1   2   3   4
Ім'я файлу: № 4919.docx
Розширення: docx
Розмір: 621кб.
Дата: 17.05.2021
скачати
Пов'язані файли:
Аналіз підприємства.docx
ТЗН.docx
Order-full-id-7955-138.docx
Левчук Софія .docx

Зміст

Вступ

Розділ 1. Основні поняття математичної статистики

1.1. Вибірковий метод

1.2. Числові характеристики вибірки та методи їх обчислення

Розділ 2. Статистичні оцінки параметрів розподілу

2.1. Точкові оцінки

2.2. Інтервальні оцінки

Розділ 3. Перевірка статистичних гіпотез про характер розподілу

3.1. Перевірка гіпотез за критерієм Пірсона

Розділ 4. Елементи теорії регресії і кореляції

4.1. Рівняння прямої лінії регресії. Лінійна кореляція

Розділ 5. Розв’язання деяких основних задач математичної статистики та аналіз отриманих результатів

5.1. Розв’язання задач

Висновки

Література

Вступ
Питання статистичної оцінки пов'язують в єдине ціле такі проблемні аспекти математичної статистики, як наукова методологія, випадкові величини, статистичні розподіли та ін. Для будь-якої вибірки притаманні помилки, зумовлені неповнотою охоплення одиниць, помилками вимірювання і тому подібними причинами. Такі помилки в реальному житті надають кожній гіпотезі (зокрема, сформульованій на базі економічних висновків) випадковий, стохастичний характер. Незалежно від кількості змінних, передбачених теоретичними гіпотезами, робиться припущення, що вплив різних видів помилок може бути достатньо точно описаний за допомогою лише однієї складової. Такий методологічний підхід дозволяє обмежитися одномірним розподілом імовірностей при одночасному оцінюванні декількох параметрів.

Статистична оцінка - це один із двох типів статистичного судження (другий тип - перевірка гіпотез). Вона являє собою особливого роду метод судження про числові значення характеристик (параметрів) розподілу генеральної сукупності за даними вибірки з цієї сукупності. Тобто, маючи результати вибіркового спостереження, ми намагаємося оцінити (з найбільшою точністю) значення визначених параметрів, від яких залежить розподіл ознаки (змінної), яка нас цікавить, у генеральній сукупності. Оскільки вибірка включає тільки частину одиниць генеральної сукупності (інколи дуже мале їх число), існує ризик допустити помилку. Незважаючи на зменшення такого ризику зі збільшенням числа одиниць спостереження, він все ж має місце при вибірковому спостереженні. Звідси, прийнятим за результатами вибірки рішенням надають імовірнісний характер. Але було б невірним розглядати статистичні судження тільки з позицій імовірностей. Такій підхід не завжди виявляється достатнім для побудови правильних теоретичних припущень відносно параметрів генеральної сукупності. Часто потрібен ще ряд додаткових суджень, які б забезпечили більш глибоке обґрунтування. Наприклад, потрібно оцінити з можливо більшим наближенням значення середньої чисельності кваліфікованих робітників у підприємствах регіону. При цьому оцінюється середня арифметична змінної х з генеральної сукупності, яка має нормальний розподіл. Одержавши вибірку по даній ознаці в кількості п одиниць, необхідно розв'язати питання: яку величину за даними вибірки необхідно прийняти як найбільш близьку до середньої в генеральній сукупності? Таких величин, математичне очікування яких дорівнює шуканому параметру (або близьке до нього), можна навести кілька: а) середня арифметична; б) мода; в) медіана; г) середня, обчислена за розмахом варіації, і т.д.

Мета роботи: ознайомитись з методами визначення точкових оцінок параметрів розподілу; дослідити, що впливає на якість точкових оцінок.

Розділ 1. Основні поняття математичної статистики
1.1. Вибірковий метод
Математична статистика – це розділ прикладної математики, предметом якого є розробка раціональних прийомів і методів отримання, опису та обробки експериментальних даних з метою вивчення закономірностей масових випадкових явищ.

Основними завданнями математичної статистики є:

– визначення за статистичними даними законів розподілу випадкових величин;

– визначення за статистичними даними параметрів розподілу випадкових величин;

– визначення за статистичними даними виду зв'язку між різними явищами (об'єктами) або властивостями одного і того ж явища (об'єкта);

– визначення сили (тісноти зв'язку) між різними явищами (об'єктами) або властивостями одного і того ж явища (об'єкта);

– перевірка вірогідності статистичних гіпотез;

– розробка рекомендацій щодо проведення експерименту та обробки його результатів.

У прикладних дослідженнях, зазвичай, необхідно вивчити сукупність однорідних об'єктів або спостережень за якою-небудь кількісною або якісною ознакою.

