1   2   3   4   5   6   7
Ім'я файлу: КУРСОВА РОБОТА.docx
Розширення: docx
Розмір: 73кб.
Дата: 30.05.2021
Пов'язані файли:
Оператори проектування.doc

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Факультет комп’ютерних наук та кібернетики

Кафедра дослідження операцій

КУРСОВА РОБОТА

на тему:

Зображення скінченних груп

Науковий керівник:

Доктор фіз.-мат. наук

Проскурін Данило Павлович

Роботу виконав:

Студент 3-го курсу

Балашов Олександр Сергійович

КИЇВ 2021

ЗМІСТ


1.ВСТУП 3

2.ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ 4

2.1Означення 4

2.2Приклади лінійних зображень 6

2.3Підзображення 7

2.4Незвідні зображення 9

2.5Тензорний добуток двох зображень 10

3.ТЕОРІЯ ХАРАКТЕРІВ 13

3.1Характер зображення 13

2.6Перші твердження Леми Шури 15

2.7Відношення ортогональності для характерів 19

4.ВИСНОВОК 22

5.Список використаної літератури 23


  1. ВСТУП


Зображення груп – є одним із найважливіших розділів в торії груп, та, в той же час, одним з найбільш прикладних знарядь, що використовуються в дослідженнях цієї дисципліни. Вони мають численні застосування в різноманітних галузях людської життєдіяльності, а саме, широко використовуються в таких науках, як геометрія, фізика, хімія і, навіть, кристалографія. Таким чином розділ абстрактної математики, має багато практичних застосунків. Базу для яких буде розглянуто в даній роботі.
  1. ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ЗОБРАЖЕННЯ ГРУПИ

    1. Означення


Нехай - векторний простір над полем комплексних чисел . Нехай, покладемо, що - група його автоморфізмів над тим же полем. Тоді кожен елемент групи , за означенням, є таким лінійним відображенням (позначимо його ), простору в себе що для кожного такого відображення існує зворотне , котре також є лінійним. В випадку наявності у простору скінченного базису із елементів , будь яке лінійне відображення : задається квадратною матрицею порядку . Коефіцієнти – комплексні числа, що з’являються при розкладі векторів по базису :.



(1)

При цьому відображення – ізоморфне тоді і тільки тоді, коли визначник – не нульовий. У випадку виконання вищезазначених умов, отримуємо, що група – тотожна групі оборотних квадратних матриць порядку .

Нехай тепер - деяка кінцева група. Лінійним зображенням групи в просторі називається довільний гомоморфізм групи в групу . Інакше кажучи, це таке співвідношення, де кожний елемент співставляеться елементу групи , так, що має місце рівність:

для всіх , .

(2)

(Надалі іноді позначатимемо , як )

Зауважимо, що з попередньої рівності випливає:

.

(3)

При заздалегідь заданому простір називається зображенням групи . Також одразу зауважимо, що надалі будем завжди використовувати випадок, при якому – буде мати скінченну розмірність. Таке обмеження має право на існування, адже в більшості випадків, як правило, нас цікавить саме поведінка скінченної кількості елементів , простору . Також зауважимо, що завжди можна знайти підзображення скінченної розмірності, що буде містити елементи , якщо взяти підпростір простору , котре породжене образами елементів .

Також будемо вважати, виходячи з попередніх тверджень, що що простір – скінченновимірний, з розмірністю . Тоді число будемо називати також степенем зображення, що розглядається. Нехай – деякий базис простору За позначимо матрицю автоморфізму відносно даного базису. Тоді:

, .

(4)

Якщо через позначимо коефіцієнти матриці , то формула (2) перетвориться на:



(5)

І навпаки, задання деяких оборотних матриць що задовільнять попереднім тотожностям, задає певне лінійне зображення групи в просторі . Інакше кажучи задає лінійне зображення в матричній формі.

Нехай та - два лінійних зображення групи в просторах та відповідно. Кажуть що зображення та - подібні (еквівалентні чи ізоморфні), якщо існує такий лінійний ізоморфізм : , який переводить зображення в , інакше кажучи, котрі задовольняють наступній умові:

, для будь-якого .

(6)

В випадку коли зображення та , заданні в метричній формі, як, відповідно, і – це еквівалентно існуванню такої оборотної матриці , що:

, або , для всіх .

(7)

Помітимо, що такі зображення можна ототожнювати. Наприклад, поставивши у відповідність кожному елементу елемент . Зокрема, вони мають одну і ту ж ступінь

    1.   1   2   3   4   5   6   7

      скачати

© Усі права захищені
написати до нас