Ім'я файлу: курсова з геометрії.docx
Розширення: docx
Розмір: 76кб.
Дата: 16.04.2020
скачати
Пов'язані файли:
Психологія.docx
final_2019.docx

Зміст

Вступ………………………………………………………………………….3

  1. Означення та властивості векторного добутку……………………………5

  2. Векторний добуток в координатній формі ………………………………..8

  3. Застосування векторного добутку …………………………………………9

Висновоки………………………………………………………………….21

Список використаних джерел…………………………………………….22

Вступ

З поняттям вектора, сумою, різницею векторів, скалярним добутком, ми знайомимося вже у школі, а з поняттям векторного добутку – тільки в університеті.

Вектор — у найпростішому випадку математичний об'єкт, який характеризується величиною і напрямком. Наприклад, у геометрії і в природничих науках вектор є спрямований відрізок прямої в евклідовому просторі (або на площині).

Векторне множення векторів є бінарною не комутативною алгебраїчною операцією (символічно: {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} ), яка впорядкованій парі векторів за певним правилом ставить у відповідність третій вектор, що називається векторним добутком.

Визначення «правої» і «лівої» трійки векторів залежать від орієнтації простору, але не вимагають задання у розглянутому просторі будь-якої системи координат, як і не вимагає цього .

цьому формули вираження координат векторного добутку через координати вихідних векторів будуть відрізнятися знаком у правій і лівій прямокутній системі координат.

Всі праві між собою (і ліві між собою) трійки векторів називаються однаково орієнтованими.

За заданої орієнтації простору система координат називається правою (лівою), якщо трійка з векторів з координатами {\displaystyle (1,0,0)}(1;0;0), (0;1;0){\displaystyle (0,1,0)}, {\displaystyle (0,0,1)}(0;0;1) є правою (лівою).

Геометричне визначення і визначення за допомогою руки самі задають орієнтацію простору. Алгебраїчне визначення задає спосіб розбиття трійок некомпланарних векторів на два класи однаково орієнтованих векторів, але воно не задає орієнтації простору, а використовує вже задану — ту, на підставі якої дана система координат вважається правою або лівою. При цьому, якщо орієнтація системи координат невідома, можна порівнювати знак визначника зі знаком визначника іншої трійки некомпланарних векторів, орієнтація якої відома — якщо знаки збігаються, то трійки однаково орієнтовані, якщо знаки протилежні — трійки протилежно орієнтовані.

Множина всіх векторів площини разом з операцією векторного множення утворює анти групу (алгебраїчну структуру з однією незамкненою операцією,для якої виконуються твердження, що є запереченням всіх аксіом групи). Операція векторного множення векторів , в шкільному курсі математики вона не вивчається, разом з тим має цікаві геометричні та алгебраїчні тлумачення і різні застосування . В цьому актуальність теми курсової роботи.






  1. Означення та властивості векторного добутку  

2.Векторний добуто векторів

Означення

Назвемо векторним добутком двох векторів та , який формально позначимо символом такий вектор  ,{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}{\displaystyle {\vec {c}}} що задовольняє наступним умовам:

  1. –ортогональний векторам та ;

  2. , де –кут між векторами та ;

  3. (  , ,  {\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}})має праву орієнтацію,тобто поворот від вектора до по найкоротшому шляху здійснюється проти руху годинникової стрілки, якщо дивитися з кінця вектора .

рис.2

Ми будемо позначати векторний добуток -

Властивості векторного добутку

  1. , якщо або , або

  2. - антикомутативність

  3. – асоціативність відносно скалярного множника

  4. - дистрибутивність



  6. Необхідною і достатньою умовою колінеарності двух векторів є рів ність нулю їх векторного добутку

Доведення (1 властивості)

Нехай , тобто . Але тоді або , тобто . Якщо , то кут між ними дорівнює або . Але тоді , тобто .

