div 2 + step, st);

end;

for i: = 1 to getmaxy div (2 * k) do

begin

str (-i * u, st);

outtextxy (getmaxx div 2 + step, getmaxy div 2 + i * k, st);

str (i * u, st);

outtextxy (getmaxx div 2 + step, getmaxy div 2-i * k, st);

end;

d: =- u * 12;

repeat

d: = d +0.002;

putpixel (round (320 + d * k / u), round (240 + (-POlinom (n, d, x, y)) * k / u), 10);

until d> u * 12;

readkey;

end;

{Основний текст програми}

begin

TextMode (3);

TextBackground (1);

TextColor (14);

Titul;

writeln ('Вивести пояснення до програми?? (Так-1, Ні-0)');

read (f);

if f = 1 then help else

lp: clrscr;

writeln ('Введіть кількість вузлів n (N = n +1)');

read (n);

Enter (X, y);

Print (n, X, y);

repeat

lt: Writeln ('BbBedite X (ot', x [0]: 4:2, 'do', x [n]: 4:2 ,')');

read (d);

if d <x [0] then begin

writeln ('Помилка. x не може бути менше ", x [0]: 4:2);

goto lt; end;

if d> x [n] then begin

writeln ('Помилка. x не може бути більше', x [n]: 4:2);

goto lt; end;

writeln (Polinom (n, d, X, y): 6:3);

writeln ('Знайти значення для іншої точки X? (ДА-1, НІ-0)');

read (f)

until f = 0;

Grafik (n, D, X, Y, l);

readkey;

CloseGraph;

clrscr;

writeln ('Повторити для іншої функції? (Так -1, Ні -0)');

read (f);

if f = 1 then goto lp else end.

Вихідні дані і результат рішення контрольного прикладу

0

1

2

3

4

0

0.5

0.866

1

0.866

Обчислимо значення таблично заданої функції в точці x = 1.5


Мі отримали значення 0.707 яке мало відрізняється від точного значення

.

Висновок

У курсовій роботі я розглянув лише першу формулу полінома Ньютона, яка працює поблизу початку таблиці. Інтерполяційний поліном у формі Ньютона зручно використовувати, якщо точка інтерполяції знаходиться поблизу початку таблиці. Цей поліном цікавий тим, що кожна часткова сума перших m доданків є інтерполяційний поліном m-1 ступеня, побудований за m перший табличним точкам. Тому інтерполяційні поліноми Ньютона зручно використовувати при послідовному збільшенні ступеня інтерполяційного многочлена.

До недоліку формули Ньютона можна віднести те, що при обчисленнях у таблиці з постійним кроком при збільшенні кількості вузлів не завжди вдається домогтися підвищення точності обчислень. Це обумовлено тим, що рівновіддалені вузли не є кращими з точки зору зменшення похибки інтерполювання. Якщо є можливості вибору вузлів інтерполяції, то їх слід вибирати так, щоб забезпечити мінімум похибки інтерполяції.

У процесі виконання курсової роботи були закріплені придбані за період навчання навички і вміння самостійного складання алгоритмів і програм на мові програмування Turbo Pascal 7.0 для вирішення простих типових математичних задач. Ця робота ще раз підтвердила корисність використання ЕОМ для вирішення прикладних математичних задач. Отримані знання і накопичений досвід вирішення простих завдань в майбутньому дозволять розробляти набагато більш складні програми і алгоритми, полегшать розбиття складних завдань на прості елементи.

Список використаних джерел

  1. Введення в чисельні методи / А.А. Самарський - М.: наука, 1982.

  2. Початку програмування на мові Паскаль / С.А. Абрамов - М., 1987.

  3. Практичний посібник з методів обчислень з додатком програм для персональних комп'ютерів / В.І. Ракітін - М.: Вищ. шк., 1998.

  4. Програмування в середовищі Турбо Паскаль / Д.Б. Поляков - М., 1992.

  5. Довідник з алгоритмів і програм на мові Бейсік для персональних ЕОМ / В.П. Дьяконов - М.: Наука, 1987.

  6. Турбо Паскаль 7.0/В.В. Фаронов - М., 1998.

  7. Чисельні методи аналізу / Б.П. Демидович - М.: Державне видавництво фізико-математичної літератури, 1962.

  8. Чисельні методи / Каліткін М.М. - М.: 1996

  9. Немнюгин С. A. Turbo Pascal - СПб.: Пітер, 2002 .- 496 с,

28


Додати в блог або на сайт

Цей текст може містити помилки.

Програмування, комп'ютери, інформатика і кібернетика | Курсова
109.8кб. | скачати


Схожі роботи:
Пошук максимуму однієї функції багатьох змінних методом покоординатного спуску і з допомогою методу
Коріння многочленів від однієї змінної
Рішення систем нелінійних алгебраїчних рівнянь методом Ньютона
Знаходження коренів рівняння методом Ньютона ЛИСП-реалізація
Інтерполяція функції в прямокутнику
Монотонність функції необхідні і достатні умови Eкстремум функції однієї та декількох змінних
Розробка програмного забезпечення для вирішення рівнянь з однією змінною методом Ньютона дотичних
Розвязання задач графічним методом методом потенціалів методом множників Лангранжа та симплекс-методом
Теореми Ролля Лагранжа Коші Правило Лопіталя Формула Тейлора для функції однієї та двох змін
© Усі права захищені
написати до нас