Сукупність об'єктів або спостережень, всі елементи якої підлягають вивченню при статистичному аналізі, називається генеральною сукупністю.

Генеральна сукупність може бути скінченою або нескінченною. Так, при вивченні розподілу населення за родом занять розглядається велика, але скінчена генеральна сукупність об'єктів. При вивченні впливу яскравості освітлення робочого місця на продуктивність праці працівника генеральна сукупність спостережень теоретично нескінченна, оскільки яскравість освітлення може змінюватися неперервно у межах певного інтервалу.

Кількість об'єктів (спостережень) генеральної сукупності називається об'ємом генеральної сукупності і позначається N.

На практиці рідко є можливість досліджувати кожний елемент генеральної сукупності, оскільки це пов'язано з великими витратами засобів, коштів і часу, а іноді з псуванням або знищенням досліджуваних об'єктів. У деяких випадках дослідити всі об’єкти генеральної сукупності взагалі неможливо. Тому при статистичному аналізі, як правило, вивчається не вся генеральна сукупність, а деяка її частина.

Частина об'єктів генеральної сукупності, використовувана в ході дослідження, називається вибіркою. У соціологічному дослідженні об’єкти вивчення називаються респондентами.

Кількість об'єктів (спостережень) вибірки називається її об'ємом і позначається n.

Наприклад, продукція у кількості N одиниць, вироблена підприємством на протязі року, є генеральною сукупністю. Для дослідження якості продукції на практиці розглядається вибірка, що складається з n одиниць продукції. Ознакою якості в даному дослідженні служить відповідність вибраної одиниці товару сертифікатним вимогам.

Ціль вибіркового методу в статистиці полягає в тому, що висновки, зроблені на основі вивчення вибірки, розповсюджуються на всю генеральну сукупність.

Слід зазначити, що незалежно від способу організації вибірки вона повинна правильно відображати кількісні та якісні співвідношення генеральної сукупності, тобто бути репрезентативною. Крім того, всі елементи генеральної сукупності повинні мати однакову ймовірність бути відібраними у вибірку, тобто вибірка має бути випадковою.

Існує кілька типів ймовірнісної вибірки, які відрізняються між собою характером використаних дослідником прийомів:

– проста ймовірнісна вибірка, яка проводиться шляхом випадкового відбору об’єктів у вибірку;

– стратифікована вибірка, що використовується тоді, коли цілі та завдання дослідження вимагають відбору об’єктів для вивчення за певними груповими критеріями;

– багатоступінчаста вибірка, для якої характерно декілька послідовних змін одиниць відбору.

Для результатів, що отримані при вибірковому дослідженні, необхідна перевірка на точність і статистичну значущість; спосіб формування вибірки та її об’єм повинні відповідати певному методу обробки даних.
1.2. Числові характеристики вибірки та методи їх обчислення
Для кількісної оцінки випадкової однорідної величини (random variable) використовуються такі числові характеристики:

Середнє арифметичне випадкової величини служить характеристикою математичного сподівання розподілу випадкової величини і обчислюється за формулою:



де X1,X2,...,Xn - значення елементів ряду;

n - число елементів ряду.

Статистична дисперсія характеризує розкид випадкової величини відносно її середнього значення. Вона обчислюється за формулою:



Середнє квадратичне відхилення (average deviation) служить мірою розсіювання випадкової величини відносно її середнього значення й обчислюється за формулою:



Коефіцієнт варіації ряду (coefficient of variation range) визначається ставленням  . За коефіцієнтом варіації наближено визначається закон розподілу випадкової величини, так при   розподілення підкоряється нормальному закону, при   - закону розподілу Релея, а при   - експоненціальним (показового) закону розподілу.

Статистична оцінка коефіцієнта асиметрії дає додаткову інформацію про форму розподілу випадкової величини. Асиметрія або скошеність обчислюється за формулою:



Статистична оцінка коефіцієнта ексцесу дає додаткову інформацію про форму розподілу випадкової величини. Ексцес, або гостро вершиність обчислюється за формулою



Крім середньої арифметичної і інших середніх для узагальнюючої характеристики варіюючої ознаки досліджуваних явищ використовують моду і медіану, які називають структурними або розподільними середніми.

Модою називають значення ознаки, яке найчастіше повторюється в досліджуваній сукупності.

Мода:



Медіаною називають значення варіюючої ознаки, що міститься всередині ранжированого ряду розподілу.

Медіана є центром розподілу сукупності і ділить її на дві рівні за кількістю частини.

Якщо кількість членів ряду непарна, то медіаною буде центральне значення варіюючої ознаки.

Медіана:



Додатковими статистичними характеристиками розподілу є квартилі і децилі.