Геометричний зміст векторного добутку

-Модуль векторного добутку двох векторів дорівнює площі паралелограма побудованого на цих векторах :



рис.3

-Площа трикутника побудованого на векторах дорівнює половині модуля векторного добутку цих векторів :



Фізичний зміст векторного добутку :

Якщо є вектор сили ,прикладеної до деякої точки B , а вектор , спрямований з точки А в точку В ,то векторний добуток буде моментом сили відносно точки А .



2.Вираз векторног добутку в координатній формі

У правому ортонормованому базисі :

Якщо два вектора подані у правому ортонормованому базисі координатами та , то їх векторний добуток має координати



Для запам’ятовування цієї формули зручно використовувати символічний визначник

= , де

У довільній афінній системі координат:

Векторний добуток у довільній афінній системі координат  має координати

=

3.Застосування векторного добутку

1. Встановлення колінеарності векторів:

Із властивості векторного добутку маємо:  , тобто

= =0

2. Обчислення площі паралелограма й трикутника:

З означення векторного добутку векторів його модуль чисельно дорівнює площі паралелограма , побудованого на векторах , як на сторонах , тобто .

Тоді .

3.Визначення моменту сили щодо точки:

Нехай у точці А прикладена сила F= й нехай О-деяка точка простору .

Відомо , що моментом сили F щодо точки О називається вектор , що проходить через точку О і відповідає умовам :

  1. перпендикулярний площині, що проходить через точки О, A, B;

  2. чисельно дорівнює добутку сили на плече ОN

;

  1. З кінця вектора коротший поворот від вектора до видний так, що виконується проти годинникової стрілки.

Таким чином, .

рис.4

4. Знаходження лінійної швидкості обертання:

Швидкість V точки М твердого тіла, що обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі, визначається формулою Ейлера , де r= , О- деяка нерухома точка осі.

рис.5

Подвійний векторний добуток

Нехай дано три довільних вектори Розглянемо векторний добуток вектора та : . Векторний добуток вектора на вектор (позначається: ) називається подвійним векторним добутком векторів

Для довільних векторів подвійний векторний добуток є вектором, компланарним з векторами та і знаходиться за формулою:

.




{\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}

Приклади

Задача №1

Якій умові повинні задовольняти вектори , щоб були колінеарні?

Розв΄язання

Необхідно щоб , тобто .

Задача№2

Дані вектори . Знайти:



Розв΄язання



;

=

;





;







Задача№3

Дані точки А(2;-1;2), В(1;2;-1) і С(3;2;1). Знайти:

.

Розв'язання

;







1.



2.



;



Задача №4

Довести, що площа S трикутника ABC, заданого координатами вершин в прямокутній декартовій системі координат на площині:



Обчислюється за формулою: . (1)

Розв΄язання

Даний трикутник є трикутником побудованим на векторах

,

.

Відомо, що

=





Перетворимо праву части рівності (1), розкладаючи визначник за елементами третього стовпця :



що й вимагалося довести.

Задача№5

Знайти площу паралелограма, побудованого на векторах якщо

Розв΄язання



.

Задача№6

Дані точки А(1;2;0), В(3;0;-3) і С(5;2;6). Знайти площу трикутника АВС.

Розв'язання













Задача№8

Обчислити площу трикутника з вершинами в точках А(2;2;2), В(4;0;3), С(0;1;0)

Розв΄язання











Задача№9

Дані вершини трикутника А(1;-1;2), В(5;-6;2), С(1;3;-1). Обчислитидовжину його висоти опущену з вершини В на сторону АС.

Розв'язання

;













Задача№10

Знайти сінус кута , утвореного векторами

Розв'язання









Завдання№11

Точка А(4;-1;3) твердого тіла закріплена, в точці В(0;3;5) його прикладна сила Знайти момент сили відносно точки А.

Розв΄язання

Вектор має координати

Обертальний момент :



Величина моменту:





Задача №12

Сила прикладена до точки А(2;-1;1).Знайти момент сили відносно початку координат.

