
| 1 2 3 4 5 6 7 Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Факультет комп’ютерних наук та кібернетики
Кафедра дослідження операцій
КУРСОВА РОБОТА
на тему:
Зображення скінченних груп
Науковий керівник:
Доктор фіз.-мат. наук
Проскурін Данило Павлович
Роботу виконав:
Студент 3-го курсу
Балашов Олександр Сергійович
КИЇВ 2021
ЗМІСТ 1.ВСТУП 3
2.ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ 4
2.1Означення 4
2.2Приклади лінійних зображень 6
2.3Підзображення 7
2.4Незвідні зображення 9
2.5Тензорний добуток двох зображень 10
3.ТЕОРІЯ ХАРАКТЕРІВ 13
3.1Характер зображення 13
2.6Перші твердження Леми Шури 15
2.7Відношення ортогональності для характерів 19
4.ВИСНОВОК 22
5.Список використаної літератури 23
ВСТУП Зображення груп – є одним із найважливіших розділів в торії груп, та, в той же час, одним з найбільш прикладних знарядь, що використовуються в дослідженнях цієї дисципліни. Вони мають численні застосування в різноманітних галузях людської життєдіяльності, а саме, широко використовуються в таких науках, як геометрія, фізика, хімія і, навіть, кристалографія. Таким чином розділ абстрактної математики, має багато практичних застосунків. Базу для яких буде розглянуто в даній роботі.
ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ Означення Нехай - векторний простір над полем комплексних чисел . Нехай, покладемо, що - група його автоморфізмів над тим же полем. Тоді кожен елемент групи , за означенням, є таким лінійним відображенням (позначимо його ), простору в себе що для кожного такого відображення існує зворотне , котре також є лінійним. В випадку наявності у простору скінченного базису із елементів , будь яке лінійне відображення : задається квадратною матрицею порядку . Коефіцієнти – комплексні числа, що з’являються при розкладі векторів по базису :.
| (1)
| При цьому відображення – ізоморфне тоді і тільки тоді, коли визначник – не нульовий. У випадку виконання вищезазначених умов, отримуємо, що група – тотожна групі оборотних квадратних матриць порядку .
Нехай тепер - деяка кінцева група. Лінійним зображенням групи в просторі називається довільний гомоморфізм групи в групу . Інакше кажучи, це таке співвідношення, де кожний елемент співставляеться елементу групи , так, що має місце рівність: (Надалі іноді позначатимемо , як )
Зауважимо, що з попередньої рівності випливає:
.
| (3)
| При заздалегідь заданому простір називається зображенням групи . Також одразу зауважимо, що надалі будем завжди використовувати випадок, при якому – буде мати скінченну розмірність. Таке обмеження має право на існування, адже в більшості випадків, як правило, нас цікавить саме поведінка скінченної кількості елементів , простору . Також зауважимо, що завжди можна знайти підзображення скінченної розмірності, що буде містити елементи , якщо взяти підпростір простору , котре породжене образами елементів .
Також будемо вважати, виходячи з попередніх тверджень, що що простір – скінченновимірний, з розмірністю . Тоді число будемо називати також степенем зображення, що розглядається. Нехай – деякий базис простору За позначимо матрицю автоморфізму відносно даного базису. Тоді:
, .
| (4)
| Якщо через позначимо коефіцієнти матриці , то формула (2) перетвориться на:
| (5)
| І навпаки, задання деяких оборотних матриць що задовільнять попереднім тотожностям, задає певне лінійне зображення групи в просторі . Інакше кажучи задає лінійне зображення в матричній формі.
Нехай та - два лінійних зображення групи в просторах та відповідно. Кажуть що зображення та - подібні (еквівалентні чи ізоморфні), якщо існує такий лінійний ізоморфізм : , який переводить зображення в , інакше кажучи, котрі задовольняють наступній умові:
, для будь-якого .
| (6)
| В випадку коли зображення та , заданні в метричній формі, як, відповідно, і – це еквівалентно існуванню такої оборотної матриці , що: Помітимо, що такі зображення можна ототожнювати. Наприклад, поставивши у відповідність кожному елементу елемент . Зокрема, вони мають одну і ту ж ступінь
1 2 3 4 5 6 7
скачати
|