Квартилі Q – поділяють ранжирований ряд на 4 рівні частини. Другий квартиль дорівнює медіані. Перший і третій квартилі обчислюють за формулами:



Середнє лінійне відхилення – дорівнює середній з абсолютних відхилень усіх значень варіюючої ознаки від її середнього значення. Середнє лінійне відхилення може бути простим і зваженим:

– просте; – зважене.

Для того, щоб співставити сукупності з різними значеннями середньої арифметичної та середнього квадратичного відхилення, визначають коефіцієнт (процент) варіації.

Коефіцієнтом варіації називають відношення середнього квадратичного відхилення до середнього значення варіюючої ознаки. Коефіцієнт варіації застосовують для порівняння варіації різних явищ. Коефіцієнт варіації визначається так:

– по варіаційному розмаху;

– по середньому лінійному відхиленню;

– по середньому квадратичному відхиленню.

Розділ 2. Статистичні оцінки параметрів розподілу
2.1. Точкові оцінки
Деяку ознаку Х генеральної сукупності можна розглядати як випадкову величину. Тоді вибірка значень Х – це емпіричний закон розподілу випадкової величини. Для дискретних і неперервних випадкових величин визначені числові характеристики, основними з яких є математичне сподівання, дисперсія і середнє квадратичне відхилення. Числові характеристики випадкових величин часто є параметрами їх розподілів. Аналогічно, числові характеристики визначені і для статистичних рядів, це – вибіркове середнє, вибіркове середнє геометричне, вибіркова дисперсія, вибіркове середнє квадратичне відхилення і т. ін.

У прикладних задачах за даними вибірки часто необхідно визначити закон розподілу випадкової величини, що є одним із основних завдань математичної статистики. При цьому вибіркове середнє вважається оцінкою (аналогом) математичного сподівання, вибіркова дисперсія – оцінкою дисперсії, вибіркове середнє квадратичне відхилення – оцінкою середнього квадратичного відхилення. При цьому виникає питання: наскільки правомірні такі оцінки?

Оцінки параметрів повинні відповідати таким вимогам.

Незсуненість. Це означає, що при проведенні великої кількості спостережень (вимірювань) з вибірками одного об’єму оцінка параметру, отримана з кожної вибірки, прямує до істинного значення цього параметру генеральної сукупності.

Спроможність. Зі збільшенням об’єму вибірки оцінка прямує до значення відповідного параметру генеральної сукупності з ймовірністю, що дорівнює 1.

Достатність. Оцінка містить всю необхідну інформацію.

Ефективність. Оцінки, отримані за вибірками однакового об’єму, мають мінімальну дисперсію.

Зауваження. При використанні оцінок необхідно пам’ятати, що вони отримуються тільки за певних умов і, відповідно, дійсні тільки при виконанні цих умов.

Для оцінювання параметрів розподілу за даними вибірки використовується метод максимальної правдоподібності. Але він застосовується тільки тоді, коли відомий закон розподілу.

Існують три методи визначення точкових статистичних оцінок для параметрів генеральної сукупності.

Метод аналогій. Цей метод базується на тому, що для параметрів генеральної сукупності вибирають такі самі параметри вибірки, тобто для оцінки вибирають аналогічні статистики —

Метод найменших квадратів. Згідно з цим методом статистичні оцінки визначаються з умови мінімізації суми квадратів відхилень варіант вибірки від статистичної оцінки

Отож, використовуючи метод найменших квадратів, можна, наприклад, визначити статистичну оцінку для . Для цього скористаємося функцією Використовуючи умову екстремуму, дістанемо:





Звідси для точковою статистичною оцінкою буде — вибіркова середня.

Властивості Виправлена дисперсія, виправлене середнє квадратичне відхилення. Точковою незміщеною статистичною оцінкою для є

І справді,



Отже,

Перевіримо на незміщеність статистичну оцінку























Таким чином, маємо:



Отже, є точковою зміщеною статистичною оцінкою для , де — коефіцієнт зміщення, який зменшується зі збільшенням обсягу вибірки n.

Коли помножити на , то дістанемо

Тоді



Отже, буде точковою незміщеною статистичною оцінкою для . Її назвали виправленою дисперсією і позначили через

Звідси точковою незміщеною статистичною оцінкою для є виправлена дисперсія або



Величину



називають виправленим середнім квадратичним відхиленням.

Виправлене середнє квадратичне відхилення, слід наголосити, буде зміщеною точковою статистичною оцінкою для , оскільки

, (7)

де k = n – 1 є кількістю ступенів свободи;

— коефіцієнт зміщення.

  1   2   3   4

скачати

© Усі права захищені
написати до нас