Розв'язання









Задача№13

Сила прикладена до точки Знайти момент цієї сили відносно точки А(3;2;-1).

Розв'язання







Задача№14

Знайти векторний добуток векторів

Розв΄язання



= =



Задача№15

Знайти площу трикутника побудованого на векторах



Розв΄язок

Знайдемо векторний добуток цих векторів:





=

З властивостей векторного добутку:



Завдання№16

Точка А(4;-1;3) твердого тіла закріплена, в точці В(0;3;5) його прикладна сила Знайти момент сили відносно точки А.

Розв΄язання

Вектор має координати

Обертальний момент :



Величина моменту:





Висновоки

Векторний добуток було введено У. Гамільтоном у 1846 році  одночасно зі скалярним добутком у зв'язку з кватерніонами — відповідно, як векторна і скалярна частина добутку двох кватерніонів, скалярна частина яких дорівнює нулю[2].

Поняття вектора з'явилося в роботах німецького математика XIX ст. Г. Грассмана та ірландського математика У. Гамільтона. Згодом воно було охоче сприйняте багатьма математиками і фізиками. В сучасній математиці це поняття відіграє дуже важливу роль.

Векторний добуток застосовується для обчислення моменту сили площі трикутника та паралелограмам,для обчислення кутів…

В даній курсовій роботі я детально розглянула тему векторний добуток векторів, розглянула їх властивості. Всю теорію по даному питанню закріпила задачами по цій темі.

З використаної літератури найбільше сподобався Д.В.Клетеник "Сборник задач по аналитической геометрии"

Список використаних джерел:

1. Базылев В.Т., Дуничев К.И., Иваницкая В.П. Геометрия, Ч.І. – М: Просвещение, 1974. – 351 с.

2. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1986. – 336с.

3. Атанасян Л.С. Геометрия, Ч.І – М: Просвещение, 1967. – 300 с.

4. Атанасян Л.С., Атанасян В.А. Сборник задач по геометри, Ч.І. – М: Просвещение, 1973. – 256 с.

5. Яковець, Боровик, Коваленко. Аналітична геометрія: навч. пос. – Суми: Університецька книга, 2004. – 295 с.

6. Цубербиллер О.Н. Задачи и упражнения по аналитической геометрии, М: Наука, 1970. – 335 с.

7. Клетенник Д.В. Сборник задач по аналитической геометри, М: Наука, 1972. – 240 с.

8. Панішева О.В. Векторний метод: Інтегрований урок геометрії та фізики, Математика. – 2000. – №14. – с. 4 – 5.

9. Єгорова Г.О. Векторний і координатний методи розв’язування задач, Математика. – 2001. – №5. – с. 5 – 11.

10. І.Ф. Тесленко «Елементарна математика, геометрія», Київ, 1968 р.

11.  Декарт Р., Геометрія, [пер. з франц.], М.-Л., 1938;

12.  Бахвалов С. В., Моденов П. С., Пархоменко А. С., Збірник задач по аналітичній геометрії, 3 изд., М., 1964;

13.  Клетеник Д. В., Збірник задач по аналітичній геометрії, 9 изд., М., 1967.

Ильин В. А., Позняк Е. Г., Аналітична геометрія, М., ;

14. Вилейтнер Г., Історія математики від Декарта до середини XIX сторіччя, пер. з ньому., 2 изд., М., 1966;

15. Ефимов Н. В., Короткий курс аналітичної геометрії, 9 изд., М., 1967;

 Олександра П. С., Лекції по аналітичній геометрії, М., 1968;

16. Аналітична геометрія. Лінійна алгебра.
Збірник завдань до розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів
Укладачі: Буценко Ю.П., Барановська Г.Г., Дем’яненко О.О., Нефьодова Г.Д., Симчук Я.В.


скачати

© Усі права захищені
написати до нас